文档内容
第 05 讲 实际问题与一元二次方程（2 个知识点+2 种题型
+分层练习）
知识导图
知识清单
知识点1．由实际问题抽象出一元二次方程
在解决实际问题时，要全面、系统地审清问题的已知和未知，以及它们之间的数量关系，
找出并全面表示问题的相等关系，设出未知数，用方程表示出已知量与未知量之间的等量
关系，即列出一元二次方程．
知识点2．一元二次方程的应用
1、列方程解决实际问题的一般步骤是：审清题意设未知数，列出方程，解所列方程求所列
方程的解，检验和作答．
2、列一元二次方程解应用题中常见问题：
（1）数字问题：个位数为a，十位数是b，则这个两位数表示为10b+a．
（2）增长率问题：增长率＝增长数量/原数量×100%．如：若原数是a，每次增长的百分率
为x，则第一次增长后为a（1+x）；第二次增长后为a（1+x）2，即 原数×（1+增长百分
率）2＝后来数．
（3）形积问题：①利用勾股定理列一元二次方程，求三角形、矩形的边长．②利用三角
形、矩形、菱形、梯形和圆的面积，以及柱体体积公式建立等量关系列一元二次方程．③
利用相似三角形的对应比例关系，列比例式，通过两内项之积等于两外项之积，得到一元
二次方程．
（4）运动点问题：物体运动将会沿着一条路线或形成一条痕迹，运行的路线与其他条件会
构成直角三角形，可运用直角三角形的性质列方程求解．
【规律方法】列一元二次方程解应用题的“六字诀”
1．审：理解题意，明确未知量、已知量以及它们之间的数量关系．2．设：根据题意，可以直接设未知数，也可以间接设未知数．
3．列：根据题中的等量关系，用含所设未知数的代数式表示其他未知量，从而列出方程．
4．解：准确求出方程的解．
5．验：检验所求出的根是否符合所列方程和实际问题．
6．答：写出答案．
题型强化
题型一．由实际问题抽象出一元二次方程
1．（2024•郴州二模）为执行国家药品降价政策，给人民群众带来实惠，某药品经过两次
降价，每瓶零售价由200元降为162元，求平均每次降价的百分率，设平均每次降价的百
分率为 ，则可列方程为 ．
2．（2024春•慈溪市期末）杭州亚运会吉祥物深受大家喜爱．某商户 3月份销售吉祥物
“宸宸”摆件为 10 万个，5 月份销售 11.5 万个．设该摆件销售量的月平均增长率为
，则可列方程为
A． B．
C． D．
3．（2023秋•长治月考）在一块长 、宽 的矩形荒地上，要建造一个花园，要求花
园所占面积为荒地面积的一半．方案一：如图 1，花园四周小路的宽度相等；方案二：如
图2，矩形中每个角上的扇形相同．
（1）求方案一中小路的宽度，设小路的宽度为 米，请列出方程，不做解答．
（2）求方案二中扇形的半径；（其中 ，结果保留根号）
（3）你还有其他的设计方案吗？请在图3中画出你的设计草图，将花园部分涂上阴影，并加以说明．
题型二．一元二次方程的应用
4．（2024•佳木斯三模）直播购物逐渐走进了人们的生活．某电商在抖音上对一款成本价
为40元的小商品进行直播销售，如果按每件60元销售，每天可卖出20件．通过市场调查
发现每件小商品售价每降低1元，日销售量增加2件．若日利润保持不变．商家想尽快销
售完该款商品．每件售价应定为多少元．
A．45 B．50 C．55 D．60
5．（2024•调兵山市二模）根据物理学规律，如果把一个物体从地面以 的速度竖
直上抛（如图所示），那么物体经过 离地面的高度（单位： 为 ．根据上述
规律，该物体落回地面所需要的时间 约为 （结果保留整数）．
6．（2024春•道外区期末）某水果批发商场经销一种高档水果，商场为了在中秋节和国庆
节期间扩大销量，将售价从原来的每千克40元经两次调价后调至每千克32.4元．
（1）若该商场两次调次的降价率相同，求这个降价率；
（2）现在假期结束了，商场准备适当涨价，如果现在每千克盈利10元，每天可售出500
