文档内容
第 04 讲 因式分解法（2 个知识点+2 种题型+分层练习）
知识导图
知识清单
知识点1．解一元二次方程-因式分解法
（1）因式分解法解一元二次方程的意义
因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方
程最常用的方法．
因式分解法就是先把方程的右边化为 0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的
形式，那么这两个因式的值就都有可能为 0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也
就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思
想）．
（2）因式分解法解一元二次方程的一般步骤：
①移项，使方程的右边化为零；②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个
因式分别为零，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方
程的解．
知识点2．换元法解一元二次方程
1、解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，
这叫换元法．
换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，
将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，
变得容易处理．
2、我们常用的是整体换元法，是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母
来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现．把一些形式复杂的方程通过换
元的方法变成一元二次方程，从而达到降次的目的．
题型强化题型一．解一元二次方程-因式分解法
1．（2023秋•西华县期末）方程 的解是
A． B． C． ， D． ，
【分析】由题意可得 或 ，解方程即可得到答案．
【解答】解： ，
或 ，
解得： ， ，
故选： ．
【点评】本题考查了解一元二次方程，解一元二次方程的方法有：直接开平方法、配方法
因式分解法、公式法，选择合适的方法进行计算，将一元二次方程转化为一元一次方程是
解此题的关键．
2．（2023秋•彰武县期末）若关于 的一元二次方程 的一个实数根是 ，则
的值为 ．
【分析】利用一元二次方程根的定义，把 代入一元二次方程得到 ，即
，代入 即可求解．
【解答】解：把 代入方程 得 ，
，
．
故答案为： ．方法二： ，
，
或 ，
或1，
．
故答案为： ．
【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是
一元二次方程的解．
3．（2023秋•右玉县期末）解下列方程：
（1） ；
（2） ．
【分析】（1）利用因式分解法求解可得；
（2）利用配方法求解可得．
【解答】解：（1） ，
则 ，
则 或 ，
解得 ， ；
（2） ，
，
，即 ，
，，
， ．
【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法
直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是
解题的关键．
题型二．换元法解一元二次方程
4．（2023 秋•中江县月考）已知实数 满足 ，则代数式
的值为
A．7 B． C．7或 D． 或1
【分析】将 看作一个整体，再用换元法解方程求出 的值即可．
【解答】解：设 ，则原方程可化为： ，
解得 ， ；
当 时， ，即 ，△ ，原方程没有实数根，故
不合题意，舍去；
当 时， ，即 ，△ ，故 的值为6；
．
故选： ．
【点评】本题考查换元法解 一元二次方程，解题的关键是掌握换元法解方程．
5．（2024春•雨花区期末）若实数 、 满足 ，则 3
．
【分析】设 ，则原方程换元为 ，可得 ， ，即可求解．【解答】解：设 ，则原方程换元为 ，
整理得： ，
，
解得： ， ，
即 或 （不合题意，舍去），
．
故答案为：3．
【点评】本题考查了换元法解一元二次方程，正确掌握换元法是解决本题的关键．
6．（2023 秋•黔南州期末）阅读材料：解方程 ，我们可以将
视为一个整体，然后设 ，则 ，原方程化为 ．①
解得 ，
当 时， ． ． ；
当 时， ， ， ．
原方程的解为 ， ， ， ．
根据上面的解答，解决下面的问题：
（1）填空：在由原方程得到方程①的过程中，利用 换元 法达到了降次的目的，体现
了 的数学思想．
（2）解方程： ．
【分析】（1）根据题意可以解答本题；
