文档内容
专题 22.7 二次函数中的新定义问题专项训练（30 道）
【人教版】
考卷信息：
本套训练卷共30题，选择10题，填空10题，解答10题，题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可加强学
生对新定义函数的理解！
一．选择题（共10小题）
1．（2022•市中区校级模拟）定义：在平面直角坐标系中，点 P（x，y）的横、纵坐标的绝对值之和叫做
点P（x，y）的勾股值，记[P]＝|x|+|y|．若抛物线y＝ax2+bx+1与直线y＝x只有一个交点C，已知点C在
第一象限，且2≤[C]≤4，令t＝2b2﹣4a+2020，则t的取值范围为（ ）
A．2017≤t≤2018 B．2018≤t≤2019
C．2019≤t≤2020 D．2020≤t≤2021
【分析】联立方程组求得 C 点坐标，并由只有一个交点条件求得 a、b的关系式，再由新定义和
2≤[C]≤4列出b的不等式，求得b的取值范围，由t＝2b2﹣4a+2020，得出t关于b的函数解析式，再
根据函数的性质求得t的取值范围．
{ y=x
【解答】解：由题意方程组 只有一组实数解，
y=ax2+bx+1
消去y得ax2+（b﹣1）x+1＝0，
由题意得Δ＝0，
∴（b﹣1）2﹣4a＝0，
1
∴4a＝（b﹣1）2，即a= (b-1) 2 ，
4
1
∴方程ax2+（b﹣1）x+1＝0可以化为 (b-1) 2x2+(b-1)x+1=0，
4
即（b﹣1）2x2+4（b﹣1）x+4＝0，
2
∴x＝x = ，
1 2 1-b
2 2
∴C（ ， ），
1-b 1-b
∵点C在第一象限，
∴1﹣b＞0，∵2≤[C]≤4，
2 2
∴2≤| |+| |≤4，
1-b 1-b
2
∴1≤ ≤2，
1-b
解得：﹣1≤b≤0，
∵t＝2b2﹣4a+2020，
∴t＝2b2﹣（b﹣1）2+2020＝b2+2b+2019＝（b+1）2+2018，
∵﹣1≤b≤0，
∴t随b的增大而增大，
∵b＝﹣1时，t＝2018，
t＝0时，t＝2019，
∴2018≤t≤2019．
故选：B．
2．（2022•市中区二模）定义：对于已知的两个函数，任取自变量x的一个值，当x≥0时，它们对应的函
数值相等；当x＜0时，它们对应的函数值互为相反数，我们称这样的两个函数互为相关函数．例如：
{ x(x≥0) 1 9
正比例函数y＝x，它的相关函数为y= ．已知点M，N的坐标分别为(- ，1)，( ，1)，
-x(x＜0) 2 2
连结MN，若线段MN与二次函数y＝﹣x2+4x+n的相关函数的图象有两个公共点，则n的取值范围为（
）
5 5
A．﹣3≤n≤﹣1或1＜n≤ B．﹣3＜n＜﹣1或1＜n≤
4 4
5 5
C．﹣3＜n≤﹣1或1≤n≤ D．﹣3≤n≤﹣1或1≤n≤
4 4
【分析】首先确定出二次函数y＝﹣x2+4x+n的相关函数与线段MN恰好有1个交点、2个交点、3个交
点时n的值，然后结合函数图象可确定出n的取值范围．
【解答】解：如图1所示：线段MN与二次函数y＝﹣x2+4x+n的相关函数的图象恰有1个公共点，4
∵二次函数y＝﹣x2+4x+n的对称轴为x =- = 2，
2×(-1)
∴当x＝2时，y＝1，即﹣4+8+n＝1，解得n＝﹣3，
如图2所示：线段MN与二次函数y＝﹣x2+4x+n的相关函数的图象恰好3个公共点．
∵抛物线y＝x2﹣4x﹣n与y轴交点纵坐标为1，
∴﹣n＝1，
解得：n＝﹣1；
∴当﹣3＜n≤﹣1时，线段MN与二次函数y＝﹣x2+4x+n的相关函数的图象恰有2个公共点，
如图3所示：线段MN与二次函数y＝﹣x2+4x+n的相关函数的图象恰有3个公共点．∵抛物线y＝﹣x2+4x+n经过点（0，1），
∴n＝1，
如图4所示：线段MN与二次函数y＝﹣x2+4x+n的相关函数的图象恰有2个公共点．
1
∵抛物线y＝x2﹣4x﹣n经过点M（- ，1），
2
1 5
∴ + 2﹣n＝1，解得：n = ，
4 4
5
∴1≤n≤ 时，线段MN与二次函数y＝﹣x2+4x+n的相关函数的图象恰有2个公共点．
4
5
综上所述，n的取值范围是﹣3＜n≤﹣1或1≤n≤ ，
4
故选：C．
3．（2022•青秀区校级一模）新定义：若一个点的纵坐标是横坐标的 2倍，则称这个点为二倍点．若二次
函数y＝x2﹣x+c（c为常数）在﹣2＜x＜4的图象上存在两个二倍点，则c的取值范围是（ ）
1 9 1 9
A．﹣2＜c＜ B．﹣4＜c＜ C．﹣4＜c＜ D．﹣10＜c＜
4 4 4 4
【分析】由点的纵坐标是横坐标的 2倍可得二倍点在直线y＝2x上，由﹣2＜x＜4可得二倍点所在线段
AB的端点坐标，结合图象，通过求抛物线与线段交点求解．
【解答】解：由题意可得二倍点所在直线为y＝2x，
将x＝﹣2代入y＝2x得y＝﹣4，
将x＝4代入y＝2x得y＝8，
设A（﹣2，﹣4），B（4，8），如图，联立方程x2﹣x+c＝2x，
当Δ＞0时，抛物线与直线y＝2x有两个交点，
即9﹣4c＞0，
9
解得c＜ ，
4
此时，直线x＝﹣2和直线x＝4与抛物线交点在点A，B上方时，抛物线与线段AB有两个交点，
把x＝﹣2代入y＝x2﹣x+c得y＝6+c，
把x＝4代入y＝x2﹣x+c得y＝12+c，
{6+c＞-4
∴ ，
12+c＞8
解得c＞﹣4，
9
∴﹣4＜c＜ 满足题意．
4
故选：B．
4．（2022秋•汉阳区期中）我们定义：若点A在某一个函数的图象上，且点A的横纵坐标相等，我们称点
A为这个函数的“好点”．若关于x的二次函数y＝ax2+tx﹣2t对于任意的常数t恒有两个“好点”，则
a的取值范围为（ ）
1 1 1 1
A．0＜a＜1 B．0＜a＜ C． ＜a＜ D． ＜a＜1
2 3 2 2
【分析】“好点”A的横纵坐标相等，即：x＝y＝ax2+tx﹣2t（a≠0），△＝（t﹣1）2+8at＞0，整理得：
t2﹣（2﹣8a）t+1＝0，
△′＝（2﹣8a）2﹣4＜0，即可求解．
【解答】解：“好点”A的横纵坐标相等，即：x＝y＝ax2+tx﹣2t（a≠0），
Δ＝b2﹣4ac＝（t﹣1）2+8at＞0，
整理得：t2﹣（2﹣8a）t+1＞0，
∵1＞0，故当△′＜0时，抛物线开口向上，且与x轴没有交点，
故上式成立，
△′＝（2﹣8a）2﹣4＜0，
1
解得：0＜a＜ ，
2
故选：B．
{a2-ab(a≥b)
5．（2022秋•和平区校级月考）对于实数a，b，定义运算“*”：a*b= ，例如：4*2，因
b2-ab(a＜b)
为4＞2，所以4*2＝42﹣4×2＝8．若函数y＝（2x）*（x+1），则下列结论：
①方程（2x）*（x+1）＝0的解为﹣1和1；
②关于x的方程（2x）*（x+1）＝m有三个解，则0＜m≤1；
③当x＞1时，y随x的增大而增大；
④直线y＝kx﹣k与函数y＝（2x）*（x+1）图象只有一个交点，则k＝﹣2；
⑤当x＜1时，函数y＝（2x）*（x+1）的最大值为1．
其中正确结论的序号有（ ）
A．②④⑤ B．①②⑤ C．②③④ D．①③⑤
【分析】①根据题意，2x≥x+1时，（2x）*（x+1）＝2x2﹣2x，2x＜x+1时，（2x）*（x+1）＝﹣
x2+1，分别求解即可；
②由①可知，画出函数图象，数形结合即可求解；
③x＝1时，y＝0，结合图象可知，当x＞1时，y随x的增大而增大；
④先求出函数与y＝kx﹣k有一个交点时k的取值，再结合函数图象可知，当 k≤﹣2时，直线y＝kx﹣k
与函数y＝（2x）*（x+1）图象只有一个交点；
⑤当x＝0时，函数有最大值1，由此可得⑤正确．
【解答】解：①由题意得：当2x≥x+1，即x≥1，
（2x）*（x+1）＝（2x）2﹣2x（x+1）＝4x2﹣2x2﹣2x＝2x2﹣2x，
∴2x2﹣2x＝0的解为x＝0或x＝1，
∴x＝1；
当2x＜x+1，即x＜1，（2x）*（x+1）＝（x+1）2﹣2x（x+1）＝x2+1+2x﹣2x2﹣2x＝﹣x2+1．
∴﹣x2+1＝0，
∴x＝1或x＝﹣1，
∴x＝﹣1，
故①正确；
