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专题 22.7 求二次函数解析式的九种类型（知识梳理与方法分类讲
解）
第一部分【方法归纳】
【方法1】定义型； 【方法2】开放型；
【方法3】平移型； 【方法4】一般式；
【方法5】顶点式； 【方法6】两根式；
【方法7】折叠（对称）型； 【方法8】旋转型；
【方法9】数形结合型.
第二部分【题型展示与方法点拨】
【题型1】定义型
【例1】（23-24九年级上·全国·课后作业）已知 是关于 的二次函数，
求出它的解析式，并写出其二次项系数、一次项系数及常数项．
【答案】当 时，二次函数为 ，其二次项系数为 ，一次项系数为 ，常数项为 ；
当 时，二次函数为 ，其二次项系数为 ，一次项系数为 ，常数项为 ．
【分析】根据二次函数定义可得 ，解之可得m的值，从而可得函数解析式及各项系数、
常数项。
解：根据题意可得
解之得： 或 ，当 时，二次函数为 ，其二次项系数为 ，一次项系数为 ，常数项为 ；
当 时，二次函数为 ，其二次项系数为 ，一次项系数为 ，常数项为 ．
【点拨】本题考查二次函数定义及相关基础问题，熟练掌握二次函数的定义并准确的找到二次函数的二
次项系数、一次项系数、常数项是解题的关键．
【举一反三】
【变式1】（22-23九年级上·浙江绍兴·期末）已知y关于x的二次函数解析式为 ，则
（ ）
A． B．1 C． D．
【答案】C
【分析】根据二次函数的定义得 ，进行计算即可得．
解：∵y关于x的二次函数解析式为 ，
∴
解得， ，
故选：C．
【点拨】本题考查了二次函数的定义，解题的关键是掌握二次函数的定义，正确计算．
【变式2】（22-23九年级上·北京西城·期中）已知函数 ，若它是二次函数，则函数
解析式为 ．
【答案】
【分析】由函数 是二次函数，可得 且 ，从而可得答案．
解：∵函数 是二次函数，
∴ 且 ，
当 时，解得： ， ，
综上： ，
∴函数解析式为 ，
故答案为： ．
【点拨】本题考查的是二次函数的定义，一元二次方程的解法，掌握“二次函数的定义”是解本题的关
键．
【题型2】开放型
【例2】（22-23九年级上·广东韶关·阶段练习）有一个二次函数的图象，三个同学分别说出了它的一些
特点．
李明：对称轴是直线 ；
赵鑫：函数的最大值为2；
张强：此函数的图象经过点 关于y轴的对称点．
请你根据以上内容写出满足条件的二次函数解析式．
【答案】
【分析】本题主要考查待定系数法求二次函数的解析式，掌握二次函数的顶点式的运用是解题的关键．
根据题意，可得顶点坐标是 ，设二次函数的解析式为 ，运用待定系数法即可求解．
解：∵该二次函数的对称轴是直线 ，函数的最大值为2，
∴该函数的顶点坐标是 ，
∴设二次函数的解析式为 ，
点 关于y轴的对称点是 ，
将 代入 ，得 ，
解得 ，
∴二次函数的解析式为 ．【举一反三】
【变式1】（23-24九年级上·上海松江·期末）如果一个二次函数图像的顶点在x轴上，且在y轴的右侧
部分是上升的．请写出一个符合条件的函数解析式： ．
【答案】 ，答案不唯一
【分析】此题主要考查了二次函数的性质，解题的关键是会利用函数的性质确定解析式的各项系数．
由于二次函数的顶点在x轴上，且在y轴的右侧部分是上升的，由此可以确定二次函数的二次项系数为正
数，由此可以确定函数解析式不唯一．
解：∵二次函数的顶点在x轴上，且在y轴的右侧部分是上升的，
∴这个二次函数的二次项系数为正数，
∴符合条件的函数有 ，答案不唯一．
答案为： ，答案不唯一．
【变式2】（23-24九年级下·全国·课后作业）有一个二次函数，三位同学分别说出了它的一些特点：
A：函数图像的顶点在x轴上；
B：当 时，y随x的增大而减小；
C：该函数图像的形状与函数 的图像相同．
已知这三位同学的描述都正确，请你写出满足上述所有性质的一个二次函数关系式： ．
【答案】
【分析】本题考查了二次函数的函数图像与性质，熟练掌握二次函数 的图像和性质是解题的
关键，根据 函数图像与性质，结合A、B、C三个选项可以求出符合题意的二次函数关系式；
解：根据A的描述可设二次函数关系式为 ，
根据C的描述可知 ，则 ，
再结合B的描述可得出 ，且 ，
所以满足上述所有性质的二次函数关系式可以是 ，故答案为： （答案不唯一）．
【题型3】平移型
【例3】（24-25九年级上·浙江·假期作业）将抛物线 先向左平移3个单位，再向下平移2
个单位，求平移后的函数解析式．
【答案】
