文档内容
丰台区 2022～2023 学年度第一学期期末练习
高 三 数 学
2023.01
1.答题前,考生务必先将答题卡上的学校、班级、姓名、准考证号用黑色字迹签字笔填
写清楚，并认真核对条形码上的准考证号、姓名,在答题卡的“条形码粘贴区”贴好
考 条形码。
生 2.本次练习所有答题均在答题卡上完成。选择题必须使用2B铅笔以正确填涂方式将各
须 小题对应选项涂黑,如需改动,用橡皮擦除干净后再选涂其它选项。非选择题必须使
知 用标准黑色字迹签字笔书写,要求字体工整、字迹清楚。
3.请严格按照答题卡上题号在相应答题区内作答,超出答题区域书写的答案无效，在练
习卷、草稿纸上答题无效。
4.本练习卷满分共150分,作答时长120分钟。
第一部分 （选择题 40 分）
一、选择题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目
要求的一项。
1．已知全集U =R，集合A={x|−1x0}，则 A=
U
（A）(−,−1) (0,+) （B）(−,−1] (0,+)
（C）(−,−1) [0,+) （D）(−,−1] [0,+)
2．已知复数z=i(1+i)，则在复平面内，复数z对应的点位于
（A）第一象限 （B）第二象限 （C）第三象限 （D）第四象限
2
3．在(x− )4的展开式中，常数项为
x
（A）-24 （B）24 （C）-48 （D）48
4．已知向量a=(2,)，b=(,1)，则“= 2”是“a//b”的
（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件
（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件
5．下列函数是偶函数，且在区间(0,1)上单调递增的是
（A）y=1−x2 （B）y=tanx （C）y=xcosx （D）y=ex+e−x
6． 已知抛物线C:y2 =2px (p0)过点 A(1, 2)，焦点为 F.若点B(m,0)满足 AF = BF ,
则m的值为
（A）2 （B） 2+1 （C）2或−1 （D） 2+1或1− 2
高三数学 第1页（共6页）7．已知函数 f(x)=3log x−2(x−1)，则不等式 f(x)0的解集是
2
（A）(1,4) （B）(−,1) (4,+)
（C）(0,1) (4,+) （D）(0,4)
x2 y2
8．设双曲线C: − =1(a0,b0)的右焦点为F，过点F的直线l平行于双曲线C的一
a2 b2
条渐近线，与另一条渐近线交于点P，与双曲线C交于点Q，若Q为线段FP的中点，则
双曲线C的离心率为
1 2 4 5
（A） （B） （C） 2 （D）
2 2 5
9．如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是边长为3的
正方形，PD⊥平面ABCD，点M为底面上的动点，M到
PD的距离记为d，若MC=2d ，则点M在底面正方形内
的轨迹的长度为
2π
（A）2 （B）
3
3π
（C） 5 （D）
4
10．市场占有率指在一定时期内，企业所生产的产品在其市场的销售量（或销售额）占同类
产品销售量（或销售额）的比重. 一般来说，市场占有率会随着市场的顾客流动而发生变
化，如果市场的顾客流动趋向长期稳定，那么经过一段时期以后的市场占有率将会出现
稳定的平衡状态（即顾客的流动，不会影响市场占有率），此时的市场占有率称为“稳定
市场占有率”. 有A，B，C 三个企业都生产某产品，2022年第一季度它们的市场占有率
分别为：40%，30%，30%.经调查，2022年第二季度 A，B，C三个企业之间的市场占有
率转移情况如下图所示：
若该产品以后每个季度的市场占有率转移情况均与2022年第二季度相同，则当市场
出现稳定的平衡状态，最终达到“稳定市场占有率”时，A企业该产品的“稳定市场占有
率”为
（A）45% （B）48% （C）50% （D）52%
第二部分 （非选择题 110 分）
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。
1
11. 函数 f(x)= + x+1的定义域是_________.
