文档内容
第 01 讲 一元二次方程（3 个知识点+3 种题型+分层练习）
知识导图
知识清单
知识点1．一元二次方程的定义
（1）一元二次方程的定义：
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．
（2）概念解析：
一元二次方程必须同时满足三个条件：
①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数；
②只含有一个未知数；
③未知数的最高次数是2．
（3）判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的
最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”．
知识点2．一元二次方程的一般形式
（1）一般地，任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c＝0（a≠0）．这种
形式叫一元二次方程的一般形式．
其中ax2叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项；c叫做常数项．一次项系数b和常数项c可取任
意实数，二次项系数a是不等于0的实数，这是因为当a＝0时，方程中就没有二次项了，所以，此方程就
不是一元二次方程了．
（2）要确定二次项系数，一次项系数和常数项，必须先把一元二次方程化成一般形式．
知识点3．一元二次方程的解
（1）一元二次方程的解（根）的意义：
能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．
（2）一元二次方程一定有两个解，但不一定有两个实数解．这 x ，x 是一元二次方程 ax2+bx+c＝0
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（a≠0）的两实数根，则下列两等式成立，并可利用这两个等式求解未知量．
ax 2+bx +c＝0（a≠0），ax 2+bx +c＝0（a≠0）．
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题型强化
题型一．一元二次方程的定义
1．（2023秋•靖宇县期末）若关于 的方程 是一元二次方程，则 的值是 ．
2．（2024春•东平县期末）下列方程中，关于 的一元二次方程是
A． B． C． D．
3．（2024春•池州校级月考）关于 的方程 ，
（1）当 满足什么条件时，该方程是一元二次方程；
（2）当 满足什么条件时，该方程是一元一次方程．
题型二．一元二次方程的一般形式
4．（2024•修水县一模）将一元二次方程 化成一般形式后，若二次项的系数是3，则一次项的
系数是
A． B．2 C． D．45．（2024春•扶沟县期末）将一元二次方程 化为一般形式是 ．
6．（2021秋•龙岗区校级期末）把下列方程化成一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数以及常数
项．
（1） ；
（2） ．
题型三．一元二次方程的解
7．（2024•东莞市校级一模）若 是一元二次方程 的根，则下列式子成立的是
A． B． C． D．
8．（2024•罗湖区校级模拟）若 是关于 的方程 的一个根，则 的值是 ．
9．（2024•南山区校级三模）已知， ．
（1）化简 ；
（2）若 是方程 的一个根，求 的值．
分层练习
一、单选题
1．下列方程中，是一元二次方程共有（ ）
① ② ③ ④ ⑤ ．A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
2．下列是一元二次方程是（ ）
A． B． C． D．
3．一元二次方程 的一次项系数是（ ）
A．3 B．8 C． D．
4．把一元二次方程 化成一般形式，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．若 是关于x的一元二次方程 的一个解，则m的值为（ ）
A． B． C．2 D．6
6．将方程 化为一般形式后，二次项系数、一次项系数、常数项之和为（ ）
A．0 B．10 C．4 D．
7．已知 是一元二次方程 的一个根，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
8．已知关于 的一元二次方程 ，其中一次项系数被墨迹污染了．若这个方程的一个根为 ，
则一次项系数为（ ）
A． B． C． D．
9．若关于 的一元二次方程 的一个根为 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D． 或
10．若 是关于x的一元二次方程 的一个根，则 的值为（ ）
A．2018 B．2020 C．2022 D．2024
二、填空题
11．方程 的一次项系数是 ．12．一元二次方程 的二次项系数和常数项的和是 .
13．若 是关于x的一元二次方程，则 ．
14．若a为方程 的解，则 的值为
15．已知 是一元二次方程 的一个根，则 的值为 ．
16．已知一元二次方程 ，将其化成二次项系数为正数的一般形式后，它的常数项是 ．
17．当 时，关于x的方程 是一元二次方程；当 时，它是一元
一次方程．
18．若方程 的根也是方程 的根，则 ．
三、解答题
19．（23-24八年级下·全国·假期作业）已知关于 的一元二次方程 ．
(1)若 ，求证： 必是该方程的一个根；
(2)当 之间的关系是___________时，方程必有一个根是 ？
20．（23-24九年级上·湖南益阳·阶段练习）关于 的方程 是一元二次方程，求 的值并
求此方程的解．21．已知关于x的方程 ．当a为何值时，方程是一元二次方程．
22．设a，b，c分别是一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项，根据下列条件，写出该一元二
次方程．
(1) ，且 ；
(2) ．
23．将下列方程化为一元二次方程一般形式，并指出二次项系数、一次项系数和常数项：
(1) ；
(2) ．24．已知关于x的方程 ．
(1)当k取何值时，此方程是一元一次方程？并求出此方程的根；
(2)当k取何值时，此方程是一元二次方程？并写出这个一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项．
25．将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数和常数项：
(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) ．26．已知关于x的方程 ．
(1)m为何值时，此方程是一元一次方程？
(2)m为何值时，此方程是一元二次方程？