（2）根据换元法可以解答此方程．
【解答】解：（1）由题意可得，
在由原方程得到方程①的过程中，利用换元法达到了将次的目的，体现了换元的数学思想，故答案为：换元、换元；
（2） ，
令 ，则原方程可化为： ，
解得， 或 ，
（舍去）， ，
解得， ， ，
故原方程的解是 ， ．
【点评】本题考查换元法解一元二次方程、解一元二次方程的方法，解题的关键是明确解
方程的方法．
分层练习
一、单选题
1．已知关于 的一元二次方程 的一个根是0，则另一个根是（ ）
A． B．5 C． D．1
【答案】A
【分析】本题考查因式分解法解一元二次方程，提公因式得到 ，解方程即可得
到答案，熟记因式分解法解一元二次方程是解决问题的关键．
【详解】解： ，
，解得 或 ，
关于 的一元二次方程 的一个根是0，则另一个根是 ，
故选：A．
2．方程 的解为（ ）
A． B． 或 C． D． 或
【答案】D【分析】本题考查的是一元二次方程的解法，掌握利用因式分解的方法解方程是解本题的
关键．
把方程化为 ，再利用因式分解的方法解方程即可．
【详解】解：∵ ，
，
，
或 ，
解得： ．
故选：D．
3．一元二次方程 的根是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了因式分解法解一元二次方程，先整理确定公因式，再提出公因式，
求出解即可．
【详解】解： ，
整理，得 ，
因式分解，得 ，
即 或 ，
∴ ， ．
故选：B．
4．如图1，在 中， ， 于点 ，动点 从 点出发，沿
折线 方向运动，运动到点 停止，设点 的运动路程为 ， 的面积为 ，
与 的函数图象如图2，则 的长为（ ）A．6 B．8 C．9 D．10
【答案】A
【分析】本题考查了一次函数图象与几何图形的综合，根据点 的运算，可得
， ，在直角 中根据勾股定理可求出BD的值，
由此即可求解，掌握一次函数图象的性质，等腰三角形的性质，解方程的方法，勾股定理
的运用是解题的关键．
【详解】解：如图所示，过点 作 ，
∴ ，
当点 与点 重合时，
，
∴ ，
∴ ，
当点 与点 重合时， ，
∵ ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，解得， 或 ，
∴ 或 ，负值舍去，
当 时， ，不符合题意（ ），
∴ ，
∴ ，
故选： ．
5．一元二次方程 的解为（ ）
A． ， B． ， C． ，
D． ，
【答案】A
【分析】本题考查了解一元二次方程，利用因式分解法解答即可求解，掌握解一元二次方
程的方法是解题的关键．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴x=0或 ，
解得 ， ，
故选： ．
6．关于x的方程 ，则 的值是（ ）
A． B．1 C． 或1 D．3或
【答案】B
【分析】本题考查了换元法解一元二次方程，设 ，求出t的值，进而可得出结论，
熟知把某个式子看成一个整体，用一个变量去替代它，从而使问题得到简化，这叫换元法
是解此题的关键．
【详解】解：设 ，则此方程可化为 ，∴ ，
∴ 或 ，
解得 ，
∴ 的值是1或 ．
当 时， ，
∵ ，
∴此方程无解，
∴ 的值是1．
故选：B．
7．已知实数x满足 ，则代数式 的值为（ ）
A．7 B． C．7或 D． 或1
【答案】A
【分析】本题考查了换元法解一元二次方程，将 看作一个整体，再用换元法解方程
求出 的值即可，解题的关键是掌握换元法解方程．
【详解】解：设 ，则原方程可化为： ，
解得 ；
当 时， ，即 ， ，原方程没有实数根，故 不
合题意，舍去；
当 时， ，即 ， ，故 的值为6；
∴ ．
故选：A．
8．三角形两边的长是3和4，第三边的长是方程 的根，则该三角形的周长
为（ ）
A．12 B．14 C．12或14 D．24【答案】A
【分析】此题考查了解一元二次方程-因式分解法，以及三角形的三边关系，利用因式分解
法求出已知方程的解，再利用三角形三边关系确定出第三边长，即可求出周长．
【详解】解：方程 ，
分解因式得： ，
可得 或 ，解得： 或 ，
∵三角形第三边的长是方程 的根，
∴第三边的长为5或7，
当第三边长为5时，周长为 ；
当第三边长为7时， ，不能构成三角形，舍去，
综上，该三角形的周长为12．
故选：A．
9．若关于x的一元二次方程 的两个实数根为 和 ，则 的值是
（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】题主要考查了一元二次方程根于系数的关系，根据一元二次方程根与系数的关系
算出 ， ，再把 变形为 ，代入计算即可得到答案；
要掌握一元二次方程根于系数的关系，能把 变形为 是解题的关键．
【详解】解：∵x的一元二次方程 的两个实数根为 和 ，
∴根据根与系数的关系得到： ， ，，
故选：B．
10．已知方程 的解是 ， ，则给出另一个方程