2x −1
12. 在等差数列{a }中，公差d 不为0，a =9，且a ，a ，a 成等比数列，则d =_________；
n 1 1 4 5
高三数学 第2页（共6页）当n=_________时，数列{a }的前n项和S 有最大值.
n n
13. 已知集合 A=(x,y)|x−y−m=0,x,yR，B= (x,y)|x2 + y2 −2x+2y=0,x,yR ，
若A B为2个元素组成的集合，则实数m的取值范围是_________.
π π π π π
14. 已知函数 f(x)=sin(x+ )(0)，若 f( )= f( )，且 f(x)在区间( , )上有最小值
6 6 2 6 2
无最大值，则=_________．
15. 已知函数 f(x)=alnx−(x−1)2(aR)存在两个极值点x,x (x x )，给出下列四个结论：
1 2 1 2
1
①函数 f(x)有零点； ②a的取值范围是(− ,+)；
2
③x 1； ④ f(x )0.
2 2
其中所有正确结论的序号是_________.
三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
16.（本小题13分）
如图，已知正方体ABCD−ABCD 中，点E是棱BC的中点.
1 1 1 1
（Ⅰ）求证：BD//平面DC E ；
1 1
（Ⅱ）若点F是线段BD 的中点，求直线DF与平面DC E 所
1 1
成角的正弦值.
高三数学 第3页（共6页）17.（本小题14分）
在△ABC中，2asinB= 2b．
（Ⅰ）求A；
（Ⅱ）若b=2 2，从下列三个条件中选出一个条件作为已知，使得△ABC存在且唯一确定，
求△ABC的面积．
10
条件①：cosC =− ；
10
条件②：a=2；
5
条件③：sinB= .
5
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
18. （本小题14分）
非物质文化遗产（简称“非遗”）是优秀传统文化的重要组成部分，是一个国家和民族历
史文化成就的重要标志.随着短视频这一新兴媒介形态的兴起，非遗传播获得广阔的平台，非
遗文化迎来了发展的春天.为研究非遗短视频受众的年龄结构，现从各短视频平台随机调查了
1000 名非遗短视频粉丝，记录他们的年龄，将数据分成 6 组：[10,20)， [20,30) ，[30,40)，
[40,50)，[50,60)，[60,70]，并整理得到如下频率分布直方图：
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）从所有非遗短视频粉丝中随机抽取2人，记取出的2人中年龄不超过40岁的人数为X，
用频率估计概率，求X的分布列及数学期望E(X)；
（Ⅲ）在频率分布直方图中，用每一个小矩形底边中点的横坐标作为该组粉丝年龄的平均数，
估计非遗短视频粉丝年龄的平均数为m，若中位数的估计值为n，写出m与n的大小关
系.（结论不要求证明）
高三数学 第4页（共6页）19. （本小题15分）
x2 y2 2
已知椭圆E: + =1(ab0)过点A(−2,0),离心率为 .
a2 b2 2
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）设点P(2,m)(m0)，直线PA与椭圆E的另一个交点为C，O为坐标原点, B为椭圆E
的右顶点.记直线OP的斜率为k ,直线BC的斜率为k ,求证：k k 为定值.
1 2 1 2
20. （本小题15分）
已知函数 f(x)=lnx+sinx.
（Ⅰ）求曲线y= f(x)在点(1,f(1))处的切线方程；
（Ⅱ）求函数 f(x)在区间[1,e]上的最小值；
（Ⅲ）证明函数 f(x)只有一个零点.
高三数学 第5页（共6页）21. （本小题14分）
设为正实数，若各项均为正数的数列{a }满足：nN*，都有a a +. 则称数
n n+1 n
列{a }为P()数列.
n
（Ⅰ）判断以下两个数列是否为P(2)数列：
数列A：3，5，8，13，21；
数列B：log 5，π，5，10.
2
（Ⅱ）若数列{b }满足b 0且b =b + n+3− n+1 ，是否存在正实数，使得数列
n 1 n+1 n
高三数学 第6页（共6页）
{ b
n
}
是P()数列？若存在，求的取值范围；若不存在，说明理由.
（Ⅲ）若各项均为整数的数列{a }是P(1)数列，且{a }的前m(m2)项和a +a +a ++a
n n 1 2 3 m
为150，求a +m的最小值及取得最小值时a 的所有可能取值.
m m
（考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效）
