文档内容
专题 01 一元二次方程（3 个知识点 5 大题型 2 个易错点中考 2 种考
法）
【目录】
倍速学习四种方法
【方法一】 脉络梳理法
知识点1一元二次方程的定义（重点） 知识点2一元二次方程的一般形式（重点）
知识点3一元二次方程的解（重点）
【方法二】 实例探索法
题型一：根据一元二次方程的定义求字母的值
题型二：根据一元二次方程的根求字母或代数式的值
题型三：一元二次方程新定义问题
题型四：对含字母的一元二次方程的系数的讨论
题型五：一元二次方程与完全平方公式综合
【方法三】 差异对比法
易错点1忽略一元二次方程的二次项系数不等于0这个隐含条件
易错点2 在求一元二次方程的相关项及系数时，没有先将其化为一般形式
【方法四】 仿真实战法
考法1根据方程的根求字母（或代数式）的值
考法2根据实际问题列一元二次方程
【方法五】 成果评定法
【知识导图】【倍速学习四种方法】
【方法一】脉络梳理法
知识点1一元二次方程的定义（重点）
（1）一元二次方程的定义：
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．
（2）概念解析：
一元二次方程必须同时满足三个条件：
①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数；
②只含有一个未知数；
③未知数的最高次数是2．
（3）判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的
最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”．
例1．（2022秋•镇江期末）下列方程中，一定是一元二次方程的是（ ）
A． B．x2+2x+3＝x（x+1）
C．2x+3y＝6 D．x2﹣2x+3＝0
知识点2一元二次方程的一般形式（重点）
（1）一般地，任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式 ax2+bx+c＝0（a≠0）．这种
形式叫一元二次方程的一般形式．
其中ax2叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项；c叫做常数项．一次项系数b和常数项c可取任
意实数，二次项系数a是不等于0的实数，这是因为当a＝0时，方程中就没有二次项了，所以，此方程就
不是一元二次方程了．
（2）要确定二次项系数，一次项系数和常数项，必须先把一元二次方程化成一般形式．例2．（2022秋•建邺区期中）将方程（x﹣1）2＝6化成一元二次方程的一般形式，正确的是（ ）
A．x2﹣2x+5＝0 B．x2﹣2x﹣5＝0 C．x2+2x﹣5＝0 D．x2+2x+5＝0
例3．（2022秋•镇江期中）将一元二次方程x（x+1）﹣2x＝2化为一般形式，正确的是（ ）
A．x2﹣x＝2 B．x2+x+2＝0 C．x2﹣x+2＝0 D．x2﹣x﹣2＝0
例4．（2022秋•新北区校级月考）将方程3x（x﹣1）＝2（x+2）+8化为一般形式为 ．
例5．（2022秋•海州区校级月考）一元二次方程x2﹣2x﹣3＝0的一次项系数是 ．
例6．（2022秋•常州期中）若关于x一元二次方程（m+2）x2+5x+m2+3m+2＝0的常数项为0，则m的值等
于 ．
例7．（2021秋•淮安区期中）若关于x的一元二次方程（m+1）x2+5x+m2﹣3m﹣4＝0的常数项为0．求m
的值．
知识点3一元二次方程的解（重点）
（1）一元二次方程的解（根）的意义：
能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解
也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．
（2）一元二次方程一定有两个解，但不一定有两个实数解．这 x ，x 是一元二次方程 ax2+bx+c＝0
1 2
（a≠0）的两实数根，则下列两等式成立，并可利用这两个等式求解未知量．
ax 2+bx +c＝0（a≠0），ax 2+bx +c＝0（a≠0）．
1 1 2 2
例8．（2021春•射阳县校级期末）已知关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+5x+m2﹣3m+2＝0的常数项为
0．
（1）求m的值；
（2）求此时一元二次方程的解．【方法二】实例探索法
题型一：根据一元二次方程的定义求字母的值
1．（2022秋•大丰区期末）如果（m﹣3）x2+5x﹣2＝0是一元二次方程，则（ ）
A．m≠0 B．m≠3 C．m＝0 D．m＝3
2．（2023•睢宁县校级开学）关于x的方程ax2﹣3x+3＝0是一元二次方程，则a的取值范围是（ ）
A．a＞0 B．a≠0 C．a＝1 D．a≥0
题型二：根据一元二次方程的根求字母或代数式的值
