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专题 24.2 圆心角、弧、弦的关系【九大题型】
【人教版】
【题型1 圆心角、弧、弦的概念】.......................................................................................................................1
【题型2 利用圆心角、弧、弦的关系求角度】...................................................................................................4
【题型3 利用圆心角、弧、弦的关系求线段长度】............................................................................................6
【题型4 利用圆心角、弧、弦的关系求周长】...................................................................................................9
【题型5 利用圆心角、弧、弦的关系求面积】.................................................................................................12
【题型6 利用圆心角、弧、弦的关系求弧的度数】..........................................................................................16
【题型7 利用圆心角、弧、弦的关系比较大小】..............................................................................................19
【题型8 圆心角、弧、弦中的证明问题】.........................................................................................................22
【题型9 圆心角、弧、弦中的的倍数关系】.....................................................................................................25
【知识点1 弧、弦、角、距的概念】
（1）定理：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．
（2）推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其
余各组量都分别相等．
说明：同一条弦对应两条弧，其中一条是优弧，一条是劣弧，而在本定理和推论中的“弧”是指同为优弧
或劣弧．
（3）正确理解和使用圆心角、弧、弦三者的关系
三者关系可理解为：在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推
二”，一项相等，其余二项皆相等．这源于圆的旋转不变性，即：圆绕其圆心旋转任意角度，所得图形与
原图形完全重合．
【题型1 圆心角、弧、弦的概念】
【例1】（2022秋•余姚市期中）下列语句中，正确的有（ ）
①相等的圆心角所对的弧相等；
②等弦对等弧；
③长度相等的两条弧是等弧；④经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据圆心角，弧，弦之间的关系，等弧，轴对称等知识一一判断即可．
【解答】解：①相等的圆心角所对的弧相等，错误，条件是同圆或等圆中．