②由①可知，x≥1，（2x）*（x+1）＝2x2﹣2x，
x＜1，（2x）*（x+1）＝﹣x2+1，
如图，0＜m＜1时，关于x的方程（2x）*（x+1）＝m有三个解，
故②不正确；
③由②函数图象可知，x＝1时，y＝0，
结合图象可知，当x＞1时，y随x的增大而增大，
故③正确；
④当y＝kx﹣k经过定点（1，0），
kx﹣k＝﹣x2+1时，Δ＝（k+2）2＝0，
∴k＝﹣2，
当k≤﹣2时，直线y＝kx﹣k与函数y＝（2x）*（x+1）图象只有一个交点，
故④不正确；
⑤当x＜1时，函数（2x）*（x+1）＝﹣x2+1，
当x＝0时，函数有最大值1，
∴当x＜1时，函数y＝（2x）*（x+1）的最大值为1．
故⑤正确；
故选：D．
6．（2022•莱芜区二模）定义：平面直角坐标系中，点 P（x，y）的横坐标x的绝对值表示为|x|，纵坐标y
的绝对值表示为|y|，我们把点P（x，y）的横坐标与纵坐标的绝对值之和叫做点P（x，y）的折线距离，记为|M|＝|x|+|y|（其中的“+”是四则运算中的加法），若抛物线y＝ax2+bx+1与直线y＝x只有一个交点
M，已知点M在第一象限，且2≤|M|≤4，令t＝2b2﹣4a+2022，则t的取值范围为（ ）
A．2018≤t≤2019 B．2019≤t≤2020
C．2020≤t≤2021 D．2021≤t≤2022
【分析】根据二次函数图象性质直接判断．
【解答】解：∵抛物线y＝ax2+bx+1与直线y＝x只有一个交点M，
{ y=x
∴方程组 只有一组解．
y=ax2+bx+1
消去y得：ax2+（b﹣1）x+1＝0，
∴Δ＝（b﹣1）2﹣4a＝0，
1
∴a= （b﹣1）2，
4
1
∴ax2+（b﹣1）x+1＝0可化为： （b﹣1）2x2+（b﹣1）x+1＝0，
4
∴[（b﹣1）x+2]2＝0，
2
∴x＝x = ．
1 2 1-b
2 2
∴M（ ， ），
1-b 1-b
∵M在第一象限，
∴1﹣b＞0，
∴b＜1．
∵2≤|M|≤4，
2
∴1≤| ≤2，
1-b
2
∴1≤ ≤2
1-b
∴﹣1≤b≤0，|
∴t＝2b2﹣4a+2022＝2b2﹣（b﹣1）2+2022
＝（b+1）2+2020，
∵﹣1≤b＜0，抛物线开口向下，对称轴是b＝﹣1，
∴t随b的增大而增大，∴2020≤t≤2021．
故选：C．
7．（2022•岳阳模拟）在平面直角坐标系中，对于点 P（m，n）和点P′（m，n′），给出如下新定义，
{|n|(当m＜0时)
若n' = ，则称点P′（m，n′）是点P（m，n）的限变点，例如：点P （1，4）
n-2(当m≥0时) 1
的限变点是P′ （1，2），点P （﹣2，﹣1）的限变点是P′ （﹣2，1），若点P（m，n）在二次函
1 2 2
数y＝﹣x2+4x+1的图象上，则当﹣1≤m≤3时，其限变点P′的纵坐标n'的取值范围是（ ）
A．﹣1≤n'＜3 B．1≤n'＜4 C．1≤n'≤3 D．﹣1≤n'≤4
【分析】由抛物线解析式可得抛物线开口方向及对称轴，根据函数新定义分类讨论m＜0和m≥0时n′
的取值范围．
【解答】解：∵抛物线y＝﹣x2+4x+1，
∴抛物线对称轴为直线x＝2，开口向下，
∴x＜2时，y随x增大而增大，x＞2时，y随x增大而减小，
∵点P（m，n）在二次函数y＝﹣x2+4x+1的图象上，
∴n＝﹣m2+4m+1，
∴﹣1≤m＜0时，n′＝|﹣m2+4m+1|，
将m＝﹣1代入n＝﹣m2+4m+1得n＝﹣4，
∴m＝﹣1时，n′＝4，
将m＝0代入n＝﹣m2+4m+1得n＝1，
∵﹣4＜0＜1，
∴﹣1≤m＜0时，0≤n′≤4，
当m≥0时，n′＝n﹣2＝﹣m2+4m﹣1，
将m＝0代入n′＝﹣m2+4m﹣1得n′＝﹣1，
将m＝2代入n′＝﹣m2+4m﹣1得n′＝3，
∴当m≥0时，﹣1≤n′≤3，
综上所述，﹣1≤≤n′≤4，
故选：D．
8．（2022•自贡模拟）定义：若抛物线的顶点与x轴的两个交点构成的三角形是直角三角形，则这种抛物
1 1
线就称为：“美丽抛物线”．如图，直线 l：y= x+b经过点M（0， ），一组抛物线的顶点B （1，
3 4 1y），B（2，y），B（3，y），…B（n，y） （n为正整数），依次是直线l上的点，这组抛物线与
1 2 2 3 3 n n
x轴正半轴的交点依次是：A（x，0），A（x，0），A（x，0），…A （x ，0）（n为正整数）．
1 1 2 2 3 3 n+1 n+1
若x＝d（0＜d＜1），当d为（ ）时，这组抛物线中存在美丽抛物线．
1
5 7 5 11 7 11 7
A． 或 B． 或 C． 或 D．
12 12 12 12 12 12 12
【分析】由抛物线的对称性可知，所构成的直角三角形必是以抛物线顶点为直角顶点的等腰三角形，所
以此等腰三角形斜边上的高等于斜边的一半．又0＜d＜1，所以等腰直角三角形斜边的长小于2，所以
等腰直角三角形斜边的高一定小于1，即抛物线的定点纵坐标必定小于1．
1 1 1
【解答】解：直线l：y= x+b经过点M（0， ），则b= ；
3 4 4
1 1
∴直线l：y= x+ ．
3 4
由抛物线的对称性知：抛物线的顶点与x轴的两个交点构成的直角三角形必为等腰直角三角形；
∴该等腰三角形的高等于斜边的一半．
∵0＜d＜1，
∴该等腰直角三角形的斜边长小于2，斜边上的高小于1（即抛物线的顶点纵坐标小于1）；
1 1 7
∵当x＝1时，y = ×1+ = ＜1，
1 3 4 12
1 1 11
当x＝2时，y = ×2+ = ＜1，
2 3 4 12
1 1 5
当x＝3时，y = ×3+ = ＞1，
3 3 4 4
∴美丽抛物线的顶点只有B、B．
1 2
7 7 5
①若B 为顶点，由B（1， ），则d＝1- = ；
1 1 12 12 12
11 11 11
②若B 为顶点，由B（2， ），则d＝1﹣[（2- ）﹣1]= ，
2 2 12 12 125 11
综上所述，d的值为 或 时，存在美丽抛物线．
12 12
故选：B．
9．（2022秋•诸暨市期中）定义：我们将顶点的横坐标和纵坐标互为相反数的二次函数称为“互异二次函
数”．如图，在正方形OABC中，点A（0，2），点C（2，0），则互异二次函数y＝（x﹣m）2﹣m与
正方形OABC有交点时m的最大值和最小值之差为（ ）
7+❑√17 7-❑√17
A．5 B． C．4 D．
2 2
【分析】画出图象，从图象可以看出，当函数图象从左上向右下运动时，当跟正方形有交点时，先经过
点A，再逐渐经过点O，点B，点C，最后再经过点B，且在运动的过程中，两次经过点A，两次经过点
O，点B和点C，只需算出当函数经过点A及点B时m的值，即可求出m的最大值及最小值．
【解答】解：如图，由题意可得，互异二次函数 y＝（x﹣m）2﹣m的顶点（m，﹣m）在直线y＝﹣x上
运动，
在正方形OABC中，点A（0，2），点C（2，0），
∴B（2，2），
从图象可以看出，当函数图象从左上向右下运动时，若抛物线与正方形有交点，先经过点 A，再逐渐经
过点O，点B，点C，最后再经过点B，且在运动的过程中，两次经过点A，两次经过点O，点B和点C，
∴只需算出当函数经过点A及点B时m的值，即可求出m的最大值及最小值．
当互异二次函数y＝（x﹣m）2﹣m经过点A（0，2）时，m＝2或m＝﹣1；
5-❑√17 5+❑√17
当互异二次函数y＝（x﹣m）2﹣m经过点B（2，2）时，m= 或m= ．
2 2
5+❑√17
∴互异二次函数y＝（x﹣m）2﹣m与正方形OABC有交点时m的最大值和最小值分别是 ，﹣
2
1．
5+❑√17 7+❑√17
∴最大值和最小值之差为 -（﹣1）= ，
2 2
故选：B．
10．（2022秋•亳州月考）定义：在平面直角坐标系中，过一点 P分别作坐标轴的垂线，这两条垂线与坐
标轴围成一个矩形，若矩形的周长值与面积值相等，则点P叫做和谐点，所围成的矩形叫做和谐矩形．
已知点P是抛物线y＝x2+k上的和谐点，所围成的和谐矩形的面积为16，则k的值可以是（ ）
