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第 21 章 一元二次方程 章节测试练习卷
（考试时间：90分钟 试卷满分：100分）
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自
己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用 2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂
黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一．选择题：（本大题共10题，每题3分，满分30分）
1．（23-24九年级上·四川泸州·阶段练习）一元二次方程 的解是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了一元二次方程的解法，常用的方法有直接开平方法、配方法、因式分
解法、求根公式法，熟练掌握各种方法是解答本题的关键．用因式分解法求解即可．
【详解】解：∵
∴ 或
∴
故选C．
2．（2024九年级上·全国·专题练习）下列方程：① ；② ；③ ；
④ ．是一元二次方程的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】本题利用了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式
方程叫做一元二次方程，一般形式是 ，特别要注意 的条件．根据
一元二次方程的定义逐个判断即可．【详解】解：① ，是一元二次方程；
② ，是分式方程，不是一元二次方程；
③ ，含有两个未知数，不是一元二次方程；
④ ，是一元二次方程．
所以是一元二次方程的有2个．
故选：B
3．（23-24九年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）一元二次方程方程 的根的情况
为（ ）
A．没有实数根 B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根 D．有一个实数根
【答案】C
【分析】根据一元二次方程根的判别式即可求出答案．
本题考查了一元二次方程根判别式，熟练记忆根的判别式是解题的关键．
【详解】解：∵ ，
∴一元二次方程方程 有两个不相等的实数根．
故选：C．
4．（2024九年级上·全国·专题练习）若一元二次方程 的一个根为
0，则k的值为（ ）
A． B． C． D． 或
【答案】C
【分析】本题考查了一元二次方程的解的定义：就是能够使方程左右两边相等的未知数的
值，此题应特别注意一元二次方程的二次项系数不得为零．把 代入方程
，解得 的值．注意：二次项系数不为零．
【详解】解：把 代入一元二次方程 ，
得 ，解得 或1；
又 ，
即 ；
所以 ．
故选：C
5．（2024九年级上·全国·专题练习）若 是一元二次方程 的两个实数根，
则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了一元二次方程根和系数的关系，代数式求值，由一元二次方程根和系
数的关系可得 ， ，再代入代数式计算即可求解，掌握一元二次方程根
和系数的关系是解题的关键
【详解】解：∵ 是一元二次方程 的两个实数根，
∴ ， ，
∴ ，
故选： ．
6．（2024·河北·中考真题）淇淇在计算正数a的平方时，误算成a与2的积，求得的答案
比正确答案小1，则 （ ）
A．1 B． C． D．1或
【答案】C
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解一元二次方程，熟练掌握知识点是解题的关
键．
由题意得方程 ，利用公式法求解即可．
【详解】解：由题意得： ，解得： 或 （舍）
故选：C．
7．（2024九年级上·全国·专题练习）新春佳节，某班同学两两之间全部互发祝福短信，共
发2450条，设全班共有x名学生，可列方程（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次
方程是解题的关键．根据全班的人数，可得出每名学生需发送 条祝福短信，利用发送
短信的总条数 全班人数 （全班人数 ，即可列出关于 的一元二次方程．
【详解】解： 全班共有 名学生，
每名学生需发送 条祝福短信．
根据题意得： ．
故选：B．
8．（23-24九年级上·河南信阳·期末）有一人患了流感，经过两轮传染后，共有 人患了
流感，设每轮传染中平均每人传染的人数为 人，则可列方程（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】患流感的人把病毒传染给别人，自己仍然患病，包括在总数中．设每轮传染中平
均一个人传染了 个人，则第一轮传染了 个人，第二轮作为传染源的是 人，则传染
人，依题意列方程： ．本题考查的是根据实际问题列一元二次
方程．找到关键描述语，找到等量关系准确地列出方程是解决问题的关键．
【详解】解：依题意得 ，
故选：C．
9．（23-24九年级上·湖北武汉·期末）定义[x]表示不超过实数x的最大整数，如 ，， ，则方程 的解有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法，理解取整的定义是解
题的关键．
【详解】解： ，
，
时, 解得 ；
时， 解得 或 (舍)；
