专题01一元二次方程的解法的五类综合题型（压轴题专项训练）数学人教版九年级上册（教师版）_初中数学_九年级数学上册（人教版）_压轴题专项-V5_2026版

专题 01 一元二次方程的解法的五类综合题型 目录 典例详解 类型一、直接开方法解一元二次方程 类型二、配方法解一元二次方程 类型三、公式法解一元二次方程 类型四、用因式分解法解一元二次方程 类型五、换元法解一元二次方程 压轴专题 分题型讲解，对相关的基础内容进行归纳整理，例题后增加相应的变式训练，及时巩固。 类型一、直接开方法解一元二次方程 直接开方法解一元二次方程：利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法称为直接开平方 法. 要点：用直接开平方法解一元二次方程的理论依据是平方根的定义，应用时应把方程化成左边是含未知 数的完全平方式，右边是非负数的形式，就可以直接开平方求这个方程的根. 例1．用直接开平方法解下列方程： (1) ． (2) ． 【答案】(1) ， ． (2) ， 【详解】解：（1）移项，得 ． 两边直接开平方，得 ， 解得 ， ．（2）两边直接开平方，得 ， 即 或 ， 解得 ， ． 【变式1-1】解方程： ． 【答案】 ， ． 【知识点】解一元二次方程——直接开平方法 【分析】本题考查了高次方程的解法，运用直接开配方法进行解答即可，掌握直接开配方法是解题的关键． 【详解】解： 或 ∴ ， ． 【变式1-2】解方程： ． 【答案】 ， ． 【知识点】解一元二次方程——直接开平方法 【分析】本题考查了解一元二次方程，利用直接开平方法求解即可，解题的关键是熟记常见的解法，直接 开平方法、配方法、公式法、因式分解法及正确掌握一元二次方程的解法． 【详解】解：或 ∴ ， ． 【变式1-3】用直接开平方法解下列一元二次方程： (1) ； (2) ； (3) ； (4) ． 【答案】(1) ； (2) ； (3) ， ； (4) ， ． 【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握直接开方法解方程，是解题的关键： （1）移项后，利用直接开方法解方程即可； （2）移项后，利用直接开方法解方程即可； （3）系数化1后，利用直接开方法解方程即可； （4）移项后，利用直接开方法解方程即可． 【详解】（1）解： ， 即 ， 开方得： ； （2） ， 即 ， 开方得： ； （3） ， 即 ，开方得： ， 解得： ， ； （4） ， 即 ， 开方得： ， 解得： ， ． 类型二、配方法解一元二次方程 配方法解一元二次方程：将一元二次方程配成 的形式，再利用直接开平方法求解， 这种解一元二次方程的方法叫配方法. 要点：（1）配方法解一元二次方程的口诀：一除二移三配四开方； （2）配方法关键的一步是“配方”，即在方程两边都加上一次项系数一半的平方. a2 2abb2 (ab)2 （3）配方法的理论依据是完全平方公式 ． 例2．解一元二次方程： ． 【答案】 ， 【知识点】解一元二次方程——配方法 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，方程二次项系数化为1，常数项移到右边，两边加上一次项 系数一半的平方，开方即可求出解． 【详解】解： ， 方程变形得： ， 配方得： ，即 ，开方得， ， 解得： ， ． 【变式2-1】用配方法解一元二次方程方程： ． 【答案】 ， 【知识点】解一元二次方程——配方法 【分析】本题考查了解一元二次方程−−配方法，解题的关键是熟练掌握完全平方公式．方程整理后，利 用配方法求出解即可． 【详解】解∶方程整理，得 ， 配方，得 ，即 ， 开方，得 ， 解得 ， ． 【变式2-2】用配方法解下列方程： (1) ； (2) ； (3) ； (4) ． 【答案】(1) ， ； (2) ， ； (3) ， ； (4) ， ． 【分析】本题考查配方法解一元二次方程，根据配方法的步骤：方程二次项系数化为1，常数项移到右边， 然后方程两边加上一次项系数一半的平方，左边化为完全平方式，右边合并，开方求出，据此求出每一个方程的解即可． 【详解】（1）解：方程变形得： ， 配方得： ，即 ， 开方得： 或 ， 解得： ， ； （2）方程变形得： ， 配方得： ，即 ， 开方得： 或 ， 解得： ， ； （3）方程变形得： ， 配方得： ，即 ， 解得： ， ； （4）方程变形得： ， 配方得： ，即 ， 开方得： ， 解得： ， ． 【变式2-3】用配方法解下列方程： (1) ； (2) ； (3) ； (4) ； (5) ； (6) ．【答案】(1) ； (2) ； (3) ， ； (4) ， ； (5) ， ； (6) ， ． 【分析】此题考查了解一元二次方程-配方法．