A．16 B．4 C．﹣12 D．﹣18
【分析】根据和谐点的定义与二次函数的性质列出m，n的方程，求解m，n即可．
【解答】解：∵点P（m，n）是抛物线y＝x2+k上的点，
∴n＝m2+k，
∴k＝n﹣m2，
∴点P（m，n）是和谐点，对应的和谐矩形的面积为16，
∴2|m|+2|n|＝|mn|＝16，
∴|m|＝4，|n|＝4，
当n≥0时，k＝n﹣m2＝4﹣16＝﹣12；
当n＜0时，k＝n﹣m2＝﹣4﹣16＝﹣20；
故选：C．
二．填空题（共10小题）
11．（2022•芦淞区模拟）定义[a，b，c]为函数y＝ax2+bx+c的特征数，下面给出特征数位[2m，1﹣m，﹣1
﹣m]的函数的一些结论：
1 8
①当m＝﹣3时，函数图象的顶点坐标是（ ， ）；
3 3
②当m＝1时，函数图象截x轴所得的线段长度等于2；1
③当m＝﹣1时，函数在x＞ 时，y随x的增大而减小；
4
④当m≠0时，函数图象经过同一个点．
上述结论中所有正确的结论有 ①②④ ．（填写所有正确答案的序号）
【分析】①把m＝﹣3代入[2m，1﹣m，﹣1﹣m]，求得[a，b，c]，求得解析式，利用顶点坐标公式解答
即可；
②令函数值为0，求得与x轴交点坐标，利用两点间距离公式解决问题；
③首先求得对称轴，利用二次函数的性质解答即可；
④根据特征数的特点，直接得出x的值，进一步验证即可解答．
【解答】解：因为函数y＝ax2+bx+c的特征数为[2m，1﹣m，﹣1﹣m]；
1 8 1 8
①当m＝﹣3时，y＝﹣6x2+4x+2＝﹣6（x- ）2+ ，顶点坐标是（ ， ）；此结论正确；
3 3 3 3
②当m＝1时，y＝2x2﹣2，令y＝0，则有2x2﹣2＝0，解得，x＝1，x＝﹣1，
1 2
|x﹣x|＝2，所以当m＝1时，函数图象截x轴所得的线段长度等于2，此结论正确；
2 1
b 2 1
③当m＝﹣1时，y＝﹣2x2+2x，是一个开口向下的抛物线，其对称轴是直线 x =- =- = ，
2a 2×(-2) 2
1 1 1
在对称轴的右边y随x的增大而减小， ＜ ，右边，因此函数在x= 右边先递增到对称轴位置，再递
4 2 4
减，此结论错误；
④当x＝1时，y＝2mx2+（1﹣m）x+（﹣1﹣m）＝2m+（1﹣m）+（﹣1﹣m）＝0 即对任意m，函数图
象都经过点（1，0）那么同样的：当m＝0时，函数图象都经过同一个点（1，0），当m≠0时，函数
图象经过同一个点（1，0），故当m≠0时，函数图象经过x轴上一个定点此结论正确．
根据上面的分析，①②④都是正确的，③是错误的．
故答案为：①②④．
12．（2022秋•浦东新区期末）定义：直线与抛物线两个交点之间的距离称作抛物线关于直线的“割距”，
如图，线段MN长就是抛物线关于直线的“割距”．已知直线 y＝﹣x+3与x轴交于点A，与y轴交于点
B，点B恰好是抛物线y＝﹣（x﹣m）2+n的顶点，则此时抛物线关于直线y的割距是 ❑√2 ．【分析】根据直线y＝﹣x+3，可以求出该直线与y轴的交点，从而可以得到点B的坐标，再根据点B恰
好是抛物线y＝﹣（x﹣m）2+n的顶点，即可得到m、n的值，然后将抛物线与直线建立平面直角坐标系，
求出它们的交点，即可求得抛物线关于直线y的割距．
【解答】解：（1）∵y＝﹣x+3，
∴当x＝0时，y＝3，
∴点B的坐标为（0，3），
∵点B恰好是抛物线y＝﹣（x﹣m）2+n的顶点，
∴m＝0，n＝3，
∴抛物线y＝﹣x2+3，
{y=-x+3
，
y=-x2+3
{x=0 {x=1
解得 或 ，
y=3 y=2
∴抛物线与直线y的交点为（0，3），（1，2），
∴此时抛物线关于直线y的割距是：❑√(1-0) 2+(3-2) 2=❑√2，
故答案为：❑√2．
13．（2022•宣州区校级自主招生）对某一个函数给出如下定义：若存在实数 m＞0，对于任意的函数值
y，都满足﹣m≤y≤m，则称这个函数是有界函数，在所有满足条件的m中，其最小值称为这个函数的
边界值．例如，如图中的函数是有界函数，其边界值是1．将函数y＝﹣x2+1（﹣2≤x≤t，t≥0）的图象
9 5 1 3 5 3
向上平移t个单位，得到的函数的边界值 n满足 ≤n≤ 时，则t的取值范围是 ≤t≤ 或 ≤t≤
4 2 2 4 4 2
．
9 5 5 9
【分析】根据题干定义可得函数最大值 ≤y≤ 或函数最小值- ≤y≤- ，由t＞0可得函数最大值为y
4 2 2 43
＝1+t可得0＜t≤ ，进而可得函数最小值为直线x＝﹣2与抛物线交点纵坐标，进而求解．
2
9 5
【解答】解：由题干可得函数y＝﹣x2+1+t在﹣2≤x≤t时，函数最大值或最小值为n， ≤n≤ ，
4 2
∵t＞0，抛物线y＝﹣x2+1+t开口向下，顶点坐标为（0，1+t），
∴1+t为函数最大值，
5 3
当1+t= 时，t= ，
2 2
3
∴0＜t≤ ，
2
当t＝2时，直线x＝﹣2与直线x＝t与抛物线交点关于对称轴对称，
3
∴0＜t≤ 时，直线x＝﹣2与抛物线交点为最低点，
2
把x＝﹣2代入y＝﹣x2+1+t得y＝﹣3+t，
5 1
当﹣3+t=- 时，t= ，
2 2
1
∴t≥ ，
2
9 5 5 3
当 ≤1+t≤ 时， ≤t≤ ，
4 2 4 2
5 9 1 3
当- ≤- 3+t≤- 时， ≤t≤ ，
2 4 2 4
1 3 5 3
∴ ≤t≤ 或 ≤t≤ 满足题意．
2 4 4 2
1 3 5 3
故答案为： ≤t≤ 或 ≤t≤ ．
2 4 4 2
14．（2022秋•德清县期末）定义：在平面直角坐标系中，我们将横、纵坐标都是整数的点称为“整点”．
若抛物线y＝ax2﹣2ax+a+3与x轴围成的区域内（不包括抛物线和x轴上的点）恰好有8个“整点”，
1 1
则a的取值范围是 - ＜a≤- ．
2 4
【分析】如图所示，a＜0，图象实心点为8个“整点”，则符合条件的抛物线过点 A、B之间（含点
B），即可求解．
【解答】解：y＝ax2﹣2ax+a+3＝a（x﹣1）2+3，
故抛物线的顶点为：（1，3）；如图所示，a＜0，图象实心点为8个“整点”，
则符合条件的抛物线过点A、B之间（含点B），
1
当抛物线过点A（3，1）时，将点A的坐标代入抛物线表达式并解得：a=- ；
2
当抛物线过点（2，2）时，则2＝a（2﹣1）2+3，解得：a＝﹣1；
1
当抛物线过点（3，2）时，同理可得：a=-
4
2
同理当抛物线过点B（4，1）时，a=- ．
9
1 1
故答案为：- ＜a≤- ．
2 4
15．（2022秋•鄞州区校级期末）定义：在平面直角坐标系中，若点 A满足横、纵坐标都为整数，则把点
A叫做“整点”．如：B（3，0）、C（﹣1，3）都是“整点”．当抛物线y＝ax2﹣4ax+1与其关于x轴
2 3
对称的抛物线围成的封闭区域内（包括边界）共有9个整点时，a的取值范围 ≤a＜ ．
3 4
【分析】通过抛物线的解析式可得对称轴为x＝2，过点（0，1），对a分情况讨论，分别求解即可．
【解答】解：由y＝ax2﹣4ax+1可得，其图象对称轴为直线x＝2，且其图象必过点（0，1），
当a＜0时，此时整点有（0，0）（1，0），（2，0），（3，0），（4，0），（5，0），...，等等，
显然超过9个，∴a＜0不符合题意，舍去；
当a＞0时，
2
若过点（1，﹣1）时，则﹣1＝a﹣4a+1，解得a= ，此时刚好9个整点，
3
3
若过点（2，﹣2）时，则﹣2＝4a﹣8a+1，解得a= ，此时有10个整点，
4
2 3
∴ ≤a＜ ．
3 4
2 3
故答案为： ≤a＜ ．
3 4
16．（2022秋•思明区校级期中）在直角坐标系xOy中，对于点P（x，y）和Q（x，y′），给出如下定义：
{ y(x≥0)
若y′= ，则称点Q为点P的“可控变点”．
- y(x＜0)
请问：若点P在函数y＝﹣x2+16（﹣5≤x≤a）的图象上，其“可控变点”Q的纵坐标y′的取值范围是
﹣16＜y′≤16，则实数a的取值范围是 ❑√7≤ a ＜ 4 ❑√2 ．
【分析】本题先理解定义，依据题意画出函数图象即可求解．
