文档内容
第 05 讲 实际问题与一元二次方程（2 个知识点+2 种题型
+分层练习）
知识导图
知识清单
知识点1．由实际问题抽象出一元二次方程
在解决实际问题时，要全面、系统地审清问题的已知和未知，以及它们之间的数量关系，
找出并全面表示问题的相等关系，设出未知数，用方程表示出已知量与未知量之间的等量
关系，即列出一元二次方程．
知识点2．一元二次方程的应用
1、列方程解决实际问题的一般步骤是：审清题意设未知数，列出方程，解所列方程求所列
方程的解，检验和作答．
2、列一元二次方程解应用题中常见问题：
（1）数字问题：个位数为a，十位数是b，则这个两位数表示为10b+a．
（2）增长率问题：增长率＝增长数量/原数量×100%．如：若原数是a，每次增长的百分率
为x，则第一次增长后为a（1+x）；第二次增长后为a（1+x）2，即 原数×（1+增长百分
率）2＝后来数．
（3）形积问题：①利用勾股定理列一元二次方程，求三角形、矩形的边长．②利用三角
形、矩形、菱形、梯形和圆的面积，以及柱体体积公式建立等量关系列一元二次方程．③
利用相似三角形的对应比例关系，列比例式，通过两内项之积等于两外项之积，得到一元
二次方程．
（4）运动点问题：物体运动将会沿着一条路线或形成一条痕迹，运行的路线与其他条件会
构成直角三角形，可运用直角三角形的性质列方程求解．
【规律方法】列一元二次方程解应用题的“六字诀”
1．审：理解题意，明确未知量、已知量以及它们之间的数量关系．2．设：根据题意，可以直接设未知数，也可以间接设未知数．
3．列：根据题中的等量关系，用含所设未知数的代数式表示其他未知量，从而列出方程．
4．解：准确求出方程的解．
5．验：检验所求出的根是否符合所列方程和实际问题．
6．答：写出答案．
题型强化
题型一．由实际问题抽象出一元二次方程
1．（2024•郴州二模）为执行国家药品降价政策，给人民群众带来实惠，某药品经过两次
降价，每瓶零售价由200元降为162元，求平均每次降价的百分率，设平均每次降价的百
分率为 ，则可列方程为 ．
【分析】设平均每次降价的百分率是 ，结合题意，通过列一元二次方程并求解，即可得
到答案．
【解答】解：设平均每次降价的百分率是 ，根据题意，得：
根据题意，得： ，
故答案为： ．
【点评】本题考查了从实际问题抽象出一元二次方程，找出等量关系是解答本题的关键．
2．（2024春•慈溪市期末）杭州亚运会吉祥物深受大家喜爱．某商户 3月份销售吉祥物
“宸宸”摆件为 10 万个，5 月份销售 11.5 万个．设该摆件销售量的月平均增长率为
，则可列方程为
A． B．
C． D．
【分析】利用5月份的销售量 月份的销售量 该摆件销售量的月平均增长率） ，即
可列出关于 的一元二次方程，解之即可得出结论．
【解答】解：根据题意得： ．故选： ．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次
方程是解题的关键．
3．（2023秋•长治月考）在一块长 、宽 的矩形荒地上，要建造一个花园，要求花
园所占面积为荒地面积的一半．方案一：如图1，花园四周小路的宽度相等；方案二：如
图2，矩形中每个角上的扇形相同．
（1）求方案一中小路的宽度，设小路的宽度为 米，请列出方程，不做解答．
（2）求方案二中扇形的半径；（其中 ，结果保留根号）
（3）你还有其他的设计方案吗？请在图3中画出你的设计草图，将花园部分涂上阴影，并
加以说明．
【分析】（1）按小明的思路，利用矩形的面积公式列方程，解答验证；
（2）花园中每个角上的扇形相同，和在一起正好是一个圆，根据圆的面积公式列方程，进
行解答，从而求出半径；
（3）答案不唯一，发挥想象，符合要求即可．
【解答】解：（1）设小路的宽为 ，则 ；
（2）四个角上的四个扇形可合并成一个圆，设这个圆的半径为 ，故有 ，
解得 ．
答：扇形的半径为 ；
（3）设计方案如图所示：【点评】此题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，利用了矩形和圆的面积公式解决问
题，（3）是一道开放性很强的题目，能够激发学生的学习兴趣，同时培养了他们的创新思
维能力．
题型二．一元二次方程的应用
4．（2024•佳木斯三模）直播购物逐渐走进了人们的生活．某电商在抖音上对一款成本价
为40元的小商品进行直播销售，如果按每件60元销售，每天可卖出20件．通过市场调查
发现每件小商品售价每降低1元，日销售量增加2件．若日利润保持不变．商家想尽快销