各方程二次项系数化为1，常数项移到右边，两边加上一次 项系数一半的平方，利用完全平方公式变形后，开方即可求出解． （1）运用配方法的步骤解一元二次方程即可得解． （2）运用配方法的步骤解一元二次方程即可得解． （3）运用配方法的步骤解一元二次方程即可得解． （4）运用配方法的步骤解一元二次方程即可得解． （5）运用配方法的步骤解一元二次方程即可得解． （6）运用配方法的步骤解一元二次方程即可得解． 【详解】（1）解： ， ， ， ， ； （2）解： ， ， ， ，， ； （3）解： ， ， ， ， ， ， ， ； （4）解： ， ， ， ， ， ， ， ； （5）解： ， ， ， ， ，， ， ； （6）解： ， ， ， ， ， ， ， ． 类型三、公式法解一元二次方程 1.一元二次方程的求根公式 一元二次方程 ，当 时， . 2.用公式法解一元二次方程的步骤 用公式法解关于x的一元二次方程 的步骤： ①把一元二次方程化为一般形式；②确定a、b、c的值（要注意符号）； ③求出 的值； ④若 ，则利用公式 求出原方程的解；若 ，则原方程无实 根. 例3．用公式法解方程 ． 【答案】 ，【知识点】公式法解一元二次方程 【分析】此题考查了公式法解一元二次方程．根据一元二次方程的一般形式得到 ， ， ， 计算得到 ，代入求根公式进行计算即可． 【详解】解： ， ， ， ∵ ， ∴ ， ∴ 解得 ， ． 【变式3-1】用公式法解一元二次方程： 【答案】 【知识点】公式法解一元二次方程 【分析】本题考查了用公式法解一元二次方程，解题的关键是掌握用公式法解一元二次方程的方法和步骤． 先求出 ，得出该方程有实数根，再根据求根公式，即可解答． 【详解】解： ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ． 【变式3-2】用公式法解方程： ． 【答案】 ， 【知识点】公式法解一元二次方程 【分析】本题考查的是解一元二次方程，利用公式法求解即可． 【详解】解： ， ∵ ， ， ，∴ ， ∴ ， ∴ ， ． 【变式3-3】解一元二次方程： ． 【答案】 【知识点】公式法解一元二次方程 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，特别是使用公式法求解．熟记求根公式 是解题的关键．先确定 的值，计算 ，以确定方程的根的 性质．如果 ，则方程有两个不相等的实数根；如果 ，则方程有两个相等的实数根；如果 ， 则方程无实数根．依据这个过程求解即可． 【详解】解： ． ， 一元二次方程有两个不相等的实数根， 类型四、用因式分解法解一元二次方程 （1）将方程右边化为0； （2）将方程左边分解为两个一次式的积； （3）令这两个一次式分别为0，得到两个一元一次方程； （4）解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解. 例4．解下列方程：(1) ； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）利用因式分解法解方程即可； （2）先移项，然后利用因式分解法解方程即可． 【详解】（1）解：∵ ， ∴ ， ∴ 或 ， 解得 ； （2）解：∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ 或 ， 解得 ． 【变式4-1】解方程： (1) ； (2) ． 【答案】(1) (2)【分析】本题主要考查了解一元二次方程，掌握运用因式分解法解一元二次方程是解题的关键． （1）直接利用因式分解法解一元二次方程即可； （2）先移项，然后利用因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】（1）解： ， 所以 ． （2）解： ， 所以 ． 【变式4-2】用十字相乘法解方程： (1) (2) 【答案】(1) ， (2) ， 【分析】本题考查了解一元二次方程，主要考查学生的计算能力． （1）先分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可． （2）先分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可． 【详解】（1）解： ； ， ， ， ， ．（2）解： ， ， ， ， ． 【变式4-3】用因式分解法解下列方程： (1) ． (2) ． 【答案】(1) ， (2) 【点拨】（1）先移项，再提取公因式 ；（2）可以把 看作一个整体，再因式分解． 【解】（1）移项，得 ， 即 ． 因式分解，得 ， 或 ， 解得 ， ． （2）因式分解，得 ， ， 解得 ． 类型五、换元法解一元二次方程 1.