【解答】
{-x2+16(x≥0)
解：依题意，y＝﹣x2+16图象上的点P的“可控变点”必在函数y′= 的图象上
x2-16(-5≤x＜0)
（如图），
当x＝﹣5时，y＝25﹣16＝9，当y＝9时，x2＝7，∵x＞0，
∴x=❑√7
∵﹣16≤y′≤16，
{-x2+16(x≥0)
当y′＝16，代入y′= ，得：x＝4❑√2，
x2-16(-5≤x＜0)
当y＝﹣16，代入上式得：x＝4❑√2，
若a＜4❑√2，则y取不到﹣16；
当a＞4❑√2，则y取值超过范围；
故❑√7≤a＜4❑√2．
17．（2022•徐汇区模拟）定义：将两个不相交的函数图象在竖直方向上的最短距离称为这两个函数的
“和谐值”．如果抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与抛物线y＝（x﹣1）2+1的“和谐值”为2，试写出一
个符合条件的函数解析式： y ＝ x 2 ﹣ 2 x + 4 ．
【分析】抛物线y＝（x﹣1）2+1向上或向下平移2个单位求解．
【解答】解：将抛物线y＝（x﹣1）2+1向上平移2个单位可得抛物线y＝（x﹣1）2+1y＝（x﹣1）2+3＝
x2﹣2x+4，
故答案为：y＝x2﹣2x+4．
18．（2022•二道区校级模拟）定义：我们将顶点的横坐标和纵坐标互为相反数的二次函数称为“互异二
次函数”．如图，在正方形OABC中，点A（0，2），点C（2，0），则互异二次函数y＝（x﹣m）2﹣
5+❑√17
m与正方形OABC有公共点时m的最大值是 ．
2
【分析】根据抛物线顶点坐标可得抛物线顶点的运动轨迹，从而可得当抛物线经过点B时m取最大值，
进而求解．
【解答】解：∵y＝（x﹣m）2﹣m，
∴抛物线顶点坐标为（m，﹣m），
∴抛物线顶点在直线y＝﹣x上，∵四边形AOBC为正方形，
∴点B坐标为（2，2），点A（0，2），点C（2，0），
如图，当抛物线经过点B时，m取最大值，
将（2，2）代入y＝（x﹣m）2﹣m得2＝（2﹣m）2﹣m，
5+❑√17 5-❑√17
解得m= 或m= （舍），
2 2
5+❑√17
故答案为： ．
2
19．（2022•郫都区模拟）定义：由a，b构造的二次函数y＝ax2+（a+b）x+b叫做一次函数y＝ax+b的
“滋生函数”，一次函数y＝ax+b叫做二次函数y＝ax2+（a+b）x+b的“本源函数”（a，b为常数，且
a≠0）．若一次函数y＝ax+b的“滋生函数”是y＝ax2﹣3x+a+1，那么二次函数y＝ax2﹣3x+a+1的“本
源函数”是 y ＝﹣ 2 x ﹣ 1 ．
【分析】根据“滋生函数”的定义可得ax2﹣3x+a+1＝ax2+（a+b）x+b，从而可得关于a，b的二元一次
方程组，求出a，b的值，进而求解．
【解答】解：∵y＝ax+b的“滋生函数”是y＝ax2﹣3x+a+1，
{a+b=-3
∴ax2﹣3x+a+1＝ax2+（a+b）x+b，即 ，
b=a+1
{a=-2
解得 ，
b=-1
∴y＝ax2﹣3x+a+1的“本源函数”是y＝﹣2x﹣1，
故答案为：y＝﹣2x﹣1．
20．（2022•亭湖区校级开学）定义{a，b，c}＝c（a＜c＜b），即（a，b，c）的取值为a，b，c的中位数，1
例如：{1，3，2}＝2，{8，3，6}＝6，已知函数y＝{x2+1，﹣x+2，x+3}与直线y= x+b有3个交点时，
3
7 8
则b的值为 或 ．
3 3
【分析】画出函数的数y＝{x2+1，﹣x+2，x+3}的图象，观察图象，利用图象法解决问题即可．
【解答】解：由题意：函数y＝{x2+1，﹣x+2，x+3}的图象如图所示（图中实线）．
1 1
由图象可得，当直线y= x+b经过点A和点B时，函数y＝{x2+1，﹣x+2，x+3}与直线y= x+b有3个交
3 3
点，
令x2+1＝x+3，解得x＝﹣1或x＝2（舍去），
∴A（﹣1，2），
1
令x+3＝﹣x+2，解得x=- ，
2
1 5
∴B（- ， ），
2 2
1 1 7
当直线y= x+b经过点A时， ×（﹣1）+b＝2，解得b= ；
3 3 3
1 1 1 5 8
当直线y= x+b经过点B时， ×（- ）+b= ，解得b= ．
3 3 2 2 3
7 8
故答案为： 或 ．
3 3
声三．解答题（共10小题）21．（2022•工业园区模拟）定义：若一个函数的图象上存在横、纵坐标之和为零的点，则称该点为这个
函数图象的“好点”．例如，点（﹣1，1）是函数y＝x+2的图象的“好点”．
3
（1）在函数①y＝﹣x+3，②y= ③y＝x2+2x+1的图象上，存在“好点”的函数是 ③ ；（填序
x
号）
4
（2）设函数y=- （x＜0）与y＝kx+3的图象的“好点”分别为点A、B，过点A作AC⊥y轴，垂足为
x
C．当△ABC为等腰三角形时，求k的值；
（3）若将函数y＝x2+2x的图象在直线y＝m下方的部分沿直线y＝m翻折，翻折后的部分与图象的其余
部分组成了一个新的图象．当该图象上恰有3个“好点”时，求m的值．
【分析】（1）判断y＝﹣x与各个函数图像是否有公共点即可；
4
（2）先得出y=- 的“好点”，从而得出AC的长，在y＝﹣x上的点B，使得AB＝AC，从而求得点B
x
坐标，将B点坐标代入y＝kx+3求得k的值；
（3）折叠前的抛物线上有两个“好点”，所以折叠后的抛物线上有一个“好点”即可，即 y＝﹣x与折
叠后抛物线只有一个公共点，从而求得折叠后的抛物线解析式，进一步求得结果．
【解答】解：（1）∵y＝﹣x+3，
∴y+x＝3，
∴①不是“好点”的函数，
3
∵y= ，x＞0，
x
∴xy＝3＞0
∴x+y≠0，
∴②不是“好点”的函数，
{y=x2+2x+1
∵ ，
x+ y=0
∴x2+3x+1＝0，
∴Δ＝32﹣4×1×1＞0，
∴方程组有解，
∴③是“好点”的函数，
故答案为：③；{ 4
y=-
（2）∵ x ，x＜0，
x+ y=0
{x=-2
∴ ，
y=2
∴A（﹣2，2），
由题意得，当△ABC为等腰三角形时，只有AB＝AC＝2，
∵y＝﹣x，
∴B（x，﹣x），
∴（x+2）2+（﹣x﹣2）2＝22，
∴x =❑√2-2，x =-❑√2-2，
1 2
当x=❑√2-2时，y=-❑√2+2，
∴（❑√2-2）k+3=-❑√2+2，
3❑√2-4
∴k= ，
2
当x=-❑√2-2时，y=❑√2+2，
∴（-❑√2-2）k+3=❑√2+2，
3❑√2-4
∴k=- ，
2
3❑√2-4
∴k=± ；
2
（3）设翻折后的抛物线解析式为y＝﹣x2﹣2x+k，
∵y＝x2+2x的图像上有两个“好点”：（0，0）和（﹣3，0），
当y＝﹣x2﹣2x+k上有一个“好点”时，
把y＝﹣x代入得，
﹣x＝﹣x2﹣2x+k，
化简整理得，
x2+x﹣k＝0，
∵Δ＝1+4k＝0，
1
∴k=- ，
4
1
∴y＝﹣x2﹣2x- ，
4{
y=x2+2x
由 1得，
y=-x2-2x-
4
1
2y=- ，
4
1
∴y=- ，
8
1
∴m=- ．
8
当（0，0）在y＝﹣x2﹣2x+k上时，
此时﹣x2﹣2x＝﹣x，
x＝0或x＝﹣1，
这时也有三个“好点”：（﹣3，﹣3），（0，0），（﹣1﹣1），
1
∴m=- 或0．
8
22．（2022春•荷塘区校级期中）如图1，若关于x的二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数且a＜0）与x
轴交于两个不同的点A（x ，0），B（x ，0）（x ＜0＜x ），与y轴交于点C，抛物线的顶点为M，O
1 2 1 2
是坐标原点．
（1）若a＝﹣1，b＝2，c＝3．
①求此二次函数图象的顶点M的坐标；
②定义：若点G在某一个函数的图象上，且点G的横纵坐标相等，则称点G为这个函数的“好点”．
求证：二次函数y＝ax2+bx+c有两个不同的“好点”．
1
（2）如图2，连接MC，直线MC与x轴交于点P，满足∠PCA＝∠PBC，且tan∠PBC= ，△PBC
21
的面积为 ，求二次函数的表达式．