3．（2023•邗江区校级一模）已知m是方程x2﹣x﹣2＝0的一个根，则2023﹣m2+m的值为（ ）
A．2023 B．2022 C．2021 D．2020
4．（2022秋•邳州市期末）已知关于x的方程x2+bx+2＝0的一个根为x＝1，则实数b的值为（ ）
A．2 B．﹣2 C．3 D．﹣3
5．（2023•邗江区一模）若关于x的方程x2﹣mx﹣2＝0的一个根为3，则m的值为 ．
6．（2023春•玄武区期中）若m是方程x2+x﹣1＝0的一个根，则代数式2023﹣m2﹣m的值为 ．
7．（2022秋•江阴市校级月考）已知2是关于x的方程x2﹣2mx+3m＝0的一个根，而这个方程的两个根恰
好是等腰△ABC的两条边长．
（1）求m的值；
（2）求△ABC的周长．8．（2022•广陵区校级开学）已知x是一元二次方程x2﹣8x﹣1＝0的实数根，求代数式 ÷（x+3
﹣ ）的值．
题型三：一元二次方程新定义问题
9．（2021秋•高港区期中）定义：如果一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）满足a﹣b+c＝0，那么我们称这
个方程为“凤凰方程”．
（1）判断一元二次方程3x2﹣4x﹣7＝0是否为凤凰方程，说明理由．
（2）已知2x2﹣mx﹣n＝0是关于x的凤凰方程，若m是此凤凰方程的一个根，求m的值．
10．（2022秋•江阴市校级月考）定义：如果两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，我们称这两
个方程为“友好方程”，如果关于 x的一元二次方程x2﹣2x＝0与x2+3x+m﹣1＝0为“友好方程”，求
m的值．11．（2017秋•句容市月考）阅读下列材料：
问题：已知方程x2+x﹣1＝0，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍．
解：设所求方程的根为y，则y＝2x，所以x＝ ，把x＝ ，代入已知方程，得（ ）2+ ﹣1＝0．
化简，得y2+2y﹣4＝0，
故所求方程为y2+2y﹣4＝0
这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”．
请用阅读材料提供的“换根法”求新方程（要求：把所求方程化为一般形式）：
（1）已知方程x2+2x﹣1＝0，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数，则所求方程
为 ；
（2）已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个不等于零的实数根，求一个一元二次方程，
使它的根分别是已知方程根的倒数．
题型四：对含字母的一元二次方程的系数的讨论
12．（2022春•建邺区期末）已知关于x的一元二次方程（x﹣1）（x﹣2）＝m+1（m为常数）．
（1）若它的一个实数根是关于x的方程2（x﹣m）﹣4＝0的根，求m的值；
（2）若它的一个实数根是关于x的方程2（x﹣n）﹣4＝0的根，求证：m+n≥﹣2．
13．（2020秋•鼓楼区期中）方程是含有未知数的等式，使等式成立的未知数的值称为方程的“解”．方
程的解的个数会有哪些可能呢？（1）根据“任何数的偶数次幂都是非负数”可知：关于x的方程x2+1＝0的解的个数为 0 ；
（2）根据“几个数相乘，若有因数为0，则乘积为0”可知方程（x+1）（x﹣2）（x﹣3）＝0的解不止
一个，直接写出这个方程的所有解；
（3）结合数轴，探索方程|x+1|+|x﹣3|＝4的解的个数；（写出结论，并说明理由）
（4）进一步可以发现，关于x的方程|x﹣m|+|x﹣3|＝2m+1（m为常数）的解的个数随着m的变化而变
化…请你继续探索，直接写出方程的解的个数与对应的m的取值情况．
题型五：一元二次方程与完全平方公式综合
14．（2020秋•句容市月考）阅读下列材料：
（1）关于 x 的方程 x2﹣3x+1＝0（x≠0）方程两边同时乘以 得： 即 ，
，
（2）a3+b3＝（a+b）（a2﹣ab+b2）；a3﹣b3＝（a﹣b）（a2+ab+b2）．
根据以上材料，解答下列问题：
（1）x2﹣4x+1＝0（x≠0），则 ＝ ， ＝ ， ＝ ；
（2）2x2﹣7x+2＝0（x≠0），求 的值．【方法三】差异对比法
易错点1忽略一元二次方程的二次项系数不等于0这个隐含条件
15．（2021秋•襄城县期中）若关于x的一元二次方程（m﹣2）x2﹣6x+m2﹣3m+2＝0的常数项为0，则m
的值为 ．
易错点2 在求一元二次方程的相关项及系数时，没有先将其化为一般形式
16．（2022秋•沭阳县校级期末）一元二次方程2x2﹣1＝4x化成一般形式后，常数项是﹣1，一次项系数是
（ ）
A．2 B．﹣2 C．4 D．﹣4
【方法四】 仿真实战法
考法1根据方程的根求字母（或代数式）的值
17．（2022•连云港）若关于x的一元二次方程mx2+nx﹣1＝0（m≠0）的一个根是x＝1，则m+n的值是
