文档内容
东城区2022—2023学年度第一学期期末统一检测
高 三 数 学
2023.1
本试卷共5页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，
将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分
（选择题 共40分）
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）已知集合 ， ，则
（A） （B）
（C） （D）
（2）在下列函数中，为偶函数的是
（A） （B）
（C） （D）
（3）在 的展开式中，若第3项的系数为10，则
（A） （B）
（C） （D）
（4）在等比数列 中， ， ，则
（A） （B）
（C） （D）
（5）北京中轴线是世界城市建设历史上最杰出的城市设计范例之一. 其
中钟鼓楼、万宁桥、景山、故宫、端门、天安门、外金水桥、天安
门
广场及建筑群、正阳门、中轴线南段道路遗存、永定门，依次是自
北向南位列轴线中央相邻的11个重要建筑及遗存.某同学欲从这11个
重要建筑及遗存中随机选取相邻的3个游览，则选取的3个中一定有
故宫的概率为
A） （B）
（
（C） （D）
（6）在平面直角坐标系 中，角 以 为始边，终边位于第一象限，且与单位圆 交于点 ， 轴，
垂足为 ．若 的面积为 ，则
（A） （B）
(C) （D）
（7）已知双曲线 的左、右焦点分别为 ，其渐近线方程为 ， 是 上
一点，且 .若△ 的面积为 ，则 的焦距为
（A） （B） （C） （D）
（8）在△ 中，“对于任意 ， ”是“△ 为直角三角形”的
（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件
C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件
（
（9）在平面直角坐标系 中，若点 在直线 上，则当 变化时，直线 的斜率
的取值范围是
（A） （B）（C） （D）
（10）如图，在正方体 中， 是棱 上的动点，下列说法中正确的是
①存在点 ，使得 ；
②存在点 ，使得 ；
③对于任意点 ， 到 的距离为定值；
④对于任意点 ，△ 都不是锐角三角形.
（A）① ③ （B）② ③ （C）② ④ （D）① ④
第二部分
（非选择题 共110分）
二、填空题 共5小题，每小题5分，共25分．
（11）若复数 满足 ，则
（12）已知函数 ，则 ；若将 的图象向左平行移动 个单位长度后
得到 的图象，则 的一个对称中心为 .
（13）经过抛物线 焦点 的直线与抛物线交于不同的两点 ，经过点 和抛物线顶点的直线
交抛物线的准线于点 ，则点 的纵坐标 与点 的纵坐标 的大小关系为 .(用“ ”
“ ”“ ”填写）
（14）设函数 当 时， 的值域为__________；若 的最小值为1，则 的
取值范围是___________.
（15）对于数列 ，令 ，给出下列四个结论：①若 ，则 ；
②若 ，则 ；
③存在各项均为整数的数列 ，使得 对任意的 都成立；
④若对任意的 ，都有 ，则有 .
其中所有正确结论的序号是 .
三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
（16）（本小题13分）
如图，在锐角△ 中， ， 点 在 边的延长线上，且CD＝10.
（Ⅰ）求 ；
（Ⅱ）求△ 的周长．
（17）（本小题15分）
如图，在四棱锥 中，底面 是边长为2的正方形， ， ， 为 的中点，
P
为 上一点， 平面 .
（I）求证： 为 的中点；
F
（II）再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求直线
A D
与平面 所成角的正弦值.
B E C
条件①： ；
条件②： .
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．（18）（本小题13分）
“双减”政策执行以来，中学生有更多的时间参加志愿服务和体育锻炼等课后活动.某校为了解学生课后活动
的情况，从全校学生中随机选取100人，统计了他们一周参加课后活动的时间（单位：小时），分别位于区间[7,
9)，[9, 11)，[11, 13)，[13, 15)，[15, 17)，[17, 19]，用频率分布直方图表示如下：
假设用频率估计概率，且每 个学生参加课后活动的时间相互独
立.
（Ⅰ）估计全校学生一周参加课后活动的时间位于区间[13, 17)的概率；
（Ⅱ）从全校学生中随机选取3人，记ξ表示这3人一周参加课后活动的时间在区间[15, 17)的人数，求ξ的分布列
和数学期望 ；
（Ⅲ）设全校学生一周参加课后活动的时间的众数，中位数，平均数的估计值分别为a，b，c，请直接写出这三个
数的大小关系.(样本中同组数据用区间的中点值替代）
（19）（本小题14分）
已知椭圆 的离心率为 ，长轴长与短轴长的和为 ， 分别为椭圆 的
，
左、右焦点.
（Ⅰ） 求椭圆 的方程；
（Ⅱ） 设 为椭圆 上一点， .若 ， ， 成等差数列，求实数 的取值范围.
（20）（本小题15分）
已知函数 .
（Ⅰ）求曲线 在点 处的切线方程；
（Ⅱ）求 的极值；
（Ⅲ）证明：当 时，曲线 与曲线 至多存在一个交点.（21）（本小题15分）
已知数列 ，满足： ，从 中选取第 项、第 项、…、第
项（ ），称数列 为 的长度为m的子列．记 为 所有子列的个数.例如
，其 .
（Ⅰ）设数列 ，写出A的长度为3的全部子列，并求 ；
（ Ⅱ ） 设 数 列 ， ， ， 判 断
的大小，并说明理由；
（Ⅲ）对于给定的正整数 ，若数列 满足： ，求 的最
小值.