3
【分析】（1）①利用配方法可得顶点M的坐标；
②根据x＝y列方程，计算Δ＞0可得结论；
1
（2）由tan∠PBC= ，点C的坐标为（0，c），则BO＝2c，点B坐标为（2c，0），利用一元二次方
2
c c 1 1
程根与系数的关系：x•x = ，可得x•2c= ，求出x = ，标表示出点A坐标为（ ，0），由顶点
1 2 a 1 a 1 2a 2a
b 4ac-b2 b
坐标M（- ， ），C（0，c），用待定系数法表示出直线MC的解析式为：y= x+c，点P
2a 4a 2
2c
坐标为（- ，0），再相似得PC2＝PA•PB，勾股定理得PC2＝OP2+OC2，列等式利用整体思想先求出
b
b的值，再利用二次函数图象上点的坐标特征即可求出a，c的值，从而写出解析式即可．
【解答】解：（1）①∵a＝﹣1，b＝2，c＝3，
∴二次函数的解析式为：y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴顶点M的坐标为（1，4）；
（2）当x＝y时，﹣x2+2x+3＝x，
∴x2﹣x﹣3＝0，
Δ＝（﹣1）2﹣4×1×（﹣3）＝13＞0，
∴二次函数y＝﹣x2+2x+3有两个不同的“好点”；
1
（3）∵tan∠PBC= ，点C的坐标为（0，c），
2
则BO＝2c，点B坐标为（2c，0），
c c
由一元二次方程根与系数的关系：x•x = 可得x•2c= ，
1 2 a 1 a
1
∴x = ，
1 2a
1
∴点A坐标为（ ，0），
2a
b 4ac-b2
∵顶点坐标M（- ， ），C（0，c），
2a 4a设直线MC的函数关系式为：y＝mx+n，
{ b 4ac-b2
- m+n=
根据题意得： 2a 4a ，
n=c
{ b
m=
解得： 2，
n=c
b
∴直线MC的解析式为：y= x+c，
2
2c
∴点P坐标为（- ，0），
b
1 2c 2c
由此可得PA= + ，PB＝2c+ ，
2a b b
∵∠PCA＝∠PBC，∠CPA＝∠BPC，
∴△PCA∽△PBC，
PC PB
∴ = ，
PA PC
∴PC2＝PA•PB，
2c 4c2
∵PC2＝OP2+OC2＝（- ）2+c2= +c2，
b b2
4c2 1 2c 2c
∴ + c2＝（ + ）（2c + ），
b2 2a b b
c c 4c2
∴c2= + + ，
a ab b
1 1 4c b+1+4ac
∴c= + + = ①，
a ab b ab
把点B（2c，0）代入二次函数解析式，
得：4ac2+2bc+c＝0，
∴4ac+2b+1＝0，
∴4ac+b+1＝﹣b②，
b 1
将②式代入①式得，c=- =- ，
ab a1
将c=- 代入4ac+2b+1＝0，
a
得，﹣4+2b+1＝0，
3
解得：b= ，
2
4c
∴P的坐标为（- ，0），
3
1 1 4c 1
又∵S = PB•CO= （2c+ ）•c= ，
△PBC 2 2 3 3
5c2 1
∴ = ，
3 3
❑√5 ❑√5
解得，c=± （- 舍去），
5 5
1
又∵c=- ，a=-❑√5，
a
3 ❑√5
∴二次函数的表达式为：y=-❑√5x2+ x+ ．
2 5
23．（2022春•海门市期中）定义：在平面直角坐标系xOy中，若某函数的图象上存在点P（x，y），满足
y＝mx+m，m为正整数，则称点P为该函数的“m倍点”．例如：当m＝2时，点（﹣2，﹣2）即为函
数y＝3x+4的“2倍点”．
（1）在点A（2，3），B（﹣2，﹣3），C（﹣3，﹣2）中， 点 A （ 2 ， 3 ）和 C （﹣ 3 ，﹣ 2 ） 是函
6
数y= 的“1倍点”；
x
（2）若函数y＝﹣x2+bx存在唯一的“4倍点”，求b的值；
（3）若函数y＝﹣x+2m+1的“m倍点”在以点（0，10）为圆心，半径长为2m的圆外，求m的所有值．
【分析】（1）根据函数的“m倍点”的定义可作判断；
（2）先确定函数y＝﹣x2+bx存在唯一的“4倍点”，则m＝4，满足y＝4x+4，两函数有唯一一个交点，
Δ＝0，可解答；
（3）根据定义可知：“m倍点”的横纵坐标是y＝mx+m与y＝﹣x+2m+1的公共解，计算可得其解为
{ x=1
，根据函数y＝﹣x+2m+1的“m倍点”在以点（0，10）为圆心，半径长为2m的圆外，列不等
y=2m
式可得结论．
【解答】解：（1）当m＝1时，∵mx+m＝2×1+1＝3，2×3＝6，
6
∴点A（2，3）是函数y= 的“1倍点”；
x
∵mx+m＝﹣2×1+1＝﹣1≠﹣3，
6
∴点B（﹣2，﹣3）不是函数y= 的“1倍点”；
x
∵mx+m＝﹣3×1+1＝﹣2，﹣3×（﹣2）＝6，
6
∴点C（﹣3，﹣2）是函数y= 的“1倍点”；
x
6
综上，点A（2，3）和C（﹣3，﹣2）是函数y= 的“1倍点”；
x
故答案为：点A（2，3）和C（﹣3，﹣2）；
（2）当m＝4时，y＝4x+4，
∵函数y＝﹣x2+bx存在唯一的“4倍点”，
∴4x+4＝﹣x2+bx，
∴x2+（4﹣b）x+4＝0，
∴Δ＝（4﹣b）2+4×1×4＝0，
∴b＝0或8；
{y=-x+2m+1
（3）∵ ，
y=mx+m
{ x=1
∴ ，
y=2m
∴函数y＝﹣x+2m+1的“m倍点”为（1，2m），
如图所示，直线x＝1与⊙A交于点B，连接AB，过点B作BC⊥y轴于C，∴AC=❑√(2m) 2-12=❑√4m2-1，
∴10-❑√4m2-1＞2m，
31
∴m＜2 ，
40
∵m为正整数，
∴m＝1或2．
24．（2022•费县一模）定义：若一个函数图象上存在横、纵坐标相等的点，则称该点为这个函数图象的
“等值点”，例如，点（2，2）是函数y＝2x﹣2的图象的“等值点”．
5
（1）分别判断函数y= ，y=x+2的图象上是否存在“等值点”？如果存在，求出“等值点”的坐标；
x
如果不存在，说明理由；
（2）写出函数y＝﹣x2+2的等值点坐标；
（3）若函数y＝﹣x2+2（x≤m）的图象记为W ，将其沿直线x＝m翻折后的图象记为W ．当W ，W 两
1 2 1 2
部分组成的图象上恰有2个“等值点”时，请写出m的取值范围．
【分析】（1）根据“等值点”的定义建立方程求解即可得出答案；
（2）根据“等值点”的定义建立方程求解即可得出答案；
（3）由函数y＝﹣x2+2的等值点坐标为（﹣2，﹣2），（1，1），再利用翻折的性质分类讨论即可．
5 5
【解答】解：（1）在y= 中，令y＝x得x= ，
x x
解得x=❑√5或x=-❑√5，
5
∴y= 的图象上存在两个“等值点”：（❑√5，❑√5）或（-❑√5，-❑√5），
x
在y＝x+2中，令y＝x得x＝x+2，得0＝2不成立，
∴函数y＝x+2的图象上不存在“等值点”；
5
答：函数y= 的图象上存在两个“等值点”：（❑√5，❑√5）或（-❑√5，-❑√5），函数y＝x+2的图象上
x
不存在“等值点”；
（2）在y＝﹣x2+2中，令y＝x得x＝﹣x2+2，
解得x＝﹣2或x＝1，
∴函数y＝﹣x2+2的等值点坐标为（﹣2，﹣2），（1，1）；
（3）①当m＞1时，由（2）知，W ，W 两部分组成的图象上总有有2个“等值点”：（﹣2，﹣2），
1 2（1，1）在W 上，
1
若W，W 两部分组成的图象上恰有2个“等值点”，则W 上无“等值点“，
1 2 2
由W ：y＝﹣x2+2（x≤m）沿直线x＝m翻折后的图象记为W ，可得W 的解析式为y＝﹣（x﹣2m）2+2
1 2 2
（x＞m），
在y＝﹣（x﹣2m）2+2（x＞m）中，令y＝x得：x＝﹣（x﹣2m）2+2，
整理得：x2+（1﹣4m）x+4m2﹣2＝0，
∵Δ＜0，
∴（1﹣4m）2﹣4（4m2﹣2）＜0，
9
解得m＞ ，
8
9
∴此时m＞ ；
8
②当m＝1时，W，W 两部分组成的图象上有3个等值点：（﹣2，﹣2），（1，1），（2，2）；
1 2
③当﹣2＜m＜1时，W，W 两部分组成的图象上恰有2个“等值点”；
1 2
④当m＝﹣2时，W，W 两部分组成的图象上只有1个“等值点”：（﹣2，﹣2）；