②等弦对等弧，错误，弦所对的弧有两条，不一定相等．
③长度相等的两条弧是等弧，错误，等弧是完全重合的两条弧．
④经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴．正确．
故选：A．
【变式1-1】（2022秋•长沙县期末）如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠BAC＝∠DAC，则下列正确的是
（ ）
A．AB＝AD B．BC＝CD C．^AB=^AD D．∠BCA＝∠DCA
【分析】根据∠BAC＝∠DAC，得到^BC=C^D，根据圆心角、弧、弦的关系得到BC＝CD．
【解答】解：∵∠BAC＝∠DAC，
∴^BC=C^D，
∴BC＝CD，
故选：B．
【变式1-2】（2022秋•凯里市校级期中）如图，在⊙O中，^AB=C^D，则下列结论中：① AB＝CD；
②AC＝BD；③∠AOC＝∠BOD；④^AC=^BD，正确的是 ①②③④ （填序号）．
【分析】利用同圆或等圆中弧，弦以及所对的圆心角之间的关系逐项分析即可．
【解答】解：在⊙O中，^AB=C^D，
∴AB＝CD，故①正确；
∵BC为公共弧，
∴^AC=^BD故④正确；∴AC＝BD，故②正确；
∴∠AOC＝∠BOD，故③正确．
故答案为：①②③④．
【变式1-3】（2022秋•武汉期末）如图，⊙O中，弦AB⊥CD，垂足为E，F为C^BD的中点，连接AF、
BF、AC，AF交CD于M，过F作FH⊥AC，垂足为G，以下结论：①C^F=^DF；②HC＝BF：③MF＝
FC：④^DF+^AH=^BF+^AF，其中成立的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据弧，弦，圆心角之间的关系，圆周角定理以及三角形内角和定理一一判断即可．
【解答】解：∵F为C^BD的中点，
∴C^F=^DF，故①正确，
∴∠FCM＝∠FAC，
∵∠ACF＝∠ACM+∠MCF，∠AME＝∠FMC＝∠ACM+∠FAC，
∴∠AME＝∠FMC＝∠FCG＞∠FCM，
∴FC＞FM，故③错误，
∵AB⊥CD，FH⊥AC，
∴∠AEM＝∠CGF＝90°，
∴∠CFH+∠FCG＝90°，∠BAF+∠AME＝90°，
∴∠CFH＝∠BAF，
∴C^H=^BF，
∴HC＝BF，故②正确，
∵∠AGF＝90°，
∴∠CAF+∠AFH＝90°，
∴^AH的度数+C^F的度数＝180°，
∴C^H的度数+^AF的度数＝180°，
∴^AH+C^F=^AH+^DF=C^H+^AF=^AF+^BF，故④正确，
故选：C．【题型2 利用圆心角、弧、弦的关系求角度】
【例2】（2022•资中县一模）如图，AB，CD是⊙O的直径，^AE=^BD，若∠AOE＝32°，则∠COE的度
数是（ ）
A．32° B．60° C．68° D．64°
【分析】根据圆心角、弧、弦的关系，由^AE=^BD得到∠BOD＝∠AOE＝32°，然后利用对顶角相等得
∠BOD＝∠AOC＝32°，易得∠COE＝64°．
【解答】解：∵^AE=^BD，
∴∠BOD＝∠AOE＝32°，
∵∠BOD＝∠AOC，
∴∠AOC＝32°
∴∠COE＝32°+32°＝64°．
故选：D．
【变式2-1】（2022•灌阳县一模）如图，在⊙O中，^AB=C^D，∠1＝45°，则∠2＝（ ）
A．60° B．30° C．45° D．40°
【分析】根据在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角相等即可得到结论．
【解答】解：∵^AB=C^D，
∴∠2＝∠1＝45°，故选：C．
【变式2-2】（2022秋•天河区期末）如图，在⊙O中，AC＝BD，若∠AOC＝120°，则∠BOD＝ 120 °
．
【分析】证明^AC=^BD可得结论．
【解答】解：∵AC＝BD，
∴^AC=^BD，
∴∠BOD＝∠AOC＝120°，
故答案为：120°．
