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_________________名姓
________________级班
________________校学
房山区 2022-2023 学年度第一学期诊断性评价 （5）若角α 、β 是锐角三角形的两个内角，则下列各式中一定成立的是
（A）cosα>cosβ （B）sinαsinβ （D）cosα0)上一点M 到抛物线的准线和对称轴的距离分别为5和3，
线
（A）{−1，0，1} （B）{0，1}
则 p的值为
内
（C）{−2，0，1} （D）{−2，0，1，2}
（A）1 （B）2 （C）1或9 （D）2或9
不 （2）若复数z满足z(1+i)=2i，则在复平面内z对应的点位于
（8）已知半径为1的动圆P经过坐标原点，则圆心P到直线mx+ y−2=0(m∈R)的距离
能 （A）第一象限 （B）第二象限
的最大值为
答 （C）第三象限 （D）第四象限
（A）1 （B）2 （C）3 （D）4
题 （3）已知数列{a }满足2a =a ，a =2，则数列{a }的前四项和S 的值为
n n+1 n 1 n 4
（9）某教学软件在刚发布时有100名教师用户，发布5天后有1 000名教师用户.如果教师
15 15 15 15
（A） （B）− （C） （D）−
用户人数R(t)与天数t之间满足关系式：R(t)=R ekt，其中k为常数，R 是刚发布
16 16 4 4 0 0
1−4x 时的教师用户人数，则教师用户超过20000名至少经过的天数为
（4）已知函数 f(x)= ，则 f(x)
2x
（A）9 （B）10 （C）11 （D）12
（A）图象关于原点对称，且在[0，+∞)上是增函数
（参考数据：lg2≈0.3010）
（B）图象关于原点对称，且在[0，+∞)上是减函数 ���� ����
（10）在△ABC中,BC =4,AB=3AC,则BC⋅BA的取值范围为
（C）图象关于y轴对称，且在[0，+∞)上是增函数
（A）[−3,12] （B）（−3,12）
（D）图象关于y轴对称，且在[0，+∞)上是减函数
（C）[12,24] （D）（12,24）
高三数学第1页（共6页） 高三数学第2页（共6页）_________________名姓
________________级班
________________校学
房山区 2022-2023 学年度第一学期诊断性评价 （5）若角α 、β 是锐角三角形的两个内角，则下列各式中一定成立的是
（A）cosα>cosβ （B）sinαsinβ （D）cosα0)上一点M 到抛物线的准线和对称轴的距离分别为5和3，
线
（A）{−1，0，1} （B）{0，1}
则 p的值为
内
（C）{−2，0，1} （D）{−2，0，1，2}
（A）1 （B）2 （C）1或9 （D）2或9
不 （2）若复数z满足z(1+i)=2i，则在复平面内z对应的点位于
（8）已知半径为1的动圆P经过坐标原点，则圆心P到直线mx+ y−2=0(m∈R)的距离
能 （A）第一象限 （B）第二象限
的最大值为
答 （C）第三象限 （D）第四象限
（A）1 （B）2 （C）3 （D）4
题 （3）已知数列{a }满足2a =a ，a =2，则数列{a }的前四项和S 的值为
n n+1 n 1 n 4
（9）某教学软件在刚发布时有100名教师用户，发布5天后有1 000名教师用户.如果教师
15 15 15 15
（A） （B）− （C） （D）−
用户人数R(t)与天数t之间满足关系式：R(t)=R ekt，其中k为常数，R 是刚发布
16 16 4 4 0 0
1−4x 时的教师用户人数，则教师用户超过20000名至少经过的天数为
（4）已知函数 f(x)= ，则 f(x)
2x
（A）9 （B）10 （C）11 （D）12
（A）图象关于原点对称，且在[0，+∞)上是增函数
（参考数据：lg2≈0.3010）
（B）图象关于原点对称，且在[0，+∞)上是减函数 ���� ����
（10）在△ABC中,BC =4,AB=3AC,则BC⋅BA的取值范围为
（C）图象关于y轴对称，且在[0，+∞)上是增函数
（A）[−3,12] （B）（−3,12）
（D）图象关于y轴对称，且在[0，+∞)上是减函数
（C）[12,24] （D）（12,24）
高三数学第1页（共6页） 高三数学第2页（共6页）第二部分（非选择题 共110分） 三、解答题共6小题，共85分。 解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
（16）（本小题14分）
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。
1
1 在△ABC中，D是边AC 上一点，CD =1，BD =2，AB =3，cos∠BDC = .
