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专题 22.9 二次函数中的最值问题【八大题型】
【人教版】
【题型1 已知二次函数的对称轴及自变量取值范围求最值】.............................................................................2
【题型2 已知含参二次函数的对称轴及最值求参】.............................................................................................4
【题型3 已知二次函数解析式及最值求自变量取值范围】.................................................................................6
【题型4 二次函数中求线段最值】........................................................................................................................10
【题型5 二次函数中求线段和差最值】................................................................................................................18
【题型6 二次函数中求周长最值】........................................................................................................................32
【题型7 二次函数中求面积最值】........................................................................................................................42
【题型8 二次函数在新定义中求最值】................................................................................................................52
【知识点1 二次函数的最值】
1.对于二次函数 在 上的最值问题（其中a、b、c、m和n均为定值， 表
示y的最大值， 表示y的最小值）：
（1）若自变量x为全体实数，如图①，函数在 时，取到最小值，无最大值．
（2）若 ，如图②，当 ， ；当 ， ．
（3）若 ，如图③，当， ；当 ， ．
（4）若 ， ，如图④，当 ， ；当 ， ．
b b b b
x=- x=- x=- x=-
2a 2a 2a 2a
① ②
③ ④
2.对于二次函数 ，在 （m，n为参数）条件下，函数的最值需要分别讨论m，
n与 的大小．【题型1 已知二次函数的对称轴及自变量取值范围求最值】
【例1】（2022秋•开福区校级期中）二次函数 y＝x2﹣2x+m．当﹣3≤x≤3时，则y的最大值为 15+ m
（用含m的式子表示）．
【分析】根据题目中的函数解析式，可以得到该函数的对称轴，然后根据二次函数的性质，即可得到当
﹣3≤x≤3时，y的最大值．
【解答】解：∵二次函数y＝x2﹣2x+m＝（x﹣1）2﹣1+m，
∴该函数的对称轴是直线x＝1，该函数图象开口向上，当x＝1时，有最小值，
∴当﹣3≤x≤3时，y取得最大值时对应的x的值是﹣3，
∵当x＝﹣3时，y＝（﹣3﹣1）2﹣1+m＝15+m，
∴当﹣3≤x≤3时，y的最大值为15+m，
故答案为：15+m．
【变式1-1】（2022秋•河西区期末）当x≥2时，二次函数y＝x2﹣2x﹣3有（ ）
A．最大值﹣3 B．最小值﹣3 C．最大值﹣4 D．最小值﹣4
【分析】用配方法配方成顶点式，可求得对称轴，然后根据二次函数的性质即可求得．
【解答】解：∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝1，
∴当x＞1时，y随x的增大而增大，
∴当x≥2时，函数有最小值y＝22﹣2×2﹣3＝﹣3，
故选：B．
【变式1-2】（2022秋•上城区期末）已知二次函数y＝x2，当﹣1≤x≤2时，求函数y的最小值和最大值．
小王的解答过程如下：
解：当x＝﹣1时，y＝1；
当x＝2时，y＝4；
所以函数y的最小值为1，最大值为4．
小王的解答过程正确吗？如果不正确，写出正确的解答过程．
【分析】根据二次函数的性质和小王的做法，可以判断小王的做法是否正确，然后根据二次函数的性质
即可解答本题．
【解答】解：小王的做法是错误的，
正确的做法如下：
∵二次函数y＝x2，
∴该函数图象开口向上，该函数的对称轴是y轴，∵﹣1≤x≤2，
∴当x＝0时取得最小值，最小值是0，
当x＝2时取得最大值，此时y＝4，
由上可得，当﹣1≤x≤1时，函数y的最小值是0，最大值是4．
【变式1-3】（2022•安徽模拟）已知二次函数y＝x2+bx﹣c的图象经过点（3，0），且对称轴为直线x＝
1．
（1）求b+c的值．
（2）当﹣4≤x≤3时，求y的最大值．
（3）平移抛物线y＝x2+bx﹣c，使其顶点始终在二次函数y＝2x2﹣x﹣1上，求平移后所得抛物线与y轴
交点纵坐标的最小值．
b
【分析】（1）由对称轴- =1，求出b的值，再将点（3，0）代入y＝x²+bx﹣c，即可求解析式；
2
（2）由题意可得抛物线的对称轴为直线x＝1，结合函数图像可知当x＝﹣4时，y有最大值21；
（3）设顶点坐标为（h，2h2﹣h﹣1），可求平移后的解析式为y＝（x﹣h）2+2h2﹣h﹣1，设平移后所得
1 13
抛物线与y轴交点的纵坐标为w，则w＝3h2﹣h﹣1＝3（h- ）2- ，即可求解．
6 12
【解答】解：（1）∵二次函数y＝x²+bx﹣c的对称轴为直线x＝1，
b
∴- = 1，
2
∴b＝﹣2，
∵二次函数y＝x²+bx﹣c的图象经过点（3，0），
∴9﹣6﹣c＝0，
∴c＝3，
∴b+c＝1；
（2）由（1）可得y＝x²﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴抛物线的对称轴为直线x＝1，
∵﹣4≤x≤3，
∴当x＝﹣4时，y有最大值21；
（3）平移抛物线y＝x2﹣2x﹣3，其顶点始终在二次函数y＝2x2﹣x﹣1上，
∴．设顶点坐标为（h，2h2﹣h﹣1），故平移后的解析式为y＝（x﹣h）2+2h2﹣h﹣1，
∴y＝x2﹣2hx+h2+2h2﹣h﹣1＝x2﹣2hx+3h2﹣h﹣1，
设平移后所得抛物线与y轴交点的纵坐标为w，1 13
则w＝3h2﹣h﹣1＝3（h- ）2- ，
6 12
1 13
∴当h= 时，平移后所得抛物线与y轴交点纵坐标的最小值为- ．
6 12
【题型2 已知含参二次函数的对称轴及最值求参】
【例2】（2022•鹿城区校级二模）已知二次函数y＝mx2﹣4mx（m为不等于0的常数），当﹣2≤x≤3时，
函数y的最小值为﹣2，则m的值为（ ）
1 1 1 1 2 1
A．± B．- 或 C．- 或 D． 或2
6 6 2 6 3 6
【分析】由二次函数y＝mx2﹣4mx可得对称轴为x＝2，分为m＞0和m＜0两种情况，当m＞0时，二次
函数开口向上，当﹣2≤x≤3时，函数在x＝2取得最小值﹣2，将x＝2，y＝﹣2代入y＝mx2﹣4mx中，
1
解得m= ，当m＜0时，二次函数开口向下，当﹣2≤x≤3时，函数在x＝﹣2取得最小值﹣2，将x＝
2
1
﹣2，y＝﹣2代入y＝mx2﹣4mx中，解得m=- ，即可求解．
6
【解答】解：∵二次函数为y＝mx2﹣4mx，
-b 4m
∴对称轴为x= = =2，
2a 2m
①当m＞0时，
∵二次函数开口向上，
∴当﹣2≤x≤3时，函数在x＝2取得最小值﹣2，
将x＝2，y＝﹣2代入y＝mx2﹣4mx中，
1
解得：m= ，
2
②当m＜0时，
∵二次函数开口向下，
∴当﹣2≤x≤3时，函数在x＝﹣2取得最小值﹣2，
将x＝﹣2，y＝﹣2代入y＝mx2﹣4mx中，
1
解得：m=- ，
6
1 1
综上，m的值为 或- ，
2 6
故选：B．【变式2-1】（2022秋•龙口市期末）已知关于x的二次函数y＝x2+2x+2a+3，当0≤x≤1时，y的最大值为
10，则a的值为 2 ．
【分析】根据抛物线的关系式可知，抛物线的开口方向向上，对称轴为直线 x＝﹣1，所以可得0≤x≤1
在对称轴的右侧，然后进行计算即可解答．
【解答】解：∵y＝x2+2x+2a+3
＝x2+2x+1+2a+2
＝（x+1）2+2a+2，
∴抛物线的对称轴为：直线x＝﹣1，
∵a＝1＞0，
∴抛物线的开口方向向上，
∴当x＞﹣1时，y随x的增大而增大，
∵当0≤x≤1时，y的最大值为10，
∴当x＝1时，y＝10，
把x＝1时，y＝10代入y＝x2+2x+2a+3中可得：
1+2+2a+3＝10，
∴a＝2，
故答案为：2．
【变式2-2】（2022•灌南县二模）已知二次函数y＝ax2﹣2ax+c，当﹣1≤x≤2时，y有最小值7，最大值
11，则a+c的值为（ ）
29 25
A．3 B．9 C． D．
3 3
【分析】先求得抛物线的对称轴，根据二次函数图象上点的坐标特征，当﹣1≤x≤2时，函数的最值为
y＝﹣a+c和y＝3a+c，即可得出﹣a+c+（3a+c）＝7+11，即2a+2c＝18，从而求得a+c＝9．
【解答】解：∵二次函数y＝ax2﹣2ax+c，
