文档内容
第 02 讲 解一元二次方程（配方法）（2 个知识点+2 种题型
+分层练习）
知识导图
知识清单
知识点1．解一元二次方程-配方法
（1）将一元二次方程配成（x+m）2＝n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二
次方程的方法叫配方法．
（2）用配方法解一元二次方程的步骤：
①把原方程化为ax2+bx+c＝0（a≠0）的形式；
②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边；
③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；
④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；
⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负
数，则判定此方程无实数解．
知识点2．配方法的应用
1、用配方法解一元二次方程．
配方法的理论依据是公式a2±2ab+b2＝（a±b）2
配方法的关键是：先将一元二次方程的二次项系数化为 1，然后在方程两边同时加上一次
项系数一半的平方．
2、利用配方法求二次三项式是一个完全平方式时所含字母系数的值．
关键是：二次三项式是完全平方式，则常数项是一次项系数一半的平方．
3、配方法的综合应用．
题型强化
题型一．解一元二次方程-配方法1．（2023秋•常州期末）如图，在用配方法解一元二次方程 时，配方的过程可
以用拼图直观地表示，即看成将一个长是 、宽是 、面积是40的矩形割补成一个正
方形，则 的值是 ．
2．（2023秋•大足区期末）用配方法解一元二次方程 ，此方程可化为
A． B． C． D．
3．（2024•灞桥区校级二模）解下列方程 ．（用配方法）题型二．配方法的应用
4．（2023秋•沈丘县期末）无论 ， 为何值代数式 的值总是
A．非负数 B．0 C．正数 D．负数
5．（2023秋•莲池区校级月考）用配方法把代数式： 化为 的形式，
当 取 时，代数式的值最大是 ．
6．（2023秋•东湖区校级期末）【阅读材料】配方法是数学中重要的一种思想方法．它是
指将一个式子或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和
的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题．
例如：
求 的最小值．
解：
，
，
，
即 的最小值为 ．
请根据上述材料解决下列问题：
（1）在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式： ．
（2）求 的最大值．
（3）已知 ，求 的值．分层练习
一、单选题
1．（23-24九年级上·湖北武汉·期中）用配方法解一元二次方程 ，步骤如下：
① ，② ，③ ，④即 ， ．其中开始错误的步骤
是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
2．（23-24九年级上·全国·单元测试）用配方法解方程 时，配方后所得的方程
为（ ）
A． B．
C． D．
3．（23-24九年级上·全国·单元测试）将方程 配方成 的形式，则 ，
分别为（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
4．（22-23九年级上·山东济宁·期中）将式子 化为 的形式，其结果为
（ ）
A． B． C． D．5．（23-24九年级上·河南洛阳·期末）用配方法解方程 ，变形后的结果正确的是
（ ）
A． B． C． D．
6．（23-24九年级上·全国·单元测试）若方程 的左边可以写成一个完全
平方式，则 的值为
A． 或 ( B)． C．10 D．10或
7．（2024九年级上·全国·专题练习）已知 ， （x为任意实数），则关
于P，Q的大小关系判断正确的是（ ）
A． B． C． D．无法确定
8．（2024·山东东营·一模）小明和小林在探索代数式 （ ）有没有最大（小）值
时，小明做了如下探索：
∵ ，
∴小明的结论是 的最小值为 ，
小林做了如下探索：
∵ ，
小林的结论是 的最小值为2；则（ ）
A．小明正确 B．小林正确
C．小明和小林都正确 D．小明和小林都不正确
9．（23-24九年级上·湖南衡阳·阶段练习）一元二次方程 经过配方后，可变
形为（ ）
A． B． C． D．10．已知 ， ，下面关于A，B的三个结论：①关于x的方程
的解是 ，② ，③若式子 的值为整数，则整数x的取值是3
或7，其中正确的有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
二、填空题
11．（23-24九年级上·全国·单元测试）将一元二次方程 配方得 ．
12．（23-24九年级上·新疆昌吉·阶段练习）代数式 有最 值，其最值为
．
13．（2024九年级上·全国·专题练习）若方程 有解，那么 的取值范围是 ．
14．（22-23九年级上·湖南永州·期中）用配方法解方程 时，则方程需变形为
．
15．（24-25九年级上·全国·课后作业）若一元二次方程 的两根为a，b，
且 ，则 的值为 ．
16．（2024·内蒙古包头·模拟预测）若 是方程 的一个解，则代数式
的最小值为 ．
17．（23-24九年级上·吉林·期末）将一元二次方程 通过配方转化为
的形式，则 的值为 ．
18．用配方法解一元二次方程 时，可将原方程配方成 ，则 的值
是 ．
三、解答题
19．（22-23九年级上·山东临沂·阶段练习）解方程： ．20．（23-24九年级上·全国·单元测试）用配方法解关于 的一元二次方程
．
21．（24-25九年级上·全国·课后作业）用配方法解下列方程：
(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) ．
22．（23-24九年级上·全国·单元测试）（1）概念：当 时，一元二次方程
的实数根可写为 的形式，这个式子叫做一元二次方
程ax2+bx+c=0的求根公式 利用求根公式解一元二次方程的方法叫做公式法．
（2）计算：写出解方程 ，得到求根公式的过程．23．（23-24九年级上·全国·单元测试）把方程 配方，得到 ．
(1)求常数 与 的值；
(2)求出此方程的解．
24．（23-24九年级上·全国·单元测试）对于二次三项式 ，学完配方法后，小李
同学得到如下结论：无论 取何值，它的值都大于 你是否同意他的说法？请你用配方法
加以说明．
25．（23-24九年级上·全国·单元测试）（1）①比较 与 的大小：（填“ ”、“
”或“=”）
当 时， ________ ；
当 时， ________ ；当 时， ________ ．
②观察并归纳①中的规律，无论m取什么值， ________ 填“ ”“ ”“ ”或
“ ，并说明理由．
（2）利用上题的结论回答：试比较 与 的大小关系，并说明理由．
26．（22-23九年级上·河南鹤壁·开学考试）“题载思想”，马明同学常对自己的错题进行
“究错”，以下是摘自他的一篇究错日记，请你对马明所编的习题进行解答．
【错题
9月18日
日期】
【错题
当堂测验
来源】
【错题 已知代数式 ，先用配方法说明，不论x取何值，这个代数式的值总
重现】 是正数；再求出当x取何值时，这个代数式的值很小，最小值是多少？
【所属
配方法的应用
考点】
【错因 误把代数式变形等同于方程变形，把二次项系数化为1时，直接除以二次项系
分析】 数，导致本题错误．
【马明 已知代数式 ，先用配方法说明，不论x取何值，这个代数式的值总
编题】 是负数；再求出当x取何值时，这个代数式的值最大，最大值是多少？