【分析】本题考查了二次函数的图象与几何变换，根据“上加下减，左加右减”的规律进行解答即可，
熟知函数图象平移的规律是解题的关键．
解： ，
将其向左平移3个单位得到：
，
再将 向下平移2个单位得到：
．
【举一反三】
【变式1】．（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）将抛物线 向右平移2个单位，再向上平移
1个单位得到的抛物线解析式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的规律是解答此题的关键．
根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可．
解：将抛物线 向右平移2个单位，向上平移1个单位得到的抛物线解析式是：
，即 ．故选：C．
【变式2】（2024·上海·模拟预测）将抛物线 沿直线 方向平移 个单位后的解
析式为 ．
【答案】 或
【分析】本题考查了一次函数的图象和性质，二次函数图象的平移，熟练掌握“左加右减，上加下减”
的平移规律是解题的关键．沿直线 方向平移 个单位，相当于向上平移2个单位，再向左平
移2个单位，或向下平移2个单位，再向右平移2个单位，然后根据平移规律得出答案．
解：对于 ，当 时， ，当 时， ，
即：直线 经过 ， ，
则 ，
由此可知抛物线 沿直线 方向平移 个单位，
相当于抛物线 向上平移2个单位，再向左平移2个单位，
此时平移后的解析式为 ；
或抛物线 向下平移2个单位，再向右平移2个单位，
此时平移后的解析式为 ；
综上： 或 ．
【题型4】一般式
【例4】（22-23九年级上·广西梧州·阶段练习）已知抛物线 ，经过 ， ，
三点，求这条抛物线的表达式．
【答案】【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数的解析式，将 、 、 三点代入 ，得到
三元一次方程组，解这个方程组得 、 、 的值，得到抛物线的解析式．
解：由题意得 ，
解得 ．
所以这个抛物线的表达式为 ．
【举一反三】
【变式1】（2024九年级下·云南·专题练习）抛物线 经过 ， ，交 轴于点
求抛物线的解析式．
【答案】
【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，把点 和点 的坐标代入抛物线解析式
，得到关于 ， 的二元一次方程组，根据解二元一次方程组的方法即可得出 ， 的值，
进而得出抛物线解析式．
解：将点 ， 代入 ，
得
解得：
抛物线的解析式为 ．【变式2】（23-24九年级上·广东韶关·阶段练习）已知抛物线 过点
．
（1）求此抛物线的函数解析式；
（2）求出该抛物线的对称轴和顶点坐标．
【答案】(1)抛物线的函数解析式为
(2)抛物线的对称轴是直线 ，顶点坐标是
【分析】本题考查了二次函数的图象性质以及待定系数法求抛物线的解析式：
（1）把 代入 ，建立方程组，即可作答．
（2）根据 ，即对称轴 ，代入计算即可作答．
（1）解：依题意，把 代入 ，
得
解得
∴
（2）解：∵
∴对称轴把 代入 ，得
∴抛物线的对称轴是直线 ，顶点坐标是
【题型5】顶点式
【例5】（23-24九年级上·北京东城·期中）已知二次函数的图象顶点为 ，且经过点 ．求
这个二次函数的表达式．
【答案】
【分析】本题考查了用定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据
题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，
常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析
式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求．
由于已知抛物线的顶点坐标，则可设顶点式 ，然后把 代入求出a的值即可．
解：设抛物线解析式为 ，
把 代入得 ，
解得 ，
所以抛物线解析式为 ．
【举一反三】
【变式1】（23-24九年级上·辽宁葫芦岛·期中）已知抛物线的顶点是 ，与y轴交于点 ，求
该抛物线的解析式．
【答案】
【分析】本题主要考查了求二次函数解析式，先把二次函数解析式设为顶点式，再把 代入解析式
中求解即可．解：设该抛物线的解析式为 ，
把 代入 中得： ，解得 ，
∴该抛物线的解析式为 ．
