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专题 21.5 一元二次方程的实际应用【九大题型】
【人教版】
【题型1 数字问题】..................................................................................................................................................1
【题型2 平均变化率问题】......................................................................................................................................3
【题型3 销售利润问题】..........................................................................................................................................4
【题型4 传播问题】..................................................................................................................................................6
【题型5 循环问题】..................................................................................................................................................8
【题型6 树枝分叉问题】........................................................................................................................................10
【题型7 工程问题】................................................................................................................................................11
【题型8 图形问题】................................................................................................................................................14
【题型9 面积问题】................................................................................................................................................17
【题型1 数字问题】
【例1】（2022•苏州期末）一个两位数，它的两个数字之和为6，把这两个数字交换位置后所形成的两位
数与原两位数的积是1008，求原来的两位数．
【分析】可设个位数字为未知数，利用两个数字和为6表示出十位数字，根据新两位数×原来的两位数
＝1008列方程求得个位上的数字及十位上的数字，再求原来的两位数即可．
【解答】解：设原两位数的个位数字为x，十位数字为（6﹣x），
根据题意可知，[10（6﹣x）+x][10x+（6﹣x）]＝1008，
即x2﹣6x+8＝0，
解得x＝2，x＝4，
1 2
∴6﹣x＝4，或6﹣x＝2，
∴10（6﹣x）+x＝42或10（6﹣x）+x＝24，
答：这个两位数是42或24．
【变式1-1】（2022•沙坪坝区校级模拟）小北同学在学习了“一元二次方程”后，改编了苏轼的诗词《念
奴娇•赤壁怀古》：“大江东去浪淘尽，千古风流人物．而立之年督东吴，早逝英年两位数．十位恰小
个位三，个位平方与寿同．哪位学子算得快，多少年华数周瑜？”大意为：“周瑜去世时年龄为两位数，该数的十位数字比个位小3，个位的平方恰好等于该数．”若设周瑜去世时年龄的个位数字为 x，则可
列方程（ ）