-2a
∴该二次函数的图象的对称轴为直线x=- =1，
2a
∵当x＝1时，y＝a﹣2a+c＝﹣a+c；当x＝﹣1时，y＝a+2a+c＝3a+c；
∴当﹣1≤x≤2时，函数的最值为y＝﹣a+c和y＝3a+c，
∵当﹣1≤x≤2时，y有最小值7，最大值11，
∴﹣a+c+（3a+c）＝7+11，即2a+2c＝18，
∴a+c＝9，
故选：B．【变式2-3】（2022•青山区二模）已知二次函数y＝x2+bx+c，当x＞0时，函数的最小值为﹣3，当x≤0时，
函数的最小值为﹣2，则b的值为（ ）
A．6 B．2 C．﹣2 D．﹣3
【分析】根据二次函数y＝x2+bx+c，当x＞0时，函数的最小值为﹣2，可知该函数的对称轴在y轴右侧，
4×1×c-b2 b
=-3，- ＞0，再根据当x≤0时，函数的最小值为﹣2，即可得到c的值，然后将c的值
4×1 2
4×1×c-b2
代入入 =-3，即可得到b的值．
4×1
【解答】解：∵二次函数y＝x2+bx+c，当x＞0时，函数的最小值为﹣3，
4×1×c-b2 b
∴该函数的对称轴在y轴右侧， =-3，- ＞0，
4×1 2
∴b＜0，
∵当x≤0时，函数的最小值为﹣2，
∴当x＝0时，y＝c＝﹣2，
4×1×c-b2
将c＝﹣2代入 =-3，可得b＝2（舍去），b＝﹣2，
4×1 1 2
故选：C．
【题型3 已知二次函数解析式及最值求自变量取值范围】
【例3】（2022•宁阳县一模）当0≤x≤m时，函数y＝﹣x2+4x﹣3的最小值为﹣3，最大值为1，则m的取
值范围是（ ）
A．0≤m≤2 B．0≤m＜4 C．2≤m≤4 D．m≥2
【分析】根据题意和二次函数的性质，可以得到m的取值范围，本题得以解决．
【解答】解：∵y＝﹣x2+4x﹣3＝﹣（x﹣2）2+1，
∴该函数的对称轴是直线x＝2，当x＝2时，该函数取得最大值1，该函数图象开口向下，
∵当0≤x≤m时，此函数的最小值为﹣3，最大值为1，当x＝0时，y＝﹣3，
∴2≤m≤4，
故选：C．
【变式3-1】（2022•龙港市模拟）已知二次函数y＝﹣x2﹣4x+5，当m≤x≤m+3时，求y的最小值（用含
m的代数式表示）．
3
【分析】分四种情况讨论：①当m+3≤﹣2时，即m≤﹣5，y的最小值为﹣m2﹣4m+5；②当m+ ＜-2
23
＜m+3时，即﹣4＜m＜﹣3，y的最小值为﹣m2﹣4m+5；③当m＜﹣2≤m+ 时，即﹣3≤m＜﹣2，y的
2
最小值为﹣m2﹣8m﹣7；④当m≥﹣2时，y的最小值为﹣m2﹣8m﹣7，
【解答】解：y＝﹣x2﹣4x+5＝﹣（x+2）2+9，
∴对称轴为直线x＝﹣2，
当m≥﹣2时，则当x＝m+3时，y有最小值为﹣（m+3）2﹣4（m+3）+5＝﹣m2﹣10m﹣16，
当m＜﹣2＜m+3时，即﹣5＜m＜﹣2，
当对称轴位于范围内时，谁离对称轴远，谁就小，
7
若m+3+2≥﹣2﹣m，即- ≤m＜﹣2时，
2
当x＝m+3时，y有最小值为﹣（m+3）2﹣4（m+3）+5＝﹣m2﹣10m﹣16，
7
当m+3+2＜﹣2﹣m，即﹣5＜m＜- 时，
2
当x＝m时，y有最小值为﹣m2﹣4m+5，
当m+3+2≤﹣2时，即m≤﹣5，
y的最小值为﹣m2﹣4m+5；
7 7
综上所述：m≥- 时y的最小值为﹣m2﹣10m﹣16；当m＜- 时，y的最小值为﹣m2﹣4m+5．
2 2
【变式3-2】（2022•庐阳区一模）设抛物线y＝ax2+bx﹣3a，其中a、b为实数，a＜0，且经过（3，0）．
（1）求抛物线的顶点坐标（用含a的代数式表示）；
（2）若a＝﹣2，当t﹣2≤x≤t时，函数的最大值是6，求t的值；
（3）点A坐标为（0，4），将点A向右平移3个单位长度，得到点B．若抛物线与线段AB有两个公共
点，求a的取值范围．
【分析】（1）把已知点坐标代入抛物线的解析式，求得a、b的数量关系，把抛物线解析式中的b换成
a的代数式，再将抛物线的解析式化成顶点式，便可求得顶点坐标；
（2）分x＝t和x＝t﹣2在对称轴右侧、左侧或两侧三种情况，讨论求解即可；
（3）抛物线经过（﹣1，0）和（3，0），与线段AB有两个公共点时，结合图象即可判断出a的取值范
围．
【解答】解：（1）把（3，0）代入y＝ax2+bx﹣3a得，9a+3b﹣3a＝0，
∴b＝﹣2a，
∴抛物线的解析式为y＝ax2﹣2ax﹣3a＝a（x﹣1）2﹣4a，
∴抛物线的顶点坐标为（1，﹣4a）；（2）∵a＝﹣2，
∴抛物线的解析式为y＝﹣2（x﹣1）2+8，
∴对称轴为直线：x＝1，
∴当x＞1时，y随x的增大而减小，当x＜1时，y随x的增大而增大，
∵当t﹣2≤x≤t时，函数的最大值是6，
{-2(t-2-1) 2+8=6
∴①当x＝t和x＝t﹣2在对称轴右侧时，有 ，
t-2＞1
解得t＝4，
{-2(t-1) 2+8=6
②当x＝t和x＝t﹣2在对称轴左侧时，有 ，
t＜1
解得t＝0，
③当x＝t和x＝t﹣2在对称轴左侧或两侧时，函数的最大值为8，不可能为6，此时无解，
综上，t的值为0或4；
（3））∵点A坐标为（0，4），将点A向右平移3个单位长度，得到点B，
∴B（3，4），
∵y＝ax2﹣2ax﹣3a＝a（x﹣3）（x+1），
∴抛物线经过点（3，0）和（﹣1，0），
若此二次函数的图象与线段AB有两个交点，
则如图所示，抛物线的图象只能位于图中两个虚线的位置之间，
当抛物线经过点A时，为一种临界情况，
将A（0，4）代入，
4＝0﹣0﹣3a，4
解得a＝− ，
3
当抛物线的顶点在线段AB上时，为一种临界情况，
此时顶点的纵坐标为4，
∴﹣4a＝4，
解得a＝﹣1，
4
∴- ≤a＜﹣1．
3
【变式3-3】（2022•文成县一模）已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴的一个交点为（﹣1，0），且经过点
（2，c）．
（1）求抛物线与x轴的另一个交点坐标．
（2）当t≤x≤2﹣t时，函数的最大值为M，最小值为N，若M﹣N＝3，求t的值．
【分析】（1）由抛物线经过（2，c）和（0，c），可得到抛物线的对称轴为直线x＝1，即可根据点
（﹣1，0），确定抛物线与x轴的另一个交点坐标为（3，0）；
（2）根据t≤2﹣t，确定t≤1，2﹣t≥1，求出当＝1时取得最大值4，解得N＝1，令y＝1求出值．
【解答】解：（1）∵抛物线经过（2，c）和（0，c），
∴抛物线的对称轴为直线x＝1，
∴（﹣1，0）的对称点为（3，0）．
即抛物线与x轴的另一个交点坐标为（3.0）；
（2）∵与x轴的一个交点为（﹣1，0），对称轴为直线x＝1，
{0=-1-b+c
∴ b ，
- =1
2×(-1)
{b=2
解得： ，
c=3
∴y＝﹣x2+2x+3．
∵t≤x≤2﹣t，
∴t≤1，2﹣t≥1．
∴当t≤x≤2﹣t时，当x＝1时取得最大值4，即M＝4，当x＝t或x＝2﹣t时取得最小值N，
∵M﹣N＝3，
∴N＝1．
令y＝l得，1＝﹣t2+2t+3，解得t =❑√3+1（舍），t =-❑√3+1，
1 2∴t=-❑√3+1．
令y＝l得，1＝﹣（2﹣t）2+2（2﹣t）+3，解得t =❑√3+1（舍），t =-❑√3+1．
1 2
∴t=-❑√3+1．
综上：t=-❑√3+1．
【题型4 二次函数中求线段最值】
【例4】（2022•黔东南州二模）如图，抛物线y＝ax2+bx﹣2与x轴交于点A（﹣2，0）、B（1，0），与y
轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点M是抛物线对称轴上的动点，求MB+MC的最小值；
（3）若点P是直线AC下方抛物线上的动点，过点P作PQ⊥AC于点Q，线段PQ是否存在最大值？若
存在，求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式即可；
（2）当A、C、M三点共线时，MB+MC的值最小，最小值为AC，求出AC的长即为所求；
（3）过点P作PE∥y轴交AC于E，当PD最大时，△APC的面积最大，也就是PE最大，先求直线AC
的解析式，设P（t，t2+t﹣2），则E（t，﹣t﹣2），则PE＝﹣（t+1）2+1，当t＝﹣1时，PE有最大值，
此时P（﹣1，﹣2）．
【解答】解：（1）将点A（﹣2，0）、B（1，0）代入y＝ax2+bx﹣2，
{ a+b-2=0
∴ ，
4a-2b-2=0
{a=1
解得 ，
b=1
∴y＝x2+x﹣2；
（2）∵A、B关于抛物线的对称轴对称，
∴AM＝BM，
∴MB+MC≥AM+MC，当A、C、M三点共线时，MB+MC的值最小，最小值为AC，
令x＝0，则y＝﹣2，
∴C（0，﹣2），
∴AC＝2❑√2，
∴MB+MC的最小值为2❑√2；
（3）线段PQ存在最大值，理由如下：
过点P作PE∥y轴交AC于E，
当PD最大时，△APC的面积最大，也就是PE最大，
设直线AC的解析式为y＝kx+b，
{-2k+b=0
∴ ，
b=-2
{k=-1
解得 ，
b=-2
∴y＝﹣x﹣2，
设P（t，t2+t﹣2），则E（t，﹣t﹣2），
∴PE＝﹣t﹣2﹣（t2+t﹣2）＝﹣t2﹣2t＝﹣（t+1）2+1，
∴当t＝﹣1时，PE有最大值，
此时P（﹣1，﹣2）．【变式4-1】（2022•太原一模）综合与实践
如图，抛物线y＝x2+2x﹣8与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C．点D在直线
AC下方的抛物线上运动，过点D作y轴的平行线交AC于点E．
（1）求直线AC的函数表达式；
（2）求线段DE的最大值；
（3）当点F在抛物线的对称轴上运动，以点A，C，F为顶点的三角形是直角三角形时，直接写出点F
的坐标．
