文档内容
17.2 勾股定理的逆定理（一）
一、教学目标
1．体会勾股定理的逆定理得出过程，掌握勾股定理的逆定理。
2．探究勾股定理的逆定理的证明方法。
3．理解原命题、逆命题、逆定理的概念及关系。
二、重点、难点
1．重点：掌握勾股定理的逆定理及证明。
2．难点：勾股定理的逆定理的证明。
三、例题的意图分析
例1（补充）使学生了解命题，逆命题，逆定理的概念，及它们之间的关系。
例2（P31探究）通过让学生动手操作，画好图形后剪下放到一起观察能否重
合，激发学生的兴趣和求知欲，锻炼学生的动手操作能力，再通过探究理论证明
方法，使实践上升到理论，提高学生的理性思维。
例3（补充）使学生明确运用勾股定理的逆定理判定一个三角形是否是直角
三角形的一般步骤：①先判断那条边最大。②分别用代数方法计算出a2+b2和c2的
值。③判断a2+b2和c2是否相等，若相等，则是直角三角形；若不相等，则不是直角
三角形。
四、课堂引入
创设情境：⑴怎样判定一个三角形是等腰三角形？
⑵怎样判定一个三角形是直角三角形？和等腰三角形的判定进行对
比，从勾股定理的逆命题进行猜想。
五、例习题分析
例1（补充）说出下列命题的逆命题，这些命题的逆命题成立吗？
⑴同旁内角互补，两条直线平行。
⑵如果两个实数的平方相等，那么两个实数平方相等。
⑶线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等。
⑷直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半。
分析：⑴每个命题都有逆命题，说逆命题时注意将题设和结论调换即可，但
要分清题设和结论，并注意语言的运用。
⑵理顺他们之间的关系，原命题有真有假，逆命题也有真有假，可能都真，也
可能一真一假，还可能都假。
解略。
例2（P74探究）证明：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三
角形是直角三角形。
A A1
分析：⑴注意命题证明的格式，首先要根据题
意画出图形，然后写已知求证。
⑵如何判断一个三角形是直角三角形，现 c
b b
在只知道若有一个角是直角的三角形是直角三
角形，从而将问题转化为如何判断一个角是直 B a C a
B1 C1
角。
⑶利用已知条件作一个直角三角形，再证明和原三角形全等，使问题得以解
决。
⑷先做直角，再截取两直角边相等，利用勾股定理计算斜边A B =c，则通过三
1 1
1边对应相等的两个三角形全等可证。
⑸先让学生动手操作，画好图形后剪下放到一起观察能否重合，激发学生的
兴趣和求知欲，再探究理论证明方法。充分利用这道题锻炼学生的动手操作能力
由实践到理论学生更容易接受。
证明略。
例3（补充）已知：在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，a=n2－1，
b=2n，c=n2＋1（n＞1）
求证：∠C=90°。
分析：⑴运用勾股定理的逆定理判定一个三角形是否是直角三角形的一般步
骤：①先判断那条边最大。②分别用代数方法计算出a2+b2和c2的值。③判断a2+b2
和c2是否相等，若相等，则是直角三角形；若不相等，则不是直角三角形。
⑵要证∠C=90°，只要证△ABC是直角三角形，并且c边最大。根据勾股定理的
逆定理只要证明a2+b2=c2即可。
⑶由于a2+b2= （n2－1）2＋（2n）2=n4＋2n2＋1，c2=（n2＋1）2= n4＋2n2＋1，从而
a2+b2=c2，故命题获证。
六、课堂练习
1．判断题。
⑴在一个三角形中，如果一边上的中线等于这条边的一半，那么这条边所对
的角是直角。
⑵命题：“在一个三角形中，有一个角是30°，那么它所对的边是另一边的一
半。”的逆命题是真命题。
⑶勾股定理的逆定理是：如果两条直角边的平方和等于斜边的平方，那么这
个三角形是直角三角形。
⑷△ABC的三边之比是1：1： ，则△ABC是直角三角形。
2．△ABC中∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，下列命题中的假命题是（ ）
A．如果∠C－∠B=∠A，则△ABC是直角三角形。
B．如果c2= b2—a2，则△ABC是直角三角形，且∠C=90°。
C．如果（c＋a）（c－a）=b2，则△ABC是直角三角形。
D．如果∠A：∠B：∠C=5：2：3，则△ABC是直角三角形。
3．下列四条线段不能组成直角三角形的是（ ）
A．a=8，b=15，c=17
B．a=9，b=12，c=15
C．a= ，b= ，c=
D．a：b：c=2：3：4
4．已知：在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，分别为下列长度，判
断该三角形是否是直角三角形？并指出那一个角是直角？
⑴a= ，b= ，c= ； ⑵a=5，b=7，c=9；
⑶a=2，b= ，c= ； ⑷a=5，b= ，c=1。
七、课后练习，
1．叙述下列命题的逆命题，并判断逆命题是否正确。
⑴如果a3＞0，那么a2＞0；
⑵如果三角形有一个角小于90°，那么这个三角形是锐角三角形；