A．10（x+3）+x＝x2 B．10（x﹣3）+x＝（x﹣3）2
C．10（x﹣3）+x＝x2 D．10（x+3）+x＝（x﹣3）2
【分析】根据“该数的十位数字比个位小3，个位的平方恰好等于该数”列方程即可．
【解答】解：根据题意，可得10（x﹣3）+x＝x2，
故选：C．
【变式1-2】（2022•浦东新区校级期末）已知一个两位数，个位上的数字比十位上的数字小 4，且个位上
的数字与十位上的数字的平方和比这个两位数小4，则这个两位数是 8 4 ．
【分析】设这个两位数的个位数字为 x，则十位数字为（x+4），根据个位上的数字与十位上的数字的
平方和比这个两位数小4，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再将其非负整数代
入[10（x+4）+x]中即可求出结论．
【解答】解：设这个两位数的个位数字为x，则十位数字为（x+4），
依题意得：x2+（x+4）2﹣[10（x+4）+x]＝﹣4，
整理得：x＝4，x＝﹣5．
1 2
又∵x为非负整数，
∴x＝4，
∴10（x+4）+x＝10×（4+4）+4＝84．
故答案为：84．
【变式1-3】（2022•秦都区期末）解读诗词（通过列方程算出周瑜去世时的年龄）：
大江东去浪淘尽，千古风流数人物，而立之年督东吴，早逝英年两位数，
十位恰小个位三，个位平方与寿符，哪位学子算得快，多少年华属周瑜？
诗词大意：周瑜三十岁当东吴都督，去世时的年龄是两位数，十位数字比个位数字小三，个位数字的平
方等于他去世时的年龄．
【分析】设周瑜去世时的年龄的个位数字为x，则十位数字为x﹣3．根据题意建立方程求出其值就可以
求出其结论．
【解答】解：设周瑜去世时的年龄的个位数字为x，则十位数字为x﹣3，依题意得：
10（x﹣3）+x＝x2，
解得x＝5，x＝6，
1 2
当x＝5时，25＜30，（不合题意，舍去），
当x＝6时，36＞30（符合题意），答：周瑜去世时的年龄为36岁．
【题型2 平均变化率问题】
【例2】（2022春•钟山县期末）某商品原价为20元，连续两次降价后售价为8元，设平均降价率为x，根
据题意，可列方程为（ ）
A．20（1+x）2＝8 B．8（1+x）2＝20 C．20（1﹣x）2＝8 D．8（1﹣x）2＝20
【分析】设该商品平均每次降价的百分率为x，根据降价后的价格＝降价前的价格（1﹣降价的百分
率），则第一次降价后的价格是20（1﹣x），第二次后的价格是20（1﹣x）2，据此即可列方程．
【解答】解：由题意可得，
20（1﹣x）2＝8，
故选：C．
【变式2-1】（2022•安徽二模）某市决定改善城市容貌，绿化环境，计划经过两年时间，绿地面积增加
44%，这两年平均每年绿地面积的增长率是（ ）
A．20% B．11% C．22% D．44%
【分析】可设这两年平均每年的增长率为 x，因为经过两年时间，让市区绿地面积增加 44%，则有
（1+x）2＝1+44%，解这个方程即可求出答案．
【解答】解：设这两年平均每年的绿地增长率为x，根据题意得，
（1+x）2＝1+44%，
解得x＝﹣2.2（舍去），x＝0.2．
1 2
答：这两年平均每年绿地面积的增长率为20%．
故选：A．
【变式2-2】（2022春•芝罘区期末）某种药品原来售价200元，连续两次降价后售价为162元．若平均每
次下降的百分率相同，则这个百分率是 10% ．
【分析】设平均每次下降的百分率为x，利用经过两次降价后的售价＝原价×（1﹣平均每次下降的百分
率）2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论．
【解答】解：设平均每次下降的百分率为x，
依题意得：200（1﹣x）2＝162，
解得：x＝0.1＝10%，x＝1.9（不合题意，舍去），
1 2
∴平均每次下降的百分率为10%．
故答案为：10%．
【变式2-3】（2022•秀峰区校级期中）某小区2013年屋顶绿化面积为2000平方米，计划2015年屋顶绿化面积要达到2880平方米．如果每年屋顶绿化面积的增长率相同，那么这个增长率是多少？
【分析】设出这个增长率是x，根据已知条件找出等量关系列出方程，求出x的值，即可得出答案．
【解答】解：设这个增长率是x，根据题意得：
2000（1+x）2＝2880，
解得：x＝20%，x＝﹣220%（舍去）
1 2
答：这个增长率是20%．
【题型3 销售利润问题】
【例3】（2022•大庆模拟）某口罩经销商批发了一批口罩，进货单价为每盒50元，若按每盒60元出售，
则每周可销售80盒．现准备提价销售，经市场调研发现：每盒每提价1元，每周销量就会减少2盒，
为保护消费者利益，物价部门规定，销售时利润率不能超过50%，设该口罩售价为每盒x（x＞60）元，