千克，经市场调查发现，在进货不变的情况下，若每千克涨价1元，日销量将减少20千克，
现该商场要保证每天盈利6000元，同时又要使顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？分层练习
一、单选题
1．某种药品原价为36元/盒，经过连续两次降价后售价为25元/盒．设平均每次降价的百
分率为x，根据题意所列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．有一个两位数，它的数字和等于8，交换数字位置后新的两位数与原两位数之积为
1612，则原来的两位数为（ ）
A．26 B．62 C．26或62 D．以上均不对
3．根据下表提供的信息，一元二次方程 的解大概是（ ）
2 3 4 5 6
5 13
A．0 B．3.5 C．3.8 D．4.5
4．用 长的篱笆，围成一个一面靠墙面积为 的长方形场地，求这个长方形的长和
宽．设平行于墙的一边为 ，可得方程（ ）
A． B． C． D．
5．某校七年级组织一次篮球赛，各班均组队参赛，赛制为每两班之间赛两场，共需安排
42场比赛．设七年级共有x个班，则下列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6．生物学家研究发现，很多植物的生长都有下面的规律，即主干长出若干数目的支干后，
每个支干又会长出同样数目的小分支．现有符合上述生长规律的某种植物，它的主干、支
干和小分支的总数是 ，则这种植物每个支干长出小分支的个数是（ ）A． B． C． D． 或
7．商场将进货价为30元/件的某种商品以60元/件出售时每天能卖出20件，若每降价1元，
则每天可多卖出4件，若降价x元，每天盈利1200元，则可列方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
8．《九章算术》中有一题：“今有二人同立，甲行率六，乙行率四，乙东行，甲南行十步
而斜东北与乙会，问甲乙各行几何？”大意是说：“甲、乙二人同时从同一地点出发，甲
的速度为6，乙的速度为4，乙一直向东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了
一段后与乙相遇，甲、乙各走了多少步？”请问乙走的步数是（ ）
A．36 B．26 C．24 D．10
9．小球以 的速度在平坦地面上开始滚动，并且均匀减速， 后小球停下来．小球滚
动到 时约用了多少时间（精确到 ）？（ ）
A． B． C． D．
10．如图，在 中， ， ， ，点 沿 边从点 出发
向终点 以 的速度移动；同时点 沿 边从点 出发向终点 以 的速度移动，
当其中一点到达终点时，另一点也随之停止移动．当 的面积为 时，点 运动的
时间是（ ）
A． B． 或 C． D． 或
二、填空题
11．“国庆”节老同学聚会，每两个人都握一次手，所有人共握手10次，则参加聚会的人数是 人．
12．一个两位数，个位数字比十位数字大2，十位数字2倍的平方恰好等于个位数字与十
位数字互换位置的新数，则这个两位数为 ．
13．飞机起飞前，先要在跑道上滑行一段路程，滑行时是匀加速运动，其公式为 ，
如 果飞机起飞前滑行距离 ，其中 ，则飞机起飞的时间 ．
14．某商品的进价为每件40元，当售价为每件60元时，每星期可卖出200件，现需降价
处理，且经市场调查发现：每降价1元，每星期可多卖出8件，店里每周利润要达到8450
元，若设店主把该商品每件售价降低x元，则可列方程为 ．
15．某校组织篮球联赛，每两个队之间比赛两场，共进行了30场比赛，设参赛队的数量为
x，则可列方程为 ．
16．某印刷厂今年一季度印刷了 50 万册书，第三季度印刷了 72 万册书，如果每个季度