1 2
⑤当m＜﹣2时，W，W 两部分组成的图象上没有“等值点”，
1 2
9
综上所述，当W，W 两部分组成的图象上恰有2个“等值点”时，m＞ 或﹣2＜m＜1．
1 2 8
25．（2022春•武侯区校级月考）如图1，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于
点A（﹣1，0），B（5，0）两点，与y轴交于点C（0，﹣5）．
（1）求抛物线解析式；
（2）如图2，作出如下定义：对于矩形DEFG，其边长EF＝1，DE＝2k（k为常数，且k＞0），其矩形
长和宽所在直线平行于坐标轴，矩形可以在平面内自由的平移，且EG所在直线与抛物线无交点，则称
该矩形在“游走”，每一个位置对应的矩形称为“悬浮矩形”；对与每一个“悬浮矩形”，若抛物线上
有一点P，使得△PEG的面积最小，则称点P是该“悬浮矩形”的核心点．
①请说明“核心点”P不随“悬浮矩形”的“游走”而变化，并求出“核心点”P的坐标（用k表示）；
②若k＝1，DF所在直线与抛物线交于点M和N（M在N的右侧），是否存在这样的“悬浮矩形”，使
得△PMN是直角三角形，若存在，并求出“悬浮矩形”中对角线DF所在直线的表达式；若不存在，说
明理由．【分析】（1）把点坐标代入解析式，用待定系数法即可求得二次函数解析式；
1
（2）①过抛物线上P点作直线EG的平行线，△PEG的面积= EG乘以点P到直线EG的距离，当点P
2
到直线EG距离最短时，△PEG的面积最小，由图象可知，当过P点的直线与抛物线只有一个交点时，
点P到直线EG距离最短，联立一次函数与二次函数求出交点坐标即可；
②将直线DF解析式设为y＝﹣2x+m，联立一次函数与二次函数，得到点M和点N的坐标，分别求出
MN，MP，NP长，分类讨论解出m即可．
【解答】解：∵抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），B（5，0）两点，与y轴交于点C（0，
﹣5）．
∴把A（﹣1，0），B（5，0），C（0，﹣5）代入y＝ax2+bx+c得：
{
a-b+c=0
25a+5b+c=0，
c=-5
{
a=1
解得 b=-4．
c=-5
∴抛物线的解析式为：y＝x2﹣4x﹣5．
1
（2）①过抛物线上P点作直线EG的平行线，△PEG的面积= EG乘以点P到直线EG的距离，当点P
2
到直线EG距离最短时，△PEG的面积最小，由图象可知，当过P点的直线与抛物线只有一个交点时，
点P到直线EG距离最短，这样的P点只有一个，
“核心点”P不随“悬浮矩形”的“游走”而变化；∵EF＝1，DE＝2k，
∴EG所在直线的解析式可设为：y＝2kx+m，
∴过点P与直线EG平行的直线解析式为：y＝2kx+b，
令2kx+b＝x2﹣4x﹣5，得x2﹣（4+2k）x﹣（5+b）＝0，
∵过P点的直线与抛物线只有一个交点，
∴Δ＝（4+2k）2+4（5+b）＝0，可得（2+k）2＝﹣（5+b），
∴x2﹣（4+2k）x+（2+k）2＝0，解得x＝2+k，
∴y＝（k+2）2﹣4（2+k）﹣5＝k2﹣9，
∴P（k+2，k2﹣9）；
②当k＝1时，P（3，﹣8），
∴设直线DF的解析式为：y＝﹣2x+n，
令﹣2x+n＝x2﹣4x﹣5，得x2﹣2x﹣5﹣n＝0，
解得x=❑√n+6+1或x=-❑√n+6+1，
∵DF所在的直线与抛物线交于点M，N，
∴Δ＝4+4（5+n）＞0，即n＞﹣6，
∵点M在点N的右侧，
∴M（❑√n+6+1，﹣2❑√n+6+n﹣2），N（-❑√n+6+1，2❑√n+6+n﹣2），
∴MN2＝20（n+6），
MP2＝（❑√n+6-2）2+（2❑√n+6-n﹣6）2，
NP2＝（-❑√n+6-2）2+（2❑√n+6+m+6）2，
当∠MPN＝90°时，MP2+NP2＝MN2，
解得n＝﹣2或n＝﹣5，∴直线DF的解析式为：y＝﹣2x﹣2或y＝﹣2x﹣5；
当∠PMN＝90°时，MP2+MN2＝NP2，
23
解得n＝﹣2或n=- ，
4
23
∴直线DF的解析式为：y＝﹣2x﹣2或y＝﹣2x- ；
4
当∠PNM＝90°时，NP2+MN2＝MP2，
无解；
23
综上，直线DF的解析式为：y＝﹣2x﹣2或y＝﹣2x﹣5或y＝﹣2x- ．
4
26．（2022•武侯区模拟）【阅读理解】
定义：在平面直角坐标系xOy中，点P为抛物线C的顶点，直线l与抛物线C分别相交于M，N两点
（其中点M在点N的右侧），与抛物线 C的对称轴相交于点Q，若记S（l，C）＝PQ•MN，则称S
（l，C）是直线l与抛物线C的“截积”．
【迁移应用】
根据以上定义，解答下列问题：
如图，若直线l的函数表达式为y＝x+2．
（1）若抛物线C的函数表达式为y＝2x2﹣1，分别求出点M，N的坐标及S（l，C）的值；
（2）在（1）的基础上，过点P作直线l的平行线l'，现将抛物线C进行平移，使得平移后的抛物线
C'的顶点P′落在直线l'上，试探究S（l，C'）是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由；
（3）设抛物线C的函数表达式为y＝a（x﹣h）2+k，若S（l，C）＝6❑√2，MN＝4❑√2，且点P在点Q的
下方，求a的值．
【分析】（1）联立直线l与抛物线C的解析式求解，即可求出M，N的坐标，再求出点Q的坐标，利用新定义求出答案；
（2）设平移后的抛物线C'的顶点坐标为P'（m，m﹣1），求出P'Q'＝3，联立①②整理得，（x﹣m）
1 3 ❑√2
（2x﹣2m﹣1）＝0，求出N（m- ，m+ ），M（m，m+2），进而求出MN= ，即可求出答案；
2 2 2
（3）由抛物线C的函数表达式为y＝a（x﹣h）2+k①的顶点坐标为（h，k），得出PQ＝h+2﹣k，再求
3 3
出PQ= ，得出h+2﹣k= ，联立①②整理得，ax2﹣（2ah+1）x+ah2+k﹣2＝0，设N（x ，y ），M
2 2 1 1
2ah+1 ah2+k-2
（ x ， y ） ， 得 出 x+x = ， xx = ， 进 而 得 出 MN2 ＝ 2[ （ x+x ） 2﹣ 4xx]
2 2 1 2 a 1 2 a 1 2 1 2
8a(h-k+2)+2 12a+2
= = =32，即可求出答案．
a2 a2
【解答】解：（1）∵直线l的函数表达式为y＝x+2①，
抛物线C的函数表达式为y＝2x2﹣1②，
3
{x=
{x=-1 2
联立①②解得， 或 ，
y=1 7
y=
2
3 7
∴N（﹣1，1），M（ ， ），
2 2
针对于直线l：y＝x+2，令x＝0，则y＝2，
∴Q（0，2），
∵抛物线C的函数表达式为y＝2x2﹣1，
∴顶点P（0，﹣1），
√ 3 7 15❑√2
∴S（l，C）＝MN•PQ=❑( +1) 2+( -1) 2•3= ；
2 2 2
15❑√2
（2）S（l，C'）是定值，其值为 ；
2
由（1）知，P（0，﹣1），
∵l∥l'，
∴直线l'的解析式为y＝x﹣1①，
∴设平移后的抛物线C'的顶点坐标为P'（m，m﹣1），∵抛物线C的函数表达式为y＝2x2﹣1，
∴平移后的抛物线C'的解析式为y＝2（x﹣m）2+（m﹣1）②，
∴Q'（m，m+2），
∴P'Q'＝3，
∵直线l的函数表达式为y＝x+2①，
联立①②整理得，[x﹣（2m+3）][2x﹣（m﹣1）]＝0，
3
∴x＝m+ 或x＝m﹣1，
2
3 7
∴N（m﹣1，m+1），M（m+ ，m+ ），
2 2
√ 3 7 5❑√2
∴MN=❑(m-1-m- ) 2+(m+1-m- ) 2= ，
2 2 2
5❑√2 15❑√2
∴S（l，C'）＝P'Q'•MN＝3× = ，
2 2
15❑√2
即S（1，C'）是定值，其值为 ．
2
（3）∵抛物线C的函数表达式为y＝a（x﹣h）2+k①的顶点坐标为（h，k），
∴Q（h，h+2），
∴PQ＝h+2﹣k，
∵S（l，C）＝6❑√2，
S(l，C) 6❑√2 3
∴PQ= = = ，
MN 4❑√2 2
3