．
18．（2021•宿迁）若关于x的一元二次方程x2+ax﹣6＝0的一个根是3，则a＝ ．
19．（2022•广东）若x＝1是方程x2﹣2x+a＝0的根，则a＝ ．
20．（2022•遂宁）已知m为方程x2+3x﹣2022＝0的根，那么m3+2m2﹣2025m+2022的值为（ ）
A．﹣2022 B．0 C．2022 D．4044
21．（2022•资阳）若a是一元二次方程x2+2x﹣3＝0的一个根，则2a2+4a的值是 ．
考法2根据实际问题列一元二次方程
22．（2022•衢州）将一个容积为360cm3的包装盒剪开铺平，纸样如图所示．利用容积列出图中x（cm）
满足的一元二次方程： （不必化简）．
【方法五】 成果评定法一、单选题
1．（2022秋·辽宁盘锦·九年级统考期末）将方程 化为一元二次方程的一般形式后，二次项系数、
一次项系数、常数项分别为（ ）
A．2，1，3 B．2， ，3 C．2， ， D．2， ，1
2．（2022秋·四川成都·九年级统考期末）把一元二次方程 化成一般形式后，一次项系数的一半
为（ ）
A．8 B．4 C． D．-4
3．（2023·广东东莞·东莞市东华初级中学校考模拟预测）将方程 化成 的形式，
则 ， ， 的值分别为（ ）
A． ， ， B． ， ， C． ， ， D． ， ，
4．（2022春·甘肃兰州·九年级校考阶段练习）若 是关于 的一元二次方程，则 的
值是( )
A． B． C． D．不能确定
5．（2023秋·广东湛江·九年级校考期末）若关于x的一元二次方程 的常数项为
0，则m的值是（ ）
A． B．1 C． 或 D．0
6．（2023·广东惠州·统考一模）关于x的一元二次方程 的一个根是0，则a的值为
（ ）
A．1 B．1或 C． D．0.5
7．（2023春·广东广州·九年级统考开学考试）若a是方程 的一个解，则 的值是
（ ）
A．10 B．5 C． D．
8．（2023·江西抚州·金溪一中校考模拟预测）下列方程是一元二次方程的是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题9．（2022秋·福建泉州·九年级统考期末）一元二次方程 的一次项系数为______．
10．（2022秋·江西赣州·九年级统考期末）用公式法解一元二次方程 时，应先将其化成
“一般形式”为________．
11．（2022秋·河南南阳·九年级统考期末）若关于x的一元二次方程 的一个根是
0，则a的值为_____．
12．（2022秋·四川乐山·九年级统考期末）若 关于x的一元二次方程，则
__________．
13．（2023·山东东营·统考一模）已知 是一元二次方程 的一个根，则代数式
的值为______．
14．（2023春·江西吉安·九年级江西省泰和中学校考阶段练习）若 是方程 的一个解，则代数
式 的值是___________．
三、解答题
15．（2022秋·山东青岛·九年级校考阶段练习）若关于 的方程 是一元二次方程，求
不等式： 的解集．
16．（2022秋·河南开封·九年级校考阶段练习）已知关于x的方程 ．
(1)当k取何值时，此方程是一元一次方程？并求出此方程的根；
(2)当k取何值时，此方程是一元二次方程？并写出这个一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项．17．（2023秋·山东济宁·九年级统考期末）已知m是方程 的解，求式子 的
值．
18．（2022秋·河北唐山·九年级统考期末）我们定义：如果关于x的一元二次方程 有两个实
数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”．
(1)请判断方程 是不是倍根方程，并说明理由；
(2)若是 倍根方程，则 ___________．
19．（2023秋·重庆永川·九年级统考期末）先化简，再求值： ，其中 是一元二
次方程 的根．
20．（2023·北京西城·统考一模）已知a是方程 的一个根，求代数式 的值．21．（2021秋·江苏·九年级专题练习）设p，q是整数，方程 有一个根为 ，求p﹣q的
值．
22．（2022秋·全国·九年级专题练习）如图，在 中， ，从点 为圆心， 长为半径画
弧交线段 于点 ，以点 为圆心 长为半径画弧交线段 于点 ，连结 ．
(1)若 ，求 的度数：
(2)设 ．
①请用含 的代数式表示 与 的长；
② 与 的长能同时是方程 的根吗？说明理由．
23．（2022秋·全国·九年级专题练习）已知等腰直角 中， ， ，点 为 边上动点，
连接 ，过点 作 ，交 于点 ，拖动点 ．
（1）若 ，垂足为点 ，求证：
（2）若 且 ，求 的长度24．（2022秋·九年级单元测试）当m为何值时，关于x的方程（m+1）x|m﹣1|+（m﹣3）x＝5．
(1)为一元二次方程；
(2)为一元一次方程．