售完该款商品．每件售价应定为多少元．
A．45 B．50 C．55 D．60
【分析】设每件售价应定为 元，根据按每件60元销售，每天可卖出20件．每降低1元，
日销售量增加2件．日利润保持不变．列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可．
【解答】解：设每件售价应定为 元，
根据题意得： ，
解得： ， （不符合题意，舍去），
即商家想尽快销售完该款商品，每件售价应定为50元．
故选： ．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题
的关键．
5．（2024•调兵山市二模）根据物理学规律，如果把一个物体从地面以 的速度竖
直上抛（如图所示），那么物体经过 离地面的高度（单位： 为 ．根据上述
规律，该物体落回地面所需要的时间 约为 2 （结果保留整数）．
【分析】由题意可知物体回落到地面，也就是说 为0，建立方程求得答案即可．【解答】解： ，
落回地面时 ，
所以 ，
解得： （不合题意舍去）， ，
答：物体经过约2秒回落地面．
故答案为：2．
【点评】此题考查了一元二次方程的实际运用，理解题意，建立方程解决问题．
6．（2024春•道外区期末）某水果批发商场经销一种高档水果，商场为了在中秋节和国庆
节期间扩大销量，将售价从原来的每千克40元经两次调价后调至每千克32.4元．
（1）若该商场两次调次的降价率相同，求这个降价率；
（2）现在假期结束了，商场准备适当涨价，如果现在每千克盈利10元，每天可售出500
千克，经市场调查发现，在进货不变的情况下，若每千克涨价1元，日销量将减少20千克，
现该商场要保证每天盈利6000元，同时又要使顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？
【分析】（1）设这个降价率为 ，根据原价及经过两次降价后的价格，即可得出关于 的
一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论；
（2）设每千克应涨价 元，则每天可售出 千克，根据总利润 每千克的利润
销售数量，即可得出关于 的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论．
【解答】解：（1）设这个降价率为 ，
依题意，得： ，
解得： ， （舍去）．
答：这个降价率为 ．
（2）设每千克应涨价 元，则每天可售出 千克，
依题意，得： ，
整理，得： ，解得： ， ．
要使顾客得到实惠，
．
答：每千克应涨价5元．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题
的关键．
分层练习
一、单选题
1．某种药品原价为36元/盒，经过连续两次降价后售价为25元/盒．设平均每次降价的百
分率为x，根据题意所列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出相关方程是解答本题的关键．根
据百分率的意义及方程的意义即可得出答案．
【详解】解：设平均每次降价的百分率为 ，
一次降价后价格可表示为 ，再次降价后价格表示为 ，
可列方程为 ，
故选：D．
2．有一个两位数，它的数字和等于8，交换数字位置后新的两位数与原两位数之积为
1612，则原来的两位数为（ ）
A．26 B．62 C．26或62 D．以上均不对
【答案】C
【分析】此题主要考查了一元二次方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量
关系，列出方程．首先设原两位数个位数字为 ，则十位数字为 ，则原来的两位数是
，交换数字位置后得到的新的两位数是 ，再根据新的两位数与原两位
数之积为1612列出方程，再解即可．【详解】解：设原两位数个位数字为 ，则十位数字为 ，由题意得：
，
解得： ， ，
当 时， ，
当 时， ，
则原来的两位数为62或26，
故选：C
3．根据下表提供的信息，一元二次方程 的解大概是（ ）
2 3 4 5 6
5 13
A．0 B．3.5 C．3.8 D．4.5
【答案】D
【分析】根据表格数据，找出代数式 从 变为 时的 取值范围即可判断
【详解】 时， ，
时， ，
则 的解的范围为 ，
即一元二次方程 的解大概是4.5．
故选D．
【点睛】本题考查了估算一元二次方程的解的近似值，根据表格获得信息是解题的关键．