的 增长率相同，设为 x，依题意可得方程 ．
17．一块面积为 的矩形材料，四个角各减去一个一样大小的正方形，用剩下的部分
做成一个无盖的长方体盒子，要求盒子长为 ，宽为高的3倍，若设长方体盒子高为
，则可列方程为 ．
18．如图，在 中， ，动点P从点C出发，沿
方向运动，动点Q从点B出发，沿 方向运动，如果点P，Q的运动速度均为 ．
那么运动 秒时，它们相距 ？
三、解答题
19．2020年5月复工复产以来，某夜市6月份的总销售额为50万元，8月份的总销售额为
60.5万元，若平均每月的总销售额的增长率相同．
(1)求该夜市6月份至8月份平均每月的总销售额的增长率；
(2)如果该夜市平均每月的总销售额的增长率保持不变，求该夜市9月份的总销售额．20． 如图所示，在 中， ， ， ，点 由点 出发，
沿 边以 的速度向点 移动；点 由点 出发，沿 边以 的速度向点 移
动．如果点 ， 分别从点 ， 同时出发，问：
(1)经过_____________________秒后， 的面积等于 ？
(2)经过几秒后，P，Q两点间距离是 ？
21．鸡瘟是一种传播速度很快的传染病．一鸡场3月12日发现一例，两天后发现共有169
只鸡患有这种病．若每例病鸡传染健康鸡的只数均相同，则每只病鸡传染健康鸡的只数是
多少？
22．如图，某农场有一块长 ，宽 的矩形种植地，为方便管理，准备沿平行于两边
的方向纵、横各修建一条等宽的小路，要使种植面积为 ，求小路的宽．23．某淘宝网店销售台灯，成本为每个30元．销售大数据分析表明：当每个台灯售价为
40元时，平均每月售出 个；若售价每上涨1元，其月销售量就减少20个，若售价每下
降1元，其月销售量就增加 个．
(1)为迎接“双十一”，该网店决定降价促销，在库存为 个台灯的情况下，若预计月获
利恰好为 元，求每个台灯的售价．
(2)在库存为 个台灯的情况下，若预计月获利恰好为 元，直接写出每个台灯的售价．
24．小明设计了点做圆周运动的一个动画游戏，如图所示，甲、乙两点分别从直径的两端
点A、B以顺时针、逆时针的方向同时沿圆周运动，甲运动的路程 与时间 满足关
系： ，乙以 的速度匀速运动，半圆的长度为 ．
(1)甲运动 后的路程是多少？
(2)甲、乙从开始运动到第三次相遇时，它们运动了多少时间？25．城开高速公路即重庆市城口县至开州区的高速公路，是国家高速 银百高速公路
（银川至百色）的一段，线路全长 公里，甲、乙两工程队共同承建该高速公路某隧道
工程，隧道总长2100米，甲、乙分别从隧道两端向中间施工，计划每天各施工6米．因地
质结构不同，两支队伍每合格完成1米隧道施工所需成本不一样．甲每合格完成1米隧道
施工成本为8万元；乙每合格完成1米隧道施工成本为9万元．
(1)若工程结算时乙总施工成本不低于甲总施工成本的 ，求甲最多施工多少米？
(2)实际施工开始后地质情况比预估更复杂，甲乙两队每日完成量和成本都发生变化．甲每
合格完成1米隧道施工成本增加m万元时，则每天可多挖 米，乙在施工成本不变的情况
下，比计划每天少挖 米，若最终每天实际总成本比计划多 万元，求 的值．
26．阅读下列材料：为了计算正整数 的值，采用以下方法：
设 ①，
且 ②，
①+②把两个等式等号右边中的第一项相加，第二项相加…第n项相加，
得： ，
∴ ，即： ，请根据以上阅读材料内容，结合所学知识解决以下问题：
(1)正整数 ；
(2)如图是一个三角点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点．
第n行有n个点…，容易发现三角点阵中前4行的点数和是10．
①请用一元二次方程说明：三角点阵中前多少行的点数和是190？
②这个三角点阵中前n行的点数和能是280吗？如果能，求出n；如果不能，说明理由．