现在预算销售这种口罩每周要获得1200元利润，则每盒口罩的售价应定为（ ）
A．70元 B．80元 C．70元或80元 D．75元
【分析】根据每天的销售利润＝每箱的销售利润×销售数量，即可列出关于x的一元二次方程，解方程
即可求出x的值，在结合销售利润不能超过50%，即可确定x的值．
【解答】解：根据题意得：（x﹣50）（200﹣2x）＝1200，
整理得：x2﹣150x+5600＝0．
解得：x＝70，x＝80．
1 2
70-50
当x＝70时，利润率= ×100%＝40%＜50%，符合题意；
50
80-50
当x＝80时，利润率= ×100%＝60%＞50%，不合题意，舍去．
50
所以要获得1200元利润，每盒口罩的售价应定为70元．
故选：A．
【变式3-1】（2022春•乳山市期末）某商场将进价为30元的台灯以单价40元售出，平均每月能售出600
个．调查表明：这种台灯的单价每上涨1元，其销售量将减少10个．为实现平均每月10000元的销售
利润，从消费者的角度考虑，商场对这种台灯的售价应定为 5 0 元．
【分析】设售价为x元，根据总利润＝单件利润×销售量列方程求解，结合“从消费者的角度考虑”取
舍后可得．
【解答】解：设售价为x元，
根据题意得：（x﹣30）[600﹣10（x﹣40）]＝10000，
解得：x＝50或x＝80，从消费者的角度考虑，
x＝80舍去，
答：这种台灯的售价应定为50元．
故答案为：50．
【变式3-2】（2022春•垦利区期末）第24届冬季奥林匹克运动会将于2022年2月4日在北京开幕，北京
成为历史上第一个既举办夏奥会又举办冬奥会的城市．某批发商最近以 2元/张的价格订购了一批具有
纪念意义的书签进行销售．经调查发现，每个定价3元，每天可以卖出500件，而且定价每上涨0.1元，
其销售量将减少10张．根据规定：纪念品售价不能超过批发价
的2.5倍．
（1）当每张书签定价为3.5元时，商店每天能卖出 45 0 件；
（2）如果商店要实现每天800元的销售利润，那该如何定价？
【分析】（1）直接利用每个定价3元，每天可以能卖出500件，而且定价每上涨0.1元，其销售量将减
少10件，进而得出当每个纪念品定价为3.5元时，商店每天能卖出的件数；
（2）利用销量×每件利润＝800，进而得出等式求出答案．
【解答】解：（1）∵每个定价3元，每天可以能卖出500件，而且定价每上涨0.1元，其销售量将减少
10件，
3.5-3
∴当每个纪念品定价为3.5元时，商店每天能卖出：500﹣10× =450（件）；
0.1
故答案为：450；
（2）设定价x元，
x-3
由题意得：（x﹣2）（500- ×10）＝800，
0.1
解得：x＝4，x＝6，
1 2
∵售价不能超过批发价的2.5倍，
∴x＝4，
答：定价为4元．
【变式3-3】（2022•市中区校级一模）今年奉节脐橙喜获丰收，某村委会将全村农户的脐橙统一装箱出售．
经核算，每箱成本为40元，统一零售价定为每箱50元，可以根据买家订货量的多少给出不同的折扣价
销售．
（1）问最多打几折销售，才能保证每箱脐橙的利润率不低于10%？
（2）该村最开始几天每天可卖5000箱，因脐橙的保鲜周期短，需要尽快打开销路，减少积压，村委会20
决定在原售价基础上每箱降价3m%，这样每天可多销售 m%；为了保护农户的收益与种植积极性，
3
政府用“精准扶贫基金”给该村按每箱脐橙m元给予补贴进行奖励，结果该村每天脐橙销售的利润为
49000元，求m的值．
售价-成本
【分析】（1）设打x折销售，根据利润率= ≥10%，列方程可得结论；
成本
20
（2）等量关系为：（售价﹣成本）×销售量＝利润；原售价基础上每箱降价3m%，每天可多销售
3
m%，依此列出方程，解方程即可．
【解答】解：（1）设打x折销售，才能保证每箱脐橙的利润率不低于10%，
x
50⋅ -40
由题意得： 10 10%，
≥
40
x≥8.8，
答：最多打8.8折销售，才能保证每箱脐橙的利润率不低于10%；
20
（2）由题意得：5000（1+ m%）[50（1﹣3m%）+m﹣40]＝49000，
3
m 3
5（1+ ）（50- m+m﹣40）＝49，
15 2
m2﹣5m﹣6＝0，
m＝6，m＝﹣1（舍）．
1 2
【题型4 传播问题】
【例4】（2022•射洪市期中）新冠病毒主要是经呼吸道飞沫传播的，在无防护下传播速度很快．已知有 1
个人患了新冠肺炎，经过两轮传染后共有169个人患了新冠肺炎，每轮传染中平均一个人传染m人，则
m的值为（ ）
A．11 B．12 C．13 D．14
【分析】根据“有1个人患了新冠肺炎，经过两轮传染后共有169个人患了新冠肺炎”列方程即可得到
答案．