【变式2-3】（2022秋•亭湖区期末）如图，AB是⊙O的直径，^BC=C^D=^DE，∠COD＝34°，则∠AEO
的度数是 51 ° ．
【分析】由^BC=C^D=^DE，可求得∠BOC＝∠EOD＝∠COD＝34°，继而可求得∠AOE的度数；然后
再根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理来求∠AEO的度数．
【解答】解：如图，∵^BC=C^D=^DE，∠COD＝34°，
∴∠BOC＝∠EOD＝∠COD＝34°，
∴∠AOE＝180°﹣∠EOD﹣∠COD﹣∠BOC＝78°．
又∵OA＝OE，
∴∠AEO＝∠OAE，
1
∴∠AEO= ×（180°﹣78°）＝51°．
2
故答案为：51°．【题型3 利用圆心角、弧、弦的关系求线段长度】
【例3】（2022春•永嘉县校级期末）如图，半径为R的⊙O的弦AC＝BD．且AC⊥BD于E，连接AB，
AD，若AD＝2❑√2，则半径R的长为（ ）
A．1 B．❑√2 C．2 D．2❑√2
【分析】连接OA，OD，由弦AC＝BD，可得^AC=^BD，继而可得^BC=^AD，然后由圆周角定理，证得
∠ABD＝∠BAC，即可判定AE＝BE，由AE＝BE，AC⊥BD，可求得∠ABD＝45°，继而可得△AOD是
等腰直角三角形，则可求得AD=❑√2R，由此即可解决问题．
【解答】解：连接OA，OD，
∵弦AC＝BD，
∴^AC=^BD，
∴^BC=^AD，
∴∠ABD＝∠BAC，
∴AE＝BE，
∵AC⊥BD，AE＝BE，
∴∠ABE＝∠BAE＝45°，
∴∠AOD＝2∠ABE＝90°，
∵OA＝OD，
∴AD=❑√2R，
∵AD＝2❑√2，
∴R＝2，
故选：C．
【变式3-1】（2022•桂平市二模）如图，在Rt△ACB中∠ACB＝60°，以直角边AB为直径的⊙O交线段AC于点E，点M是弧AE的中点，OM交AC于点D，⊙O的半径是6，则MD的长度为（ ）
❑√3 3
A． B． C．3 D．2❑√3
2 2
【分析】根据三角形内角和定理求出∠A＝30°，根据垂径定理求出OD⊥AE，根据含30°角的直角三角
形的性质求出OD，再求出MD即可．
【解答】解：∵∠ABC＝90°，∠ACB＝60°，
∴∠A＝30°，
∵M为弧AE的中点，OM过圆心O，
∴OM⊥AD，
∴∠ADO＝90°，
1 1
∴OD= OA= ×6=3，
2 2
∴MD＝OM﹣OD＝6﹣3＝3，
故选：C．
【变式3-2】（2022•渝中区校级模拟）如图，AB是⊙O的直径，点D是弧AC的中点，过点D作DE⊥AB
于点E，延长DE交⊙O于点F，若AE＝2，⊙O的直径为10，则AC长为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【分析】根据垂径定理求出DE＝EF，^AD=^AF，求出^ADC=^DAF，求出AC＝DF，求出EF的长，再
求出DF长，即可求出答案．
【解答】解：连接OF，如图：∵DE⊥AB，AB过圆心O，
∴DE＝EF，^AD=^AF，
∵D为弧AC的中点，
∴^AD=^DC，
∴^ADC=^DAF，
∴AC＝DF，
∵⊙O的直径为10，
∴OF＝OA＝5，
∵AE＝2，
∴OE＝OA﹣AE＝5﹣2＝3，
在Rt△OEF中，由勾股定理得：EF=❑√OF2-OE2=❑√52-33=4，
∴DE＝EF＝4，
∴AC＝DF＝DE+EF＝4+4＝8，
故选：D．
1
【变式3-3】（2022秋•曾都区期中）如图，在⊙O中，AC= AB，直径BC＝2❑√5，^BD=C^D，则AD＝
2
3❑√2 ．
【分析】如图，连接DB，DC，过点D作DE⊥AB于点E，DF⊥AC交AC的延长线于点F．证明四边形
DEAF是正方形，可得AD=❑√2AF，想办法求出AF，可得结论．
【解答】解：如图，连接DB，DC，过点D作DE⊥AB于点E，DF⊥AC交AC的延长线于点F．∵BC是直径，
∴∠BAC＝90°，
∵BC＝2❑√5，AB＝2AC，
∴AC＝2，AB＝4，
∵∠DEA＝∠EAF＝∠DFA＝90°，
∴四边形DEAF是矩形，