4．用 长的篱笆，围成一个一面靠墙面积为 的长方形场地，求这个长方形的长和
宽．设平行于墙的一边为 ，可得方程（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是找准等量关系，正确
列出一元二次方程．根据长方形的面积公式列方程即可得到结论．
【详解】解：设长方形的长为 ，则宽为 ，根据题意得， ，
故选：B．
5．某校七年级组织一次篮球赛，各班均组队参赛，赛制为每两班之间赛两场，共需安排
42场比赛．设七年级共有x个班，则下列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题考查一元二次方程的应用，利用比赛的总场数 七年级班级数 七年级班级
数 ，即可得出关于x的一元二次方程．
【详解】解：依题意得： ．
故选：A．
6．生物学家研究发现，很多植物的生长都有下面的规律，即主干长出若干数目的支干后，
每个支干又会长出同样数目的小分支．现有符合上述生长规律的某种植物，它的主干、支
干和小分支的总数是 ，则这种植物每个支干长出小分支的个数是（ ）
A． B． C． D． 或
【答案】A
【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程的知识，设每个支干分出 个小分支，
根据题意列出方程并求解即可，读懂题意，找到等量关系是解题的关键．
【详解】解：设每个支干分出 个小分支，
根据题意得： ，
解得： ， （舍去），
故选： ．
7．商场将进货价为30元/件的某种商品以60元/件出售时每天能卖出20件，若每降价1元，
则每天可多卖出4件，若降价x元，每天盈利1200元，则可列方程为（ ）
A．B．
C．
D．
【答案】A
【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次
方程是解题的关键．根据题意可知若降价x元，则每件盈利 元，每天可售出
件，利用每天销售该商品获得的总利润=每件的销售利润×日销售量，即可列出关
于x的一元二次方程，此题得解．
【详解】解：若降价x元，则每件盈利 元，每天可售出 件，
根据题意得： ．
故选：A．
8．《九章算术》中有一题：“今有二人同立，甲行率六，乙行率四，乙东行，甲南行十步
而斜东北与乙会，问甲乙各行几何？”大意是说：“甲、乙二人同时从同一地点出发，甲
的速度为6，乙的速度为4，乙一直向东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了
一段后与乙相遇，甲、乙各走了多少步？”请问乙走的步数是（ ）
A．36 B．26 C．24 D．10
【答案】C
【分析】设甲、乙两人相遇的时间为t，则乙走了 步，甲斜向北偏东方向走了 步，
利用勾股定理即可得出关于t的一元二次方程，解之即可得出t值，将其值代入 中即可求
出结论．
【详解】解：设甲、乙两人相遇的时间为t，则乙走了 步，甲斜向北偏东方向走了
步，
依题意得： ，
整理得： ，解得： （不合题意，舍去），
∴ ．
故乙走的步数是 ．
故选：C．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用以及勾股定理，找准等量关系，正确列出一元二
次方程是解题的关键．
9．小球以 的速度在平坦地面上开始滚动，并且均匀减速， 后小球停下来．小球滚
动到 时约用了多少时间（精确到 ）？（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】首先求得小球的平均速度，然后利用等量关系：速度×时间=路程，时间为x，则
速度为5﹣1.25x．
【详解】小球滚动到5m时约用了xs，依题意，得：
x• =5
整理得：x2﹣8x+8=0，解得：x=4±2❑√2．
∵x＜4，∴x=4﹣2❑√2≈1.2．
故选B．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，重点在于求出平均每秒小球的运动减少的速度，
而平均每秒小球的运动减少的速度=（初始速度﹣末速度）÷时间．
10．如图，在 中， ， ， ，点 沿 边从点 出发
向终点 以 的速度移动；同时点 沿 边从点 出发向终点 以 的速度移动，
当其中一点到达终点时，另一点也随之停止移动．当 的面积为 时，点 运动的
时间是（ ）A． B． 或 C． D． 或
【答案】A
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，利用时间 路程 速度，可求出点 到达终