【分析】（1）分别令x＝0，y＝0，求得点C、A的坐标，再运用待定系数法即可求得答案；
（2）设D（m，m2+2m﹣8），则E（m，﹣2m﹣8），可得DE＝﹣2m﹣8﹣（m2+2m﹣8）＝﹣m2﹣4m
＝﹣（m+2）2+4，运用二次函数的性质即可求得线段DE的最大值；
（3）设F（﹣1，n），根据两点间距离公式可得：AF2＝32+n2＝n2+9，AC2＝42+82＝80，CF2＝12+
（n+8）2＝n2+16n+65，分三种情况：①当∠AFC＝90°时，②当∠CAF＝90°时，③当∠ACF＝90°时，分
别建立方程求解即可．
【解答】解：（1）在y＝x2+2x﹣8中，令x＝0，得y＝﹣8，
∴C（0，﹣8），令y＝0，得x2+2x﹣8＝0，
解得：x＝﹣4，x＝2，
1 2
∴A（﹣4，0），B（2，0），
{-4k+b=0
设直线AC的解析式为y＝kx+b，则 ，
b=-8
{k=-2
解得： ，
b=-8
∴直线AC的解析式为y＝﹣2x﹣8；
（2）设D（m，m2+2m﹣8），则E（m，﹣2m﹣8），
∵点D在点E的下方，
∴DE＝﹣2m﹣8﹣（m2+2m﹣8）＝﹣m2﹣4m＝﹣（m+2）2+4，
∵﹣1＜0，
∴当m＝﹣2时，线段DE最大值为4；
（3）∵y＝x2+2x﹣8＝（x+1）2﹣9，
∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，
设F（﹣1，n），又A（﹣4，0），C（0，﹣8），
∴AF2＝32+n2＝n2+9，AC2＝42+82＝80，CF2＝12+（n+8）2＝n2+16n+65，
①当∠AFC＝90°时，
∵AF2+CF2＝AC2，
∴n2+9+n2+16n+65＝80，
解得：n＝﹣4-❑√19，n＝﹣4+❑√19，
1 2
∴F（﹣1，﹣4-❑√19）或（﹣1，﹣4+❑√19）；
②当∠CAF＝90°时，
∵AF2+AC2＝CF2，
∴n2+9+80＝n2+16n+65，
3
解得：n= ，
2
3
∴F（﹣1， ）；
2
③当∠ACF＝90°时，
∵CF2+AC2＝AF2，
∴n2+16n+65+80＝n2+9，17
解得：n=- ，
2
17
∴F（﹣1，- ）；
2
3 17
综上所述，点F的坐标为（﹣1，﹣4-❑√19）或（﹣1，﹣4+❑√19）或（﹣1， ）或（﹣1，- ）．
2 2
【变式4-2】（2022•平果市模拟）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（3，0），B（0，3），点P是直
线AB上的动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点M．设点P的横坐标为t．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点P在第一象限，连接AM，BM．当线段PM最长时，求△ABM的面积；
（3）是否存在这样的点P，使以点P，M，B，O为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出
点P的横坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）将点A（3，0），B（0，3）代入y＝﹣x2+bx+c，即可求函数的解析式；
3 9 3 9
（2）用待定系数法求直线AB的解析式，可求出PM＝﹣（t- ）2+ ，当t= 时，PM最长为 ，再求
2 4 2 4
△ABM的面积即可；
（3）根据题意，分两种情况讨论；①当PB为平行四边形的对角线时，此时t无解；②当PO为平行四
3+❑√21 3-❑√21 3-❑√21 3+❑√21
边形的对角线时，此时P（ ， ）或（ ， ）．
2 2 2 2
【解答】解：（1）将点A（3，0），B（0，3）代入y＝﹣x2+bx+c，
{-9+3b+c=0
∴ ，
c=3
{b=2
解得 ，
c=3
∴y＝﹣x2+2x+3；
（2）设线AB的解析式为y＝kx+b，
{ b=3
∴ ，
3k+b=0{k=-1
解得 ，
b=3
∴y＝﹣x+3，
∵P（t，﹣t+3）（0＜t＜3），则M（t，﹣t2+2t+3），
3 9
∴PM＝﹣t2+2t+3+t﹣3＝﹣t2+3t＝﹣（t- ）2+ ，
2 4
3 9
当t= 时，PM最长为 ，
2 4
1 9 27
此时S = ×3× = ；
△ABM 2 4 8
（3）存在点P，使以点P，M，B，O为顶点的四边形为平行四边形，理由如下：
由（2）知，P（t，﹣t+3），M（t，﹣t2+2t+3），
①当PB为平行四边形的对角线时，
﹣t+3+3＝﹣t2+2t+3，
此时t无解；
②当PO为平行四边形的对角线时，
﹣t+3＝﹣t2+2t+3+3，
3+❑√21 3-❑√21
解得t= 或t= ，
2 2
3+❑√21 3-❑√21 3-❑√21 3+❑√21
∴P（ ， ）或（ ， ）；
2 2 2 2
3+❑√21 3-❑√21 3-❑√21 3+❑√21
综上所述：P点坐标为（ ， ）或（ ， ）．
2 2 2 2
【变式4-3】（2022春•九龙坡区校级期末）抛物线y＝ax2+bx+4与x轴交于A（﹣4，0）和B（1，0）两点，
与y轴交于点C，点P是直线AC上方的抛物线上一动点．求抛物线的解析式；
❑√2
（1）过点P作PE⊥AC于点E，求 PE的最大值及此时点P的坐标；
2（2）将抛物线y＝ax2+bx+4向右平移4个单位，得到新抛物线y'，点M是抛物线y'的对称轴上一点．在
x轴上确定一点N，使得以点A、C、M、N为顶点的四边形是平行四边形，直接写出所有符合条件的点
N的坐标．
【分析】（1）应用待定系数法即可求出抛物线解析式，再求出点C的坐标，可得直线AC的解析式，
过点P作PF⊥x轴于点F，交直线AC于点D，设点P（x，﹣x2﹣3x+4），则D（x，x+4），应用二次
函数最值可得线段PD的最大值，证明△PDE是等腰直角三角形，可得出❑√2PE＝PD，即可求得答案；
（2）分两种情况：①若CM平行于x轴，如图，符合要求的有两个点 N ，N ，此时N A＝N A＝CM；
1 2 1 2
②若CM不平行于x轴，如图所示，根据平行四边形的性质求解即可．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+4与x轴交于A（﹣4，0）和B（1，0）两点，
{16a+4b+4=0
∴ ，
a+b+4=0
{a=-1
解得： ，
b=-3
∴这个二次函数的解析式为y＝﹣x2﹣3x+4，
∵二次函数y＝﹣x2﹣3x+4与y轴交于点C，
∴点C的坐标为（0，4），
设直线AC的解析式为y＝kx+4，
∵直线AC经过点A（﹣4，0），
∴0＝﹣4k+4，
解得：k＝1，
∴直线AC的解析式为y＝﹣x+4，
过点P作PF⊥x轴于点F，交直线AC于点D，设点P（x，﹣x2﹣3x+4），则D（x，x+4），
∴PD＝﹣x2﹣3x+4﹣x﹣4＝﹣x2﹣4x＝＝﹣（x+2）2+4，
∴当x＝﹣2时，PD最大，最大值是4．
∵A（﹣4，0），C（0，4），
∴OA＝OC，
∴∠OAC＝45°，
∵PF⊥x轴，
∴∠ADF＝∠PDE＝45°，
∵PE⊥AC，
∴△PDE是等腰直角三角形，
∴❑√2PE＝PD，
❑√2 1
∴ PE = PD，
2 2
❑√2 1 1
∴ PE的最大值为 PD = ×4＝2，此时点P的坐标为（﹣2，6）；
2 2 2
5
（2）由平移可求得平移后函数解析式为y'＝﹣（x+4﹣4）（x﹣1﹣4）＝﹣x2+5x，对称轴为x= ，
2
分两种情况：
①若CM平行于x轴，如图，符合要求的有两个点N ，N ，
1 25
此时N A＝N A＝CM= ，
1 2 2
∵A（﹣4，0），
3 13
∴点N的坐标为（- ，0）或（- ，0）；
2 2
②若CM不平行于x轴，如图，
5
设M（ ，m），N（n，0），
2
∵A（﹣4，0），C（0，4），
5
∴﹣4+n＝0+ ，
2
13
∴n= ，
2
13
∴点N的坐标为（ ，0）；
2
3 13 13
综上，点N的坐标为（- ，0）或（- ，0）或（ ，0）．
2 2 2【题型5 二次函数中求线段和差最值】
3 9
【例5】（2022春•良庆区校级期末）如图，已知抛物线的解析式为 y=- x2- x+3，抛物线与x轴交于点
4 4
A和点B，与y轴交点于点C．
（1）请分别求出点A、B、C的坐标和抛物线的对称轴；
（2）连接AC、BC，将△ABC绕点B顺时针旋转90°，点A、C的对应点分别为M、N，求点M、N的
坐标；
（3）若点P为该抛物线上一动点，在（2）的条件下，请求出使|NP﹣BP|最大时点Р的坐标，并请直接
写出|NP﹣BP|的最大值．
【分析】（1）提取二次项系数后分解因式，可以得出抛物线与 x轴交点，令x＝0代入可以得到与y轴
的交点，把解析式配方后可得对称轴；
（2）根据题意作出几何图形，通过旋转性质以及通过AAS求证△OBC≌△QNB即可分别求出M、N的
坐标；
（3）分析题意可得出，当P，N，B在同一直线上时，|NP﹣BP|的值最大，联立直线BN解析式以及抛
物线解析式即可求出P的坐标．
3 9 3 3 3 75
【解答】解：（1）∵y=- x2- x+3=- （x+4）（x﹣1）=- （x+ ）2+ ，
4 4 4 4 2 16
∴A（﹣4，0），B（1，0），C（0，3），
3
对称轴为直线x=- ；
2
（2）如图所示：过N作NQ⊥x轴于点Q，
由旋转性质得MB⊥x轴，∠CBN＝90°，BM＝AB＝5，BN＝BC，
∴M（1，5），∠OBC+∠QBN＝90°，
∵∠OBC+∠BCO＝90°，
∴∠BCO＝∠QBN，
又∵∠BOC＝∠NQB＝90°，BN＝BC，