时， 解得 或 (舍)；
时，方程无解；
综上所述：方程的解为： 或 或
故选C．
10．（2021九年级·陕西·专题练习）甲，乙两人分别骑车从 两地相向而行，甲先行1
小时后，乙才出发，又经过4小时两人在途中的C地相遇．相遇后两人按原来的方向继续
前进，乙在由C地到达A地的途中因故障停了20分钟，结果乙由C地到达A地比甲由C
地到达B地还提前了40分钟．已知乙比甲每小时多行驶4千米，则甲、乙两人骑车的速度
分别为（ ）千米/时．
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】设甲的速度为x千米/时，则乙的速度为 千米/时，根据题意得到乙所用的时
间比甲少一小时，列出关于x的分式方程，求出方程的解即可得到结果．
【详解】解：设甲每小时行驶x千米，则有乙每小时行驶 千米，
根据题意得： ，去分母得：
，
即 ，
解得： 或 （舍去），
经检验 分式方程的解，且符合题意，
，
则甲、乙两人骑车的速度分别为 千米/时，
故选：C．
【点睛】本题考查了分式方程的应用，准确找出等量关系布列分式方程是解题的关键．
第Ⅱ卷
二．填空题：（本大题共8题，每题2分，满分16分）
11．（22-23九年级上·山东青岛·阶段练习）方程 化为一般形式是 ．
【答案】
【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，移项、去括号、合并同类项即可求解，掌
握一元二次方程的一般形式是解题的关键．
【详解】解：移项得， ，
去括号得， ，
合并同类项得， ，
∴方程 化为一般形式为 ，
故答案为： ．
12．（23-24九年级上·湖南郴州·期末）将一元二次方程 化成 的形
式，则 ．
【答案】
【分析】本题考查了配方法解一元二次方程．解题的关键在于熟练掌握完全平方公式．由
，可得 ，即 ，得出 ， ，然后作答即可．【详解】解：∵ ，
∴ ，
即 ，
∴ ， ，
∴ ．
故答案为： ．
13．（23-24九年级上·四川泸州·期中）已知 ， 是方程 的两根，则代数式
．
【答案】9
【分析】本题主要考查一元二次方程的解及根与系数的关系，熟练掌握方程的解的定义及
韦达定理是解题的关键．由根与系数的关系可得：： ， ，再整体代入变
形后的代数式即可求解．
【详解】解：由题意得： ， ，
则
．
故答案为：
14．（2024九年级上·全国·专题练习）已知 ，则 的值是
．
【答案】
【分析】本题考查了利用换元法解一元二次方程，令 ，可得 ，
由 得到 ，据此即可求解，掌握换元法是解题的关键．
【详解】解：令 ，
∵ ，∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
即 ，
故答案为： ．
15．（2024·辽宁·模拟预测）若关于x 的一元二次方程 无实数根，则整
数k 的最小值为 ．
【答案】3
【分析】本题主要考查了根的判别式、一元二次方程的构成条件、解一元一次不等式等知
识，解题的关键是掌握根的判别式．要使一元二次方程没有实根，只需二次项系数不等于
0且根的判别式小于0，由此可求出k的范围，再找出最小值即可．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程 没有实数根，
∴ 且 ，
解得 ， ，
∴ ，
∴整数k的最小值是3，
故答案为：3．
16．（2024九年级·全国·竞赛）已知a是一个两位数，十位上的数字比个位上的数字小6，
把十位上的数字与个位上的数字对调后得到一个新的两位数b，如果 ，那么
．
【答案】39
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，正确列出方程是解答本题的关键． 设十位上的
数字为x，则个位上的数字为 ，根据 列方程求解即可．
【详解】解：设十位上的数字为x，则个位上的数字为 ，，
解得 （舍），或 ，
．
故答案为：39．
17．（23-24九年级上·江苏南京·开学考试）如图，一块长方形绿地长 ，宽 ，在绿地
中开辟三条道路后，绿地面积缩小到原来的 ，则可列方程为 ．
【答案】
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，读懂题意，找到等量关系，列出方程是解题的
关键．根据图知，绿地面积等于原来绿地面积减道路面积列出方程即可．
【详解】解：由题意，得 ，
故答案为：
18．（23-24九年级上·全国·单元测试）如图，在 中， ， ，
，点 从A点开始沿 边向点 以 的速度移动，点 从 点开始沿 边
向点 以 的速度移动，则 、 分别从A、 同时出发，经过 秒钟，使
的面积等于 ．
【答案】2或4
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解本题的关键在利用数形结合思想，找准等量
关系，正确列出方程．设经过 秒， 的面积等于 ，得出 ， ，根据三角形的面积公
式，得出关于 的一元二次方程，解出即可得出结论．
【详解】解：设经过 秒， 的面积等于 ，则 ， ，
根据题意，可得： ，
即 ，
解得： ， ，
经过 或 ， 的面积等于 ，
∴
故答案为：2或4．
三．解答题：（本大题共8题，19-23题每题6分，24-26题每题8分，满分54
分）
19．（23-24九年级上·福建厦门·单元测试）解方程：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2) ，
【分析】本题主要考查了解分式方程，解一元二次方程：
