文档内容
昌平区 2022~2023 学年第一学期高三年级期末质量抽测
数学试卷
2023.1
本试卷共6页，共150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无
效.考试结束后，将答题卡交回.
第一部分（选择题共40分）
一､选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求
的一项.
1. 已知集合 ，则集合 （ ）
A. B.
C. D.
2. 在复平面内，复数 对应的点的坐标是 ，且满足 ，则 （ ）
A. 1 B. C. 2 D.
3. 下列函数中，是奇函数且在定义域内是减函数的是（ ）
A. B.
C. D.
4. 若 ， ，则一定有（ ）
A. B. C. D.
5. 已知二项式 的展开式中 的系数是10，则实数 （ ）
A. B. 1 C. D. 2
6. 若 ，则 （ ）A. B. C. D.
7. 在平面直角坐标系 中，角 与角 均以 为始边，则“角 与角 的终边关于 轴对称”是“
”的（ ）
.
A 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
的
8. 图1：在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开 圆柱形小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为
通道，前面挡有一块玻璃.将小球从顶端放入，小球下落的过程中，每次碰到小木钉后都等可能的向左或向
右落下，最后落入底部的格子中.在图2中，将小球放入容器中从顶部下落，则小球落入D区的路线数有（
）
A. 16 B. 18 C. 20 D. 22
9. 设抛物线 的焦点为 ，准线为 .斜率为 的直线经过焦点 ，交抛物线 于点 ，
交准线 于点 （ 在 轴的两侧）.若 ，则抛物线的方程为（ ）
A. B.
C. D.
10. 已知向量 满足 ，则 的最大值是（ ）A. B.
C. D.
第二部分（非选择题共110分）
二､填空题共5小题，每小题5分，共25分.
11. 已知数列 中， ，则数列 的通项公式为__________.
12. 已知双曲线 的焦点为 ，点 在双曲线上，则该双曲线的渐近线方程为__________；
若 ，则 __________.
13. 在 中， ，则 __________， __________.
14. 若直线 与圆 有公共点，则 的最小值为__________.
15. 已知正三棱锥 的六条棱长均为 是底面 的中心，用一个平行于底面的平面截三棱
锥，分别交 于 点（不与顶点 ， 重合）.
给出下列四个结论：
①三棱锥 为正三棱锥；
②三棱锥 的高为 ；
③三棱锥 的体积既有最大值，又有最小值；
④当 时， .
其中所有正确结论的序号是__________.三､解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
16. 已知函数 ，再从条件①､条件②､条件③中选择一个作为已知，
的
（1）求 解析式；
（2）当 时，关于 的不等式 恒成立，求实数 的取值范围.
条件①：函数 的图象经过点 ；
条件②：函数 的图象可由函数 的图象平移得到；
条件③：函数 的图象相邻的两个对称中心之间的距离为 .
注：如果选择条件①､条件②和条件③分别解答，按第一个解答计分.
的
17. 不粘锅是家庭常用 厨房用具，近期，某市消费者权益保护委员会从市场上购买了12款不粘锅商品，
并委托第三方检测机构进行检测.本次选取了食物接触材料安全项目中与消费者使用密切相关的6项性能项
目进行比较试验，性能检测项目包含不粘性､耐磨性､耐碱性､手柄温度､温度均匀性和使用体验等6个指标.
其中消费者关注最多的两个指标“不沾性､耐磨性”检测结果的数据如下：
检测结果
序号 品牌名称 不粘性 耐磨性
1 品牌1 Ⅰ级 Ⅰ级
2 品牌2 Ⅱ级 Ⅰ级
3 品牌3 Ⅰ级 Ⅰ级
4 品牌4 Ⅱ级 Ⅱ级
5 品牌5 Ⅰ级 Ⅰ级
6 品牌6 Ⅱ级 Ⅰ级
7 品牌7 Ⅰ级 Ⅰ级
8 品牌8 Ⅰ级 Ⅰ级9 品牌9 Ⅱ级 Ⅱ级
10 品牌10 Ⅱ级 Ⅱ级
11 品牌11 Ⅱ级 Ⅱ级
12 品牌12 Ⅱ级 Ⅱ级
（Ⅰ级代表性能优秀，Ⅱ级代表性能较好）
（1）从这12个品牌的样本数据中随机选取两个品牌的数据，求这两个品牌的“不粘性”性能都是Ⅰ级的概
率；
（2）从前六个品牌中随机选取两个品牌的数据，设为性能都是Ⅰ级的品牌个数，求随机变量 的分布列
和数学期望；
（3）从后六个品牌中随机选取两个品牌的数据，设 为性能都是Ⅰ级的品牌个数，比较随机变量 和随
机变量 的数学期望的大小（结论不要求证明）.
18. 如图，在多面体 中，侧面 为矩形， 平面 ， 平面
.
（1）求证： 平面 ；
（2）求直线 与平面 所成角的正弦值；
（3）求直线 到平面 的距离.
19. 已知椭圆 过点 ，且离心率是 .
（1）求椭圆 的方程和短轴长；
（2）已知点 ，直线 过点 且与椭圆 有两个不同的交点 ，问：是否存在直线 ，使得是以点 为顶点的等腰三角形，若存在，求出直线 的方程；若不存在，说明理由.
20. 已知函数 .
（1）当 时，求曲线 在点 处的切线方程；
（2）讨论函数 的单调性；
（3）当 时，证明：对任意的 恒成立.
21. 已知数列 满足： ，且 .记集合
.
（1）若 ，写出集合 的所有元素；
（2）若集合 存在一个元素是3的倍数，证明： 的所有元素都是3的倍数；
（3）求集合 的元素个数的最大值.