（11）函数 f(x)= +lgx的定义域是____． 8
x−1
（Ⅰ）求AD的长；
1
（12）（ −x3）4的展开式中常数项是____．（用数字作答）
x （Ⅱ）求△ABC的面积.
x2
（13）若双曲线 −y2 =1的离心率为2，则该双曲线的渐近线方程为____．
m
|x|， x≤m，
（14）若函数 f(x)= 存在最小值，则m的一个取值为___；
x2 −2mx+4m，x>m 密
m的最大值为____． 封
（15）函数 f(t)=0.03sin(1000πt)+0.02(sin2000πt)+0.01sin(3000πt) （17）（本小题14分）
线
如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，PA⊥平面ABCD，
的图象可以近似表示某音叉的声音图象. 给出下列四个结论：
内
1
Q为棱PD的中点.
① 是函数 f(t)的一个周期； 不
500
（Ⅰ）求证：PB//平面ACQ；
1 能
② f(t)的图象关于直线t = 对称； （Ⅱ）再从条件①、条件②、条件③中选择一个作为已知，
500
答
求：直线PC与平面ACQ所成角的正弦值，
1
③ f(t)的图象关于点( ，0)对称；
500
以及点P到平面ACQ的距离. 题
1 1
条件①：AQ⊥PC；
④ f ( t ) 在 − , 上单调递增.
6000 6000 条件②：AQ⊥平面PCD；
其中所有正确结论的序号是____． 6
条件③：CQ= .
2
（把此图用黑签字笔画在答题卡上）
高三数学第3页（共6页） 高三数学第4页（共6页）第二部分（非选择题 共110分） 三、解答题共6小题，共85分。 解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
（16）（本小题14分）
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。
1
1 在△ABC中，D是边AC 上一点，CD =1，BD =2，AB =3，cos∠BDC = .
（11）函数 f(x)= +lgx的定义域是____． 8
x−1
（Ⅰ）求AD的长；
1
（12）（ −x3）4的展开式中常数项是____．（用数字作答）
x （Ⅱ）求△ABC的面积.
x2
（13）若双曲线 −y2 =1的离心率为2，则该双曲线的渐近线方程为____．
m
|x|， x≤m，
（14）若函数 f(x)= 存在最小值，则m的一个取值为___；
x2 −2mx+4m，x>m 密
m的最大值为____． 封
（15）函数 f(t)=0.03sin(1000πt)+0.02(sin2000πt)+0.01sin(3000πt) （17）（本小题14分）
线
如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，PA⊥平面ABCD，
的图象可以近似表示某音叉的声音图象. 给出下列四个结论：
内
1
Q为棱PD的中点.
① 是函数 f(t)的一个周期； 不
500
（Ⅰ）求证：PB//平面ACQ；
1 能
② f(t)的图象关于直线t = 对称； （Ⅱ）再从条件①、条件②、条件③中选择一个作为已知，
500
答
求：直线PC与平面ACQ所成角的正弦值，
1
③ f(t)的图象关于点( ，0)对称；
500
以及点P到平面ACQ的距离. 题
1 1
条件①：AQ⊥PC；
④ f ( t ) 在 − , 上单调递增.
6000 6000 条件②：AQ⊥平面PCD；
其中所有正确结论的序号是____． 6
条件③：CQ= .
2
（把此图用黑签字笔画在答题卡上）
高三数学第3页（共6页） 高三数学第4页（共6页）_________________名姓
________________级班
________________校学
（18）（本小题14分） （20）（本小题14分）
为弘扬中华优秀传统文化，营造良好的文化氛围，增强文化自觉和文化自信，某区 x2 y2
已知椭圆C: + =1(a>b>0)经过点P(2，3)，且点P到两个焦点的距离之和为8.
a2 b2
组织开展了中华优秀传统文化知识竞答活动，该活动有单人赛和PK赛，每人只能参加其
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
中的一项. 据统计，中小学生参与该项知识竞答活动的人数共计4.8万，其中获奖学生情
（Ⅱ）直线l: y =kx+m与椭圆C分别相交于A，B两点，直线PA，PB分别与y轴交
况统计如下：
于点M，N . 试问是否存在直线l，使得线段MN 的垂直平分线经过点P，如果存
奖项 单人赛 PK赛
组别 一等奖 二等奖 三等奖 获奖 在，写出一条满足条件的直线l的方程，并证明；如果不存在，请说明理由.