（1）先去分母，把分式方程化为整式方程，再解出整式方程，然后检验，即可求解；
（2）利用配方法解答，即可求解．
【详解】（1）解：
方程两边同乘以 得， ，
解整式方程得， ，
检验：当 时， ，
∴ 是原方程的解；（2）解：
，
即 ，
∴ ，
∴ ， ．
20．（23-24九年级上·北京·期末）用适当的方法解下列方程：
(1)
(2)
【答案】(1) ；
(2) ．
【分析】本题主要考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的方法是解题的关键．
（1）利用因式分解法解方程即可；
（2）先移项，然后利用因式分解法解方程即可．
【详解】（1）解：∵ ，
∴ ，
∴ 或 ，
解得 ；
（2）解：原方程整理得 ，
∴ ，
解得 ．
21．（23-24九年级上·全国·单元测试）若一元二次方程 的两个根分别为和 ，则有 和 ．
(1)已知 ， ，请构造一个以 ， 为根的一元二次方程
（以 为未知数）；
(2)在（1）的条件下，求 的值．
【答案】(1)
(2)2
【分析】本题考查了一元二次方程的解，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）根据题意得出 ， ，构造一个以 ， 为根的一
元二次方程（以 为未知数），即 ，即可作答．
（2）结合 ，得出 ，即可作答．
【详解】（1）解：∵一元二次方程 的两个根分别为 和 ，则有
和
∴ ， ，构造一个以 ， 为根的一元二次方程（以
为未知数），即 ；
（2）解：由（1）得 ，
∴ ．
22．（2024·河北石家庄·一模）（1）发现，比较4m与 的大小， 填“>” “<”或“=”：
当 时， ；
当 时， ；
当 时， ；
（2）论证，无论m取什么值，判断4m与 有怎样的大小关系?试说明理由；（3）拓展，试通过计算比较． 与 的大小．
【答案】（1） ， ， ；（2）总有 ，理由见解析；（3）
【分析】此题考查了配方法的应用，不等式的性质，用到的知识点是不等式的性质、完全
平方公式、非负数的性质，关键是根据两个式子的差比较出数的大小．
（1）当 时，当 时，当 时，分别代入计算，再进行比较得出结论填空即
可；
（2）根据 ，即可得出无论 取什么值，判断 与 有
；
（3）拓展：先求出 ，再判断 的正负，即可做出判断．
【详解】解：（1）①当 时， ， ，则 ，
②当 时， ， ，则 ，
③当 时， ， ，则 ．
故答案为： ； ； ；
（2）无论 取什么值，判断 与 有 ，
理由如下：
，
无论取什么值，总有 ；
（3）拓展：
，
故 ．
23．（24-25九年级上·重庆·开学考试）“卖花担上，买得一枝春欲放”，用鲜花装点生活，既能在装饰家居时收获审美体验，也能在观赏养护中熨帖心灵，是一种避入日常又跳出日
常的美好．某花店抓住市场需求，计划第一次购进玫瑰和郁金香共300支，每支玫瑰的进
价为2元，售价定为5元，每支郁金香的进价为4元，售价定为10元．
(1)若花店在无损耗的情况下将玫瑰和郁金香全部售完，要求总获利不低于1500元，求花店
最多购进玫瑰多少支？
(2)花店在第二次购进玫瑰和郁金香时，两种花的进价不变．由于销量火爆，花店决定购进
玫瑰和郁金香共360支，其中玫瑰的进货量在（1）的最多进货量的基础上增加 支，售
价比第一次提高m元，郁金香售价不变，但郁金香在运输过程中有 已经损坏，无法进
行销售，最终第二批花全部售完后销售利润为1800元，求m的值．
【答案】(1)100支
(2)2
【分析】本题考查了一元二次方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：
（1）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式；（2）找准等量关系，正确列出
一元二次方程．
（1）设花店购进玫瑰 支，则购进郁金香 支，利用总利润 每支玫瑰的销售利润
购进玫瑰的支数 每支郁金香的销售利润 购进郁金香的支数，结合总利润不低于1500
元，可列出关于 的一元一次不等式，解之取其中的最大值，即可得出结论；
（2）利用总利润 销售单价 销售数量 进货单价 进货数量，可列出关于 的一元二次
方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．
【详解】（1）解：设花店购进玫瑰 支，则购进郁金香 支，
根据题意得： ，
解得： ，
的最大值为100．
答：花店最多购进玫瑰100支；
（2）根据题意得：
，
整理得： ，
解得： ， (不符合题意，舍去)．
答： 的值为2．24．（22-23九年级上·江西萍乡·开学考试）阅读下列材料：为解方程 ，可将
方程变形为 ，
然后设 ，则 ，原方程化为 ，解得 ， ，
当 时， 无意义，舍去；
当 时， ，解得 ；
所以原方程的解为 ， ；
利用以上学习到的方法解下列方程：
(1) ；
(2) ；
(3) ．
【答案】(1) ，
(2) ，
(3) ， ， ，
【分析】本题考查解一元二次方程，解题的关键是掌握换元法解一元二次方程，利用换元
降次求解一元高次方程．
（1）设 ，则原方程化为 ，进而求解；
（2）设 ，则原方程化为 ，进而求解；
（3）设 ，则原方程化为 ，进而求解；
【详解】（1）解：设 ，则原方程化为 ，
解得 ， ，当 时， 无意义，舍去；
当 时， ，解得 ；
所以原方程的解为 ， ；
（2）设 ，则原方程化为 ，
解得 ，
当 时， ， ， ， ；
所以原方程的解为 ， ；
（3） .