∴ = h+2﹣k，
2
∵直线l的函数表达式为y＝x+2②，
联立①②整理得，ax2﹣（2ah+1）x+ah2+k﹣2＝0，
设N（x，y），M（x，y），
1 1 2 2
2ah+1 ah2+k-2
∴x+x = ，xx = ，
1 2 a 1 2 a
∴MN2＝（x﹣x）2+（y﹣y）2
1 2 1 2
＝2（x﹣x）2＝2[（x+x）2﹣4xx]
1 2 1 2 1 2(2ah+1) 2 4(ah2+k-2)
＝2[ - ]
a2 a
8a(h-k+2)+2
=
a2
12a+2
=
，
a2
∵MN＝4❑√2，
12a+2
∴ = （4❑√2）2＝32，
a2
∴16a2﹣6a﹣1＝0，
1 1
∴a= 或a=- ．
2 8
27．（2022•南关区校级模拟）在平面直角坐标系xOy中，对于点P给出如下定义：若点P到两坐标轴的
距离之和等于3，则称点P为三好点．
（1）在点R（0，﹣3），S（1，2），T（6，﹣3）中，属于三好点的是 R 、 S （填写字母即可）；
（2）若点A在x轴正半轴上，且点A为三好点，直线y＝2x+b经过点A，求该直线与坐标轴围成的三角
形的面积；
（3）若直线y＝a（a＞0）与抛物线y＝x2﹣x﹣2的交点为点M，N，其中点M为三好点，求点M的坐
标；
（4）若在抛物线y＝﹣x2﹣nx+2n上有且仅有两个点为三好点，直接写出n的取值范围．
【分析】（1）由定义直接判断即可；
（2）由题意先求出A点坐标，在求出直线解析式，即可求解；
（3）由题意知，三好点在C（3，0），A（﹣3，0），B（0，3），D（0，﹣3）为顶点的正方形上，
求出直线AB的解析式为y＝x+3，当点M为直线AB与抛物线y＝x2﹣x﹣2的公共点时，求出M（1-❑√6
1，4-❑√6）；再求出直线BC的解析式为y＝﹣x+3，当点M为直线BC与抛物线y＝x2﹣x﹣2的公共点时，
求出M（❑√5，3-❑√5）即可；
2
（4）由（3）可知，抛物线上有三好点，则三好点必在在 C（3，0），A（﹣3，0），B（0，3），D
（0，﹣3）为顶点的正方形上，当抛物线与线段AB有一个交点时，求得n＝1，此时抛物线上有三个三
好点，当抛物线与直线CD有一个交点时，求得n＝﹣5+2❑√3，此时抛物线上有三个三好点，则﹣5+2
❑√3＜n＜1时，抛物线上有两个三好点；
9 9
当抛物线经过点A时，求得n= ，此时抛物线上有三个三好点，所以当n＞ 时，抛物线上有两个三好
5 5
点；当抛物线经过点C时，求得n＝﹣9，此时抛物线上有一个三好点，所以当n＜﹣9时，抛物线上有
两个三好点．
【解答】解：（1）根据三好点的定义得：0+|﹣3|＝3，1+2＝3，6+|﹣3|＝9≠3，
∴R、S是三好点，
故答案为：R、S；
（2）∵点A在x轴正半轴上，且点A为三好点，
∴A（3，0），
又∵直线y＝2x+b经过点A，
∴0＝2×3+b，
∴b＝﹣6，
∴直线为y＝2x﹣6，
当x＝0时，y＝﹣6，
1
∴S= ×3×6＝9，
2
∴直线与坐标轴围成的三角形的面积为9；
（3）如图1，由题意知，三好点在C（3，0），A（﹣3，0），B（0，3），D（0，﹣3）为顶点的正方
形上，
设直线AB的解析式为y＝kx+b，
{-3k+b=0
则 ，
b=3
{k=1
解得： ，
b=3
∴直线AB的解析式为y＝x+3，
当点M为直线AB与抛物线y＝x2﹣x﹣2的公共点时，{ y=x+3
由 ，
y=x2-x-2
得M（1-❑√6，4-❑√6）；
1
直线BC的解析式为y＝﹣x+3，
当点M为直线BC与抛物线y＝x2﹣x﹣2的公共点时，
{ y=-x+3
由 ，
y=x2-x-2
得M（❑√5，3-❑√5），
2
∴点M的坐标为（1-❑√6，4-❑√6）或（❑√5，3-❑√5）；
（4）由（3）可知，抛物线上有三好点，则三好点必在在 C（3，0），A（﹣3，0），B（0，3），D
（0，﹣3）为顶点的正方形上，
如图2，当抛物线与线段AB有一个交点时，
{ y=x+3
，
y=-x2-nx+2n
∴x2+（n+1）x+3﹣2n＝0，
∴Δ＝（n+1）2﹣4（3﹣2n）＝0，
∴n＝1或n＝﹣11，
∵抛物线的对称轴在y轴的左侧，
∴n＞0，
∴n＝1，此时抛物线上有三个三好点，
∵CD∥AB，
设直线CD的解析式为y＝x+h，
∴h＝﹣3，
∴y＝x﹣3，
如图3，当抛物线与直线CD有一个交点时，
{ y=x-3
，
y=-x2-nx+2n
∴x2+（n+1）x﹣3﹣2n＝0，
∴Δ＝（n+1）2﹣4（﹣3﹣2n）＝0，∴n＝﹣5±2❑√3，
∵此时抛物线的对称轴在y轴的右侧，
∴n＜0，
∴n＝﹣5+2❑√3，
∴n＝﹣5+2❑√3时，此时抛物线上有三个三好点，
∴﹣5+2❑√3＜n＜1时，抛物线上有两个三好点；
如图4，当抛物线经过点A时，
0＝﹣9+3n+2n，
9
∴n= ，此时抛物线上有三个三好点，
5
9
∴当n＞ 时，抛物线上有两个三好点；
5
如图5，当抛物线经过点C时，
0＝﹣9﹣3n+2n，
∴n＝﹣9，此时抛物线上有一个三好点，
∴当n＜﹣9时，抛物线上有两个三好点；
9
综上所述：当n＜﹣9或n＞ 或﹣5﹣2❑√3＜n＜1时，抛物线上有两个三好点．
528．（2022秋•长沙期中）定义：在平面直角坐标系中，图形G上的点P（x，y）的横坐标x和纵坐标y的
和x+y称为点P的“横纵和”，而图形G上所有点的“横纵和”中最小的值称为图形的“极小和”．
（1）抛物线y＝x2﹣2x﹣2的图象上点P（1，﹣3）的“横纵和”是 ﹣ 2 ；该抛物线的“极小和”
9
是 - ．
4
（2）记抛物线y＝x2﹣（2m+1）x﹣2的“极小和”为s，若﹣2021≤s≤﹣2020，求m的取值范围．
m
（3）已知二次函数y＝x2+bx+c（c≠0）的图象上的点A（ ，2c）和点C（0，c）的“横纵和”相等，
2
求该二次函数的“极小和”．这个“极小和”是否有最大值？如果有，请求出这个最大值；如果没有，
请说明理由．
【分析】（1）根据题目中的规定易得点P（1，﹣3）的“横纵和”；根据定义求出x+y是关于x的二次
函数，然后利用二次函数的性质求出结论；
（2）根据定义求出 x+y＝（x﹣m）2﹣m2﹣2，即可得出﹣2021≤﹣m2﹣2≤﹣2020，解得❑√2018≤m
≤❑√2019或-❑√2019≤m≤-❑√2018；
（3）先求出“极小和”，即可根据二次函数的性质求得最大值．
【解答】解：（1）∵点P（1，﹣3），
∴“横纵和”是1+（﹣3）＝﹣2，
1 9
∵x+y＝x2﹣2x﹣2+x＝x2﹣x﹣2＝（x- ）2﹣- ，
2 4
9
∴抛物线的“极小和”是- ；
49
故答案为：﹣2，- ；
4
（2）x+y＝x2﹣（2m+1）x﹣2+x＝x2﹣2mx﹣2＝（x﹣m）2﹣m2﹣2，
∵记抛物线y＝x2﹣（2m+1）x﹣2的“极小和”为s，
∴s＝﹣m2﹣2，
∵﹣2021≤s≤﹣2020，
∴﹣2021≤﹣m2﹣2≤﹣2020，即❑√2018≤m≤❑√2019或-❑√2019≤m≤-❑√2018；
m
（3）依题意有 +2c＝0+c即：m＝﹣2c，
2
∴A（﹣c，2c），
将A（﹣c，2c）代入y＝x2+bx+c（c≠0）得，2c＝c2﹣bc+c，
c c2
∵c≠0，化简可得：b＝c﹣1，即：y＝x2+（c﹣1）x+c，则：y+x＝x2+cx+c＝（x+ ）2- +c，
2 4
c2 1
令y＝x2+（c﹣1）x+c的“极小和”为w，则：w=- +c=- （c﹣2）2+1，
4 4
∴当c＝2时，w有最大值，最大值为1．
29．（2022•泰兴市二模）定义：在平面直角坐标系xOy中，若P、Q的坐标分别为（x ，y ）、Q（x ，
1 1 2
y），则称|x﹣x|+|y﹣y|为若P、Q的“绝对距离”，表示为d ．
2 1 2 1 2 PQ
【概念理解】
（1）一次函数y＝﹣2x+6图象与x轴、y轴分别交于A、B点．
①d 为 9 ；
AB
②点N为一次函数y＝﹣2x+6图象在第一象限内的一点，d ＝5，求N的坐标；
AN
3