∴△OBC≌△QNB（AAS），
∴BQ＝OC＝3，NQ＝OB＝1，
∴OQ＝1+3＝4，
∴N（4，1）；
（3）设直线NB的解析式为y＝kx+b．
∵B（1，0）、N（4，1）在直线NB上，
{ k+b=0
∴ ，
4k+b=1
1
{ k=
3
解得： ，
1
b=-
3
1 1
∴直线NB的解析式为：y= x- ，
3 3
当点P，N，B在同一直线上时|NP﹣BP|＝NB=❑√32+12=❑√10，
当点P，N，B不在同一条直线上时|NP﹣BP|＜NB，
∴当P，N，B在同一直线上时，|NP﹣BP|的值最大，
即点P为直线NB与抛物线的交点．1 1
{ y= x-
3 3
解方程组： ，
3 9
y=- x2- x+3
4 4
40
{x =-
{x =1 2 9
1
解得： 或 ，
y =0 49
1 y =-
2 27
40 49
∴当P的坐标为（1，0）或（- ，- ）时，|NP﹣BP|的值最大，此时最大值为❑√10．
9 27
【变式5-1】（2022•濠江区一模）已知二次函数y＝x2+（m+1）x+4m+9．
（1）对于任意m，二次函数都会经过一个定点，求此定点的坐标；
（2）当m＝﹣3时，如图，二次函数与y轴的交点为M，顶点为N．
①若点P是x轴上的动点，求PN﹣PM的最大值及对应的点P的坐标；
②设点Q是二次函数上的动点，点H是直线MN上的动点，是否存在点Q，使得△OQH是以点Q为直
角顶点的等腰Rt△OQH？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）根据二次函数解析式化为y＝x2+x+m（x+4）+9，当x＝﹣4时，y与m无关，将x＝﹣4
代入取出y的值即可．
（2）①当m＝﹣3时，二次函数的解析式为y＝x2﹣2x﹣3；当点P，M，N三点在一条直线上时，|PM﹣
PN|取得最大值，求得直线MN的解析式，再求得点P的坐标，利用勾股定理即可求解；
②分两种情况，利用全等三角形的判定和性质以及函数图象上点的特征，即可求解．
【解答】解：（1）∵y＝x2+（m+1）x+4m+9＝x2+x+m（x+4）+9，
∴当x＝﹣4时，m（x+4）＝0，
∴y＝（﹣4）2+（﹣4）+0+9＝21，
∴对于任意m，二次函数都会经过一个定点（﹣4，21）．
（2）①当m＝﹣3时，二次函数的解析式为y＝x2﹣2x﹣3，∴M（0，﹣3），顶点N（1，﹣4），
∴|PN﹣PM|≤MN，
∴当点P，M，N三点在一条直线上时，|PN﹣PM|取得最大值；
如图，连接MN并延长，交x轴于点P，
∵M（0，﹣3），顶点N（1，﹣4），
∴直线MN的解析式为：y＝﹣x﹣3，
∴P（﹣3，0），MN=❑√2，
∴|PN﹣PM|的最大值为❑√2，且此时P（﹣3，0）．
②设点H为（t，﹣t﹣3），
∵△OQH是以点Q为直角顶点的等腰Rt△OQH，
当△OQH是以点Q为直角顶点的等腰Rt△OQH，且Q在x轴上方时，过点Q作QF⊥y轴于点F，过点
H作HE∥y轴交直线QF于点E，如图：
设QF＝m，OF＝n，
∴Q（﹣m，n），
∵△OQH是以点Q为直角顶点的等腰Rt△OQH，即∠OQH＝90°，OQ＝QH，
∴∠EQH+∠FQO＝90°，∠FOQ+∠FQO＝90°，∴∠EQH＝∠FOQ，
∴△EQH≌△FOQ（AAS），
∴EQ＝OF＝n，EH＝QF＝m，
∴点H的坐标为（﹣m﹣n，n﹣m），
∵点H在直线MN上，
∴n﹣m＝m+n﹣3，
3
解得m= ．
2
3 3 3 9
当x=- 时，y＝（- ）2﹣2×（- ）﹣3= ，
2 2 2 4
3 9
∴Q（- ， ）．
2 4
当△OQH是以点Q为直角顶点的等腰Rt△OQH，且点Q在x轴下方时，过点Q作QD⊥x轴点D，过点
H作HC∥x轴交直线QD于点C，如图：
设QF＝p，OF＝q，
∴Q（p，﹣q），
同理可得，△CQH≌△DOQ（AAS），
∴CQ＝OD＝p，CH＝QD＝q，
∴点H的坐标为（p﹣q，﹣p﹣q），
∵点H在直线MN上，
∴﹣p﹣q＝﹣p+q﹣3，
3
解得q= ．
22-❑√10 3 2+❑√10 3
∴Q（ ，- ）或（ ，- ）；
2 2 2 2
3 9 2-❑√10 3 2+❑√10 3
综上，点Q的坐标为（- ， ）或（ ，- ）或（ ，- ）．
2 4 2 2 2 2
【变式5-2】（2022•建华区二模）综合与实践
1
如图，已知正方形OCDE中，顶点E（1，0），抛物线y= x2+bx+c经过点C、点D，与x轴交于A、B
2
两点（点B在点A的右侧），直线x＝t（t＞0）交x轴于点F．
（1）求抛物线的解析式，且直接写出点A、点B的坐标；
1 3
（2）若点G是抛物线的对称轴上一动点，且使AG+CG最小，则G点坐标为： （ ，- ） ；
2 4
（3）在直线x＝t（第一象限部分）上找一点P，使得以点P、点B、点F为顶点的三角形与△OBC全等，
请你直接写出点P的坐标；
（4）点M是射线AC上一点，点N为平面上一点，是否存在这样的点M，使得以点O、点A、点M、
点N为顶点的四边形为菱形？若存在，请你直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）根据正方形的性质可求得：C（0，﹣1），D（1，﹣1），再运用待定系数法即可求得答
案；
（2）连接AD交抛物线的对称轴于点G，连接CG，如图，则此时AG+CG最小，运用待定系数法求得
1 1
直线AD的解析式为y=- x- ，即可求得点G的坐标；
2 2
（3）分两种情形：①△OBC≌△FBP或②△OBC≌△FPB，分别建立方程求解即可；
（4）利用待定系数法可得直线AC的解析式为y＝﹣x﹣1，设M（m，﹣m﹣1）（m＞﹣1），分三种情
况：①当OM、AN为对角线时，如图1，②当AM、ON为对角线时，如图2，③当OA、MN为对角线时，
如图3，分别画出图形，根据菱形性质建立方程求解即可得出答案．
【解答】解：（1）∵E（1，0），∴OE＝1，
∵四边形OCDE是正方形，
∴OC＝CD＝CE＝OE＝1，∠CDE＝∠DEO＝∠OCD＝90°，
∴C（0，﹣1），D（1，﹣1），
1
∵抛物线y= x2+bx+c经过点C（0，﹣1），点D（1，﹣1），
2
{
c=-1
∴ 1 ，
+b+c=-1
2
{c=-1
解得： 1，
b=-
2
1 1
∴抛物线解析式为：y= x2- x﹣1，
2 2
1
∵抛物线y= x2+bx+c与x轴交于A、B两点（点B在点A的右侧），
2
1 1
∴令y＝0，即有 x2- x﹣1＝0，
2 2
整理得：（x+1）（x﹣2）＝0，．
解得：x＝﹣1，x＝2，
1 2
∴A点坐标为（﹣1，0），B点坐标为（2，0）；
1 3
（2）G点坐标为：（ ，- ），理由如下：
2 4
1 1
∵抛物线y= x2- x﹣1经过C（0，﹣1），D（1，﹣1），
2 2
1
∴C、D关于抛物线的对称轴：直线x= 对称，
2
连接AD交抛物线的对称轴于点G，连接CG，如图，则此时AG+CG最小，
1
∵C、D关于抛物线的对称轴：直线x= 对称，
2
∴CG＝DG，
∴AG+CG＝AG+DG＝AD（两点之间，线段最短）
∵A（﹣1，0），D（1，﹣1），
1 1
∴直线AD的解析式为y=- x- ，
2 2
1
∵连接AD交抛物线的对称轴：直线x= 于点G，
2
1 1 1 1 3
∴当x= 时，y=- × - =- ，
2 2 2 2 4
1 3
∴G（ ，- ）；
2 4
1 3
故答案为：（ ，- ）；
2 4
（3）符合条件的点P的坐标为（4，1）或（3，2），理由如下：
∵由（1）知C（0，﹣1），B（2，0），x轴⊥y轴（即OC⊥AB），
∴OC＝1，OB＝2，∠BOC＝90°，
∴BC=❑√5，
∵在直线x＝t（第一象限部分）上找一点P，使得以点P、点B、点F为顶点的三角形与△OBC全等，
∴OF＝t，PF⊥x轴
∴BF＝OF﹣OB＝t﹣2，
分两种情形：①△OBC≌△FBP或②△OBC≌△FPB，
∴BP＝BC=❑√5，FP＝OC＝1，BF＝OB＝2或BP＝BC=❑√5，FP＝OB＝2，BF＝OC＝1，
∴t﹣2＝2或t﹣2＝1，
∴t＝4或t＝3，
∴P（4，1）或（3，2）；
1 1 1 1
（4）存在符合条件的点M和N，点N坐标为（﹣1，﹣1）或（- ， ）或（ ，- ❑√3），理由如下：
2 2 2 2
设直线AC的解析式为y＝kx+d，把A（﹣1，0），C（0，﹣1）代入，
{-k+d=0
得： ，
d=-1{k=-1
解得： ，
d=-1
∴直线AC的解析式为y＝﹣x﹣1，
∵点M是射线AC上一点，点N为平面上一点，
∴设M（m，﹣m﹣1）（m＞﹣1），
①当OM、AN为对角线时，如图1，
∵四边形OAMN是菱形，
∴AM＝MN＝OA＝1，MN∥OA，
∴（m+1）2+（﹣m﹣1）2＝1，
❑√2 ❑√2
解得：m＝﹣1+ 或m＝﹣1- （不符合题意，舍去），
2 2
❑√2 ❑√2
∴M（﹣1+ ，- ），
2 2
❑√2 ❑√2
∴N（ ，- ）；
2 2
②当AM、ON为对角线时，如图2，
∵四边形OAMN是菱形，
∴AN＝MN＝OA＝OM＝1，MN∥OA，AN∥OM，∴m2+（﹣m﹣1）2＝1，
解得：m＝0或m＝﹣1（不符合题意，舍去），
∴M（0，﹣1），
∴N（﹣1，﹣1）；
③当OA、MN为对角线时，如图3，
∵四边形OAMN是菱形，
∴MN⊥OA，AM＝OM，MN与OA互相垂直平分，即M与N关于x轴对称，
∴（m+1）2+（﹣m﹣1）2＝m2+（﹣m﹣1）2，
1
解得：m=- ，
2
1 1
∴M（- ，- ），
2 2
1 1
∴N（- ， ）；
2 2
❑√2 ❑√2 1 1
综上所述，点N的坐标为（ ，- ）或（﹣1，﹣1）或（- ， ）．
