文档内容
专题21.6 公式法和因式分解法（4大知识点9类题型）
（知识梳理与题型分类讲解）
一、【学习目标】
1. 理解一元二次方程求根公式的推导过程，了解公式法的概念，能熟练应用公式法解一元二次方程；
2. 正确理解因式分解法的实质，熟练运用因式分解法解一元二次方程；
3. 通过求根公式的推导，培养学生数学推理的严密性及严谨性，渗透分类的思想．
二、【知识梳理】
【知识点1】一元二次方程的求根公式
一元二次方程 ，当 时， .
【知识点2】一元二次方程根的判别式
一元二次方程根的判别式： .
①当 ，原方程有两个不相等的实数根 ;
②当 ，原方程有两个相等的实数根 ;
③当 ，原方程没有实数根.
【知识点3】用公式法解一元二次方程的步骤
用公式法解关于 的一元二次方程 的步骤：
①把一元二次方程化为一般式；
②确定 、 、 的值（要注意符号）；
③求出 的值；
④若 ，则利用公式 求出原方程的解；若 ，
则原方程无实数根.
【知识点4】因式分解法解一元二次方程
1. 用因式分解法解一元二次方程的步骤（1）将方程右边化为0；
（2）将方程左边分解为两个一次式的积；
（3）令这两个一次式分别为0，得到两个一元一次方程；
（4）解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解.
2.常用的因式分解法
提取公因式法，公式法（平方差公式、完全平方公式），十字相乘法等.
三、【题型目录】
【夯实基础】
【题型一】根据判别式判断一元二次方程根的情况........................................2
【题型二】根据元二次方程根的情况求参数..............................................2
【题型三】公式法解一元二次方程......................................................3
【题型四】因式分解法解一元二次方程..................................................3
【题型五】换元法解一元二次方程......................................................3
【拓展延伸】
【题型六】选择合适的方法解一元二次方程..............................................4
【题型七】利用根的判别式进行证明与求参数取值范围....................................4
【题型八】解一元二次方程与几何综合..................................................5
【题型九】解一元二次方程与函数综合..................................................5
四、【题型展示与方法点拨】
【特别说明】序号前带“★”难度系数0.85，“★★”难度系数0.65，“★★★”难度系数0.4.
【夯实基础】
【题型一】根据判别式判断一元二次方程根的情况
★【例题1】（2025·河北唐山·二模）已知整式 ．
（1）化简 ；
（2）若 ，利用判别式判断此方程实数根的情况．
★【变式1】（2025·河南平顶山·模拟预测）已知关于 的一元二次方程 ，其中 ， 在数
轴上的对应点如图所示，则方程的根的情况是（ ）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．无实数根 D．无法确定
★【变式2】（2025·河南焦作·二模）定义运算： ，例如 ，则不解方程，判断方程 的根的情况是 ．
【题型二】根据元二次方程根的情况求参数
★【例题2】（2025·北京·一模）已知关于 的一元二次方程 有两个不相等的实数根．
（1）求实数 的取值范围；
（2）若 为正整数，且方程的根均为整数，求此时 的值．
★【变式1】（24-25八年级下·浙江宁波·期中）若关于 的一元二次方程 无实数根，则实数
的取值范围为（ ）
A． B． ，且 C． D．
★【变式2】（2025·广东广州·二模）若关于x的一元二次方程 有实数根，则代数式
化简的结果是 ．
【题型三】公式法解一元二次方程
★【例题3】（2024九年级上·全国·专题练习）用公式法解下列各方程：
（1） （2） （3）
★【变式1】（22-23九年级上·辽宁辽阳·期中）若方程 是一元二次方程，则方程的根
是（ ）
A． B．
C． D．以上答案都不对
★【变式2】（2024九年级上·全国·专题练习）用公式法解一元二次方程，得 ，则
该一元二次方程是 ．
【题型四】因式分解法解一元二次方程
★【例题4】（23-24九年级上·四川南充·期中）解方程：
（1） ； （2） ．★【变式1】（2025·广东茂名·模拟预测）一元二次方程 的根是（ ）
A． B．
C． ， D． ，
★【变式2】（24-25八年级下·江苏扬州·阶段练习）已知x是实数，且满足 ，
则 的值为 ．
【题型五】换元法解一元二次方程
★【例题5】（24-25八年级下·重庆·期末）计算：
（1） （2）
★【变式1】（24-25八年级下·安徽合肥·期中）一元二次方程 的两根分别为 ，1，则方
程 的两根分别为（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
★【变式2】（24-25八年级下·安徽宣城·期中）若 ，则 ．
【拓展延伸】
【题型六】选择合适的方法解一元二次方程
★★【例题6】（24-25九年级上·河南郑州·阶段练习）按要求解下列方程：
（1） （用适当方法）； （2） （公式法）；
（3） （用适当方法）； （4） （用适当方法）
★★【变式1】（23-24九年级上·四川广安·阶段练习）用适当方法解方程：
（1） ； （2） ．
★★【变式2】（24-25九年级上·江苏徐州·阶段练习）选择适当方法解下列方程：（1） （2）
（3） （4）
【题型七】利用根的判别式进行证明与求参数取值范围
★★【例题7】（24-25八年级下·北京·期中）关于 的一元二次方程 ．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若方程只有一个根小于0，求 的取值范围．
★★【变式1】（24-25八年级下·浙江·期中）已知关于 的一元二次方程 ．
（1）若方程有两个实数根，求 的范围；
（2）设方程的两个实数根是 ， ，若 ，试求 的取值范围．
★★【变式2】（24-25八年级下·重庆·期末）关于x的一元二次方程 有实数根．
（1）求k的取值范围．
（2）如果k是符合条件的最大整数，且一元二次方程 与方程 有一个
相同的根，求此时m的值．
【题型八】解一元二次方程与几何综合
★★【例题8】（2025八年级下·全国·专题练习）已知E，F分别是正方形 的边 上的点，若
．那么 的最小值为 ．
★★【变式1】（24-25八年级下·浙江·期中）如图，在 中， 是锐角， ， ，
， ，连结 ．若 ，则 的长为 ．★★【变式2】（24-25八年级下·江苏无锡·阶段练习）如图，将边长为 的正方形 沿其对角线
剪开，再把 沿着 方向平移，得到 ，当两个三角形重叠部分为菱形时，则 为
（ ）
A．3 B．4 C． D．
【题型九】解一元二次方程与函数综合
★★【例题9】（22-23七年级下·山东烟台·期末）如图，一次函数 的图象与坐标轴相交于A、B
两点，点C的坐标为 ，D是线段 上一点，直线 过点C和点D．
（1）若 ，求直线 的函数关系式，并求出 的面积；
（2）当 是以 为底边的等腰三角形时，求直线 的函数关系式．
★★【变式1】（24-25九年级上·河北保定·阶段练习）一次函数 的图象交 轴于点 ，交 轴
于点 ，点 在线段 上（不与点 ， 重合），过点 分别作 和 的垂线，垂足为 ， ．点
的坐标为（ ）时，矩形 的面积为2．A． B． 或 C． D． 或
★★【变式2】（2025·河南商丘·模拟预测）如图，正方形 的顶点 ， 分别在 轴，
轴上．点 在直线 上，其中点 在 轴上，点 在 轴上，且 ．将正方形 绕点 旋转，
当点 的对应点 恰好落在直线 上时，点 的坐标为 ．