换元法核心思路：当方程含重复复杂整式（如多项式平方、分式等），设该整式为新元（如 y），将 原方程转化为关于新元的一元二次方程，解出新元后，代回换元式求原未知数。例如方程(x²+3x)² - 2(x²+3x) - 8=0，设y=x²+3x，转化为y²-2y-8=0。 2.关键步骤：①观察方程结构，确定换元对象（重复出现的整式）；②设新元，替换原方程中对应整式；③解新方程，得新元值；④代回换元式，解出原未知数；⑤验根，确保解符合原方程。 例5．【阅读材料】 方程 是一个一元四次方程，我们可以把 看成一个整体，设 ，则原方 程可化为 ①， 解方程①可得 ， ； 当 时， ，即 ， ； 当 时， ，即 ， ； 原方程的解为 ， ， ， ． 【解决问题】 (1)在由原方程得到方程①的过程中，是利用换元法达到_______的目的（选填“降次”或“消元”），体 现了数学的转化思想； (2)已知 ，求 的值； (3)请仿照材料中的方法，解方程： ． 【答案】(1)降次 (2) (3) 【知识点】换元法解一元二次方程 【分析】本题考查了换元法解一元二次方程，熟练掌握换元法解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）根据题意可得换元法达到降次的目的； （2）仿照题中所给的方法以及根据一元二次方程的解法即可求解； （3）仿照题中所给的方法以及根据一元二次方程的解法即可求解． 【详解】（1）解：利用换元法达到降次的目的，体现了数学的转化思想 （2）解：设 ，则原方程可化为整理，得 解得 ， 又∵ （3）解：设 ，则原方程可化为 解得 ， 当 时， ，解得 ， 当 时， ，解得 ， 原方程的解为 ． 【变式5-1】阅读下面的材料，回答问题． 解方程 ． 这是一个一元四次方程，由这个方程的特点，可以采用“换元法”起到降次的目的，将其转化成一元二次 方程求解，它的解法如下： 解：设 ，那么 ，于是原方程可变为 ，解得 ， ． 当 时， ， ； 当 时， ， ； 所以，原方程有四个根，分别为 ， ， ， ． 请运用以上方法回答问题： 已知 ，求 的值． 【答案】 【知识点】根据判别式判断一元二次方程根的情况、换元法解一元二次方程、因式分解法解一元二次方程 【分析】本题考查换元法解一元二次方程，设 ，于是原方程可变为 ，求出 的值即可． 【详解】解：设 ，于是原方程可变为 ，∴ 或 ， 解得 ， ， 当 时，整理得 ， ，符合题意； 当 时，整理得 ， ，不符合题意； 综上所述， ． 【变式5-2】阅读与思考： 下面是八（1）班学习小组研究性学习报告的部分内容，请认真阅读并完成相应任务．研究一元二次方程 的新解法讨论一种关于一元二次方程的新解法一一消去未知数的一次项，将原方程转化为可以开平方的形 式，将其开平方，从而进一步求得方程的解． 【例如】解一元二次方程 ， 设 （m为常数）， 将原方程化为 ，① 方程①整理，得 ，② 令 ，解得 ． 当 时， ， 方程②化为 ，解得 ， ___________， ___________． 任务： (1)直接写出材料中“ ”部分方程的解 ___________， ___________． (2)按照材料中“例如”的方法，解一元二次方程 ． 【答案】(1) ， ； (2) ，【知识点】换元法解一元二次方程 【分析】本题考查一元二次方程的解法，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题， （1）根据材料中的方法求出解即可； （2）设 （m为常数），将原方程化为 ，方程整理，得 ，令 解得 ，当 时， ，方程化为 ，解得 ， ，即可求出答案． 【详解】（1）解：解一元二次方程 ， 设 （m为常数）， 将原方程化为 ，① 方程①整理，得 ，② 令 ，解得 ． 当 时， ， 方程②化为 ，解得 ， ， 故答案为： ， ； （2）设 （m为常数）， 将原方程化为 ① 方程①整理，得 ② 令 解得 ， 当 时， ，方程②化为 解得 ， ， ， ． 【变式5-3】请你完成解答，提炼方法后，完成题（ ）、题（ ）． （1）解方程 时，我们可以将 看成一个整体，设 ，则原方程可化为 ，解得 ， ．当 ，即 ，解得 ；当 ，即 ，解得 ． 所以原方程的解 ， ．请你利用这种方法解方程： ． 方法应用： （2）已知 、 、 为 的三边，若 ， ，请判断 的形状，说明 理由． （3）已知 为实数且满足 ，请直接写出 的值． 【答案】（1） ， ；（2） 是直角三角形，理由见解析；（3） 【知识点】配方法的应用、因式分解法解一元二次方程、换元法解一元二次方程、判断三边能否构成直角 三角形 【分析】（1）根据题中方法，设 ，将原方程可化为 ，解方程求出 ， ；分 别代入求出 的值即可； （2）根据题中方法，求出 ，结合 ，根据勾股定理的逆定理即可求解； （3）先配方，得出 ，再根据题中方法，进行计算即可求解． 