点所需时间，当运动时间为 秒时， ， ，根据 的面积为
，可列出关于 的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论，找准等量关
系，正确列出一元二次方程是解此题的关键．
【详解】解： （秒）， （秒）．
当运动时间为 秒时， ，
根据题意得： ，
整理得： ，
解得： （不符合题意，舍去），
∴点 的运动时间是2秒．
故选：A．
二、填空题
11．“国庆”节老同学聚会，每两个人都握一次手，所有人共握手10次，则参加聚会的人
数是 人．
【答案】5
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据“每两个人都握一次手，所有人共握手10
次”，列式求解即可．
【详解】解：设有 人参加聚会，
根据题意得， ，
整理得 ，
解得 （舍去）， ．
所以有5人参加聚会．
故答案为：5．
12．一个两位数，个位数字比十位数字大2，十位数字2倍的平方恰好等于个位数字与十
位数字互换位置的新数，则这个两位数为 ．【答案】
【分析】本题考查的是关于数字方面的一元二次方程的应用．设这个两位数的十位数字为
x，则个位数字为 ，然后根据“十位数字2倍的平方恰好等于个位数字与十位数字互
换位置的新数”即可列出方程求解．
【详解】解：设这个两位数的十位数字为x，则个位数字为 ，
依题意得： ，
整理得： ，即 ，
解得： （不符合题意，舍去）， ，
∴ ，
∴这个两位数为46．
故答案为：46．
13．飞机起飞前，先要在跑道上滑行一段路程，滑行时是匀加速运动，其公式为 ，
如 果飞机起飞前滑行距离 ，其中 ，则飞机起飞的时间 ．
【答案】
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，将题中所给数据代入 进行求解即可．
【详解】解：将 ， 代入 得：
，
解得： ， （舍去），
故答案为： ．
14．某商品的进价为每件40元，当售价为每件60元时，每星期可卖出200件，现需降价
处理，且经市场调查发现：每降价1元，每星期可多卖出8件，店里每周利润要达到8450
元，若设店主把该商品每件售价降低x元，则可列方程为 ．【答案】
【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次
方程是解题的关键．当店主把该商品每件售价降低x元时，每件的销售利润为
60−x−40=(20−x)元，每星期可卖出(200+8x)件，利用每星期的销售总利润＝每件的
销售利润×每星期的销售量，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【详解】解：当店主把该商品每件售价降低x元时，每件的销售利润为
60−x−40=(20−x)元，
根据题意得： ．
故答案为： ．
15．某校组织篮球联赛，每两个队之间比赛两场，共进行了30场比赛，设参赛队的数量为
x，则可列方程为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关
键．根据每两个队之间比赛一场，可知要进行 场，则每两个队之间比赛两场，可
知要进行 场，即可列出方程．
【详解】解：由题可得： ，
故答案为： ．
16．某印刷厂今年一季度印刷了 50 万册书，第三季度印刷了 72 万册书，如果每个季度
的 增长率相同，设为 x，依题意可得方程 ．
【答案】
【分析】考查了由实际问题抽象出一元二次方程的知识—增长率问题，一般形式为
，a为起始时间的有关数量，b为终止时间的有关数量．【详解】解：设每个季度的增长率为 x，列方程得 ，
故答案为： ．
17．一块面积为 的矩形材料，四个角各减去一个一样大小的正方形，用剩下的部分
做成一个无盖的长方体盒子，要求盒子长为 ，宽为高的3倍，若设长方体盒子高为
，则可列方程为 ．
【答案】
【分析】本题考查的是由实际问题抽象出一元二次方程，设长方体盒子高为 ，则宽为
，被剪去的正方形边长为 ；根据题意可得，无盖的长方体盒子的表面积为：
；被剪去的四个正方形的面积为： ，二者相加为原
矩形材料的面积，方程即可列出．
【详解】解：设长方体盒子高为 ，则宽为 ，被剪去的正方形边长为 ，
则无盖的长方体盒子的表面积为： ；
被剪去的四个正方形的面积为： ，
根据题意得： ，
故答案为： ．
18．如图，在 中， ，动点P从点C出发，沿
方向运动，动点Q从点B出发，沿 方向运动，如果点P，Q的运动速度均为 ．
