文档内容
第 21 章 一元二次方程 章节整合练习（13 个知识点
+40 题练习）
章节知识清单练习
知识点1．一元二次方程的定义
（1）一元二次方程的定义：
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．
（2）概念解析：
一元二次方程必须同时满足三个条件：
①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数；
②只含有一个未知数；
③未知数的最高次数是2．
（3）判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知
数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”．
知识点2．一元二次方程的一般形式
（1）一般地，任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c＝0
（a≠0）．这种形式叫一元二次方程的一般形式．
其中ax2叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项；c叫做常数项．一次项系数b和
常数项c可取任意实数，二次项系数a是不等于0的实数，这是因为当a＝0时，方程中就
没有二次项了，所以，此方程就不是一元二次方程了．
（2）要确定二次项系数，一次项系数和常数项，必须先把一元二次方程化成一般形式．
知识点3．一元二次方程的解
（1）一元二次方程的解（根）的意义：
能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未
知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．
（2）一元二次方程一定有两个解，但不一定有两个实数解．这 x ，x 是一元二次方程
1 2
ax2+bx+c＝0（a≠0）的两实数根，则下列两等式成立，并可利用这两个等式求解未知量．ax 2+bx +c＝0（a≠0），ax 2+bx +c＝0（a≠0）．
1 1 2 2
知识点4．解一元二次方程-直接开平方法
形如x2＝p或（nx+m）2＝p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次
方程．
如果方程化成x2＝p的形式，那么可得x＝± ；
如果方程能化成（nx+m）2＝p（p≥0）的形式，那么nx+m＝± ．
注意：①等号左边是一个数的平方的形式而等号右边是一个非负数．
②降次的实质是由一个二次方程转化为两个一元一次方程．
③方法是根据平方根的意义开平方．
知识点5．解一元二次方程-配方法
（1）将一元二次方程配成（x+m）2＝n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二
次方程的方法叫配方法．
（2）用配方法解一元二次方程的步骤：
①把原方程化为ax2+bx+c＝0（a≠0）的形式；
②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边；
③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；
④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；
⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负
数，则判定此方程无实数解．
知识点6．解一元二次方程-公式法
（1）把x＝ （b2﹣4ac≥0）叫做一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的求
根公式．
（2）用求根公式解一元二次方程的方法是公式法．
（3）用公式法解一元二次方程的一般步骤为：
①把方程化成一般形式，进而确定a，b，c的值（注意符号）；
②求出b2﹣4ac的值（若b2﹣4ac＜0，方程无实数根）；③在b2﹣4ac≥0的前提下，把a、b、c的值代入公式进行计算求出方程的根．
注意：用公式法解一元二次方程的前提条件有两个：①a≠0；②b2﹣4ac≥0．
知识点7．解一元二次方程-因式分解法
（1）因式分解法解一元二次方程的意义
因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方
程最常用的方法．
因式分解法就是先把方程的右边化为 0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的
形式，那么这两个因式的值就都有可能为 0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也
就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思
想）．
（2）因式分解法解一元二次方程的一般步骤：
①移项，使方程的右边化为零；②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个
因式分别为零，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方
程的解．
知识点8．换元法解一元二次方程
1、解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，
这叫换元法．
换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，