【变式2】（23-24九年级上·广东湛江·期中）已知抛物线的顶点为 ，且 在抛物线上，求
抛物线的解析式．
【答案】
【分析】本题主要考查利用待定系数法求二次函数的解析式，题目中给的是顶点坐标，直接设成顶点式
，然后带入 坐标即可求解解析式．
解：由题可知，设函数解析式为， ；
把点 带入 中得， ；
即， ；
∴ ；
∴抛物线解析式为： ．
【题型6】两根式
【例6】（23-24九年级上·甘肃定西·期中）已知二次函数图象与 轴交于点 ，与 轴交点是
，求这个二次函数的解析式．
【答案】
【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，设二次函数解析式为 ，将点
代入，即可求解．
解：依题意，设二次函数解析式为 ，将点 代入，得，
解得： ，
∴二次函数的解析式为： ．
【举一反三】
【变式1】（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）已知二次函数图象经过点 ．
（1）求该二次函数的表达式．
（2）求该抛物线顶点坐标．
【答案】(1) (2)
【分析】本题考查二次函数图象与性质，涉及待定系数法确定函数关系式、将一般式化为顶点式得顶点
坐标等知识，熟练掌握二次函数图象与性质是解决问题的关键．
（1）由题意，设二次函数表达式为 ，再将 代入求 即可得到答案；
（2）由（1）中求得表达式 ，化为顶点式即可得到答案．
（1）解： 二次函数图象经过点 ，
设二次函数表达式为 ，
二次函数图象经过点 ，
，
解得 ，
二次函数表达式为 ；
（2）解：由（1）可知二次函数表达式为 ，
该抛物线顶点坐标为 ．
【变式2】（23-24九年级上·江苏南京·期末）求下列二次函数的表达式：（1）已知二次函数的图象的顶点为 ，且经过点 ；
（2）已知二次函数的图象经过点 ， ， ．
【答案】(1) (2)
【分析】本题主要考查了求二次函数的解析式：
（1）设所求函数表达式 ，把 代入，即可求解；
（2）设所求函数表达式为 ，把 代入，即可求解．
（1）解：设所求函数表达式 ．
根据题意，当 时， ．
∴ ．解得 ．
∴所求表达式为 ．
（2）解：设所求函数表达式为 ．
根据题意，当 时， ．
∴ ．
解得 ．
∴所求表达式为 ．
【题型7】折叠（对称）型
【例7】将抛物线 向上平移一个单位后，又沿x轴折叠，得新的抛物线，那么新的抛物线的表
达式是 ．
【答案】
【分析】先确定抛物线y＝x2﹣2的二次项系数a= 1，顶点坐标为（0，﹣2），向上平移一个单位后（0，
﹣1），翻折后二次项系数a= -1，顶点坐标变为（0，1），然后根据顶点式写出新抛物线的解析式．解：抛物线y＝x2﹣2的顶点坐标为（0，﹣2），点（0，﹣2）向上平移一个单位所得对应点的坐标为
（0，﹣1），点（0，﹣1）关于x轴的对称点的坐标为（0，1），
因为新抛物线的开口向下，
所以新抛物线的解析式为y＝﹣x2+1．
故答案为：y＝﹣x2+1．
【点拨】此题考查抛物线的平移规律：左加右减，上加下减，翻折口开口方向改变，但是大小没变，因
此二次项系数改变的只是符号，正确掌握平移的规律并运用解题是关键．
【举一反三】
【变式1】（22-23九年级上·天津宝坻·期中）将抛物线 沿y轴折叠后得到的新抛物线的解
析式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】关于y轴对称的两点横坐标互为相反数，纵坐标相同，据此解答即可．
解：根据题意，得
翻折后抛物线的解析式的解析式为： ．
即 ．
故选：D．
【点拨】本题考查了二次函数图象与几何变换．总结：关于x轴对称的两点横坐标相同，纵坐标坐标互为
相反数．关于y轴对称的两点纵坐标相同，横坐标坐标互为相反数．关于原点对称的两点横、纵坐标均互
为相反数．
【变式2】将二次函数y＝－2(x－1)2 ＋3的图象关于原点作对称变换，则对称后得到的二次函数的解析
式为 ．
【答案】y＝2(x＋1)2 －3
【分析】根据关于原点对称点的特点，可得答案．
解：y=−2(x−1)2+3的顶点坐标为(1，3)，
故变换后的抛物线为y=2(x+1)2−3，
故答案为y=2(x+1)2−3【点拨】本题考查了二次函数图象与几何变换，抛物线关于原点对称变换后只是开口方向改变，顶点关
于原点对称，而开口大小并没有改变．
【题型8】旋转型
【例8】（23-24九年级上·广东东莞·阶段练习）如图所示，在平面直角坐标系中， ， ，
由 绕点A顺时针旋转90°而得．
（1）直接写出点C的坐标 ；