那么运动 秒时，它们相距 ？
【答案】9或12
【分析】本题考查了一元二次方程的应用以及勾股定理，设运动t秒时，P，Q两点相距15厘米，利用勾股定理结合 ，可得出关于t的一元二次方程，解之即可得出结论
【详解】解：设运动t秒时，P，Q两点相距15厘米，
依题意，得： ，
解得： ，
∴运动9秒或12秒时，P，Q两点相距15厘米；
故答案为：9或12．
三、解答题
19．2020年5月复工复产以来，某夜市6月份的总销售额为50万元，8月份的总销售额为
60.5万元，若平均每月的总销售额的增长率相同．
(1)求该夜市6月份至8月份平均每月的总销售额的增长率；
(2)如果该夜市平均每月的总销售额的增长率保持不变，求该夜市9月份的总销售额．
【答案】(1)该夜市6月份至8月份平均每月的总销售额的增长率为10%
(2)66.55万元
【分析】本题主要查了一元二次方程的应用：
（1）设夜市销售额平均每月的增长率为x，根据题意，列出方程，即可求解；
（2）根据夜市增长率保持不变，求出9月份销售额，即可求解．
【详解】（1）解：设该夜市6月份至8月份平均每月的总销售额的增长率为x，由题意得，
，
解得： （不合题意，舍去）．
答：该夜市6月份至8月份平均每月的总销售额的增长率为 ；
（2）解：该夜市9月份的总销售额为 （万元）．
20． 如图所示，在 中， ， ， ，点 由点 出发，
沿 边以 的速度向点 移动；点 由点 出发，沿 边以 的速度向点 移
动．如果点 ， 分别从点 ， 同时出发，问：(1)经过_____________________秒后， 的面积等于 ？
(2)经过几秒后，P，Q两点间距离是 ？
【答案】(1)2或4
(2) 秒
【分析】本题是一元二次方程的应用题，属于常考题型，正确理解题意列出方程、熟练掌
握一元二次方程的解法是解题关键．
（1）设 秒后， 面积为 ，用含x的代数式表示出 和 ，然后根据三角形的
面积可得关于x的方程，解方程即可求出结果；
（2）设 秒后， ， 两点间距离是 ，根据勾股定理可得关于t的方程，解方程即
得结果．
【详解】（1）解：设 秒后， 面积为 ，则 ， ，
由 可得 ，
解得 ， ；
答：经过2秒或4秒后， 面积为 ．
（2）解：设 秒后， ， 两点间距离是 ，
由勾股定理，得 ，即 ，解得： （舍去） ；
答： 秒后， ， 两点间距离是 ．
21．鸡瘟是一种传播速度很快的传染病．一鸡场3月12日发现一例，两天后发现共有169
只鸡患有这种病．若每例病鸡传染健康鸡的只数均相同，则每只病鸡传染健康鸡的只数是
多少？
【答案】每只病鸡传染健康鸡12只
【分析】设每只病鸡传染健康鸡 只，则第一天有 只鸡被传染，第二天有 只鸡被
传染，所以经过两天的传染后感染患病的鸡共有： 只，根据经过两天的传染后
使鸡场感染患病的鸡169，为等量关系列出方程求出符合题意的值即可．本题主要考查一
元二次方程的应用，关键在于找出等量关系（经过两天感染患病的鸡一定）列出方程求解．
【详解】解：设每只病鸡传染健康鸡 只，由题意得：
，
整理，得 ，
解，得 ， （不符合题意舍去）．
答：每只病鸡传染健康鸡12只．
22．如图，某农场有一块长 ，宽 的矩形种植地，为方便管理，准备沿平行于两边
的方向纵、横各修建一条等宽的小路，要使种植面积为 ，求小路的宽．
【答案】
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，正确找出等量关系是解题的关键，设小路的宽
为 ，根据矩形的面积公式构造一元二次方程求解即可．
【详解】解：设小路的宽为 ，依题意有
，
整理，得 ．解得 （不合题意，舍去）．
答：小路的宽应是 ．
23．某淘宝网店销售台灯，成本为每个30元．销售大数据分析表明：当每个台灯售价为
40元时，平均每月售出 个；若售价每上涨1元，其月销售量就减少20个，若售价每下
降1元，其月销售量就增加 个．
(1)为迎接“双十一”，该网店决定降价促销，在库存为 个台灯的情况下，若预计月获
利恰好为 元，求每个台灯的售价．
(2)在库存为 个台灯的情况下，若预计月获利恰好为 元，直接写出每个台灯的售价．
【答案】(1)每个台灯的售价为 元；
(2)每个台灯的售价为 元．
【分析】此题考查了一元二次方程的应用．
（1）设每个台灯的售价为x元．利用每个利润乘以销量等于总利润列方程，解方程并分析
即可得到答案；
（2）设每个台灯的售价为a元．利用每个利润乘以销量等于总利润列方程，解方程并分析
即可得到答案．