⑶如果两个三角形全等，那么它们的对应角相等；
⑷关于某条直线对称的两条线段一定相等。
22．填空题。
⑴任何一个命题都有 ，但任何一个定理未必都有 。
⑵“两直线平行，内错角相等。”的逆定理是 。
⑶在△ABC中，若a2=b2－c2，则△ABC是 三角形， 是直角；
若a2＜b2－c2，则∠B是 。
⑷若在△ABC中，a=m2－n2，b=2mn，c= m2＋n2，则△ABC是 三角形。
3．若三角形的三边是 ⑴1、 、2； ⑵ ； ⑶32，42，52 ⑷9，40，41；
⑸（m＋n）2－1，2（m＋n），（m＋n）2＋1；则构成的是直角三角形的有
（ ）
A．2个 B．３个 Ｃ．４个 Ｄ．５个
4．已知：在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，分别为下列长度，
判断该三角形是否是直角三角形？并指出那一个角是直角？
⑴a=9，b=41，c=40； ⑵a=15，b=16，c=6；
⑶a=2，b= ，c=4； ⑷a=5k，b=12k，c=13k（k＞0）。
参考答案： 课堂练习：
1．对，错，错，对； 2．D；
3．D； 4．
⑴是，∠B；⑵不是；⑶是，∠C；⑷是，∠A。 课后练习：
1．⑴如果a2＞0，那么a3
＞0；假命题。
⑵如果三角形是锐角三角形，那么有一个角是锐角；真命题。
⑶如果两个三角形的对应角相等，那么这两个三角形全等；假命题。 ⑷
两条相等的线段一定关于某条直线对称；假命题。
2．⑴逆命题，逆定理；⑵内错角相等，两直线平行；⑶直角，∠B，钝角；⑷
直角。 3．B 4．⑴是，∠B；⑵不是，；⑶是，∠C；
⑷是，∠C。
17．2 勾股定理的逆定理（二）
一、教学目标
1．灵活应用勾股定理及逆定理解决实际问题。
2．进一步加深性质定理与判定定理之间关系的认识。
二、重点、难点
1．重点：灵活应用勾股定理及逆定理解决实际问题。
2．难点：灵活应用勾股定理及逆定理解决实际问题。
三、例题的意图分析
例1（P75例2）让学生养成利用勾股定理的逆定理解决实际问题的意识。
例2（补充）培养学生利用方程思想解决问题，进一步养成利用勾股定理的逆
定理解决实际问题的意识。
四、课堂引入
N
R
S
3
Q
E
P创设情境：在军事和航海上经常要确定方向和位置，从而使用一些数学知识
和数学方法。
五、例习题分析
例1（P33例2）
分析：⑴了解方位角，及方位名词；
⑵依题意画出图形；
⑶依题意可得PR=12×1.5=18，PQ=16×1.5=24， QR=30；
⑷因为 242+182=302，PQ2+PR2=QR2，根据勾股定理 的逆定理，知
∠QPR=90°；
⑸∠PRS=∠QPR-∠QPS=45°。
小结：让学生养成“已知三边求角，利用勾股定理的逆定理”的意识。
例2（补充）一根30米长的细绳折成3段，围成一个三角形，其中一条边的长
度比较短边长7米，比较长边短1米，请你试判断这个三角形的形状。
分析：⑴若判断三角形的形状，先求三角形的三边长；
⑵设未知数列方程，求出三角形的三边长5、12、13；
⑶根据勾股定理的逆定理，由52+122=132，知三角形为直角三角形。
解略。
六、课堂练习
C
1．小强在操场上向东走 80m后，又走了60m，再走
100m回到原地。小强在操场上向东走了 80m后，又走
60m的方向是 。
2．如图，在操场上竖直立着一根长为2米的测影竿，早
B D A
晨测得它的影长为4米，中午测得它的影长为1米，则A、
B、C三点能否构成直角三角形？为什么？
N
3．如图，在我国沿海有一艘不明国籍的轮船进入 C
我国海域，我海军甲、乙两艘巡逻艇立即从相距 13
海里的A、B两个基地前去拦截，六分钟后同时到达
E
C地将其拦截。已知甲巡逻艇每小时航行120海里，
A B
乙巡逻艇每小时航行50海里，航向为北偏西40°，
问：甲巡逻艇的航向？
七、课后练习
1．一根24米绳子，折成三边为三个连续偶数的三角形，则三边长分别为
，此三角形的形状为 。
A
2．一根12米的电线杆AB，用铁丝AC、AD固定，现已
知用去铁丝AC=15米，AD=13米，又测得地面上B、C两
点之间距离是9米，B、D两点之间距离是5米，则电线
杆和地面是否垂直，为什么？
3．如图，小明的爸爸在鱼池边开了一块四边形土地 B C
种了一些蔬菜，爸爸让小明计算一下土地的面积， D
D C
以便计算一下产量。小明找了一卷米尺，测得AB=4
米，BC=3米，CD=13米，DA=12米，又已知∠B=90°。
B
八、参考答案：
课堂练习： A
41．向正南或正北。
2．能，因为BC2=BD2+CD2=20，AC2=AD2+CD2=5，AB2=25，所以BC2+AC2= AB2；
3．由△ABC是直角三角形，可知∠CAB+∠CBA=90°，所以有∠CAB=40°，航向为北
偏东50°。
课后练习：
1．6米，8米，10米，直角三角形；
2．△ABC、△ABD是直角三角形，AB和地面垂直。
3．提示：连结AC。AC2=AB2+BC2=25，AC2+AD2=CD2，因此∠CAB=90°，
S =S +S =36平方米。
四边形 △ADC △ABC
5