【解答】解：依题意，得：1+m+m（m+1）＝169，
即（1+m）2＝169．
解得：m＝12，m＝﹣14（不合题意，舍去）．
1 2
故选：B．【变式4-1】（2022•汕头）某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台
电脑被感染．请你用学过的知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？若病毒得不到有效控
制，3轮感染后，被感染的电脑会不会超过700台？
【分析】本题可设每轮感染中平均一台会感染 x台电脑，则第一轮后共有（1+x）台被感染，第二轮后
共有（1+x）+x（1+x）即（1+x）2台被感染，利用方程即可求出x的值，并且3轮后共有（1+x）3台被
感染，比较该数同700的大小，即可作出判断．
【解答】解：设每轮感染中平均每一台电脑会感染x台电脑，依题意得：1+x+（1+x）x＝81，
整理得（1+x）2＝81，
则x+1＝9或x+1＝﹣9，
解得x＝8，x＝﹣10（舍去），
1 2
∴（1+x）2+x（1+x）2＝（1+x）3＝（1+8）3＝729＞700．
答：每轮感染中平均每一台电脑会感染8台电脑，3轮感染后，被感染的电脑会超过700台．
【变式4-2】（2022•长兴县校级期中）截止4月15日全国已通报确诊63例人感染H7N9禽流感病例，
H7N9是禽流感的一种亚型，在禽类中传播速度较快，上海等地已开始捕杀活禽．如果一只活禽，经过
两轮感染后就会有36只活禽被感染，假设每轮传染中平均每只活禽传染了 x只活禽，那么可列方程为
（ x + 1 ） 2 ＝ 3 6 ；n轮感染后，被感染的活禽只数为 6 n 只．（用含n的代数式表示）
【分析】可设每轮感染中平均一只活禽会感染 x个只，则第一轮后共有1+x只感染，两轮后有1+x+x
（1+x）知感染，列出方程求解即可；
【解答】解：设每轮感染中平均一只活禽会感染x个只，
则由题意知：1+x+x（1+x）＝36
整理得：（x+1）2＝36
解得x＝5，x＝﹣7（舍去）
1 2
n轮感染后，被感染的活禽只数为（5+1）n＝6n
故答案为：（x+1）2＝36；6n
【变式4-3】（2022秋•武汉月考）某种传染病，传播速度极快，通常情况下，每天一个人会传染给若干人．
（1）现有一人患病，开始两天共有225人患病，求一人传染给几个人？
（2）两天后人们有所察觉，这样平均一人一天以少传染5人的速度递减，求再经过两天后，共有几人
患病？
【分析】（1）设每天一人传染了x人，根据题意可得：第一天患病的人数为1+1×传播的人数；第一天
患病人数将成为第二天的传染源，第二天患病的人数为第一天患病的人数×传播的人数，等量关系为：第一天患病的人数+第二天患病的人数＝225；
（2）根据题意可得：再过两天的患病人数＝225+225×（原来的传播人数﹣5）+前3天一共患病的人数
×（第3天的传播人数﹣5）．
【解答】解：（1）设每天一人传染了x人，由题意得：
1+x+（1+x）×x＝225，
（1+x）2＝225，
∵1+x＞0，
∴1+x＝15，
x＝14．
答：每天一人传染了14人；
（2）再过两天的患病人数＝225+225×（14﹣5）+[225+225×（14﹣5）]×（14﹣5﹣5）＝11250．
答：共有11250人患病．
【题型5 循环问题】
【例5】（2022春•百色期末）某校八年级组织一次篮球赛，各班均组队参赛，赛制为单循环形式（每两班
之间都赛一场），共需安排21场比赛，则八年级班级的个数为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【分析】设八年级共有x个班，利用比赛的总场数＝八年级的班级数×（八年级的班级数﹣1）÷2，即可
得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【解答】解：设八年级共有x个班，
1
依题意得： x（x﹣1）＝21，
2
整理得：x2﹣x﹣42＝0，
解得：x＝﹣6（不合题意，舍去），x＝7，
1 2
∴八年级共有7个班．
故选：C．
【变式5-1】（2022•大连一模）第24届北京冬奥会冰壶混合双人循环赛在冰立方举行．参加比赛的每两队
之间都进行一场比赛，共要比赛45场，共有多少个队参加比赛？
【分析】设共有x个队参加比赛，利用比赛的总场数＝参赛队伍数×（参赛队伍数﹣1）÷2，即可得出关
于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【解答】解：设共有x个队参加比赛，1
依题意得： x（x﹣1）＝45，
2
整理得：x2﹣x﹣90＝0，
解得：x＝10，x＝﹣9（不合题意，舍去）．
