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第 01 讲 一元二次方程
知识点1：一元二次方程的概念
知识点2：一元二次方程的一般式
知识点3：一元二次方程的解
等号两边都是整式，只含有一个未知数，并 且未知数的最高次数是 2 的方
程，叫做一元二次方程。
注意：一元二次方程成立必须同时满足三个条件：
（1）是整式方程，即等号两边都是整式。方程中如果有分母，且未知数在分母
上，那么这个方程就是分式方程，不是一元二次方程；方程中如果有根号，且
未知数在根号内，那么这个方程也不是一元二次方程（是无理方程）
（2）只含有一个未知数；
（3）未知数项的最高次数是2。
【题型1一元二次方程的概念】
【典例1 】下列方程是一元二次方程的是（ ）
A．2x−3=0 B．x2−6x−3=0
C．x2−3x−4 D．4xy+1=0
【变式1】下列方程是一元二次方程的是（ ）
1
A．x2+ =2 B．x2+xy=3 C．x2+3x=4 D．3(x−2)=5x
x
【变式2】下列方程属于一元二次方程的是（）1
A．2(x−1)=x B．x2−xy−1=0 C．x2−2=3x D． +x=1
x2
【变式3】下列方程是一元二次方程的是（ ）
1
A．x2+1=0 B．x2+ =0
x
C． D．
(x+1) 2=x2 x2+ y+1=0
【题型2 根据一元二次方程的概念求参数】
【典例2】若关于x的方程 是一元二次方程，则m= ．
(m−3)x|m−1|+2x=0
【变式1】方程 是关于 一元二次方程，则 的值为 ．
(a−2)x|a|+2x−7=0 x a
【变式2】若xm+1−2=0是关于x的一元二次方程，则m的值是 ．
【变式3】已知关于x的方程 是一元二次方程，则
(m+1)x|4m)−2+27mx+5=0 m=
．
一元二次方程经过整理都可化成一般形式：ax²+bx+c=0（a≠0），其中ax²
叫作二次项，a是二次项系数；bx叫作一次项，b是一次项系数；c叫作常数
项。
注意：（1）ax²+bx+c=0中的a≠0．因当a=0时，不含有二次项，即不是一元
二次方程
（2）在求各项系数时，应把一元二次方程化成一般形式，在指明一元二次方程
各项系数时不要漏掉前面的性质符号。
【题型3 一元二次方程的一般形式】
【典例3】把一元二次方程(x+1)(1−x)=2x化成一般式为（ ）
A．−x2+1=2x B．−x2+2x+1=0
C．x2+2x+1=0 D．x2+2x−1=0【变式1】将一元二次方程3x2−x=2化成一般形式是（ ）
A．3x2−x+2=0 B．3x2+x−2=0
C．−3x2−x+2=0 D．3x2−x−2=0
【变式2】一元二次方程3x2−4x−6=0的二次项系数、一次项系数、常数项分
别是（ ）
A．3，−6，4 B．3，−4，6 C．3，−6，−4 D．3，−4，−6
【变式3】将一元二次方程 化为 的形式，则 ， ， 的
(x−1) 2+4=0 ax2+bx+c=0 a b c
值分别为（ ）
A．1，−2，5 B．1，−1，4 C．−1，5，2 D．1，2，5
1.能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值称为一元二 次方程的解，解决
此类问题，通常是将方程的根或解反代回去再进行求解.
2.一元二次方程的重要结论：
（1）若a+b+c=0,则一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）必有一根为x=1;若x=1
是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的一个根，则a+b+c=0。
（2）若a-b+c=0,则一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）必有一根为x=-1;若x=11
是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的一个根，则a-b+c=0。
【题型4 已知一元二次方程的解求参数】
【典例4】已知关于x的方程x2+mx−3=0的一个根是1，则m的值为 ．
【变式1】关于x的一元二次方程x2−5x−2k=0的一个根是1，则k的值是
．
1
【变式2】已知关于x的方程 x2−kx+4=0的一个根为x=2，则k= ．
2
【变式3】已知x=2是关于x的方程x2+2a=10的解，则a的值为 ．
【题型5 已知一元二次方程的解整体带入求值】
【典例5】已知a是方程x2+2x=3的一个根，则代数式2a2+4a+2025的值为．
【变式1】m是方程2x2+3x−1=0的根，则式子4m2+6m+2025的值为 ．
【变式2】已知a是方程x2+x−1=0的一个根，则代数式−2a2−2a+2025的值是
．
【变式3】若a是一元二次方程x2+2x−3=0的一个解，则2a2+4a−1的值为
．
一、单选题
1．下列关于x的方程中一定是一元二次方程的是（ ）
1
A． ax2+bx−c=0 B．3x2− −1=0
x
C． D．
x2+2x−3=0 x2−x(x−7)=0
2．关于x的一元二次方程3x2−5x+2=0的二次项系数，一次项系数和常数项分
别为（ ）
A．3,−5,−2 B．3,−5x,2 C．3,5x,−2 D．3,−5,2
3．若关于 的方程 是一元二次方程，则 的取值范围是（ ）
x (k−2)x2+3x−1=0 k
A．k≠0 B．k≠2 C．k>2 D．k>0
4．已知a是方程x2+3x−1=0的一个根，则(a+4)(a−1)的值为（ ）
A．1 B．3 C．−3 D．−5
二、填空题
5．关于x的一元二次方程x2−kx−2=0的一个根为x=1，则k= ．
6．若a是方程x2+x−1=0的根，则代数式2−a2−a的值是 ．
2020n
7．已知n为方程x2−4x+1=0的根，则 = ．
n2+1
8．已知x=3是关于x的方程ax2−bx=6的解，则6a−2b−7的值 ．
三、解答题9．已知一元二次方程(3x−2)(x+1)=8x−3．
(1)将方程化成一般形式；
(2)写出二次项系数、一次项系数和常数项．