2 2 2 2
【变式5-3】（2022•南宁一模）如图1所示抛物线与x轴交于O，A两点，OA＝6，其顶点与x轴的距离是
6．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P在抛物线上，过点P的直线y＝x+m与抛物线的对称轴交于点Q．
①当△POQ与△PAQ的面积之比为1：3时，求m的值；
②如图2，当点P在x轴下方的抛物线上时，过点B（3，3）的直线AB与直线PQ交于点C，求PC+CQ
的最大值．【分析】（1）由题意可得y＝a（x﹣3）2﹣6，再将（0，0）代入求出a的值即可求函数的解析式；
（2）①设直线y＝x+m与y轴的交点为E，与x轴的交点为F，则OE＝|m|，AF＝|6+m|，由题意可知直
❑√2 ❑√2
线y＝x+m与坐标轴的夹角为45°，求出OM= |m|，AN= |6+m|，再由|m|：|6+m|＝1：3，求出m的
2 2
值即可；
2
②设P（t， t2﹣4t），过P作PE∥y轴交AB于点E，过P作PF⊥BQ交于F，求出直线AB的解析式后
3
2
可求E（t，﹣t+6），则PE=- t2+3t+6，由直线AB与直线PQ的解析式，能确定两直线互相垂直，可
3
❑√2 ❑√2 2❑√2
求CQ= BQ，CP= PE，则PC+CQ=- （t﹣3）2+9❑√2，即可求PC+CQ的最大值．
2 2 3
【解答】解：（1）∵OA＝6，
∴抛物线的对称轴为直线x＝3，
设抛物线的解析式为y＝a（x﹣3）2+k，
∵顶点与x轴的距离是6，
∴顶点为（3，﹣6），
∴y＝a（x﹣3）2﹣6，
∵抛物线经过原点，
∴9a﹣6＝0，
2
∴a= ，
3
2
∴y= （x﹣3）2﹣6；
3（2）①设直线y＝x+m与y轴的交点为E，与x轴的交点为F，
∴E（0，m），F（﹣m，0），
∴OE＝|m|，AF＝|6+m|，
∵直线y＝x+m与坐标轴的夹角为45°，
❑√2 ❑√2
∴OM= |m|，AN= |6+m|，
2 2
∵S ：S ＝1：3，
△POQ △PAQ
∴OM：AN＝1：3，
∴|m|：|6+m|＝1：3，
3
解得m=- 或m＝3；
2
2
②设P（t， t2﹣4t），
3
过P作PE∥y轴交AB于点E，过P作PF⊥BQ交于F，
设直线AB的解析式为y＝kx+b，
{6k+b=0
∴ ，
3k+b=3
{k=-1
解得 ，
b=6
∴y＝﹣x+6，
∴E（t，﹣t+6），
2 2
∴PE＝﹣t+6﹣（ t2﹣4t）=- t2+3t+6，
3 3
设直线AB与y轴交点为G，
令x＝0，则y＝6，
∴G（0，6），
∴OG＝OA＝6，
∴∠OGA＝45°，
设直线PQ与x轴交点为K，与y轴交点为L，
直线PQ的解析式为y＝x+m，令x＝0，则y＝m
∴L（0，m），
令y＝0，则x＝﹣m，
∴K（﹣m，0），∴OL＝OK，
∴∠OLK＝45°，
∴∠GCL＝90°，
∴PF＝FQ＝3﹣t，
设BF与x轴交点为H，
2
∴FH=- t2+4t，
3
2 2
∴HQ=- t2+4t﹣3+t=- t2+5t﹣3，
3 3
2 2
∴BQ＝3- t2+5t﹣3=- t2+5t，
3 3
❑√2 ❑√2 2
∴CQ= BQ= （- t2+5t），
2 2 3
❑√2 ❑√2 2
∵CP= PE= （- t2+3t+6），
2 2 3
❑√2 2 ❑√2 2 ❑√2 4 2❑√2
∴PC+CQ= （- t2+3t+6）+ （- t2+5t）= （- t2+8t+6）=- （t﹣3）2+9❑√2，
2 3 2 3 2 3 3
当t＝3时，PC+CQ的最大值为9❑√2．【题型6 二次函数中求周长最值】
【例6】（2022•南京模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+2ax+4与x轴交于点A（﹣4，
0），B（x ，0），与y轴交于点C．经过点B的直线y＝kx+b与y轴交于点D（0，2），与抛物线交于
2
点E．
（1）求抛物线的表达式及B，C两点的坐标；
（2）若点P为抛物线的对称轴上的动点，当△AEP的周长最小时，求点P的坐标；
（3）若点M是直线BE上的动点，过M作MN∥y轴交抛物线于点N，判断是否存在点M，使以点M，
N，C，D为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）先利用待定系数法求出抛物线解析式，再求出点B、C坐标；
（2）利用待定系数法可求出一次函数解析式，由 A、B关于对称轴对称，则BE与抛物线对称轴交点，
即为△AEP的周长最小时，点P的坐标；
（3）由MN∥CD可知MN为平行四边形的边，设点 M的坐标为（m，﹣m+2），则点N的坐标为1
（m，- m2-m+4），利用MN＝CD，可得到关于m的方程，从而求出点M的坐标．
2
【解答】解：（1）∵点A（﹣4，0）在抛物线y＝ax2+2ax+4上，
∴0＝16a﹣8a+4，
1
∴a=- ，
2
1
∴y=- x2-x+4．
2
1
令y＝0，得- x2-x+4=0
2
解得：x＝﹣4，x＝2，
1 2
∴点B的坐标为（2，0），
令x＝0，则y＝4，
∴点C的坐标为（0，4）；
（2）如图，
1
由y=- x2-x+4，
2
-1
x=- =-1
可得对称轴为： 1 ，
2×(- )
2
∵△AEP的边AE是定长，
∴当PE+PA的值最小时，△AEP的周长最小．
点A关于x＝﹣1的对称点为点B，
∴当点P是BE与直线x＝﹣1的交点时，PE+PA的值最小．∵直线BE经过点B（2，0），D（0，2），
{0=2k+b {k=-1
∴ ，解得 ，
2=b b=2
∴直线BE：y＝﹣x+2，
令x＝﹣1，得y＝3，
∴当△AEP的周长最小时，点P的坐标为（﹣1，3）；
（3）存在点M，使以点M，N，C，D为顶点的四边形是平行四边形．
∵MN∥CD，
∴要使以点M，N，C，D为顶点的四边形是平行四边形，则MN＝CD即可，
∵CD＝4﹣2＝2，
∴MN＝CD＝2，
∵点M在直线y＝﹣x+2上，
1
∴可设点M的坐标为（m，﹣m+2），则点N的坐标为（m，- m2-m+4），
2
1
∴|-m+2+ m2+m-4|=2，
2
1
即| m2-2|=2，
2
1
当
m2-2=2时，
2
解得m=±2❑√2，
此时点M的坐标为：（2❑√2，2-2❑√2）或（-2❑√2，2+2❑√2），
1
当
m2-2=-2时，
2
解得m＝0（舍去），
综上所述，存在点M使以点M，N，C，D为顶点的四边形是平行四边形，此时点M的坐标为：（2❑√2，2-2❑√2）或（-2❑√2，2+2❑√2）．
【变式6-1】（2022•乐业县二模）如图，抛物线y＝ax2+bx﹣3与x轴交于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，
直线l与抛物线交于A、C两点，其中点C的横坐标是2．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）在抛物线的对称轴上找一点P，使得△PBC的周长最小，并求出点P的坐标；
（3）在平面直角坐标系中，是否存在一点E，使得以E、A、B、C为顶点的四边形是平行四边形？若
存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）把A（﹣1.0），B（3.0）两点代入抛物线的解析式，利用待定系数法求解抛物线的解析
式即可；
（2）先求解抛物线的对称轴为x＝1，结合A、B关于直线x＝1对称，所以AC与对称轴的交点为点P，
此时C ＝PB+PC+BC＝AC+BC，此时△BPC的周长最短，再求AC的解析式即可得到答案；
△PBC
（3）分三种情况讨论，再利用中点坐标公式列方程，从而可得答案．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx﹣3与x轴交于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，
{ a-b-3=0
∴ ，
9a+3b-3=0
{ a=1
解得： ，
b=-2
∴抛物线的函数表达式为y＝x2﹣2x﹣3；
（2）∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴抛物线的对称轴为x＝1，
∵A、B关于直线x＝1对称，所以AC与对称轴的交点为点P，此时C ＝PB+PC+BC＝AC+BC，
△PBC
此时△BPC的周长最短，
∵点C的横坐标是2，
y ＝22﹣2×2﹣3＝﹣3，
C
∴C（2，﹣3），
设直线AC的解析式为y＝mx+n（m≠0），
{2m+n=-3
∴ ，
-m+n=0
{m=-1
解得： ，
n=-1
∴直线AC的解析式为y＝﹣x﹣1，
当x＝1时，y＝﹣1﹣1＝﹣2，
∴P（1，﹣2）；
（3）存在一点E，使得以E、A、B、C为顶点的四边形是平行四边形．
∵A（﹣1，0），B（3，0），C（2，﹣3），设E（x，y），
①当AB为对角线时，
{-1+3=2+x
则 ，
0+0=-3+ y
{x=0
解得： ，
y=3
∴E（0，3）；
②当AC为对角线时，
{-1+2=3+x
则 ，
0-3=0+ y
{x=-2
解得： ，
y=-3
∴E（﹣2，﹣3）；
③当BC为对角线时，
{3+2=-1+x
则 ，
0-3=0+ y
{ x=9
解得： ，
y=-3
∴E（6，﹣3）．
综上所述，E点坐标为（0，3）或（﹣2，﹣3）或（6，﹣3）．【变式6-2】（2022•覃塘区三模）如图，已知抛物线y＝x2+bx+c经过点A（0，﹣1）和点B（5，4），P
是直线AB下方抛物线上的一个动点，PC∥y轴与AB交于点C，PD⊥AB于点D，连接PA．
