文档内容
第 03 讲 解一元二次方程（公式法）（4 个知识点+4 种题型
+分层练习）
知识导图
知识清单
知识点1．解一元二次方程-直接开平方法
形如x2＝p或（nx+m）2＝p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次
方程．
如果方程化成x2＝p的形式，那么可得x＝± ；
如果方程能化成（nx+m）2＝p（p≥0）的形式，那么nx+m＝± ．
注意：①等号左边是一个数的平方的形式而等号右边是一个非负数．
②降次的实质是由一个二次方程转化为两个一元一次方程．
③方法是根据平方根的意义开平方．
知识点2．解一元二次方程-公式法
（1）把x＝ （b2﹣4ac≥0）叫做一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的求
根公式．
（2）用求根公式解一元二次方程的方法是公式法．
（3）用公式法解一元二次方程的一般步骤为：
①把方程化成一般形式，进而确定a，b，c的值（注意符号）；
②求出b2﹣4ac的值（若b2﹣4ac＜0，方程无实数根）；
③在b2﹣4ac≥0的前提下，把a、b、c的值代入公式进行计算求出方程的根．
注意：用公式法解一元二次方程的前提条件有两个：①a≠0；②b2﹣4ac≥0．知识点3．根的判别式
利用一元二次方程根的判别式（△＝b2﹣4ac）判断方程的根的情况．
一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：
①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；
②当△＝0时，方程有两个相等的两个实数根；
③当△＜0时，方程无实数根．
上面的结论反过来也成立．
知识点4．根与系数的关系
（1）若二次项系数为1，常用以下关系：x ，x 是方程x2+px+q＝0的两根时，x +x ＝﹣
1 2 1 2
p，x x ＝q，反过来可得p＝﹣（x +x ），q＝x x ，前者是已知系数确定根的相关问题，后
1 2 1 2 1 2
者是已知两根确定方程中未知系数．
（2）若二次项系数不为1，则常用以下关系：x ，x 是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）
1 2
的两根时，x +x ＝ ，x x ＝ ，反过来也成立，即 ＝﹣（x +x ）， ＝x x ．
1 2 1 2 1 2 1 2
（3）常用根与系数的关系解决以下问题：
①不解方程，判断两个数是不是一元二次方程的两个根．②已知方程及方程的一个根，
求另一个根及未知数．③不解方程求关于根的式子的值，如求，x 2+x 2等等．④判断两根
1 2
的符号．⑤求作新方程．⑥由给出的两根满足的条件，确定字母的取值．这类问题比较
综合，解题时除了利用根与系数的关系，同时还要考虑a≠0，△≥0这两个前提条件．
题型强化
题型一．解一元二次方程-直接开平方法
1．（2024春•烟台期末）一元二次方程 用直接开平方法可转化为两个一元一次
方程，其中一个一元一次方程是 ，则另一个一元一次方程是
A． B． C． D．
2．（2022秋•北碚区校级期末）一元二次方程 的根为 ．3．（2023秋•原阳县月考）关于 的一元二次方程 的一个根是1，且
， 满足 ，求关于 的方程 的根．
题型二．解一元二次方程-公式法
4．（2024•海陵区一模）一元二次方程 的解是 ．
5．（2024春•浙江期中）用公式法解一元二次方程 时，首先要确定 ， ，
的值，下列叙述中，正确的是
A． ， ， B． ， ，
C． ， ， D． ， ，
6．（2023秋•厦门期末）解方程： ．
题型三．根的判别式7．（2024春•烟台期末）用公式法解方程： ，其中判别式 的值
是
A．56 B．16 C．4 D．8
8．（2024•威海模拟）已知关于 的一元二次方程 有实数根，则 的
取值范围是 ．
9．（2024春•昌平区期末）已知关于 的一元二次方程 ．
（1）求证：对于任意实数 ，该方程总有实数根；
（2）若这个一元二次方程的一根大于2，求 的取值范围．
题型四．根与系数的关系
10．（2024•西安区校级模拟）若 、 是一元二次方程 的两个根，则
的值是 ．
11．（2023秋•崇义县期末）若方程 的两根为 和 ，则 的值为
A． B．1 C． D．9
12．（2024•秦安县校级三模）已知关于 的一元二次方程 有两
个不相等的实数根 ， ．
（1）求 的取值范围；（2）若 ， 满足 ，求 的值．
分层练习
一、单选题
1．方程 的两个根是（ ）
A． ， B．
C． D． ，
2．已知 ，则 等于（ ）
A． B．1 C． D．
3．一元二次方程 的根为（ ）
A． B． ，
C． D． ，
4．用公式法解方程 ，得（ ）
A． B． C． D．
5．一元二次方程 的根的情况是（ ）A．没有实数根 B．只有一个实数根
C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根
6．用公式法解方程 时，正确代入求根公式的是（ ）
A． B．
C． D．
7．关于 的一元二次方程 有两个相等的实数根，则 （ ）
A． B． C． D．
8．已知关于 的一元二次方程 有两个相等的实数根，则 的值为
（ ）
A． B． 或 C． D．
9．已知a、b、c为常数，点 在第二象限，则关于 的方程 的根的情
况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．无法判断
10．已知关于y的多项式 是四次三项式，关于x的一元二次方程
有实数根为a，则 的最小值为（ ）
A．1 B． C．2 D．
二、填空题
11．关于x的方程 的根的判别式的值为 ．
12．一元二次方程 的解是 ．
13．一元二次方程 的解是 ．14．已知关于x的一元二次方程 根的判别式的值为16，则m的值为
．
15．已知，关于 x 的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则 m 的
取值范围是 ．
16．用公式法解一元二次方程，得 ，则该一元二次方程是
．
17．将 个数 、 、 、 排成 行 列，两边各加一条竖直线记成 ，定义
．若 ，则 ．
18．在 中， ，且关于x的方程 有两个相等的
实数根，则 边上的中线长为 ．
三、解答题
19．若关于x的一元二次方程 有两个实数根，求k的取值范围．
20．解方程∶
(1) ；(2) ．
21．求证：无论k取任何实数时，关于x的方程 总有实数根．
22．用公式法解下列万程：
(1) ．
(2) ．
(3) ．
(4) ．23．运用直接开平方法解下列方程：
(1) ；
(2) ．
24．（1）解方程： ．
（2）先化简，再求值： ，其中 ．
25．已知关于 的一元二次方程 ．
(1)当这个方程有两个不相等的实数根时，求 的取值范围；
(2)若 是这个方程的一个根，求 的值和另一根．26．如图，在 中， ， ， 分别是 ， ， 的对边，且关于 的方程
有两个相等的实数根．
(1)试判断 的形状；
(2)若，点从点开始沿边以的速度向点移动，移动过程中始终保持，，当点出发多少秒时，
四边形的面积为？