，它的解是（ ）
A． 或3 B．1或3 C． 或 D．1或
【答案】C
【分析】本题考查了用换元法解一元二次方程，先根据已知方程和方程的解，从而得到方
程 中的 相当于第1个方程中的x，从而得到 和
，解方程即可．
【详解】解：∵方程 的解是 ， ，
∴方程 中 ， ，
， ，
， ，
故选：C．
二、填空题
11．方程 的解是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查解一元二次方程，熟练掌握因式分解法解方程是关键．根据题意得
到 ，即可得到答案．
【详解】解： ，
，
解得 ，故答案为： ．
12．若关于 的方程 有两个不相等的实数根，则 的取值范围是 ．
【答案】
【分析】本题考查了因式分解解一元二次方程，熟练掌握以上知识是解题的关键．
根据因式分解解方程，即 可化为为 ，解得 或 ，再根据方程
有两个不相等的实数根，即可得 ．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴ 或 ，
即 或 ，
∵方程有两个不相等的实数根，
∴ ，
∴ 的取值范围是 ，
故答案为： ．
13．已知等腰三角形的底边长和腰长恰好是方程 的两根，则等腰三角形的周
长为 ．
【答案】10
【分析】本题主要考查了解一元二次方程，三角形三边关系的应用，等腰三角形的定义，
先解方程得出 ， ，再根据三角形的三边关系得出等腰三角形的腰为4，底边长
为2，最后求出三角形的周长即可．
【详解】解：
因式分解得： ，
或 ，
所以 ， ，
因为 ，所以等腰三角形的腰长为2时，不能构成三角形，所以等腰三角形的腰为4，底边长为2，
所以三角形的周长为 ．
故答案为：10．
14．已知三角形的两边长分别是3和4，第三边长是方程 的根，则这个三角
形的周长是
【答案】
【分析】本题考查了解一元二次方程-因式分解和三角形三边的关系．
利用因式分解法解方程得到 ，再利用三角形三边的关系得到三角形的第三边为
5，然后计算三角形的周长．
【详解】
解得：
当第三边长是1时， ，不符合三角形三边关系；
当第三边长是5时， ，符合三角形三边关系，
∴这个三角形的周长是
故答案为： ．
15．如果 ，则 的值是 ．
【答案】 或
【分析】本题考查了解分式方程．熟练掌握换元法解方程，解分式方程检验，是解决问题
的关键．
设 ，原方程化为 ，用求根公式解得 ，换回 ，检验，
即得．
【详解】解：∵ ，
设 ，则 ，∵ ，
∴ ，
∴ ，
经检验 适合原方程，
∴ ， ，
故答案为： 或 ．
16．已知 ，则 的值为 ．
【答案】1
【分析】此题考查了换元法解一元二次方程，设 ，原方程变形为 ，
然后利用因式分解法解得 ， ，进而求解即可．
【详解】设
∵
∴
∴
∴
∴
∴ 或
∴ ，∵
∴ 应舍去
∴
∴ ．
故答案为：1．
17．若关于x的一元二次方程 的解为 ，则关于y的一元二次方
程 的解为 ．
【答案】
【分析】本题考查了换元法解一元二次方程，设 ，则原方程可化为 ，
根据关于x的一元二次方程 的解为 ，得到 ，于是得
到结论．
【详解】解：设 ，
则原方程可化为 ，
∵关于x的一元二次方程 的解为 ，
∴ ，
∴ 或 ，
解得 ．
故答案为： ．
18．如图，在 中， 于点H， ， ，且 ，则
.【答案】6
【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，勾股定理，一元二次方程的应用，过点C
作 ，垂足为D，先得到 为等腰直角三角形，设 ，利用勾股定
理得到 ，将 看成一个整体进行求解即可．
【详解】解：如图，过点C作 ，垂足为D，
，
为等腰直角三角形，
设 ，
，
， ，
在 中，
，
，
在 中，
，
，在 中， ，
，
整理得： ，
两边取平方得： ，
，
，
或 ，
当 时，即 ，
此时 ， ， ，
，
（舍去），
，
故答案为：6．
三、解答题
19．解一元二次方程
【答案】 ，
【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解方程的方法是解题关键．
利用因式分解法求解即可．
【详解】
，
∴ ，∴ 或
∴ ， ．
20．解方程：
(1)
(2)
(3)
【答案】(1) ，
(2) ，
(3) ，
【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的解法：直接开平
方法，配方法，公式法，因式分解法等．
（1）利用配方法解一元二次方程即可；
（2）利用公式法解一元二次方程即可．
（3）利用因式分解法解一元二次方程即可．
【详解】（1）
∴
∴ ， ；
（2）∴
∴
∴ ， ；
（3）
∴ 或
∴ ， ．
21．阅读材料：
已知方程 ，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍．