（1）求抛物线的表达式；
（2）当△PCD的周长取得最大值时，求点P的坐标和△PCD周长的最大值；
（3）当△PAC是等腰三角形时，请直接给出点P的坐标．
【分析】（1）利用特定系数解答，即可求解；
（2）先求出直线AB的表达式为y＝x﹣1，可得△PCD是等直角三角形，从而得到△PCD的周长为：
PC+PD+CD＝（❑√2+1）PC，设点P的坐标为（x，x2﹣4x﹣1），则点C的坐标为（x，x﹣1），利用二
次函数的性质，即可求解；
（3）分三种情况讨论，即可求解．
{ c=-1
【解答】解：（1）由题意得： ，
52+5b+c=4
{b=-4
解得： ，
c=-1
则抛物线的表达式为：y＝x2﹣4x﹣1；
（2）设直线AB的表达式为：y＝kx+a（k≠0），
∵A（0，﹣1），B（5，4），
{ a=-1
∴ ，
5k+a=4
{a=-1
解得： ，
k=1
∴直线AB的表达式为：y＝x﹣1，
设直线AB交x轴于点M，当y＝0时，x＝1，
∵OA＝OM＝1，
∵∠AOM＝90°，
∴∠OAB＝45°，
∵CP∥y轴，
∴∠DCP＝∠OAB＝45°，
∵PD⊥AB，
∴△PCD是等腰直角三角形，即CD＝PD，
❑√2
∴PC=❑√CD2+DP2=❑√2CD，即CD＝PD= PC，
2
∴△PCD的周长为：PC+PD+CD＝（❑√2+1）PC，
设点P的坐标为（x，x2﹣4x﹣1），则点C的坐标为（x，x﹣1），
5 25
∴（❑√2+1）PC＝（❑√2+1）[（x﹣1）﹣（x2﹣4x﹣1）]＝﹣（❑√2+1）[（x- ）2- ]，
2 4
∵﹣（❑√2+1）＜0，
5 25
∴当x= 时，△PCD周长取得最大值，最大值为 （❑√2+1），
2 4
5 19
此时点P的坐标为（ ，- ）；
2 4
（3）如图，过点A作PA⊥y轴，交抛物线于点P，
1 1∵CP ∥y轴，
1
∴∠ACP＝45°，
1
∴△ACP 是等腰直角三角形，
1
∴点A （0，﹣1），
∴点P 的纵坐标为﹣1，
1
当y＝﹣1时，﹣1＝x2﹣4x﹣1，
解得：x＝4，x＝0（舍去），
1 2
此时点P（4，﹣1）；
1
如图，当PA⊥AB时，
2
∵CP ∥y轴，
2
∴∠ACP＝45°，
2
∴△ACP 是等腰直角三角形，点C，P 关于直线AP 对称，
2 2 1
设点P（m，m2﹣4m﹣1），则点C（m，m﹣1），
2
1
∴ [（m2﹣4m﹣1）+（m﹣）]＝﹣1，
2
解得：m＝3，m＝0（舍去），
1 2
此时点P（3，﹣4）；
2
如图，若AC＝CP ，作CE⊥y轴于点E．
3∵∠CAE＝45°，
∴△ACE是等腰直角三角形，即AE＝CE，
∴PC＝AC=❑√AE2+CE2=❑√2CE，
3
设点P（m，m2﹣4m﹣1），
3
则点C（m，m﹣1），
∴（m﹣1）﹣（m2﹣4m﹣1）=❑√2m，
解得：m＝5-❑√2，m＝0（舍去），
1 2
∴此时点p（5-❑√2，6﹣6❑√2）；
3
综上所述，点P的坐标为（4，﹣1）或（3，﹣4）或（5-❑√2，6﹣6❑√2）．
8
【变式6-3】（2022•黄石模拟）如图，已知抛物线y=ax2+ x+c与x轴交于A（2，0），B两点，与y
5
1 8
轴交于点C（0，﹣4），直线l：y=- x-4与x轴交于点D，点P是抛物线y=ax2+ x+c上的一动
2 5
点，过点P作PE⊥x轴，垂足为E，交直线l于点F．
（1）求该抛物线的表达式；
（2）点P是抛物线上位于第三象限的一动点，设点P的横坐标是m，四边形PCOB的面积是S．①求S
关于m的函数解析式及S的最大值；②点Q是直线PE上一动点，当S取最大值时，求△QOC周长的最
小值及FQ的长．【分析】（1）运用待定系数法即可求得抛物线解析式；
1 8
（2）①如图1，连接BP，先求得B（﹣10，0），设P（m， m2+ m﹣4），可得S＝﹣m2﹣10m+20＝
5 5
﹣（m+5）2+45，利用二次函数性质即可求得答案；
②由①可得：P（﹣5，﹣7），E（﹣5，0），可得OE＝BE＝5，故点B与点O关于直线PE对称，连
接BC交PE于点Q，则QO＝QB，可得QO+QC＝QB+QC＝BC，此时QO+QC最小，即△QOC的周长
最小，运用勾股定理可得BC＝2❑√29，即可得出△QOC的周长的最小值为：BC+OC＝2❑√29+4；运用
2 3
待定系数法可得直线BC的解析式为y=- x﹣4，进而可得Q（﹣5，﹣2），F（﹣5，- ），即可求得
5 2
FQ的值．
8
【解答】解：（1）∵抛物线y=ax2+ x+c经过A（2，0）、C（0，﹣4），
5
{ 16
4a+ +c=0
∴ 5 ，
c=-4
{ 1
a=
解得： 5 ，
c=-4
1 8
∴该抛物线的表达式为y= x2+ x﹣4；
5 5
（2）①如图1，连接BP，
1 8 1 8
∵抛物线y= x2+ x﹣4，令y＝0，得 x2+ x﹣4＝0，
5 5 5 5
解得：x＝﹣10，x＝2，
1 2
∴B（﹣10，0），1 8
设P（m， m2+ m﹣4），
5 5
∵PE⊥x轴，
∴E（m，0），
1 8 1 8
∴OE＝﹣m，BE＝m+10，PE＝﹣（ m2+ m﹣4）=- m2- m+4，
5 5 5 5
1 1 8 1 1 8
∴S＝S +S = ×（m+10）×（- m2- m+4）+ ×（- m2- m+4+4）×（﹣m）＝﹣m2﹣
△PBE 梯形OCPE 2 5 5 2 5 5
10m+20，
∵S＝﹣m2﹣10m+20＝﹣（m+5）2+45，
∴当m＝﹣5时，S的最大值为45；
②由①得：当m＝﹣5时，S的最大值为45，
∴P（﹣5，﹣7），E（﹣5，0），
∴OE＝BE＝5，
∵PE⊥x轴，
∴直线PE是线段OB的垂直平分线，
∴点B与点O关于直线PE对称，
连接BC交PE于点Q，则QO＝QB，
∴QO+QC＝QB+QC＝BC，此时QO+QC最小，即△QOC的周长最小，
在Rt△BCO中，BC=❑√OB2+OC2=❑√102+42=2❑√29，
∴△QOC的周长的最小值为：BC+OC＝2❑√29+4，
{-10k+b=0
设直线BC的解析式为y＝kx+b，把B（﹣10，0），C（0，﹣4）代入，得 ，
b=-4
{ 2
k=-
解得： 5，
b=-4
2
∴直线BC的解析式为y=- x﹣4，
5
2
当x＝﹣5时，y=- ×（﹣5）﹣4＝﹣2，
5
∴Q（﹣5，﹣2）；
1
∵直线l的解析式为y=- x﹣4，
21 3
∴当x＝﹣5时，y=- ×（﹣5）﹣4=- ，
2 2
3
∴F（﹣5，- ），
2
3 1
∴FQ=- -（﹣2）= ，
2 2
1
故△QOC周长的最小值为2❑√29+4，FQ的长为 ．
2
【题型7 二次函数中求面积最值】
【例7】（2022•三水区校级三模）已知抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a（a＜0）交x轴于点A，B（A在B的左
侧），交y轴于点C．
（1）求点A的坐标；
（2）若经过点A的直线y＝kx+k交抛物线于点D．
①当k＞0且a＝﹣1时AD交线段BC于E，交y轴于点F，求S ﹣S 的最大值；
△EBD △CEF
②当k＜0且k＝a时，设P为抛物线对称轴上一动点，点Q是抛物线上的动点，那么以A，D，P，Q为
顶点的四边形能否成为矩形？若能，求出点P的坐标，若不能，请说明理由．【分析】（1）令y＝0，则ax2﹣2ax﹣3a＝0，可求A点坐标；
{y=-x2+2x+3 {y=kx+k
（2）①联立方程组 ，求出D点坐标，求出直线BC的解析式，联立方程组 ，
y=kx+k y=-x+3
求出E点坐标，过D点作DG∥y轴交BC于点G，则可知G（3﹣k，k），求出DG＝3k﹣k2，可求S
△EBD
15 81
﹣S ＝﹣2（k- ）2+ ，由此可求S ﹣S 的最大值；
△CEF 8 32 △EBD △CEF
{y=ax2-2ax-3a
②设P（1，t），Q（m，am2﹣2am﹣3a），联立方程组 ，求出点D（4，5a），分
y=ax+a
26❑√7
三种情况讨论：①当AP为矩形对角线时，DQ2＝AD2+AQ2，（1，- ）；②当AD为矩形对角线时，
7
DA2＝DQ2+AQ2，P（1，﹣4）；③当AQ为矩形对角线时，AQ2＝AD2+DQ2，此时a无解．
【解答】解：（1）令y＝0，则ax2﹣2ax﹣3a＝0，
解得x＝﹣1或x＝3，
∴A（﹣1，0），B（3，0）；
（2）①∵a＝﹣1，
∴y＝﹣x2+2x+3，
令x＝0，则y＝3，
∴C（0，3），
{y=-x2+2x+3
联立方程组 ，
y=kx+k
整理得，x2+（k﹣2）x+k﹣3＝0，
解得k＝﹣1或k＝3﹣k，
∴D（3﹣k，4k﹣k2），
设直线BC的解析式为y＝k'x+b，
{3k'+b=0
∴ ，
b=3
{ b=3
解得 ，
k'=-1
∴y＝﹣x+3，
过D点作DG∥y轴交BC于点G，∴G（3﹣k，k），
∴DG＝3k﹣k2，
{y=kx+k
联立方程组 ，
y=-x+3
3-k
{x=
1+k
解得 ，
4k
y=
1+k
3-k 4k
∴E（ ， ），
1+k 1+k
在y＝kx+k中，x＝0时，y＝k，
∴F（0，k），
1 3-k 1 3-k
∴S = ×（3- ）×（3k﹣k2），S = ×（3﹣k）× ，
△BDE 2 1+k △CEF 2 1+k
1 3-k 1 3-k 1
∴S ﹣S = ×（3- ）×（3k﹣k2）- ×（3﹣k）× = （3﹣k）（4k﹣3）＝﹣2（k
△EBD △CEF 2 1+k 2 1+k 2
15 81
- ）2+ ，
8 32
15 81
∴当k= 时，S ﹣S 的最大值为 ；
8 △EBD △CEF 32
②以A，D，P，Q为顶点的四边形能成为矩形，理由如下：