（2）求过A、B、C三点的抛物线解析式．
【答案】(1) (2)
【分析】本题主要考查了求二次函数解析式，坐标与图形变化—旋转，全等三角形的性质与判定：
（1）过点C作 轴于D，由旋转的性质得到 ，证明 得到
，则 ，即可得到 ，
（2）利用待定系数法求解即可．
（1）解：如图所示，过点C作 轴于D，
∴ ，
由旋转的性质可得 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，∴ ，
∴ ，
故答案为： ；
（2）解：设抛物线解析式为 ，
由题意得，
解得
∴抛物线解析式为 ．
【举一反三】
【变式1】（23-24九年级上·山东德州·阶段练习）将抛物线 绕原点O旋转 ，则旋转后抛物
线的解析式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】求出原抛物线的顶点坐标，再根据关于原点对称的点的横坐标与纵坐标都互为相反数求得旋转
后的抛物线的顶点坐标，再利用顶点式解析式求解即可．
解： 的顶点坐标为 ，∵抛物线 绕原点O旋转 ，
∴旋转后的抛物线的顶点坐标为 ，
∴旋转后的抛物线的解析式为 ，
故选：A．
【点拨】本题考查二次函数图象与几何变换，利用顶点的变化确定函数解析式的变化是解题的关键．
【变式2】（23-24九年级上·内蒙古赤峰·期中）将抛物线 绕原点O旋转 ，则所得抛
物线的解析式为 ．
【答案】
【分析】先求得抛物线的顶点坐标，再根据旋转的性质得到旋转 后的抛物线的顶点坐标，写出新的
抛物线的解析式．掌握旋转只改变图像的位置、不改变图像的形状是解答本题的关键．
解：∵抛物线 ，
∴该抛物线的顶点坐标为： ，
∴抛物线 绕原点O旋转 后的顶点坐标为 ，且开口方向向上，
∴抛物线 绕原点O旋转 后的解析式为 ．
故答案为 ．
【题型9】数形结合型
【例9】（2023·浙江湖州·模拟预测）如图，在平面直角坐标系 中，抛物线 向右平移 （
）个单位得到另一抛物线 ，两抛物线相交于点 ，记 的顶点为 ，作点 关于 轴的对称点 ．
若四边形 是正方形，则经过 、 、 三点的抛物线的解析式是 ．【答案】
【分析】本题考查了待定系数法求二次函数相似，二次函数的平移，正方形的性质；根据题意得出
，代入 ，进而可得 ， ，求得 待定系数法求解析式，即可求解．
解：如图所示，过点 作 轴于点 ，
依题意， ，
∵四边形 是正方形，
∴ ，则
∵ 在 上，
∴
解得： 或 （舍去）
∴ ，
∵点 关于 轴的对称点为 ．
∴ ，设经过 、 、 三点的抛物线的解析式为 ，将 代入，
解得：
∴抛物线解析式为 ，
故答案为： ．
【举一反三】
【变式1】已知边长为2的正方形在平面直角坐标系中的位置如图所示，其顶点A、B、C在图中的抛物
线上，则此抛物线的解析式为 ．
【答案】y=
【分析】由正方形的边长为2，求得对角线AC=2 ，则C点坐标为（ ， ），设此抛物线的解析式
为y=ax2，代入点C求得答案即可．
解：∵正方形的边长为2，
∴对角线AC=2 ，
∴C点坐标为（ ， ），
设此抛物线的解析式为y=ax2，
则 =2a，a= ，
抛物线的解析式为y= x2．
故答案为y= x2．
【点拨】此题考查待定系数法求函数解析式，正方形的性质，求得点C或A坐标是解决问题的关键．
【变式2】（23-24九年级上·辽宁大连·期中）边长为2的正方形 在平面直角坐标系中的位置如图
所示，点D是边 的中点，连接 ，点E在第一象限，且 ， .以直线 为对称轴的
抛物线过C，E两点，则这条抛物线的解析式为 ．
【答案】
【分析】设抛物线的解析式为 ，先求出 ，过点E作 轴于点F，证明
，得到 ，求出 ，利用待定系数法求出二次函数解析式即
可．
解：∵ 为抛物线的对称轴，
∴设抛物线的解析式为 ，
∵正方形 边长为2
∴ ，
∵ 经过 和E两点，
过点E作 轴于点F，如图，∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
在 和 中
，
∴ ，
∴ ，
∵ ，D为 中点，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ 和 两点代入 ，
得： ，解得： ，
∴抛物线的解析式为 ，
故答案为： ．
【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质、待定系数法求二次函数解析式、正方形的性质、二次函