③一次函数y=x+ 的图象与y轴、AB分别交于C、D点，P为线段CD上的任意一点，试说明：d ＝
2 AP
d ．
BP
【问题解决】
（2）点P（1，2）、Q（a，b）为二次函数y＝x2﹣mx+n图象上的点，且Q在P的右边，当b＝2时，
d ＝4．若b＜2，求d 的最大值；
PQ PQ
3
（3）已知P的坐标为（1，1），点Q为反比例函数y= （x＞0）图象上一点，且Q在P的右边，d
x PQ
＝2，试说明满足条件的点Q有且只有一个．
【分析】（1）①由y＝﹣2x+6得A（3，0），B（0，6），即得d ＝|3﹣0|+|0﹣6|＝9；
AB4
②设N（t，﹣2t+6），由N在第一象限得0＜t＜3，根据d ＝5得：|3﹣t|+|0+2t﹣6|＝5，即可解得t=
AN 3
4 10
，N（ ， ）；
3 3
{y=-2x+6
3 3 3 3 3
③由y＝x+ 中，得C（0， ），由 3 得D（ ，3），设P（m，m+ ），0≤m≤ ，即得
2 2 y=x+ 2 2 2
2
3 3 9 3 9 9
d ＝|3﹣m|+|0﹣m- |＝3﹣m+m+ = ，d ＝|0﹣m|+6﹣m- |＝m+ -m= ，从而证明d ＝d ；
AP 2 2 2 BP 2 2 2 AP BP
（2）将P（1，2）代入y＝x2﹣mx+n得m＝n﹣1，即知二次函数为y＝x2﹣（n﹣1）x+n，当b＝2时，2
＝a2﹣（n﹣1）a+n，可解得a＝n﹣2或a＝1，根据Q在P的右边，可得Q（n﹣2，2），又d ＝4，
PQ
有|n﹣2﹣1|+|2﹣2|＝4，即n﹣3＝4，n＝7，二次函数为y＝x2﹣6x+7，则b＝a2﹣6a+7，因b＜2，所以1
7 25 25
＜a＜5，即得d ＝|a﹣1|+|a2﹣6a+7﹣2|＝﹣（a- ）2+ ，故d 的最大值为 ；
PQ 2 4 PQ 4
3 3 3 3
（3）设Q（r， ），由Q在P的右边得r＞1，根据d ＝2，即得| -1|＝3﹣r，当 -1≥0时， -1＝
r PQ r r r
3 3
3﹣r，解得r＝1（舍去）或r＝3，可得Q（3，1）符合题意；当 -1＜0时，1- =3﹣r，解得r＝﹣1
r r
（舍去）或r＝3，即得满足条件的点Q有且只有一个．
【解答】解：（1）①在y＝﹣2x+6中，令x＝0得y＝6，令y＝0得x＝3，
∴A（3，0），B（0，6），
∴d ＝|3﹣0|+|0﹣6|＝9，
AB
故答案为：9；
②设N（t，﹣2t+6），
∵N在第一象限，
{ t＞0
∴ ，解得0＜t＜3，
-2t+6＞0
由d ＝5得：|3﹣t|+|0+2t﹣6|＝5，
AN
4
∴3﹣t﹣2t+6＝5，解得t= ，
3
4 10
∴N（ ， ）；
3 3③如图：
3 3
在y＝x+ 中，令x＝0得y= ，
2 2
3
∴C（0， ），
2
{y=-2x+6 { 3
x=
由 3 得 2，
y=x+
2 y=3
3
∴D（ ，3），
2
3
设P（m，m+ ），
2
∵P为线段CD上的点，
3
∴0≤m≤ ，
2
3 3 9
∴d ＝|3﹣m|+|0﹣m- |＝3﹣m+m+ = ，
AP 2 2 2
3 9 9
d ＝|0﹣m|+6﹣m- |＝m+ -m= ，
BP 2 2 2
∴d ＝d ；
AP BP
（2）将P（1，2）代入y＝x2﹣mx+n得：2＝1﹣m+n，
∴m＝n﹣1，
∴二次函数为y＝x2﹣（n﹣1）x+n，
当b＝2时，2＝a2﹣（n﹣1）a+n，
解得a＝n﹣2或a＝1，
∵Q在P的右边，
∴a＝n﹣2且n＞3，
∴Q（n﹣2，2），∵d ＝4，
PQ
∴|n﹣2﹣1|+|2﹣2|＝4，即n﹣3＝4，
∴n＝7，
∴二次函数为y＝x2﹣6x+7，
∴b＝a2﹣6a+7，
∵b＜2，
∴a2﹣6a+7＜2，即a2﹣6a+5＜0，
∴1＜a＜5，
∵d ＝|a﹣1|+|a2﹣6a+7﹣2|
PQ
＝|a﹣1|+|a2﹣6a+5|
＝a﹣1﹣a2+6a﹣5
＝﹣a2+7a﹣6
7 25
＝﹣（a- ）2+ ，
2 4
25
∴d 的最大值为 ；
PQ 4
3
（3）设Q（r， ），
r
∵Q在P的右边，
∴r＞1，
∵d ＝2，
PQ
3 3
∴|r﹣1|+| -1|＝2，即| -1|＝3﹣r，
r r
3 3
当 - 1≥0时， - 1＝3﹣r，
r r
解得r＝1（舍去）或r＝3，
∴r＝3，即Q（3，1）符合题意；
3 3
当 - 1＜0时，1 - = 3﹣r，
r r
解得r＝﹣1（舍去）或r＝3，
3
而r＝3时， -1＝0，故此时r＝3舍去，
r
综上所述，只有Q（3，1）符合题意；∴满足条件的点Q有且只有一个．
30．（2022•开福区校级一模）定义：当x取任意实数，函数值始终不小于一个常数时，称这个函数为“恒
心函数”，这个常数称为“恒心值”．
（1）判断：函数y＝x2+2x+2是否为“恒心函数”，如果是，求出此时的“恒心值”，如果不是，请说
明理由；
（2）已知“恒心函数”y＝3|ax2+bx+c|+2．
①当a＞0，c＜0时，此时的恒心值为 2 ；
b c
②若三个整数a、b、c的和为12，且 = ，求a的最大值与最小值，并求出此时相应的b、c的值；
a b
a+b+c
（3）恒心函数y＝ax2+bx+c（b＞a）的恒心值为0，且 ＞m恒成立，求m的取值范围．
a+b
【分析】（1）根据“恒心函数“的定义即可判断；
（2）①根据△＝b2﹣4ac＞0，得到函数y＝3|ax2+bx+c|的图象恒在x轴的上方，即可求解；
1
b c 12
②设 = =x，则b＝ax，c＝ax2，构造关于x的方程x2+x+1- =0，分类讨论，根据根的判别式求解
a b a
即可；
b2 a a+b+c
（3）由题意得y＝ax2+bx+c≥0恒成立，则a＞0，且Δ＝b2﹣4ac＝0，即c= ，令t= ，整理
4a b a+b
即可求解．
【解答】解：（1）∵y＝x2+2x+2＝（x+1）2+1≥1，
∴函数y＝x2+2x+2是“恒心函数”，且“恒心值“为1；
（2）①对于“恒心函数“y＝3|ax2+bx+c|+2，当a＞0，c＜0时，Δ＝b2﹣4ac＞0，
∴函数y＝3|ax2+bx+c|+2的图象开口向上，与x轴没有交点，即函数y＝3|ax2+bx+c|+2的图象恒在x轴的
上方，
∴y＝3|ax2+bx+c|+2≥0+2，
∴“恒心值“为2，
故答案为2．
b c
②设 = = x，则b＝ax，c＝ax2，
a b
∴a+b+c＝a（1+x+x2）＝12，
12
∴x2+x+1- =0，
a
由题意知a、b、c为整数，则上述方程的解一定是有理数，12
∴Δ＝1﹣4（1- ）≥0，a＞0，
a
∴0＜a≤16，
当a＝1时，x2+x﹣11＝0，Δ＝b2﹣4ac＝45，❑√45=3❑√5不是有理数，不符合题意，
当a＝2时，x2+x﹣5＝0，Δ＝b2﹣4ac＝21，❑√21不是有理数，不符合题意，
当a＝3时，x2+x﹣3＝0，Δ＝b2﹣4ac＝13，❑√13不是有理数，不符合题意，
当a＝4时，x2+x﹣2＝0，Δ＝b2﹣4ac＝9，❑√9=3是有理数，且x＝1，x＝﹣2，
1 2
∴a的最小值为4，此时b＝ax＝4，c＝ax2＝4或b＝ax＝﹣8，c＝ax2＝16，
当a＝16时，a+b+c＝a（1+x+x2）＝16（1+x+x2）＝12，
1
解得x＝x =- ，
1 2 2
∴b＝ax＝﹣8，c＝ax2＝4，
综上，a的最小值为4，此时b＝4，c＝4或b＝﹣8，c＝16，a的最大值为16，b＝﹣8，c＝4；
（3）∵y＝ax2+bx+c恒心值为0，即y＝a2+bx+c≥0恒成立，
∴a＞0，且Δ＝b2﹣4ac＝0，
b2
∴c= ，
4a
b2 1
a+b+c c +
∴ =1+ =1 4a 1 a a ，
a+b a+b + = 4( ) 2+4( )
a+b b b
∵b＞a＞0，
a
∴0＜ ＜1，
b
a
令t= ，（0＜t＜1），
b
∴0＜4t2+4t＜8，
a+b+c 1 1 9
∴
=1+ ＞1+ =
，
a+b 4t2+4t 8 8
9
∴m≤ ．
8