∵y＝ax2﹣2ax﹣3a＝a（x﹣1）2﹣4a，
∴抛物线的对称轴为直线x＝1，
设P（1，t），Q（m，am2﹣2am﹣3a），
∵k＝a，
∴y＝ax﹣a，
{y=ax2-2ax-3a
联立方程组 ，
y=ax+a
{ x=4 {x=-1
解得 或 （舍），
y=5a y=0
∴D（4，5a），
①当AP为矩形对角线时，DQ2＝AD2+AQ2，
∴4+m＝0，t＝am2﹣2am+2a，∴m＝﹣4，
∴Q（﹣4，21a），
∴64+（16a）2＝25+25a2+9+（21a）2，
❑√7
解得a=± ，
7
∵a＜0，
❑√7
∴a=- ，
7
26❑√7
∴t=- ，
7
26❑√7
∴P（1，- ）；
7
②当AD为矩形对角线时，DA2＝DQ2+AQ2，
∴1+m＝3，5a＝t+am2﹣2am﹣3a，
∴m＝2，
∴Q（2，﹣3a），
∴25+25a2＝9+9a2+4+64a2，
1
解得a=± ，
2
∵a＜0，
1
∴a=- ，
2
∴t＝﹣4，
∴P（1，﹣4）；
③当AQ为矩形对角线时，AQ2＝AD2+DQ2，
∴m﹣1＝5，t+5a＝am2﹣2am﹣3a，
∴m＝6，
∴Q（6，21a），
∴49+（21a）2＝25+25a2+4+（16a）2，
此时a无解；
26❑√7
综上所述：P点坐标为（1，- ）或（1，﹣4）．
7【变式7-1】（2022•宜兴市二模）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a为常数，且a＜0）与x轴相交于A（﹣
1，0），B（3，0）两点，与y轴相交于点C，顶点为D，直线BD与y轴相交于点E．
1
（1）求证OC= OE；
2
1
（2）M为线段OB上一点，N为线段BE上一点，当a=- 时，求△CMN的周长的最小值；
2
（3）若Q为第一象限内抛物线上一动点，小林猜想：当点Q与点D重合时，四边形ABQC的面积取得
最大值．请判断小林猜想是否正确，并说理由．
【分析】（1）将A（﹣1，0），B（3，0）两点代入抛物线关系式，用a表示出b，c，用a表示出点
C，点D的坐标，求出直线BD的关系式，即可表示出E点坐标，用a表示出OC．OE，即可得出结论；
1 1 3
（2）当a=- 时，抛物线为y=- x2+x+ ，作点C关于BE的对称点C′，关于x轴的对称点C″，连
2 2 2
接C′C″，与OB交为M，与BE交点为N，此时△CMN的周长最小，连接C′E，求出点C′的坐标，
根据△CMN周长的最小值为CM+CN+MN＝C″M+C′N+MN＝C′C″，算出最小值即可；
（3）过Q作QK⊥x轴，交BC于点K，设点Q的横坐标为x，用x表示出QK，再将四边形分成两个三3
角形，用x表示出两个三角形的面积，可求出当x取 时，S 有最大值，对比D点的横坐标，说
2 四边形ABQC
明小林猜想错误．
【解答】（1）证明：∵抛物线y＝ax2+bx+c（a为常数，且a＜0）与x轴相交于A（﹣1，0），B（3，
0）两点，
{ a-b+c=0
∴ ，
9a+3b+c=0
{b=-2a
解得 ，
c=-3a
∴抛物线为y＝ax2﹣2ax﹣3a＝a（x﹣1）2﹣4a，
∴C（0，﹣3a），D（1，﹣4a），
设直线BD的解析式为y＝kx+b，把B、D两点的坐标分别代入得：
1 1
{ 3k +b =0 { k =2a
1 1 1
，解得 ，
k +b =-4a b =-6a
1 1 1
直线BD为y＝2ax﹣6a，
∴E（0，﹣6a），
∴OC＝3a，OE＝6a，
1
∴OC= OE；
2
1 1 3
（2）解：当a=- 时，抛物线为y=- x2+x+ ，作点C关于BE的对称点C′，关于x轴的对称点
2 2 2
C″，连接C′C″，与OB交为M，与BE交点为N，此时△CMN的周长最小，连接C′E，如图所示：3
此时C（0， ），直线BE为y＝﹣x+3，点E（0，3），
2
∵OB＝3，
∴OB＝OE＝3，
∵∠BOE＝90°，
∴∠OEB＝∠OBE＝45°，
∵CC′⊥BE，
∴∠CEB＝∠ECC′＝45°，
∵BE垂直平分CC′，
3 3
∴CE＝C′E＝3- = ．CN＝C′N，
2 2
∴∠CEB＝∠C′EB＝45°，
∴∠CEC′＝90°，
∴CE⊥y轴，
3
∴点C′（ ，3），
2
3
∵C关于x轴的对称点C″为（0，- ），
2
∴CM＝C″M，
∴△CMN周长的最小值为：
√ 3 3 3❑√10
CM+CN+MN＝C″M+C′N+MN＝C′C″=❑( ) 2+(3+ ) 2= ；
2 2 2
（3）解：小林猜想不正确，理由如下：
过Q作QK⊥x轴，交BC于点K，
∵B（3，0），C（0，﹣3a），
∴直线BC为y＝ax﹣3a，设点Q的横坐标为x，则Q（x，ax2﹣2ax﹣3a），K（x，ax﹣3a），
∴QK＝ax2﹣2ax﹣3a﹣（ax﹣3a）＝ax2﹣3ax，
1 1 3 3 27a
∴S ＝S +S = ×4×（﹣3a）+ （ax2﹣3ax）×3= a（x- ）2- -6a，
四边形ABQC △ABC △BQC 2 2 2 2 8
∵a＜0，
3
∴当点Q的横坐标为x= 时，S 有最大值，
2 四边形ABQC
∵点D的横坐标是1，
∴四边形ABQC的面积取得最大值时，点Q与点D不重合，小林猜想不正确．
3
【变式7-2】（2022秋•九龙坡区校级月考）如图，直线y=- x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物
4
3 3
线y=- x2+ x+c经过A、B两点，与x轴的另一个交点为C，点P是第一象限抛物线上的点，连结OP
8 4
S 1
交直线AB于点Q，设点P的横坐标为m，当四边形PACB面积最大时， △BPQ = ．
S 4
△OAQ
【分析】先求出A，B坐标，在用待定系数法求出抛物线解析式，再判断当四边形 PACB面积最大时点
P的坐标（2，3），得到直线PB∥OA；，再求出点Q的坐标，然后用三角形的面积即可得出结论．
3
【解答】解：对于y=- x+3，
4
令x＝0，则y＝3，令y＝0，则x＝4，
故点A、B的坐标分别为：（4，0）、（0，3），
3 3
∵抛物线y=- x2+ x+c经过B点，
8 4
∴c＝3，
3 3
抛物线的表达式为y=- x2+ x+3，
8 43 3
令y＝0，则- x2+ x+3＝0，
8 4
解得：x＝﹣2，x＝4，
1 2
∴C（﹣2，0），
∵S ＝S +S ，S 为定值，
四边形PACB △PAB △ACB △ABC
∴当S 最大时，四边形PACB面积最大，
PAB
∴平移直线AB至和抛物线相切时，切点即为点P，此时S 最大，
PAB
3
∴设平行于直线AB且和抛物线相切的直线为y=- x+b，
4
3 3
{y=- x2+ x+3
8 4
联立方程组得 ，
3
y=- x+b
4
3 3
化简得：- x2+ x+3﹣b＝0①，
8 2
3 3
∴Δ＝（ ）2﹣4×（- ）×（3﹣b）＝0，
2 8
9
解得：b= ，
2
9
把b= 代入①得并化简得：x2﹣4x+4＝0，
2
解得：x＝x＝2，
1 2
∴y＝3，
∴P（2，3），
∵B（0，3），
∴PB∥OA，
3
设直线OP的表达式为：y＝kx，将点P坐标代入上式并解得：k= ，
2
3
则直线OP的表达式为：y= x，
2
3
{ y= x
2
联立方程组 ，
3
y=- x+3
44
解得：x= ，y＝2，
3
4
即点Q（ ，2），
3
故y ＝2，则△BPQ的高为3﹣2＝1，
Q
1
BP×1
S 2 2 1
∴ △PBQ = = = ．
S 1 4×2 4
△OAQ OA×2
2
1
故答案为： ．
4
1
【变式7-3】（2022•大庆三模）如图，已知抛物线y= x2+bx+c与y轴交于点C（0，2），对称轴为x＝
4
2，直线y＝kx（k＞0）分别交抛物线于点A，B（点A在点B的左边），直线y＝mx+n分别交y轴、x轴
于点D，E（4，0），交抛物线y轴右侧部分于点F，交AB于点P，且OC＝CD．
（1）求抛物线及直线DE的函数表达式；
（2）若G为直线DE下方抛物线上的一个动点，连接GD，GF，求当△GDF面积最大时，点G的坐标
及△GDF面积的最大值；
【分析】（1）先根据点C的坐标，确定c的值，根据抛物线的对称轴为x＝2．得出b的值，即可得出
抛物线的解析式；根据OC＝CD，得出点D的坐标，利用待定系数法即可得直线DE的函数解析式；
{ y= 1 x2-x+2 1
（2）过点G作GQ∥y轴，交DE于点Q，联立 4 ，求出点F的横坐标，设点G（t， t2
4
y=-4x+4
1 ❑√2
﹣t+2），则点Q（t，﹣t+4），GQ=- t2+2，即可表示出S =- t2+2❑√2．求出结果即可；
4 △GDF 41
【解答】解：（1）∵抛物线y= x2+bx+c与y轴交于点C（0，2），
4
∴c＝2，
∵抛物线的对称轴为x＝2，
b
- =
∴ 1 2，
2×
4
∴b＝﹣1，
1
∴抛物线的函数表达式为：y= x2﹣x+2，
4
∵OC＝CD，
∴D（0，4），
又∵直线y＝mx+n分别交y轴、x轴于点D，E（4，0），
{4m+n=0
∴ ，
n=4
{m=-1
∴ ，
n=4
∴直线DE的函数表达式为y＝﹣x+4；
（2）过点G作GQ∥y轴，交DE于点Q，如图所示：
{ y= 1 x2-x+2
联立 4 ，
y=-4x+4
解得x＝2❑√2，x＝﹣2❑√2，
1 2
∴点F的横坐标为2❑√2，1
设点G（t， t2﹣t+2），则点Q（t，﹣t+4），
4
1 1
GQ＝﹣t+4﹣（ t2﹣t+2）=- t2+2，
4 4
∴S ＝S ﹣S
△GDF △GQF △GQD
1 1 1 1
= ×（- t2+2）（2❑√2-t）- ×（- t2+2）（﹣t），
