文档内容
第 10 讲 二次函数与一元二次方程 （2 个知识点+2 种题型
+分层练习）
知识导图
知识清单
知识点1．抛物线与x轴的交点
求二次函数 y＝ax2+bx+c（a，b，c 是常数，a≠0）与 x 轴的交点坐标，令 y＝0，即
ax2+bx+c＝0，解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标．
（1）二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的交点与一元二次方程ax2+bx+c＝0
根之间的关系．
△＝b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数．
△＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；
△＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；
△＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
（2）二次函数的交点式：y＝a（x﹣x ）（x﹣x ）（a，b，c是常数，a≠0），可直接得到
1 2
抛物线与x轴的交点坐标（x ，0），（x ，0）．
1 2
知识点2．图象法求一元二次方程的近似根
利用二次函数图象求一元二次方程的近似根的步骤是：
（1）作出函数的图象，并由图象确定方程的解的个数；
（2）由图象与y＝h的交点位置确定交点横坐标的范围；
（3）观察图象求得方程的根（由于作图或观察存在误差，由图象求得的根一般是近似的）．
题型强化
题型一．抛物线与x轴的交点1．（2023秋•荔城区校级期末）已知抛物线 与 轴的交点为 和
，点 ， ， ， 是抛物线上不同于 ， 的两个点，记△ 的面积
为 ，△ 的面积为 ，则下列结论正确的是
A．当 时， B．当 时，
C．当 时， D．当 时，
2．（2024•商丘模拟）若函数 的图象与 轴只有一个交点，那么
的值为 ．
3．（2024•鄄城县一模）如图，已知抛物线 与 轴交于点 和点
，与 轴交于点 ，连接 交抛物线的对称轴于点 ， 是抛物线的顶点．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）直接写出点 和点 的坐标；
（3）若点 在第一象限内的抛物线上，且 ，求 点坐标．题型二．图象法求一元二次方程的近似根
4．（2023秋•沭阳县期末）下表示用计算器探索函数 时所得的数值：
0 0.25 0.5 0.75 1
1.31 3
则方程 的一个解 的取值范围为
A． B． C． D．
5．（2024•硚口区模拟）抛物线 ， ， 是常数， 经过点
，其中 ．下列结论：① ；②关于 的一元二次方程 一定有
一个根在 到0之间；③当 时， 随 的增大而增大；④分式 的值小于
2．其中正确的结论是 （填写序号）．
6．（2023秋•林州市期中）已知：由函数 的图象知道，当 时， ，
当 时， ，所以方程 有一个根在 和0之间．
（1）参考上面的方法，求方程 的另一个根在哪两个连续整数之间；
（2）若方程 有一个根在0和1之间，求 的取值范围．分层练习
一、单选题
1．抛物线y=x2﹣2x+1与y轴的交点坐标为( )
A．(1，0) B．(0，1) C．(0，0) D．(0，2)
2．将二次函数 的图象向上平移，得到的函数图象与x轴只有一个公共点，
则平移的距离为（ ）
A．1个单位长度 B．2个单位长度 C．3个单位长度 D．4个单位长度
3．下表是一组二次函数 的自变量 与函数值 的对应值如下图，那么方程
的一个根可能是（ ）
1 1.1 1.2 1.3 1.4
0.04 0.59 1.16
A．0.03 B．1.19 C．1.22 D．1.31
4．二次函数 图象如图，下列结论：① ；② ；③
；④ ；⑤ ．其中正确的是（ ）A．②③④⑤ B．①②④ C．②③⑤ D．①②③④⑤
5．直线 与抛物线 的交点个数是（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．互相重合的两个
6．下列关于抛物线 的说法正确的是（ ）
A．抛物线开口向下 B．抛物线经过点
C．抛物线的对称轴是直线 D．抛物线与x轴有两个交点
7．二次函数 的图象与x轴交于 ，则关于x的方程 的
解为（ ）
A．1，3 B．1， C． ，3 D．1，
8．在平面直角坐标系中，点 为坐标原点，抛物线 与 轴交于点 ，与 轴
负半轴交于点 ，连接 ．将 向左上方平移，得到 ，且点 ， 落
在抛物线的对称轴上，点 落在抛物线上，则直线 的表达式为（ ）