中学组 40 40 120 100
小学组 32 58 210 100
密
（Ⅰ）从获奖学生中随机抽取1人，若已知抽到的学生获得一等奖，求抽到的学生来自中
封
学组的概率；
（21）（本小题14分）
线 （Ⅱ）从中学组和小学组获奖者中各随机抽取1人，以X 表示这2人中PK赛获奖的人数，
若对∀m，n∈N ，当m−n∈ A时，都有a −a ∈A，则称数列{a }受集合A制约.
+ m n n
内 求X 的分布列和数学期望；
（Ⅰ）若a =2n，判断{a }是否受N 制约，{a }是否受区间[0，1]制约；
（Ⅲ）从获奖学生中随机抽取3人，设这 3 人中来自中学组的人数为ξ，来自小学 n n + n
不
（Ⅱ）若a =1，a =3，{a }受集合{2}制约，求数列{a }的通项公式；
组的人数为η，试判断 D(ξ)与 D(η)的大小关系.（结论不要求证明） 1 2 n n
能
（Ⅲ）若记p：“{a }受区间[1，2]制约”, q：“{a }受集合{2}制约”,
n n
答
判断 p是否是q的充分条件，p是否是q的必要条件，并证明你的结论.
题
（19）（本小题15分）
已知函数 f(x)=a(x−1)2 +ex(x−2) (a∈R)．
（Ⅰ）当a =0时，求曲线y= f(x)在点x =1处的切线方程；
（Ⅱ）求函数 f(x)的单调区间；
（Ⅲ）若函数 f(x)恰有一个零点，则a的取值范围为 .（只需写出结论）
高三数学第5页（共6页） 高三数学第6页（共6页）_________________名姓
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（18）（本小题14分） （20）（本小题14分）
为弘扬中华优秀传统文化，营造良好的文化氛围，增强文化自觉和文化自信，某区 x2 y2
已知椭圆C: + =1(a>b>0)经过点P(2，3)，且点P到两个焦点的距离之和为8.
a2 b2
组织开展了中华优秀传统文化知识竞答活动，该活动有单人赛和PK赛，每人只能参加其
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
中的一项. 据统计，中小学生参与该项知识竞答活动的人数共计4.8万，其中获奖学生情
（Ⅱ）直线l: y =kx+m与椭圆C分别相交于A，B两点，直线PA，PB分别与y轴交
况统计如下：
于点M，N . 试问是否存在直线l，使得线段MN 的垂直平分线经过点P，如果存
奖项 单人赛 PK赛
组别 一等奖 二等奖 三等奖 获奖 在，写出一条满足条件的直线l的方程，并证明；如果不存在，请说明理由.
中学组 40 40 120 100
小学组 32 58 210 100
密
（Ⅰ）从获奖学生中随机抽取1人，若已知抽到的学生获得一等奖，求抽到的学生来自中
封
学组的概率；
（21）（本小题14分）
线 （Ⅱ）从中学组和小学组获奖者中各随机抽取1人，以X 表示这2人中PK赛获奖的人数，
若对∀m，n∈N ，当m−n∈ A时，都有a −a ∈A，则称数列{a }受集合A制约.
+ m n n
内 求X 的分布列和数学期望；
（Ⅰ）若a =2n，判断{a }是否受N 制约，{a }是否受区间[0，1]制约；
（Ⅲ）从获奖学生中随机抽取3人，设这 3 人中来自中学组的人数为ξ，来自小学 n n + n
不
（Ⅱ）若a =1，a =3，{a }受集合{2}制约，求数列{a }的通项公式；
组的人数为η，试判断 D(ξ)与 D(η)的大小关系.（结论不要求证明） 1 2 n n
能
（Ⅲ）若记p：“{a }受区间[1，2]制约”, q：“{a }受集合{2}制约”,
n n
答
判断p是否是q的充分条件，p是否是q的必要条件，并证明你的结论.
题
（19）（本小题15分）
已知函数 f(x)=a(x−1)2 +ex(x−2) (a∈R)．
（Ⅰ）当a =0时，求曲线y= f(x)在点x =1处的切线方程；
（Ⅱ）求函数 f(x)的单调区间；
（Ⅲ）若函数 f(x)恰有一个零点，则a的取值范围为 .（只需写出结论）
高三数学第5页（共6页） 高三数学第6页（共6页）