数的图象和性质等知识点，数形结合是解题的关键．第三部分【中考链接与拓展延伸】
1、直通中考
【例1】（2020·吉林长春·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点 的坐标为 ，点 的坐标为
．若抛物线 （ 、 为常数）与线段 交于 、 两点，且 ，则 的
值为 ．
【答案】
【分析】根据题意，可以得到点 的坐标和 的值，然后将点 的坐标代入抛物线的解析式，即可得到
的值，本题得以解决．
解： 点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，
，
抛物线 、 为常数）与线段 交于 、 两点，且 ，
设点 的坐标为 ，则点 的坐标为 ， ，
抛物线 ，
解得， ．
【点睛】本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用
二次函数的性质解答．
【例2】（2020·山东威海·中考真题）下表中 与 的数据满足我们初中学过的某种函数关系，其函数表
达式为 ．
… …… …
… …
… …
【答案】
【分析】根据表中x与y之间的数据，假设函数关系式为： ，并将表中的点(-1，
0)、(0，3)、(1，4)、(3，0)任取三个点带入函数关系式，求出二次项系数、一次项系数、常
数项即可求得答案．
解：根据表中x与y之间的数据，假设函数关系式为： ，并将表中(-1，0)、(0，
3)、(1，4)三个点代入函数关系式，得：
解得： ，
∴函数的表达式为： ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了函数的表达式，解题的关键是掌握函数的三种表达方式：列表法、解析
式法、图像法，本题就是将列表法转变为解析式法．
2、拓展延伸
【例1】（2024九年级·全国·竞赛）如图，抛物线 与 轴交于点 （点 在点 的左
边），与 轴交于点 ，抛物线 由抛物线 向右平移后得到，与 轴交于点 （点
在点 的左边），且交抛物线 于点 ，若 为等腰直角三角形，则抛物线 的函数解析式为．
【答案】
【分析】本题考查了二次函数图象的平移，等腰三角形的性质，待定系数法求函数解析式等知识；设直
线 交y轴于点M，过F作 轴于N；由 可求得与x轴的两个交点坐标，由
为等腰直角三角形，则可得点M的坐标，从而求出直线 解析式，联立直线解析式与 解析式可
求得点F的坐标，则可求得点E的坐标，由二次函数图像的平移则可求得 的解析式．
解：如图，设直线 交y轴于点M，过F作 轴于N；
令 ，解得： ，
即 ，
∴ ；
∵ 为等腰直角三角形， 轴，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，∴ ；
设直线 解析式为 ，把A、M的坐标分别代入得： ，
解得： ，
∴直线 解析式为 ；
联立直线 解析式与 解析式得 ，
解得： （舍去），
当 时， ，
∴点F的坐标为 ，
∴ ， ，
∴点E的坐标为 ；
∵抛物线 由抛物线 向右平移后得到，抛物线顶点的纵坐标不变，
∴ ，
把点E坐标代入得： ，
解得： ， ，
即 或 ；
当 时， ， ，
即点F不在 图像上，不符合题意，
∴ ，
即 ．故答案为： ．
【例2】（2023·浙江温州·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，三角板 的直角边 紧靠 轴上．
将一条不可伸缩的（与 等长）绳子的一端固定于点 处，另一端固定在 轴正半轴上的点 处，铅
笔笔尖 紧靠着三角板 边把绳子绷紧，当三角板沿着 轴左右平移时笔尖就能画出一条抛物线．已知
， ，现将点 向上平移若干个单位后重新作抛物线，所得新抛物线的开口最大宽度增加
了 ，则新抛物线的表达式为 ．
【答案】
【分析】本题考查了待定系数法求解析式，先找到抛物线的顶点，然后求得点 能到达的最左边的位置
点 ，进而待定系数法求解析式，根据题意新抛物线的开口最大宽度增加了 ，结合图形，即可求解．
解：当 与 轴重合时，
∵ ， ，
∴ ，
设抛物线解析式为
当 重合时，则 ，如图所示，过点 作 轴于点又∵ 的纵坐标为 ，则 ，
∴
∴
代入
∴
解得：
∴抛物线解析式为
如图所示，现将点 向上平移若干个单位后重新作抛物线，所得新抛物线的开口最大宽度增加了 ，
设
∴ ， ，
∴
解得： ，
∴新的抛物线的顶点坐标为
设新抛物线解析式为 ，
将点 代入，
解得：
∴新的抛物线解析式为故答案为： ．