∵AD平分∠BAC，
∴DE＝DF，
∴四边形DEAF是正方形，
∴AD=❑√2AF，
∵∠DAB＝∠DAC，
∴^BD=C^D，
∴BD＝CD，
∵∠DEB＝∠F＝90°，DB＝DC，DE＝DF，
∴Rt△DEB≌Rt△DFC（HL），
∴BE＝CF，
∴AB+AC＝AE+BE＝AF﹣CF＝2AF＝6，
∴AF＝3，
∴AD=❑√2AF＝3❑√2，
故答案为：3❑√2．
【题型4 利用圆心角、弧、弦的关系求周长】
【例4】（2022秋•龙口市期末）如图，已知⊙O的半径等于1cm，AB是直径，C，D是⊙O上的两点，且
^AD=^DC=C^B，则四边形ABCD的周长等于（ ）A．4cm B．5cm C．6cm D．7cm
【分析】如图，连接OD、OC．根据圆心角、弧、弦间的关系证得△AOD、△OCD、△COB是等边三
角形，然后由等边三角形的性质求得线段AD、DC、CB与已知线段OA间的数量关系．
【解答】解：如图，连接OD、OC．
∵^AD=^DC=C^B（已知），
∴∠AOD＝∠DOC＝∠COB（在同圆中，等弧所对的圆心角相等）；
∵AB是直径，
∴∠AOD+∠DOC+∠COB＝180°，
∴∠AOD＝∠DOC＝∠COB＝60°；
∵OA＝OD（⊙O的半径），
∴△AOD是等边三角形，
∴AD＝OD＝OA；
同理，得
OC＝OD＝CD，OC＝OB＝BC，
∴AD＝CD＝BC＝OA，
∴四边形ABCD的周长为：AD+CD+BC+AB＝5OA＝5×1cm＝5cm；
故选：B．
【变式4-1】（2022秋•海口期末）如图，A、B是半径为3的⊙O上的两点，若∠AOB＝120°，C是^AB的
中点，则四边形AOBC的周长等于 1 2 ．
【分析】通过等弧所对的圆心角相等和∠AOB＝120°，得到△AOC和△BOC都是等边三角形，再求出四边形AOBC的周长．
【解答】解：∵C是^AB的中点
∴∠AOC＝∠BOC，而∠AOB＝120°
∴∠AOC＝∠BOC＝60°
∴△AOC和△BOC都是等边三角形
∴OA＝OB＝CA＝CB＝3
所以四边形AOBC的周长等于12．
故填12．
【变式4-2】（2022秋•西林县期末）如图，在⊙O中，∠AOB＝60°，弦AB＝3cm，那么△AOB的周长为
9 cm ．
【分析】由OA＝OB，得△OAB为等边三角形进行解答．
【解答】解：∵OA＝OB，∠AOB＝60°，
∴△OAB为等边三角形，
∴OA＝OB＝AB
∵AB＝3cm，
∴△AOB的周长为3+3+3＝9（cm）．
故答案为：9cm．
【变式4-3】（2022•江北区校级开学）如图，⊙O的弦AC＝BD，且AC⊥BD于E，连接AD，若AD＝3
❑√6，则⊙O的周长为 6❑√3 π ．
【分析】接 AB，AO，DO，根据⊙O的弦 AC＝BD求出^BC=^AD，根据圆周角定理求出∠BAC＝1
∠ABD，求出∠ABD＝∠BAC= （180°﹣∠AEB）＝45°，根据圆周角定理求出∠AOD＝2∠ABD＝
2
90°，解直角三角形求出AO，再求出答案即可．
【解答】解：连接AB，AO，DO，
∵⊙O的弦AC＝BD，
∴^ABC=^BAD，
∴^BC=^AD，
∴∠BAC＝∠ABD，
∵AC⊥BD，
∴∠AEB＝90°，
1
∴∠ABD＝∠BAC= （180°﹣∠AEB）＝45°，
2
∴∠AOD＝2∠ABD＝90°，
即△AOD是等腰直角三角形，
∵AD＝3❑√6，AO2+OD2＝AD2，
∴AO＝3❑√3，
∴⊙O的周长是2×π×3❑√3=6❑√3π，
故答案为6❑√3π．
【题型5 利用圆心角、弧、弦的关系求面积】
【例5】（2022•海丰县模拟）如图，A，B是⊙O上的点，∠AOB＝120°，C是^AB的中点，若⊙O的半径
为5，则四边形ACBO的面积为（ ）
25❑√3 25❑√3
A．25 B．25❑√3 C． D．
4 2【分析】根据在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角相等得到∠AOC＝∠BOC＝60°，易得△OAC和
△OBC都是等边三角形，即可解决问题．