1 2
答：共有10个队参加比赛．
【变式5-2】（2022•保亭县校级月考）要组织一次排球循环赛，参赛的每两队之间赛一场．赛程计划 7天，
每天安排4场，比赛组织者应邀请多少个队参加？
x(x-1)
【分析】可设比赛组织者应邀请x队参赛，则每个队参加（x﹣1）场比赛，则共有 场比赛，可
2
以列出一个一元二次方程，求解，舍去小于0的值，即可得所求的结果．
【解答】解：∵赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，
∴共7×4＝28场比赛．
设比赛组织者应邀请x队参赛，
x(x-1)
则由题意可列方程为： =28．
2
解得：x＝8，x＝﹣7（舍去）．
1 2
答：比赛组织者应邀请8队参赛．
【变式5-3】（2022•中山市模拟）某市计划举办青少年足球比赛，赛制采取双循环形式（即每两队之间都
要打两场比赛），一共组织30场比赛．计分规则为胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．
（1）该市举办方应该邀请多少支球队参赛？
（2）此次比赛结束后，如果其中一支参赛球队共平了4场，负了2场，则该球队此次比赛的总积分是
多少？
【分析】（1）设该市举办方应邀请x支球队参赛，根据“一共组织30场比赛”列出方程并解答；
（2）根据计分规则计算总积分．
【解答】解：（1）设该市举办方应邀请x支球队参赛，
依题意得，x（x﹣1）＝30，
解方程得，x＝6，x＝﹣5（不合题意，舍去），
1 2
（2）（10﹣4﹣2）×3+4×1+2×0＝16，
答：该市举办方应邀请6支球队参赛，该球队的总积分为16分．
【题型6 树枝分叉问题】
【例6】（2022春•启东市期末）某校“研学”活动小组在一次野外实践时，发现一种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是 57，则这种植物每个
支干长出的小分支个数是（ ）
A．8 B．7 C．6 D．5
【分析】设这种植物每个支干长出的小分支个数是x，根据主干、支干和小分支的总数是57，即可得出
关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【解答】解：设这种植物每个支干长出的小分支个数是x，
依题意得：1+x+x2＝57，
整理得：x2+x﹣56＝0，
解得：x＝7，x＝﹣8（不合题意，舍去），
1 2
∴这种植物每个支干长出的小分支个数是7．
故选：B．
【变式6-1】（2022秋•鼓楼区校级期末）某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目
的小分支，主干、支干和小分支的总数是43，设每个支干长出x个小分支，则下列方程中正确的是（
）
A．1+x2＝43 B．1+x+x2＝43 C．x+x2＝43 D．（1+x）2＝43
【分析】由题意设每个支干长出x个小分支，因为主干长出x个（同样数目）支干，则又长出x2个小分
支，则共有x2+x+1个分支，即可列方程．
【解答】解：设每个支干长出x个小分支，
根据题意列方程得：x2+x+1＝43．
故选：B．
【变式6-2】（2018秋•同安区校级期中）某种植物的主干长出若干数目的枝干，每个枝干又长出同样数目
的小分支，主干、枝干和小分支的总数是31，则每个枝干长出（ ）小分支．
A．7根 B．6根 C．5根 D．4根
【分析】设每个枝干长出x根小分支，则可表示出主干、枝干和小分支的总数，由条件可列出方程，可
求得答案．
【解答】解：设每个枝干长出x根小分支，
根据题意可得：1+x+x2＝31，即x2+x﹣30＝0，
分解因式得：（x+6）（x﹣5）＝0，
解得：x＝5或x＝﹣6（舍去），
∴每个枝干长出5根小分支，
故选：C．【变式6-3】（2022•河西区期中）某种植物的主干长出若干数目的枝干，每个枝干又长出同样数目的小分
支，主干、枝干和小分支的总数是91，每个枝干长出多少小分支？
若设每个枝干长出x个小分支．
（Ⅰ）分析：根据问题中的数量关系，填表：
①主干的数目为 1 ；
②从主干中长出的枝干的数目为 x ；（用含x的式子表示）
③又从上述枝干中长出的小分支的数目为 x 2 ；（用含x的式子表示）
（Ⅱ）完成问题的求解．
【分析】（I）根据主干为1及每个枝干长出x个小分支，即可得出各小问的结论；
（II）根据主干+枝干数目+枝干数目×枝干数目＝91，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值
即可得出结论．
【解答】解：（Ⅰ）根据题意得：①主干的数目为1；
②从主干中长出的枝干的数目为x；