解：设所求方程的根为 ，则 ，所以 ，
把 代入已知方程，得 ，
化简得 ，
所以，所求方程为 ，
这种利用方程根的代换求新方程的方法叫做“换根法”．
利用阅读材料提供的换根法求新方程：
(1)已知方程 ，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数，
则所求方程为__________．(2)已知方程 ，求一个一元二次方程，使它的根分别比已知方程的根大1，则
所求方程为__________．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是明确材料中的换根法，根据实际的问
题进行换根．
（1）根据题意可得，所求方程的根与原方程的根的关系，用所求方程的根的代数式表示原
方程的根，代入原方程即可得所求的方程．
（2）根据题意可得，所求方程的根与原方程的根的关系，用所求方程的根的代数式表示原
方程的根，代入原方程即可得所求的方程．
【详解】（1）设所求方程的根为 ，则 ，所以 ，
把 代入方程 ，得 ，
化简，得 ．
故所求方程为： ．
故答案为： ．
（2）设所求方程的根为 ，则 ，所以 ，
把 代入方程 ，得 ，
化简，得 ．
故所求的方程为： ．
故答案为： ．
22．（1）用配方法解方程：（2）用适当的方法解方程：
【答案】（1） ， （2） ，
【分析】本题考查解一元二次方程，解题的关键是选择适当的方法解一元二次方程．
（1）用配方法解方程即可；
（2）用因式分解法解方程即可．
【详解】解：（1）
，
解得： ， ；
（2）
或 ，
解得： ， ．
23．阅读下面的例题，回答问题：
例：解方程：
令 ，原方程化成
解得 （不合题意，舍去）原方程的解是 ．
请模仿上面的方法解方程：
【答案】
【分析】本题主要考查了换元法解一元二次方程，令 ，则原方程化为
，解方程得到 ，则 ，据此求解即可．
【详解】解：令 ，则原方程化为 ，
∴ ，
解得 或 （不合题意，舍去），
∴ ，
∴ ，
解得 ．
24．阅读下列例题的解答过程：
解方程： ．
解：设 ，则原方程可以化为 ．
∴ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ．
当 时， ，
∴ ；当 时， ，
∴ ．
∴原方程的解为 ， ．
请仿照上面的例题解方程： ．
【答案】 ， ， ，
【分析】本题主要是考查利用换元法解一元二次方程的方法，仿照例题给出的方法进行解
题，熟练掌握解方程的方法是本题解题的基础．利用例题中给很出的方法，利用换元的方
法进行解题，设 ，则原方程化为： ，解方程得： ， ，
将解带入 ，求解方程即可．
【详解】解：设 ，则原方程可以化为 ，
∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ．
解得 ， ．
当 时， ，
∴ ， ；
当 时， ，
∴ ， ．∴原方程的解为 ， ， ， ．
25．按要求解下列方程
(1) （配方法）
(2)
(3)
(4) （公式法）
【答案】(1) ，
(2) ，
(3) ，
(4) ，
【分析】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：
直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是
解题的关键．
（1）利用配方法求解即可；
（2）利用因式分解法求解即可；
（3）利用因式分解法求解即可；
（4）利用公式法求解即可．
【详解】（1）解： ，
，
，即 ，
，
， ．（2）解： ，
，
，
或 ，
， ．
（3）解： ，
，
，
或 ，
， ．
（4）解： ，
，
， ， ，
，
，
， ．
26．阅读下列材料：已知实数m，n满足 ，试求 的
值．
解：设 ，则原方程变为 ，整理得所以 ， ，
所以 ，因为 ，所以 ．
上面这种方法称为“换元法”，把其中某些部分看成一个整体并用新字母代替(即换元)，
则能使复杂的问题简单化．
根据以上阅读材料内容，解决下列问题，并写出解答过程．(1)已知实数x、y，满足 ，求 的值；
(2)已知 的三边为a、b、c(c为斜边)，其中a、b满足 ，求
斜边的长度．
【答案】(1)3
(2)
【分析】本题考查了换元法解一元二次方程，勾股定理，换元的实质是转化，关键是构造
元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中
去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理．
（1）利用换元法解方程即可解决问题；
（2）利用换元法解方程可得 ．
【详解】（1）解：设 ，
则原方程可变为 ，
解得 ，
，
，
；
（2）解：设 ，
则原方程可变为 ，
即 ，
解得 ， ，
，
，
，
即 斜边的长度为 ．