【解答】解：连OC，如图，
∵C是^AB的中点，∠AOB＝120°，
∴∠AOC＝∠BOC＝60°，
又∵OA＝OC＝OB，
∴△OAC和△OBC都是等边三角形，
1 ❑√3 25
∴S ＝2× ×52× = ❑√3．
四边形AOBC
2 2 2
故选：D．
【变式5-1】（2022•嘉兴二模）如图所示，在10×10的正方形网格中有一半径为5的圆，一条折线将它分
25π
成甲、乙两部分．S 表示甲的面积，则S ＝ ．
甲 甲 2
【分析】由题意得到AB＝CD＝6，AD＝BC＝8，求得S ＝S ，S ＝S ，根据三角形的
弓形AD 弓形BC 弓形AB 弓形CD
面积公式得到S +S ＝S +S ，于是得到结论．
△ABE △DEF △BEF △CDF
【解答】解：如图，AB＝CD＝6，AD＝BC＝8，
∴S ＝S ，S ＝S ，
弓形AD 弓形BC 弓形AB 弓形CD
∵S +S ＝S +S ，
△ABE △DEF △BEF △CDF
1 25π
∴S ＝S = S = ，
甲 乙 2 圆 225π
故答案为： ．
2
【变式5-2】（2022秋•朝阳区校级期末）如图，在⊙O中，^AC=C^B，CD⊥OA于点D，CE⊥OB于点
E．
（1）求证：CD＝CE；
（2）若∠AOB＝120°，OA＝2，求四边形DOEC的面积．
【分析】（1）连接OC，根据圆心角、弧、弦的关系定理得到∠AOC＝∠BOC，根据角平分线的性质定
理证明结论；
（2）根据直角三角形的性质求出OD，根据勾股定理求出CD，根据三角形的面积公式计算，得到答案．
【解答】（1）证明：连接OC，
∵^AC=^BC，
∴∠AOC＝∠BOC，又CD⊥OA，CE⊥OB，
∴CD＝CE；
（2）解：∵∠AOB＝120°，
∴∠AOC＝∠BOC＝60°，
∵∠CDO＝90°，
∴∠OCD＝30°，
1
∴OD= OC＝1，
2∴CD=❑√OC2-OD2=❑√22-12=❑√3，
1 ❑√3
∴△OCD的面积= ×OD×CD= ，
2 2
1 ❑√3
同理可得，△OCE的面积= ×OE×CE= ，
2 2
❑√3 ❑√3
∴四边形DOEC的面积= + =❑√3．
2 2
【变式5-3】（2022•浙江自主招生）如图，在半径为1的⊙O上任取一点A，连续以1为半径在⊙O上截
取AB＝BC＝CD，分别以A、D为圆心A到C的距离为半径画弧，两弧交于E，以A为圆心O到E的距
离为半径画弧，交⊙O于F．则△ACF面积是（ ）
❑√3+2❑√2 ❑√3+3
A．❑√2 B．❑√3 C． D．
4 4
【分析】连OA，OB，AD，DF，过A作AG⊥CF于G点，由AB＝OA＝OB＝1，得到∠AOB＝60°，弧
AB的度数＝60°，而AB＝BC＝CD，得弧ABD的度数＝3×60°＝180°，所以AD为⊙O的直径，∠CFA＝
60°；再由AN＝AF＝OE，则AD平分NF，EF过O点，弧FD＝弧FA，得到△FAD为等腰直角三角形，
❑√2 1 ❑√2 ❑√6
可得FA= AD=❑√2，在Rt△AGF中，GF= AF= ，AG=❑√3GF= ，在Rt△AGC中，CG＝AG
2 2 2 2
❑√6
= ，最后利用三角形的面积公式即可求出△ACF面积．
2
【解答】解：连OA，OB，AD，DF，过A作AG⊥CF于G点，连OE交⊙O于N，连AN，如图，
∵AB＝OA＝OB＝1，∴△OAB为等边三角形，
∴∠AOB＝60°，
∴弧AB的度数＝60°，
又∵AB＝BC＝CD，
∴弧AB＝弧BC＝弧CD，
∴弧ABD的度数＝3×60°＝180°，
∴AD为⊙O的直径，∠CFA＝60°，
∵AN＝AF＝OE=❑√2，∴AD平分NF，∴EF过O点，
∴弧FD＝弧FA，
∴△FAD为等腰直角三角形，
❑√2
∴∠FCA＝∠FDA＝45°，FA= AD=❑√2，
2
1 ❑√2 ❑√6
在Rt△AGF中，GF= AF= ，AG=❑√3GF= ，
2 2 2
❑√6
在Rt△AGC中，CG＝AG= ，
2
1 1 ❑√2 ❑√6 ❑√6 ❑√3+3
∴S = CF•AG= ×（ + ）× = ．