2 4 2 4
1 1
== ×（- t2+2）×2❑√2
2 4
❑√2
=- t2+2❑√2．
4
∴当x＝0时，即点G的坐标为（0，2）时，△GDF面积有最大值为2❑√2
【题型8 二次函数在新定义中求最值】
【例8】（2022•安顺）在平面直角坐标系中，如果点P的横坐标和纵坐标相等，则称点P为和谐点．例如：
1 1
点（1，1），（ ， ），（-❑√2，-❑√2），……都是和谐点．
2 2
（1）判断函数y＝2x+1的图象上是否存在和谐点，若存在，求出其和谐点的坐标；
5 5
（2）若二次函数y＝ax2+6x+c（a≠0）的图象上有且只有一个和谐点（ ， ）．
2 2
①求a，c的值；
1
②若1≤x≤m时，函数y＝ax2+6x+c+ （a≠0）的最小值为﹣1，最大值为3，求实数m的取值范围．
4
【分析】（1）设函数y＝2x+1的和谐点为（x，x），可得2x+1＝x，求解即可；
5 5
（2）将点（ ， ）代入y＝ax2+6x+c，再由ax2+6x+c＝x有且只有一个根，Δ＝25﹣4ac＝0，两个方程
2 2
联立即可求a、c的值；
②由①可知y＝﹣x2+6x﹣6＝﹣（x﹣3）2+3，当x＝1时，y＝﹣1，当x＝3时，y＝3，当x＝5时，y＝﹣
1，则3≤m≤5时满足题意．
【解答】解：（1）存在和谐点，理由如下，
设函数y＝2x+1的和谐点为（x，x），
∴2x+1＝x，
解得x＝﹣1，
∴和谐点为（﹣1，﹣1）；5 5
（2）①∵点（ ， ）是二次函数y＝ax2+6x+c（a≠0）的和谐点，
2 2
5 25
∴ = a+15+c，
2 4
25 25
∴c=- a- ，
4 2
∵二次函数y＝ax2+6x+c（a≠0）的图象上有且只有一个和谐点，
∴ax2+6x+c＝x有且只有一个根，
∴Δ＝25﹣4ac＝0，
25
∴a＝﹣1，c=- ；
4
②由①可知y＝﹣x2+6x﹣6＝﹣（x﹣3）2+3，
∴抛物线的对称轴为直线x＝3，
当x＝1时，y＝﹣1，
当x＝3时，y＝3，
当x＝5时，y＝﹣1，
∵函数的最大值为3，最小值为﹣1；
当3≤m≤5时，函数的最大值为3，最小值为﹣1．
【变式8-1】（2022•姑苏区校级模拟）平面直角坐标系xOy中，对于任意的三个点A、B、C，给出如下定
义：若矩形的任何一条边均与某条坐标轴平行，且A，B，C三点都在矩形的内部或边界上，则称该矩
形为点A，B，C的“三点矩形”．在点A，B，C的所有“三点矩形”中，若存在面积最小的矩形，则
称该矩形为点A，B，C的“最佳三点矩形”．
如图1，矩形DEFG，矩形IJCH都是点A，B，C的“三点矩形”，矩形IJCH是点A，B，C的“最佳
三点矩形”．
如图2，已知M（4，1），N（﹣2，3），点P（m，n）．
（1）①若m＝2，n＝4，则点M，N，P的“最佳三点矩形”的周长为 1 8 ，面积为 1 8 ；
②若m＝2，点M，N，P的“最佳三点矩形”的面积为24，求n的值；
（2）若点P在直线y＝﹣2x+5上．
①求点M，N，P的“最佳三点矩形”面积的最小值及此时m的取值范围；
②当点M，N，P的“最佳三点矩形”为正方形时，求点P的坐标；
（3）若点P（m，n）在抛物线y＝ax2+bx+c上，当且仅当点M，N，P的“最佳三点矩形”面积为18时，﹣2≤m≤﹣1或1≤m≤3，直接写出抛物线的解析式．
【分析】（1）①利用“最佳三点矩形”的定义求解即可，
②利用“最佳三点矩形”的定义求解即可；
（2）①利用“最佳三点矩形”的定义求得面积的最小值为12，
②由“最佳三点矩形”的定义求得正方形的边长为6，分别将y＝7，y＝﹣3代入y＝﹣2x+5，可得x分
别为﹣1，5，点P的坐标为（﹣1，7）或（4，﹣3）；
（3）利用“最佳三点矩形”的定义画出图形，可分别求得解析式．
【解答】解：（1）①如图，画出点M，N，P的“最佳三点矩形”，可知矩形的周长为6+6+3+3＝18，
面积为3×6＝18；
故答案为：18，18．
②∵M（4，1），N（﹣2，3），
∴|x ﹣x |＝6，|y ﹣y |＝2．
M N M N
又∵m＝2，点M，N，P的“最佳三点矩形”的面积为24．∴此矩形的邻边长分别为6，4．
∴n＝﹣1或5．
（2）如图，
①由图象可得，点M，N，P的“最佳三点矩形”面积的最小值为12；
分别将y＝3，y＝1代入y＝﹣2x+5，可得x分别为1，2；
结合图象可知：1≤m≤2；
②当点M，N，P的“最佳三点矩形”为正方形时，边长为6，
分别将y＝7，y＝﹣3代入y＝﹣2x+5，可得x分别为﹣1，4；
∴点P的坐标为（﹣1，7）或（4，﹣3）；
（3）如图，设抛物线的解析式为y＝ax2+bx+c，经过点（﹣1，1），（1，1），（3，3），
{
a-b+c=1
∴ a+b+c=1 ，
9a+3b+c=3
1
{a=
4
b=0，
3
c=
4
1 3
∴y= x2+ ，
4 4
1 13
同理抛物线经过点（﹣1，3），（1，3），（3，1），可求得抛物线的解析式为y=- x2+ ，
4 41 3 1 13
∴抛物线的解析式y= x2+ 或y=- x2+ ．
4 4 4 4
【变式8-2】（2022•碑林区校级模拟）定义：两组邻边分别相等的四边形叫做筝形．
问题发现：
（1）如图1，筝形ABCD中，AD＝CD，AB＝CB，若AC+BD＝12，求筝形ABCD的面积的最大值；
问题解决：
（2）如图2是一块矩形铁片ABCD，其中AB＝60厘米，BC＝90厘米，李优想从这块铁片中裁出一个
筝形EFGH，要求点E是AB边的中点，点F、G、H分别在BC、CD、AD上（含端点），是否存在一
种裁剪方案，使得筝形EFGH的面积最大？若存在，求出筝形EFGH的面积最大值，若不存在，请说明
理由．
1 1 1
【分析】（1）根据题意可得，S ＝S +S = •AC•DE+ •AC•BE= •AC•BD，因为
四边形ABCD △ADC △ABC 2 2 2
AC+BD＝12，所以BD＝12AC，代入面积，利用二次函数的性质可求出最大值；
（2）由（1）的分析可知，当点G与点C重合时，作EG的垂直平分线，分别与AD，BC交于点H，
F，此时筝形EFGH的面积最大，利用勾股定理分别求出DH和FG的长，再利用面积的和差得出结论．
【解答】解：（1）∵AD＝CD，AB＝CB，
∴BD为线段AC的垂直平分线，
∴S ＝S +S
四边形ABCD △ADC △ABC
1 1
= •AC•DE+ •AC•BE
2 2
1
= •AC•BD，
2
∵AC+BD＝12，1 1
∴S = •AC•（12﹣AC）=- （AC﹣6）2+18，
四边形ABCD 2 2
∴当AC＝6时，S 的最大值为18．
四边形ABCD
（2）存在，如图，由（1）的分析可知，当点G与点C重合时，作EG的垂直平分线，分别与AD，BC
交于点H，F，此时筝形EFGH的面积最大，
设DH＝m，则AH＝60﹣m，
根据勾股定理可知，EH2＝AH2+AE2＝（60﹣m）2+302，EG2＝m2+602，
∵EH＝HG，
∴（60﹣m）2+302＝m2+602，
解得m＝30．
设FG＝n，则EF＝n，BF＝60﹣n，
由勾股定理可得，EF2＝BE2+BF2，即n2＝（60﹣n）2+302，
解得n＝50，
∴S ＝S ﹣S ﹣S ﹣S
四边形EFGH 矩形ABCD △BEF △AEH △DCH
1 1 1
＝60×30- ×30×40- ×30×60- ×30×60
2 2 2
＝3000，
综上，存在，当BF＝40，AH＝60时，筝形EFGH的面积最大值为3000平方厘米．
【变式8-3】（2022春•崇川区期末）平面直角坐标系中，有两点 P （x ，y ），P （x ，y ），我们把|x﹣
1 1 1 2 2 2 1
x|+|y﹣y|叫做P，P 两点间的“转角距离”，记作d（P，P）．
2 1 2 1 2 1 2
（1）若A为（3，﹣2），O为坐标原点，则d（O，A）＝ 5 ；
（2）已知O为坐标原点，动点P（x，y）满足d（O，P）＝2，请写出x与y之间满足的关系式，并在
所给的直角坐标系中画出所有符合条件的点P所组成的图形；
（3）若M（1，1），点N为抛物线y＝x2﹣1上一动点，求d（M，N）的最小“转角距离”．【分析】（1）由A与原点O的坐标，利用题中的新定义计算即可得到结果；
（2）利用题中的新定义列出x与y的关系式，画出相应的图象即可；
（3）由条件可得到|x﹣2|+|x﹣1|，分情况去掉绝对值号，根据二次函数的性质进行讨论即可．
【解答】解：（1）d（O，A）＝|3﹣0|+|﹣2﹣0|＝5；
故答案为：5；
（2）∵O为坐标原点，动点P（x，y）满足d（O，P）＝2，
∴|0﹣x|+|0﹣y|＝|x|+|y|＝2，
所有符合条件的点P组成的图形如图所示；
（3）∵点N为抛物线y＝x2﹣1上一动点，
设N（x，x2﹣1），
∵M（1，1），
则d（M，N）＝|x﹣1|+|x2﹣1﹣1|＝|x﹣1|+|x2﹣2|，
1 13
①当x≥❑√2时，d（M，N）＝x﹣1+x2﹣2＝x2+x﹣3＝（x+ ）2- ，
2 4
x=❑√2时，d（M，N）的最小“转角距离”为❑√2-1；
1 5
②当1≤x≤❑√2时，d（M，N）＝x﹣1+2﹣x2＝﹣x2+x+1＝﹣（x- ）2+ ，
2 4x=❑√2时，d（M，N）的最小“转角距离”为❑√2-1；
1 13
③当-❑√2≤x≤1时，d（M，N）＝1﹣x+2﹣x2＝﹣x2﹣x+3＝﹣（x+ ）2+ ，
2 4
x＝1时，d（M，N）的最小“转角距离”为1；
1 5
④当x≤-❑√2时，d（M，N）＝1﹣x+x2﹣2＝x2﹣x﹣1＝（x- ）2- ，
2 4
x=-❑√2时，d（M，N）的最小“转角距离”为❑√2+1；
综上可知，d（M，N）的最小“转角距离”为❑√2-1．