【详解】（1）解：设 ， 则原方程可化为 ，解得： ， ． 当 ，即 ，解得： ； 当 ，即 ，解得： ． 所以原方程的解 ， ． （2）解： 是直角三角形， 理由如下：∵ 、 、 为 的三边， 故 ， ， ∴ ， 设 ， 则原方程可化为 ， 解得： ， （舍去）． 当 ，即 ， 即 ， 故 是直角三角形． （3）解： ， ∵ ， 故 ， 即 ； 设 ， 则原方程可化为 ，解得： ， （舍去）． 当 ，即 ． 【点睛】本题考查了换元法解一元二次方程，因式分解法解一元二次方程，勾股定理的逆定理，配方法的 应用，解一元一次方程等，熟练掌握换元法解一元二次方程是解题的关键． 一、单选题 1．用配方法解一元二次方程 时，配方后的方程是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了用配方法解一元二次方程，按照配方法的步骤写出配方之后的方程即可． 【详解】解： 故答案选B 2．方程 的根是（ ） A． B．C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，用公式法、配方法均可求解. 【详解】解：将方程 化为一般式 ， ∴a=2，b=-8，c=-3， ∴Δ= =64-4×2×（-3）=88＞0， ∴ 故选： A． 3．关于 的方程 ，下列说法正确的是（ ） A．当 时，有两个解 B．有两个解 C．当 时，有两个解 D．当 时，方程无实根 【答案】A 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，当 时， 才有意义，那么把原方程两边同时开平方可得 ，即 ，当 时， 无意义，即此时方程无解，据此可得答案． 【详解】解：∵ ， ∴当 时， ， ∴ ∴当 时，有两个解 ， 当 时， 无意义，即此时方程无解， 故选：A． 4．已知菱形 的边长是一元二次方程 的一个根，且两条对角线长的和为 ，则菱形的边长为（ ） A． B． C． D． 或 【答案】A 【分析】本题考查了解一元二次方程，菱形的性质，三角形的三边关系，能熟记菱形的性质和解一元二次 方程是解此题的关键．先根据菱形的性质得出 ，求出方程的解，利用三角形的 三边关系确定解即可． 【详解】解：如图， 由题意得 ， ∵四边形 是菱形， ∴ ， ， ∴ ， 解 ， 解得： 或 ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， 故选：A． 二、填空题 5．若方程 能配方成 的形式，则直线 不经过第 象限． 【答案】二 【详解】由 配方，得 ，即 ， ， ， 的解析式为 ，图象不经过第二象限． 6．已知a，b满足 ，已知 ，x为正数，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了解一元二次方程，二次根式的性质，根据题意得到方程，再将方程转换为一元二次方 程即可解答，熟练计算是解题的关键． 【详解】解：由题意得 ， 整理得 ， 两边平方得 ， 整理得 ， 解得 ， ， 当 时， ，故舍去， ， 故答案为： ． 7．已知 ，则 的值为 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查了换元法解一元二次方程，掌握运用换元法解一元二次方程是解题关键．设 ，根据换元法可得一元二次方程，然后运用因式分解法解一元二次方程即可解答． 【详解】解：设 ， 则 ， ∴ ，∴ ， ∴ 或 ， ∴ 或 （舍去）； ∴ ． 故答案为：2． 8．方程 的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个三角形的周长为 ． 【答案】10或11 【分析】此题考查了解一元二次方程 因式分解法，等腰三角形的定义，利用因式分解法求出方程的解得 到 的值，确定出底与腰，即可求出周长．熟练掌握因式分解法是解本题的关键． 【详解】解： ， ， 解得： ， ， 若3为底，4为腰，三角形三边为3，4，4，周长为 ； 若3为腰，4为底，三角形三边为3，3，4，周长为 ． 则这个三角形的周长为10或11， 故答案为：10或11． 三、解答题 9．解方程： (1) ； (2) ． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解一元二次方程． （1）利用因式分解法解一元二次方程即可． （2）利用公式法解一元二次方程即可．【详解】（1）解： ， ， ∴ ∴ （2）解： ， ， ． ∴ 10．用十字相乘法解方程 (1) (2) 【答案】(1) ， (2) ， 【分析】此题考查了解一元二次方程 因式分解法，熟练掌握十字相乘法是解本题的关键．各方程利用十 字相乘法分解，利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解． 