△ACF 2 2 2 2 2 4
故选：D．
【题型6 利用圆心角、弧、弦的关系求弧的度数】
【例6】（2022•下城区校级四模）如图，等腰△ABC的顶角∠CAB为50°，以腰AB为直径作半圆，交BC
于点D，交AC于点E，则^DE的度数为（ ）A．50° B．25° C．80° D．65°
【分析】连接AD，取AB的中点O，连接OE，OD．利用等腰三角形的性质以及圆周角定理求出∠DOE
＝50°，可得结论．
【解答】解：连接AD，取AB的中点O，连接OE，OD．
∵AB是直径，
∴∠ADB＝90°，
∴AD⊥CB，
∵AB＝AC，
1
∴∠BAD＝∠DAC= ∠BAC＝25°，
2
∴∠DOE＝2∠DAC＝50°，
∴^DE的度数为50°，
故选：A．
【变式6-1】（2022秋•亭湖区校级月考）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝28°，以点C为圆心，
BC为半径的圆分别交AB、AC于点D、点E，则弧BD的度数为（ ）
A．28° B．64° C．56° D．124°
【分析】先利用互余计算出∠B＝64°，再利用半径相等和等腰三角形的性质得到∠CDB＝∠B＝64°，则
根据三角形内角和定理可计算出∠BCD，然后根据圆心角的度数等于它所对弧的度数求解．
【解答】解：∵∠C＝90°，∠A＝28°，
∴∠B＝62°，
∵CB＝CD，
∴∠CDB＝∠B＝62°，∴∠BCD＝180°﹣62°﹣62°＝56°，
∴^BD的度数为56°．
故选：C．
【变式6-2】（2022•新昌县模拟）如图在给定的圆上依次取点A，B，C，D，连接AB，CD，AC＝BD，设
AC，BD相交于点E，弧AD＝100°，AB＝ED，则弧AB的度数为 50 ° ．
【分析】连接BC，如图，由弧AD＝100°得到∠ACD＝50°，再证明^AB=C^D得到AB＝CD，∠ACB＝
∠DBC，则CD＝ED，所以∠DEC＝∠DCE＝50°，然后计算出∠ECB的度数，从而得到弧AB的度数．
【解答】解：连接BC，如图，
∵弧AD＝100°，
∴∠ACD＝50°，
∵AC＝BD，
∴^AC=^BD，
即^AB+^AD=^AD+C^D，
∴^AB=C^D，
∴AB＝CD，∠ACB＝∠DBC，
∵AB＝ED，
∴CD＝ED，
∴∠DEC＝∠DCE＝50°，
∵∠DEC＝∠EBC+∠ECB＝2∠ECB，
1
∴∠ECB= ∠DEC＝25°，
2
∴弧AB的度数为50°．
故答案为：50°．
【变式6-3】（2022•浙江）把一张圆形纸片按如图所示方式折叠两次后展开，图中的虚线表示折痕，则^BC的度数是（ ）
A．120° B．135° C．150° D．165°
【分析】直接利用翻折变换的性质得出∠BOD＝30°，再利用弧度与圆心角的关系得出答案．
【解答】解：如图所示：连接BO，过点O作OE⊥AB于点E，
1
由题意可得：EO= BO，AB∥DC，
2
可得∠EBO＝30°，
故∠BOD＝30°，
则∠BOC＝150°，
故^BC的度数是150°．
故选：C．
【题型7 利用圆心角、弧、弦的关系比较大小】
【例7】（2022秋•顺义区期末）如图，在⊙O中，如果^AB=2^AC，则下列关于弦AB与弦AC之间关系正
确的是（ ）
A．AB＝AC B．AB＝2AC C．AB＞2AC D．AB＜2AC
【分析】取弧 AB 的中点 D，连接 AD，BD，则^AB=2^AD=2^BD，由已知条件^AB=2^AC，得出
^AD=^BD=^AC，根据圆心角、弧、弦关系定理的推论得到AD＝BD＝AC，又在△ABD中，根据三角形
三边关系定理得出AD+BD＞AB，即可得到AB＜2AC．
【解答】解：如图，取弧AB的中点D，连接AD，BD，则^AB=2^AD=2^BD，
∵^AB=2^AC，∴^AD=^BD=^AC，
∴AD＝BD＝AC．
在△ABD中，AD+BD＞AB，
∴AC+AC＞AB，即AB＜2AC．
故选：D．
【变式7-1】（2022秋•西林县期末）如图，AB是⊙O的直径，CD的是⊙O中非直径的任意一条弦，试比