③又从上述枝干中长出的小分支的数目为x2；
故答案为：①1；②x；③x2；
（Ⅱ）依题意，得：1+x+x2＝91，
整理，得：x2+x﹣90＝0，
解得：x＝9，x＝﹣10（不合题意，舍去）．
1 2
答：每个枝干长出9个小分支．
【题型7 工程问题】
【例7】（2022•渝中区校级自主招生）工程队在完成某项工程的过程中，因提高了工作效率从而缩短了工
作时间．经测试：工作时间缩短的百分率是工作效率提高的百分率的2倍，且提高工作效率后的工作量
是原来工作量的0.88倍．若完成原来工作量的时间为3小时，求提高工作效率后完成工作量所花的时间．
【分析】设原来的工作效率为a（也可以将原来的工作效率当成1），工作效率提高的百分率为x，则工
作时间缩短的百分率为2x，根据工作总量＝工作效率×工作时间，即可得出关于x的一元二次方程，解
之即可得出x的值，将其正值代入3（1﹣2x）中即可求出结论．
【解答】解：设原来的工作效率为a，工作效率提高的百分率为x，则工作时间缩短的百分率为2x，
依题意，得：3a×0.88＝a（1+x）×3（1﹣2x），
整理，得：2x2+x﹣0.12＝0，
解得：x＝0.1＝10%，x＝﹣0.6（不合题意，舍去），
1 2∴3（1﹣2x）＝2.4．
答：提高工作效率后完成工作量所花的时间为2.4小时．
【变式7-1】（2022•沙坪坝区校级开学）“农村道路改造”是重庆市政府一项重要的惠民工程．某条需要
改造的农村道路共54000米，需要甲、乙两工程队合作施工完成．已知甲、乙两队分别从道路两头同时
开始施工，乙队每天比甲队多修100米
（1）现市政府要求甲、乙两队共同施工40天之后剩余的工程总量不得超过18000米，则甲队每天至少
修路多少米？
（2）为了保证施工的质量，甲、乙两队计划按照（1）中的最施工速度进行施工，但在实际的施工过程
中，由于天气过于炎热，甲、乙队每天的施工速度都降低了 m%．市政府的有关部门立即对完工时间进
行了评估：如果炎热的天气一直持续，则甲、乙两队同时施工 60天，再由乙单独多施工（m+7）天恰
好就可以完成该项道路改造任务．求m的值．
【分析】（1）设甲队每天修路x米，则乙队每天修路（x+100）米，根据工作总量＝工作效率×工作时
间结合甲、乙两队共同施工40天之后剩余的工程总量不得超过18000米，即可得出关于x的一元一次
不等式，解之取其中的最小值即可得出结论；
（2）根据工作总量＝工作效率×工作时间，即可得出关于m的一元二次方程，解之取其正值即可得出
结论．
【解答】解：（1）设甲队每天修路x米，则乙队每天修路（x+100）米，
依题意，得：54000﹣40（x+x+100）≤18000，
解得：x≥400．
答：甲队每天至少修路400米．
（2）依题意，得：60×400（1﹣m%）+（60+m+7）（400+100）（1﹣m%）＝54000，
整理，得：m2+15m﹣700＝0，
解得：m＝20，m＝﹣35．
1 2
答：m的值为20．
【变式7-2】（2022•重庆）随着铁路客运量的不断增长，重庆火车北站越来越拥挤，为了满足铁路交通的
快速发展，该火车站去年开始启动了扩建工程，其中某项工程，甲队单独完成所需时间比乙队单独完成
所需时间多5个月，并且两队单独完成所需时间的乘积恰好等于两队单独完成所需时间之和的6倍．
（1）求甲、乙两队单独完成这项工程各需几个月？
（2）若甲队每月的施工费为100万元，乙队每月的施工费比甲队多50万元．在保证工程质量的前提下，
为了缩短工期，拟安排甲、乙两队分工合作完成这项工程并且甲、乙两队的工作效率与题干的不同，在完成这项工程中，甲队施工时间是乙队施工时间的2倍，那么，甲队最多施工几个月才能使工程款不超
过1500万元？（甲、乙两队的施工时间按月取整数）
【分析】（1）设甲队单独完成需要x个月，则乙队单独完成需要x﹣5个月，根据题意列出关系式，求
出x的值即可；
1
（2）设甲队施工y个月，则乙队施工 y个月，根据工程款不超过1500万元，列出一元一次不等式，
2
解不等式求最大值即可．
【解答】解：（1）设甲队单独完成需要x个月，则乙队单独完成需要（x﹣5）个月，
由题意得，x（x﹣5）＝6（x+x﹣5），
解得x＝15，x＝2（不合题意，舍去），
1 2
则x﹣5＝10．
答：甲队单独完成这项工程需要15个月，则乙队单独完成这项工程需要10个月；
1
（2）设甲队施工y个月，则乙队施工 y个月，
2
y
由题意得，100y+（100+50） ≤1500，
2
解不等式得y≤8.57，
∵施工时间按月取整数，
∴y≤8，
答：完成这项工程，甲队最多施工8个月才能使工程款不超过1500万元．
【变式7-3】（2022•开州区期中）为进一步改善路容路貌，提升干线公路美化度，某地相关部门初步拟定