将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，
变得容易处理．
2、我们常用的是整体换元法，是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母
来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现．把一些形式复杂的方程通过换
元的方法变成一元二次方程，从而达到降次的目的．
知识点9．根的判别式
利用一元二次方程根的判别式（△＝b2﹣4ac）判断方程的根的情况．
一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：
①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；
②当△＝0时，方程有两个相等的两个实数根；③当△＜0时，方程无实数根．
上面的结论反过来也成立．
知识点10．根与系数的关系
（1）若二次项系数为1，常用以下关系：x ，x 是方程x2+px+q＝0的两根时，x +x ＝﹣
1 2 1 2
p，x x ＝q，反过来可得p＝﹣（x +x ），q＝x x ，前者是已知系数确定根的相关问题，后
1 2 1 2 1 2
者是已知两根确定方程中未知系数．
（2）若二次项系数不为1，则常用以下关系：x ，x 是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）
1 2
的两根时，x +x ＝ ，x x ＝ ，反过来也成立，即 ＝﹣（x +x ）， ＝x x ．
1 2 1 2 1 2 1 2
（3）常用根与系数的关系解决以下问题：
①不解方程，判断两个数是不是一元二次方程的两个根．②已知方程及方程的一个根，
求另一个根及未知数．③不解方程求关于根的式子的值，如求，x 2+x 2等等．④判断两根
1 2
的符号．⑤求作新方程．⑥由给出的两根满足的条件，确定字母的取值．这类问题比较
综合，解题时除了利用根与系数的关系，同时还要考虑a≠0，△≥0这两个前提条件．
知识点11．由实际问题抽象出一元二次方程
在解决实际问题时，要全面、系统地审清问题的已知和未知，以及它们之间的数量关系，
找出并全面表示问题的相等关系，设出未知数，用方程表示出已知量与未知量之间的等量
关系，即列出一元二次方程．
知识点12．一元二次方程的应用
1、列方程解决实际问题的一般步骤是：审清题意设未知数，列出方程，解所列方程求所列
方程的解，检验和作答．
2、列一元二次方程解应用题中常见问题：
（1）数字问题：个位数为a，十位数是b，则这个两位数表示为10b+a．
（2）增长率问题：增长率＝增长数量/原数量×100%．如：若原数是a，每次增长的百分率
为x，则第一次增长后为a（1+x）；第二次增长后为a（1+x）2，即 原数×（1+增长百分
率）2＝后来数．
（3）形积问题：①利用勾股定理列一元二次方程，求三角形、矩形的边长．②利用三角
形、矩形、菱形、梯形和圆的面积，以及柱体体积公式建立等量关系列一元二次方程．③利用相似三角形的对应比例关系，列比例式，通过两内项之积等于两外项之积，得到一元
二次方程．
（4）运动点问题：物体运动将会沿着一条路线或形成一条痕迹，运行的路线与其他条件会
构成直角三角形，可运用直角三角形的性质列方程求解．
【规律方法】列一元二次方程解应用题的“六字诀”
1．审：理解题意，明确未知量、已知量以及它们之间的数量关系．
2．设：根据题意，可以直接设未知数，也可以间接设未知数．
3．列：根据题中的等量关系，用含所设未知数的代数式表示其他未知量，从而列出方程．
4．解：准确求出方程的解．
5．验：检验所求出的根是否符合所列方程和实际问题．
6．答：写出答案．
知识点13．配方法的应用
1、用配方法解一元二次方程．
配方法的理论依据是公式a2±2ab+b2＝（a±b）2
配方法的关键是：先将一元二次方程的二次项系数化为 1，然后在方程两边同时加上一次
项系数一半的平方．
2、利用配方法求二次三项式是一个完全平方式时所含字母系数的值．
关键是：二次三项式是完全平方式，则常数项是一次项系数一半的平方．
3、配方法的综合应用．
章节题型整合练习
一．一元二次方程的定义
1．（2024春•惠城区校级期末）下列方程中，属于一元二次方程的是
A． B． C． D．
2．（2024•成都模拟）已知 ， 是一元二次方程 的两根，且满足
，则 的值为 ．
3．（2023秋•龙岗区校级月考）已知关于 的方程 ．（1）当 为何值时，该方程是一元二次方程？
（2）当 为何值时，该方程是一元一次方程？
二．一元二次方程的一般形式
4．（2024•汉川市模拟）已知一元二次方程 ，将其化成二次项系数为正数
的一般形式后，它的常数项是 ．
5．（2024•绿园区校级开学）将一元二次方程 化为一般形式为
A． B． C． D．
6．（2023秋•惠来县期中）根据多项式乘法可知 从而我们
可得十字相乘法进行因式分解的公式 ，比如：
，据此回答下列问题：
（1）将二次三项式 分解因式；
（2）解一元二次方程 ；
（3）某数学兴趣小组发现二次项系数不是1的一元二次方程也可以借助此方法解．如：
，方程分解为 ，从而可以快速求出方程的解．请你利用此
方法尝试解方程 ．三．一元二次方程的解
7．（2024春•鞍山期末）自由落体的公式是 为重力加速度， ，若
物体下降高度 为 ，则下落时间 是 ．
8．（2023秋•新化县期末）若一元二次方程 的一个根为 ，则 的值为
A．2 B． C．4 D．
9．（2024•市北区一模）（1）化简： ；