【详解】（1）解： ， 方程整理得： ， 解得： ， ；（2）解： ， 方程整理得： ， 解得： ， ． 11．用适当的方法解下列方程： (1) ； (2) ； (3) ． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了解一元二次方程，根据方程的特点灵活选用恰当的方法进行求解是解题的关键． （1）根据直接开平方法进行求解即可； （2）根据配方法进行求解即可； （3）根据因式分解法进行求解即可． 【详解】（1） ， ； （2） ， ， ， ，， ． （3） ， 或 ， ． 12．用适当的方法解下列一元二次方程： (1) ； (2) ； (3) 【答案】(1) ， (2) ， (3) ， 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）利用直接开平方的方法解方程即可； （2）利用配方法解方程即可； （3）去括号整理，利用因式分解法解方程即可． 【详解】（1）解：∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ，解得 ， ； （2）解：∵ ， ∴ ， ∴ ，即 ， ∴ ， 解得 ， ； （3）解： 解得 ， ． 13．解方程 (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) ， (3) ， 【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的解法：直接开平方法，配方法， 公式法，因式分解法等． （1）利用配方法解一元二次方程即可； （2）利用因式分解法解一元二次方程即可；（3）整理后利用因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】（1） ∴ 解得 ； （2） 或 解得 ， ； （3） ∴ 或 解得 ， ． 14．用适当的方法解下列一元二次方程： (1) ； (2) ；(3) ； (4) ． 【答案】(1) ， (2) ， (3) ， (4) ， 【分析】本题考查了利用因式分解法解一元二次方程，利用公式法解一元二次方程，解题关键是掌握上述 两种解一元二次方程的方法． （1）利用因式分解法解一元二次方程； （2）利用因式分解法解一元二次方程； （3）利用公式法解一元二次方程； （4）利用公式法解一元二次方程． 【详解】（1）解：移项得： 提取公因式 ，得到： 和 ， 解得： ， ； （2）去括号，得： ， 即 ， 方程左边因式分解，得： ， ∴ 和 ， 解得： ， ； （3）方程 ，, ∴ ， ∴ ， ∴ ， ； （4） ， 方程两边同乘 ，得 ， , ∴ ， ∴ ， 解得： ， ． 15．（1）解方程： ； （2）解方程：在学完一元二次方程解法后，老师出了这样一道试题“ ”，让同学们求解． 球宝和甜宝两位同学的做法如下： 球宝同学的解答 甜宝同学的解答 解：原方程可化为 解：原方程可化为 ， ． ， 当 时， ， ． 当 时， 所以 ， ， 所以 ， ． 所以 ， ． ①小组在交流过程中发现两位同学的结果不同，请判断 （填球宝或甜宝）同学的解法有误，错误的原因 是 ； ②请你写出其他的正确解法．【答案】（1） ；（2）①甜宝；原方程常数项移项时未变号；② 【分析】本题考查了因式分解法解一元二次方程，配方法法解一元二次方程，解题关键是掌握上述两方法 求解． （1）利用因式分解法求解； （2）先判断甜宝解法错误，再找出错因，然后写出正确解法即可． 【详解】（1）解：方程左边分解因式，得： ， 可得： 或 ， 解得： ， ； （2）①甜宝同学的解法有误，错误的原因是原方程常数项移项时未变号； 故答案为：甜宝，原方程常数项移项时未变号； ②∵ ， ∴ ， 所以 ， 所以 · 16．阅读材料，解答问题．材料：为解方程 ，我们可以将 作为一个整体，然 后设 ，则 ．原方程可化为： ，解得： ． 当 时， ，解得： ； 当 时， ，解得： ； 所以原方程的解为： ． (1)方程： 的解为：_______ (2)解方程： ；（写出解题过程）【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解一元二次方程： （1）设 ，则原方程可以化为 ，再仿照题意解方程即可； （2）设 ，则原方程可以化为 ，再仿照题意解方程即可． 【详解】（1）解：设 ，则 ， ∴原方程可以化为 ， ∴ ， 解得 ， 当 时， ，解得 ； 当 时， ，解得 ； ∴原方程的解为： ； （2）解：设 ，则 ， ∴原方程可以化为 ， ∴ ， 解得 ， 当 时， ，解得 ； 当 时， ，此时方程无解； 综上所述，原方程的解为 ．