派一个工程队对一段长度不少于39000米的公路进行路基标准化整修．该工程队以旧设备与新设备交替
使用的方式施工，原计划旧设备每小时整修公路30米，新设备每小时整修公路60米．
2
（1）出于保护旧设备的目的，该工程队计划使用新设备的时间比使用旧设备的时间多 ，当这个工程
3
完工时，旧设备的使用时间至少为多少小时？
（2）通过精确的勘察、测量、规划，以及新增了部分支线公路整修，此工程的实际施工里程比最初拟
定的最少里程39000米多了9000米．于是在实际施工中，旧设备在整修公路效率不变的情况下，使用
时间比（1）中的最小值多3.2a%，同时，因为工人操作新设备不够熟练，使得新设备整修公路的效率
1
比原计划下降了a%，使用时间比（1）中新设备使用的最短时多（ a+30）%，求a的值．
22
【分析】（1）设旧设备的使用时间为x小时，则新设备的使用时间为（1+ ）x小时，利用工作总量＝
3
工作效率×工作时间，结合工作总量不少于39000米，即可得出关于x的一元一次不等式，解之即可得
出x的取值范围，再取其中的最小值即可得出旧设备的使用时间至少为300小时；
（2）利用利用工作总量＝工作效率×工作时间，结合工作总量此工程的实际施工里程比最初拟定的最少
里程39000米多了9000米，即可得出关于a的一元二次方程，解之取其正值即可得出a的值为32．
2
【解答】解：（1）设旧设备的使用时间为x小时，则新设备的使用时间为（1+ ）x小时，
3
2
依题意得：30x+60×（1+ ）x≥39000，
3
解得：x≥300．
答：旧设备的使用时间至少为300小时．
2 1
（2）依题意得：30×300（1+3.2a%）+60（1﹣a%）×（1+ ）×300[1+（ a+30）%]＝39000+9000，
3 2
3
整理得： a2﹣48a＝0，
2
解得：a＝32，a＝0（不合题意，舍去）．
1 2
答：a的值为32．
【题型8 图形问题】
【例8】（2022春•海安市期末）某校准备在一块长为25米，宽为20米的长方形花园内修建一个底部为正
方形的亭子（如图所示），在亭子四周修四条宽度相同，且与亭子各边垂直的小路，亭子边长是小路宽
度的5倍，花园内的空白地方铺草坪，设小路宽度为x米．
（1）花园内的小路面积为 （﹣ 1 0 x 2 +4 5 x ） 平方米（用含x的代数式表示）．
（2）若草坪面积为440平方米时，求这时道路宽度x的值．
【分析】（1）由亭子边长是小路宽度的5倍，可得出亭子边长是5x米，利用花园内的小路面积＝小路
的长度×小路的宽度，即可用含x的代数式表示出花园内的小路面积；
（2）利用草坪的面积＝长方形花园的面积﹣小路的面积﹣亭子的面积，即可得出关于 x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【解答】解：（1）∵小路宽度为x米，亭子边长是小路宽度的5倍，
∴亭子边长是5x米，
∴花园内的小路面积为（25﹣5x）x+（20﹣5x）x＝（﹣10x2+45x）平方米．
故答案为：（﹣10x2+45x）．
（2）依题意得：25×20﹣（﹣10x2+45x）﹣（5x）2＝440，
整理得：x2+3x﹣4＝0，
解得：x＝1，x＝﹣4（不合题意，舍去）．
1 2
答：这时道路宽度x的值为1．
【变式8-1】（2022•峄城区期末）有一张长40cm，宽30cm的长方形硬纸片（如图1），截去四个全等的
小正方形之后，折成无盖的纸盒（如图2）．若纸盒的底面积为600cm2，则纸盒的高为 5 cm ．
【分析】本题设纸盒的高为xcm，表示出纸盒底面的长和宽，根据面积为600cm2即可列出一元二次方程
求解．
【解答】解：设纸盒的高为xcm，则纸盒的底面长为（40﹣2x）cm，宽为（30﹣2x）cm，可列方程：
（40﹣2x）（30﹣2x）＝600，
解得：x＝5，x＝30（舍去），
1 2
∴纸盒的高为5cm，
故答案为：5cm．
【变式8-2】（2022•沈阳模拟）如图，某建筑物的窗户如图所示，它的上半部分是半圆，半径为 x米，下
半部分是矩形，制造窗框的材料总长（图中所有黑线的长度和）为15米．当x等于多少时，窗户通过
的进光面积是4平方米．【分析】根据各边之间的关系，可用含x的代数式表示出y值，根据窗户通过的进光面积是4平方米，
即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论．
【解答】解：∵制造窗框的材料总长（图中所有黑线的长度和）为15米，
15-7x-πx
∴y= ．
4
1
依题意得： πx2+2xy＝4，
2
1 15-7x-πx
即 πx2+2x• =4，
2 4
整理得：7x2﹣15x+8＝0，