设 ，则原方程化为 ，
解得 ，
当 时， ， ，
解得： ， ；
当 时， ，
解得 ， ；
所以原方程的解为 ， ，0，
25．（23-24九年级上·四川成都·阶段练习）为了全面落实“双减”政策，促进学生整体素
质的均衡发展，师一学校小学部语文组的老师带领孩子们“泛舟书海”，举办了一系列丰
富多彩的读书活动．小狮宝们纷纷把自己收藏的图书带到学校．充实班级“图书漂流角”
和移动绘本小屋．语文组的老师对小学部借阅登记簿进行统计时发现，在4月份有1000名
学生借阅了图书，5月份比4月份增加10%，6月份全校借阅图书人数比5月增加340人．
(1)5月份借阅图书的学生人数______，6月份借阅图书的学生人数______，
(2)求从4月份到6月份小学部借阅图书的学生人数的平均增长率？(3)由于小学部小狮宝们读书情绪十分高涨，于是在国庆节后，学校决定派图书室陈老师去
锦江区“幸福里书屋”再购买一批图书，书店老板透露在九月底他以每本8元的价格进货
500本图书，然后按照每本9.6元的价格在国庆节全部售出；国庆节后老板去进货发现进货
价上涨了 ，进货量比九月底增加 ，他以12元的价格全部售出后，比国庆节的总
利润多1200元，求 的值．
【答案】(1)1100，1440
(2)从4月份到6月份小学部借阅图书的学生人数的平均增长率为
(3)
【分析】
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关
键．
（1）5月份借阅图书的人数是 ，则6月份借阅图书的人数为：5月份借阅图书
的人数 人；
（2）根据增长后的量 增长前的量 增长率）．设平均每年的增长率是 ，列出方程求
解即可．
（3）求出国庆节的总利润、国庆节后的进货量、进货价以及售价，再由题意：比国庆节的
总利润多1200元，列出一元二次方程，解方程即可．
【详解】（1）
由题意，得5月份借阅图书的人数是： （人 ，
则6月份借阅图书的人数为： （人 ，
故答案为：1100，1440；
（2）
设平均增长率为 ．
解得：
答：从4月份到6月份小学部借阅图书的学生人数的平均增长率为 ；（3）国庆节的总利润为： （元 ，
国庆节后的进货量为： 本，进货价为： ，
由题意得： ，
解得： 或 （不符合题意舍去），
，
答： 的值为 ．
26．（22-23九年级上·福建三明·期中）如图1，点O是 的对角线 ， 的交点，
过点O作 ， ，垂足分别为H，M，若 ，我们称 是
的中心距比．
(1)如图2，当 ，求证： 是菱形；
(2)如图3，当 ，且 ，求 的 值；
(3)如图4，在 中， ， ，动点P从点B出发．沿线段 向终点
运动，动点Q自C出发，沿线段 向终点A运动，P、Q两点同时出发，运动速度均为
每秒1个单位，连结 ，以 、 为邻边作 ，若 的中心距比 ．
求点P的运动时间．
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3) 秒
【分析】（1）当 ，利用角平分线的判定可得 ，再利用平行线的性质
可证明 ，从而证明结论；（2）证明 得 是等边三角形，再利用含 角的直角三角形的性质可
得 ，可得答案；
（3）设 的对角线交点为O，过O作 交 于H，过O作 交
于M，根据 ，得 ，列出方程，解方程可得答案．
【详解】（1）证明： ，
．
， ，垂足分别为 ， ，
，
四边形 是平行四边形，
．
．
，
，
四边形 是平行四边形，
四边形 是菱形；
（2）解：由题意得： 四边形 是矩形，
∴ ，
， ，垂足分别为 ， ，
，
四边形 是矩形，
，
， 交于点 ，
， ，
，
，
是等边三角形，
，
，垂足分别为 ，，
设 ，则 由勾股定理得 ，
；
（3）解：设 的对角线交点为 ，过 作 交 于 ，过 作
交 于 ，
设运动时间为 秒，由题意得： ， ， ， ，
在 中， ，
，
四边形 是平行四边形，
，
，
，
，
，
，，
化简得： ，
， 舍 ，
点 运动时间为 秒，
故答案为： ．
【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了平行四边形的性质，菱形的判定与性质，矩形
的性质，等腰直角三角形的性质，等边三角形的判定与性质，掌握新定义，根据面积法列
出方程是解决问题（3）的关键．