A． B． C． D．
9．已知抛物线y=ax2+bx+c的顶点为(－3，－6)，有以下结论：①当a＞0时，b2＞4ac；②
当a＞0时，ax2+bx+c≥-6；③若点(－2，m) ，(-5,n) 在抛物线上，则m＜n；④若关于 x 的
一元二次方程ax2+bx+c=-4的一根为－5，则另一根为－1．其中正确的是( )
A．①② B．①③ C．②③④ D．①②④
10．已知抛物线的解析式为 （m为常数），有下列说法：①当
时，点 在抛物线上；②对于任意的实数m， 都是方程
的一个根；③若 ，当 时，y随x的增大而增大；④已知点
， ，则当 时，抛物线与线段AB有一个交点．其中正确的个数是
（ ）A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题
11．二次函数 的图象与y轴的交点坐标是 ．
12．抛物线y x2 3x 10与x轴的交点坐标为 ．
= + -
13．已知二次函数 的图象与坐标轴有三个公共点，则k的取值范围是 ．
14．二次函数 的图象如图所示，直接写出不等式 的解集为
．
15．设二次函数 （a，b，c是常数，且 ），如表，列出了x与y的部分
对应值：
x … ﹣2 0 2 4 …
y … ﹣1.5 2.5 m ﹣1.5 …
则方程 的解是 ．
16．如图是二次函数 与一次函数 的图象相交于点 、
，试确定能使 成立的 取值范围为 ．
17．已知二次函数 的图象如图所示，若方程 有两个不相等的
实数根，则 的取值范围是 ．18．如图所示，已知二次函数 的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点
C， ，对称轴是直线 ，则下列结论：① ；② ；③ 是
关于x的一元二次方程 的一个根；④若实数 ，则 ，其中
结论正确的序号是 ．
三、解答题
19．已知二次函数 ．
(1)用配方法将二次函数的表达式化为 的形式，并写出顶点坐标；
(2)在平面直角坐标系 中画出这个二次函数的图象；
(3)结合图象直接回答：当 时，则y的取值范围是____________．
20．已知抛物线 经过点 和点 ．(1)求抛物线的解析式；
(2)求抛物线与x轴的交点A，B的坐标；
(3)求 的面积．
21．点 在抛物线 上，点 在点 的左侧．
(1)求 的值；并在如图中画出函数的图像；
(2)点 是抛物线上点 之间的曲线段上的动点（包括端点），求 的最大值与
最小值的差；
(3)将抛物线 进行平移（点 随之移动），使平移后的抛物线与 轴的交点分别为
，直接写出点 移动的最短距离．22．在平面直角坐标系 中，二次函数 的图象与x轴有两
个公共点，k取满足条件的最小整数．
(1)求二次函数的解析式；
(2)当 时，求x的取值范围．
23．在平面直角坐标系中，若点 的横坐标和纵坐标相等或互为相反数，则称点 为“美
丽点”．例如点 ， ， ，…，都是“美丽点”．
(1)直接写出抛物线 上的“美丽点”为 ．
(2)若二次函数 的图象上无“美丽点”，则 的取值范围为 ．
(3)已知二次函数 的图象上只有三个“美丽点”，其中一个“美
丽点”是 ，当 时，函数 的最小值为 ，最大
值为 ，求 的取值范围．24．已知关于x的方程ax2+（3a+1）x+3＝0．
(1)求证：无论a取任何实数时，该方程总有实数根；
(2)若抛物线y＝ax2+（3a+1）x+3的图象与x轴两个交点的横坐标均为整数，且a为正整数，
求a值以及此时抛物线的顶点H的坐标；
(3)在（2）的条件下，直线y＝﹣x+5与y轴交于点C，与直线OH交于点D．现将抛物线平
移，保持顶点在直线OD上．若平移的抛物线与射线CD（含端点C）只有一个公共点，请
直接写出它的顶点横坐标h的值或取值范围．
25．如图1，抛物线 ： 的对称轴为直线 ，且经过点 ．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若点 是抛物线对称轴上一点，且 ，求点 的坐标；
(3)如图2．将抛物线 平移，得到抛物线 ，其顶点坐标为 ，点 为直线
上一点，过点 的直线 、 与抛物线只有一个公共点，求证：直线 过定点．26．在初中阶段的函数学习中，我们经历了列表、描点、连线画函数图象，并结合图象研
究函数性质的过程． 以下是我们研究函数 性质及其应用的部分过程，请按要求
完成下列各题．
（1）函数 的自变量 的取值范围是 ，并补全下表：
… －3 －2 0 2 3 5 …
… 2 …
（2）描点、连线，在所给的平面直角坐标系中画出该函数的图象，写出该函数的一条性质．
（3）已知函数 的图象如图所示，结合你所画的函数图象，直接写出关
于 的不等式 的解集．（保留1位小数，误差不超过0.2）