较AB与CD的大小，并说明理由．
【分析】连接OC，OD，再根据三角形的三边关系即可得出结论．
【解答】解：连接OC，OD，
∵AB＝OA+OB＝OC+OD，OC+OD＞CD，
∴AB＞CD．
【变式7-2】（2022秋•余姚市月考）如图，在三个等圆上各有一条劣弧：弧AB、弧CD、弧EF，如果
^AB+C^D=^EF，那么AB+CD与EF的大小关系是（ ）
A．AB+CD＝EF B．AB+CD＜EF
C．AB+CD＞EF D．大小关系不确定【分析】在弧EF上取一点M使弧EM＝弧CD，推出弧FM＝弧AB，根据圆心角、弧、弦的关系得到
AB＝FM，CD＝EM，根据三角形的三边关系定理求出FM+EM＞FE即可．
【解答】解：如图，在弧EF上取一点M使弧EM＝弧CD，
则弧FM＝弧AB，
∴AB＝FM，CD＝EM，
在△MEF中，FM+EM＞EF，
∴AB+CD＞EF．
故选：C．
【变式7-3】（2022天河区一模）如图，AB为半圆的直径，点C、D在半圆上．
（1）若^BC=3^AD，C^D=2^AD，求∠DAB和∠ABC的大小；
（2）若点C、D在半圆上运动，并保持弧CD的长度不变，（点C、D不与点A、B重合）．试比较
∠DAB和∠ABC的大小．
【分析】（1）根据弧和圆心角之间的关系可以得到圆周角的大小；
（2）利用相等的弧所对的圆周角相等可以判断圆周角的大小关系．
【解答】解：（1）∵^BC=3^AD，C^D=2^AD
∴∠BOC＝3∠AOD，∠COD＝2∠AOD
∵∠BOC+∠COD+∠AOD＝180°
∴∠AOD＝30°，∠BOC＝90°，∠COD＝60°
1 1
∴∠DAB= ∠BOD= （∠BOC+∠COD）＝75°
2 2
1 1
∠ABC= ∠AOC= （∠AOD+∠COD）＝45°
2 2
（2）①若^AD＜C^B，则∠DAB＞∠ABC；
②若^AD=C^B，则∠DAB＝∠ABC；
③若^AD＞C^B，则∠DAB＜∠ABC【题型8 圆心角、弧、弦中的证明问题】
【例8】（2022秋•自贡期末）如图，AB为⊙O的直径，^BE=C^E，CD⊥AB于点D，交BE于F，连接
CB．
求证：BC＝CF．
【分析】证明：连接AE，利用圆心角、弧与弦的关系证明即可．
【解答】证明：连接AE
∵C^E=^BE
∴∠A＝∠FBC，
∵AB为直径，
∴∠E＝90°，
∴∠A+∠ABE＝90°，
∵CD⊥AB于D，
∴∠FDB＝90°，
∴∠CFB+∠ABE＝90°，
∴∠A＝∠CFB，
∴∠FBC＝∠CFB，
∴BC＝CF．
【变式8-1】（2022秋•西林县期末）如图，AB、CD是⊙O的直径，弦CE∥AB．求证：^BD=^BE．（用
两种不同的方法证明）【分析】方法一：由CE∥AB知^AC=^BE，再由∠BOD＝∠AOC知^AC=^BD，据此可得证；
方法二：连接OE，知∠OCE＝∠OEC，根据AB∥CE知∠BOD＝∠OCE，∠BOE＝∠OEC，从而得
∠BOD＝∠BOE，继而可得证．
【解答】证明：方法一：∵CE∥AB，
∴^AC=^BE，
∵∠BOD＝∠AOC，
∴^AC=^BD，
∴^BD=^BE；
方法二：连接OE，
∵OC＝OE，
∴∠OCE＝∠OEC，
∵AB∥CE，
∴∠BOD＝∠OCE，∠BOE＝∠OEC，
∴∠BOD＝∠BOE，
∴^BD=^BE．
【变式8-2】（2022秋•福清市期末）如图，已知C，D是以AB为直径的⊙O上的两点，连接BC，OC，
OD，若OD∥BC，求证：D为^AC的中点．
【分析】根据等腰三角形的性质和平行线的性质得出∠B＝∠C，∠AOD＝∠B，∠COD＝∠C，求出∠AOD＝∠COD，再根据圆心角、弧、弦之间的关系得出即可．
【解答】证明：∵OB＝OC，
∴∠B＝∠C，
∵OD∥BC，
∴∠AOD＝∠B，∠COD＝∠C，
∴∠AOD＝∠COD，
∴^AD=C^D，
即D为^AC的中点．
【变式8-3】（2022•眉山模拟）如图所示，⊙O中，弦AB与CD相交于点E，AB＝CD，连接AD，BC，
求证：
（1）^AD=^BC；