8
解得：x＝1，x = ．
1 2
7
8
答：当x等于1或 时，窗户通过的进光面积是4平方米．
7
【变式8-3】（2021秋•朝阳区校级月考）如图，要设计一个等腰梯形的花坛，花坛上底长 100m，下底长
180m，上下底相距80m，在两腰中点连线外有一条横向甬道，上下底之间有两条纵向甬道，各甬道的宽
度相等，甬道的面积是梯形面积的六分之一．甬道的宽应是多少（精确到0.01m）？
（友情提示：中间甬道的中位线就是等腰梯形的中位线）
100+180
【分析】设甬道的宽为xm，则甬道面积为 x+2x×80﹣2x2，由题意可列出方程，求解x即可．
2
【解答】解：设甬道的宽为xm，由题意，得
100+180 1 100+180
x+2x×80﹣2x2= × ×80，
2 6 2
整理，得3x2﹣450x+2800＝0，
225+5❑√1689 225-5❑√1689
∴x = ＞80（舍去），x = ≈6.50
1 2
3 3
答：甬道的宽约为6.50m．
【题型9 面积问题】
【例9】（2022•蜀山区校级模拟）我国南宋数学教杨辉曾经提出这样的一个问题，“直田积，八百六十四，
只云阔不及长十二步，问阔及长各几步”．大意：矩形田地的面积为864平方步，宽比长少12步，问矩形田地的长与宽各几步？（请你利用所学知识解决以上问题）
【分析】设矩形田地的宽为x步，则长为（x+12）步，根据矩形田地的面积为864平方步，即可得出关
于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出矩形田地的宽，再将其代入（x+12）中即可求出矩形田地
的长．
【解答】解：设矩形田地的宽为x步，则长为（x+12）步，
依题意得：（x+12）x＝864，
整理得：x2+12x﹣864＝0，
解得：x＝24，x＝﹣36（不合题意，舍去），
1 2
∴x+12＝24+12＝36．
答：矩形田地的长为36步，宽为24步．
【变式9-1】（2022•淮安区期中）用条长40厘米的绳子围成一个矩形，设其一边长为x厘米．
（1）若矩形的面积为96平方厘米，求x的值；
（2）矩形的面积是否可以为101平方厘米？如果能，请求x的值；如果不能，请说明理由．
【分析】（1）根据题意列出方程，求出方程的解即可；
（2）假设矩形的面积可以为101平方厘米，根据题意得出方程x（20﹣x）＝101，再判断方程是否有解
即可．
40-2x
【解答】解：（1）根据题意得：x• =96，
2
解得：x＝8或12，
答：x＝8或12；
（2）矩形的面积不能为101平方厘米，
理由是：假设矩形的面积可以为101平方厘米，
则x（20﹣x）＝101，
x2﹣20x+101＝0，
△＝（﹣20）2﹣4×1×101＜0，
此方程无解，
所以矩形的面积不能为101平方厘米．
【变式9-2】（2022•贵阳期末）我们规定：如果一个矩形的周长和面积分别是另一个矩形的周长和面积的
n倍，则称这个矩形是另一个矩形的“加倍矩形”．
已知一个矩形的长为5，宽为3，是否存在这样的“加倍矩形”，它的周长和面积分别是已知矩形的周
长和面积的3倍，请说明理由．【分析】首先设这个“加倍矩形”的长为x，则宽为24﹣x，由题意得：加倍矩形的面积＝3×3×5，列出
方程后，判断方程是否有解即可．
【解答】解：设这个“加倍矩形”的长为x，则宽为24﹣x，由题意得：
x（24﹣x）＝3×15，
整理得：x2﹣24x+45＝0，
∵b2﹣4ac＝242﹣4×1×45＝396＞0，
∴存在这样的“加倍矩形”．
【变式9-3】（2022•达川区校级月考）某农场要建一个长方形的养鸡场，鸡场的一边靠长为18m的墙，另
三边用木栏围成，木栏长为32m．
（1）鸡场的面积能围成120m2吗？
（2）鸡场的面积能围成130m2吗？
【分析】（1）（2）我们假设120，130成立，设出垂直墙的一边为x，可列出方程看看有没有解，有解
就可以无解就不行．
【解答】解：（1）设与墙垂直的一边长为xm，则与墙平行的一边长为（32﹣2x）m，
依题意，得x（32﹣2x）＝120，（1分）
整理得，x2﹣16x+60＝0，
解得x＝6，x＝10
1 2
当x＝6时，32﹣2x＝20；
当x＝10时，32﹣2x＝12．（2分）
所以，鸡场的面积能围到120m2．
设计方案①：垂直于墙的边长为6m，平行于墙的边长为20m；
方案②：垂直于墙的边长为10m，平行于墙的边长为12m；
（2）设与墙垂直的一边长为xm，依题意，得
x（32﹣2x）＝130，整理得x2﹣16x+65＝0，
∵a＝1，b＝﹣16，c＝65，∴b2﹣4ac＝（﹣16）2﹣4×1×65＝﹣4＜0，
∴原方程无解．
所以，围成的鸡场面积不能达到130m2．