【详解】（1）解：设每个台灯的售价为x元．
根据题意，得
，
解得 ， ．
当 时， ；
当 时， ；
∴x只能取 ，
答：每个台灯的售价为 元；
（2）设每个台灯的售价为a元．
根据题意，得 ，解得 ， ．
当 时， ；
当 时， ；
∴a只能取 ，
答：每个台灯的售价为 元．
24．小明设计了点做圆周运动的一个动画游戏，如图所示，甲、乙两点分别从直径的两端
点A、B以顺时针、逆时针的方向同时沿圆周运动，甲运动的路程 与时间 满足关
系： ，乙以 的速度匀速运动，半圆的长度为 ．
(1)甲运动 后的路程是多少？
(2)甲、乙从开始运动到第三次相遇时，它们运动了多少时间？
【答案】(1)
(2)它们运动了 秒
【分析】本题考查了一元二次方程的应用．根据等量关系，正确的列一元二次方程是解题
的关键．
（1）将 代入，计算求解即可；
（2）由题意知，甲、乙从开始运动到第三次相遇总路程为5个半圆，则
，计算求出满足要求的解即可．
【详解】（1）解：当 时， ，
答：甲运动 后的路程是 ；
（2）解：由题意知，甲、乙从开始运动到第三次相遇总路程为5个半圆，∴ ，整理得， ，
∴ ，
解得， 或 （舍去）．
答：它们运动了 秒．
25．城开高速公路即重庆市城口县至开州区的高速公路，是国家高速 银百高速公路
（银川至百色）的一段，线路全长 公里，甲、乙两工程队共同承建该高速公路某隧道
工程，隧道总长2100米，甲、乙分别从隧道两端向中间施工，计划每天各施工6米．因地
质结构不同，两支队伍每合格完成1米隧道施工所需成本不一样．甲每合格完成1米隧道
施工成本为8万元；乙每合格完成1米隧道施工成本为9万元．
(1)若工程结算时乙总施工成本不低于甲总施工成本的 ，求甲最多施工多少米？
(2)实际施工开始后地质情况比预估更复杂，甲乙两队每日完成量和成本都发生变化．甲每
合格完成1米隧道施工成本增加m万元时，则每天可多挖 米，乙在施工成本不变的情况
下，比计划每天少挖 米，若最终每天实际总成本比计划多 万元，求 的值．
【答案】(1)甲最多施工900米
(2) 的值为2
【分析】本题主要考查了一元一次不等式的应用、一元二次方程的应用等知识点，审清题
意、弄清量之间的关系、正确列出不等式和方程是解题的关键．
（1）设甲工程队施工x米，则乙工程队施工 米，根据不等关系“工程结算时乙
总施工成本不低于甲总施工成本的 ”列出关于 的一元一次不等式，解之取其中的最大
值即可解答；
（2）根据“最终每天实际总成本比计划多 万元”即可得出关于 的一元二次方程
求解即可．
【详解】（1）解：设甲施工 米，由题意可得： ，
解得： ．
答：甲最多施工900米．
（2）解：由题意可得： ，
整理得 ，
解得 ．
答： 的值为2．
26．阅读下列材料：为了计算正整数 的值，采用以下方法：
设 ①，
且 ②，
①+②把两个等式等号右边中的第一项相加，第二项相加…第n项相加，
得： ，
∴ ，即： ，请根据以上阅读材料内容，结合所学知识解决以下问题：
(1)正整数 ；
(2)如图是一个三角点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点．
第n行有n个点…，容易发现三角点阵中前4行的点数和是10．
①请用一元二次方程说明：三角点阵中前多少行的点数和是190？
②这个三角点阵中前n行的点数和能是280吗？如果能，求出n；如果不能，说明理由．
【答案】(1)
(2)①190是前19行的点数之和；②不能，理由见解析【分析】此题主要考查了一元二次方程的应用以及规律型：图形的变化，本题是一道找规
律的题目，这类题型在中考中经常出现．解题的关键是对于找规律的题目首先应找出哪些
部分发生了变化，是按照什么规律变化的．
（1）直接利用题干中的求和公式求解即可；
（2）①由于第一行有1个点，第二行有2个点 第 行有 个点 ，则前五行共有
个点，前10行共有 个点，前 行共有
个点，然后求它们的和，根据题意得出前 行共有 个点，则
，然后解方程得到 的值；
②由（1）得 ，求 的值即可．
【详解】（1）解：根据题意得：当n=20时，
，
故答案为： ；
（2）①由于第一行有1个点，第二行有2个点 第 行有 个点 ，
则前五行共有 个点，
前10行共有 个点，
，
前 行共有 个点，
然后求它们的和，
根据题意得：前 行共有 个点，
，
∴
整理得 ，
，， ，
为正整数，
．
答：190是前19行的点数之和；
②依题意，得 ，
即 ，
，无法开平方得出整数，
三角点阵中前行的点数的和不能是280．