（2）已知关于 的方程 的一个根是 ，求它的另一个根．四．解一元二次方程-直接开平方法
10．（2023秋•蓬江区期末）方程 的解是
A． B． C． D．没有实数根
11．（2024春•凤凰县期末）方程 的解是 ．
12．（2024•柳州一模）解方程： ．
五．解一元二次方程-配方法
13．（2024•兰陵县三模）若一元二次方程 经过配方，变形为 的
形式，则 的值为 ．
14．（2023秋•峨山县期末）用配方法解方程 ，配方后所得的方程是
A． B． C． D．
15．（2024•景德镇二模）王明在学习了用配方法解一元二次方程后，解方程
的过程如下：
解：移项，得 ．第一步二次项系数化为1，得 ．第二步
配方，得 ．第三步
因此 ．第四步
由此得 或 ．第五步
解得 ， ．第六步
（1）王明的解题过程从第 步开始出现了错误；
（2）请利用配方法正确地解方程 ．
六．解一元二次方程-公式法
16．（2024•阜阳模拟）定义新运算 ，如 ，则方程
的解是
A． ， B． ，
C． ， D． ，17．（2024春•宁波期中）若 ，则 的值为 ．
18．（2024•二道区校级开学）解方程：
（1） ；
（2） ．
七．解一元二次方程-因式分解法
19．（2024•鄞州区模拟）方程 的解是
A． ， B． ， C． ， D． ，
20．（2024•亚东县一模）一元二次方程 的根是 ．
21．（2024•河源一模）解方程： ．八．换元法解一元二次方程
22．（2024•旺苍县一模）已知 ，则 ．
23．（2023秋•梁园区校级期中）已知 为实数，且满足 ，则
的值是
A．6 B．30 C．36 D．12
24．（2023秋•市中区期中）阅读下面的材料，回答问题：方程
一个一元四次方程，我们可以将 看成一个整体，设 ，则原方程可化为
①，解①得 ， ．
当 时， ， ， ；
当 时， ， ．
原方程的解为 ， ， ， ．
（1）在由原方程得到方程①的过程中，是利用换元法达到 的目的（填“降次”或
“消元” ，体现了数学的转化思想；
（2）仿照上面的方法，解方程 ．九．根的判别式
25．（2024•伊通县一模）请填写一个常数，使得关于 的方程 有两个不
相等的实数根．
26．（2024•珠晖区一模）一元二次方程 的根的情况是
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
27．（2024•凉州区校级一模）若关于 的方程 没有实数根，求
的取值范围．
一十．根与系数的关系
28．（2024•东港区校级一模）已知关于 的一元二次方程 ，若该方程的两
个实数根分别为 ， ，且 ，则 的值为 ．
29．（2024•沈丘县一模）已知 ， 是一元二次方程 的两个根，则
的值是
A．1 B． C． D．
30．（2023秋•武威期末）已知关于 的一元二次方程 ．（1）若方程有实数根，求实数 的取值范围；
（2）若方程两实数根分别为 ， ，且满足 ，求实数 的值．
一十一．由实际问题抽象出一元二次方程
31．（2023秋•番禺区期末）某种商品原价是120元，经两次降价后的价格是100元，求平
均每次降价的百分率．设平均每次降价的百分率为 ，可列方程为
A． B．
C． D．
32．（2024•重庆模拟）某县开展老旧小区改造，2020年投入此项工程的专项资金为1000
万元，2021、2022年投入资金一共为3440万元．设该县这两年投入老旧小区改造工程专
项资金的年平均增长率为 ，根据题意，可列方程为 ．
33．（2023秋•江门校级月考）此题只需解设、列出方程：
某品牌童装平均每天可售出20件，每件盈利40元，商场决定采取适当的降价措施，增加
盈利，并尽快减少库存．经市场调查发现：
（1）如果每件童装降价1元，平均每天就可多售出2件，要想平均每天销售这种童装盈利1200元，那么每件童装应降价多少元？
（2）如果每件童装降价3元，平均每天就可多售出9件，要想平均每天销售这种童装盈利
1200元，那么每件童装应降价多少元？
34．（2022秋•瑞金市校级月考）（1）如图，利用一面墙（墙的长度不限），用 长的
篱笆，怎样围成一个面积为 的矩形场地？能围成一个面积为 的矩形场地吗？
（2）如图，要设计一个长为 ，宽为 的矩形图案，其中有两横两竖彩条，横竖彩
条的宽度之比为 ，若使所有彩条所占面积是原来矩形图案面积的三分之一，应如何设
计每个彩条的宽度？（只列方程不计算）
一十二．一元二次方程的应用35．（2024•楚雄市三模）某中学教师党小组开展民主生活会，为了更好地改进工作，要求
小组每位组员给同组的其他教师各提一条建议，该党小组一共收到 72条建议，则这组的党
员人数为
A．7 B．8 C．9 D．10
36．（2024•鹿城区校级开学）某商品经过连续两次涨价，销售单价由原来的 100元涨到
144元，则平均每次涨价的百分率为 ．
37．（2023秋•焦作期末）如图，在 中， ， ， ，
动点 从点 出发，沿 方向运动，动点 从点 出发，沿 方向运动，如果点 ，
同时出发， ， 的运动速度均为 ．
（1）那么运动几秒时，它们相距 ？
（2） 的面积能等于60平方厘米吗？为什么？一十三．配方法的应用
38．（2024春•东平县期末）不论 ， 取何实数，代数式 总是
A．非负数 B．正数 C．负数 D．非正数
39．（2024•巴中模拟）若 、 均为实数，则代数式 的最小值是
．
40．（2024•平山县一模）（1）发现比较 与 的大小，填“ ”“ ”或“ ”：
①当 时， ；
②当 时， ；
③当 时， ；
（2）论证无论 取什么值，判断 与 有怎样的大小关系？试说明理由；
（3）拓展：试通过计算比较与的大小．