（2）AE＝CE．
【分析】（1）由AB＝CD，推出^AB=C^D，推出^AD=C^D．
（2）证明△ADE≌△CBE可得结论．
【解答】证明：（1）∵AB＝CD，
∴^AB=C^D，
∴^AC+^BC=^AD+^AC，
∴^AD=^BC．
（2）∵^AD=^BC，
∴AD＝BC，
∵∠ADE＝∠CBE，∠AED＝∠CEB，
∴△ADE≌△CBE（AAS），
∴AE＝EC．
【题型9 圆心角、弧、弦的的倍数关系】
【例9】（2022•原州区期末）在⊙O中，AB是直径，CO⊥AB，D是CO的中点，DE∥AB，则C^E与^BE之间的等量关系是什么？请证明你的结论．
1 1
【分析】连接OE，证出OD= CO= OE，得出∠DEO＝30°，求出∠DOE＝60°，∠BOE＝30°，即可
2 2
得出结论．
【解答】解：C^E=2^BE，理由如下：
连接OE，如图所示：
∵CO⊥AB，
∴∠BOC＝90°，
∵DE∥AB，
∴DE⊥CO，
∴∠ODE＝90°，
∵D是CO的中点，
1 1
∴OD= CO= OE，
2 2
∴∠DEO＝30°，
∴∠DOE＝90°﹣30°＝60°，
∴∠BOE＝90°﹣60°＝30°，
∴C^E=2^BE．
【变式9-1】（2022•铁岭模拟）如图，AB是半圆O的直径，点C在半圆O上，把半圆沿弦AC折叠，^AC
恰好经过点O，则^BC与^AC的关系是（ ）1 1
A．^BC= ^AC B．^BC= ^AC C．^BC=^AC D．不能确定
2 3
1
【分析】连接OC，BC，过O作OE⊥AC于D交圆O于E，根据折叠的性质得到OD= OE，根据圆周
2
1
角定理得到∠ACB＝90°，根据三角形的中位线的性质得到OD= BC，求得∠COB＝60°，得到∠AOC＝
2
120°，于是得到结论．
【解答】解：如图，连接OC，BC，过O作OE⊥AC于D交圆O于E，
∵把半圆沿弦AC折叠，^AC恰好经过点O，
1
∴OD= OE，
2
∵AB是半圆O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴OD∥BC，
∵OA＝OB，
1
∴OD= BC，
2
∴BC＝OE＝OB＝OC，
∴∠COB＝60°，
∴∠AOC＝120°，
1
∴
^BC= ^AC，
2
故选：A．
【变式9-2】（2022•陵城区模拟）圆的一条弦把圆分为度数比为1：3的两条弧，则弦心距与弦长的比为（
）
A．1：3 B．2：3 C．1：4 D．1：21
【分析】根据已知条件得到弦所对的圆心角∠AOB= ×360°＝90°；求得△AOB是等腰直角三角形，过
4
O作OC⊥AB于C，根据等腰直角三角形的性质即可得到结论．
【解答】解：弦AB将⊙O分成了度数比为1：3两条弧．
1
则弦所对的圆心角∠AOB= ×360°＝90°；
4
∴△AOB是等腰直角三角形，
过O作OC⊥AB于C，
1
∴OC= AB，
2
∴弦心距与弦长的比为1：2，
故选：D．
【变式9-3】（2022•长安区二模）如图，AB为⊙O的直径，点C为⊙O上一点，且^AC=3^BC，则弦AC
与弦BC的关系是（ ）
A．AC＝3BC B．AC=❑√3BC C．AC＝（❑√2+1）BC D．❑√3AC＝BC
【分析】如图，过点O作OD⊥AB，交AC于D，连接BD，OC，证明△CDB是等腰直角三角形，且
AD＝BD，设CD＝CB＝x，则AD＝BD=❑√2x，计算AC和BC的比可得结论．
【解答】解：如图，过点O作OD⊥AB，交AC于D，连接BD，OC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，∵^AC=3^BC，
∴∠AOC＝135°，
∵OA＝OC，
∴∠A＝∠ACO＝22.5°，
∵OD是AB的垂直平分线，
∴AD＝BD，
∴∠A＝∠ABD＝22.5°，
∴∠CDB＝∠CBD＝45°，
设CD＝CB＝x，则AD＝BD=❑√2x，
BC x 1
∴ = = ，
AC x+❑√2x ❑√2+1
∴AC＝（❑√2+1）BC．
故选：C．
