文档内容
第 04 讲 因式分解法（2 个知识点+2 种题型+分层练习）
知识导图
知识清单
知识点1．解一元二次方程-因式分解法
（1）因式分解法解一元二次方程的意义
因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方
程最常用的方法．
因式分解法就是先把方程的右边化为 0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的
形式，那么这两个因式的值就都有可能为 0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也
就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思
想）．
（2）因式分解法解一元二次方程的一般步骤：
①移项，使方程的右边化为零；②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个
因式分别为零，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方
程的解．
知识点2．换元法解一元二次方程
1、解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，
这叫换元法．
换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，
将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，
变得容易处理．
2、我们常用的是整体换元法，是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母
来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现．把一些形式复杂的方程通过换
元的方法变成一元二次方程，从而达到降次的目的．
题型强化题型一．解一元二次方程-因式分解法
1．（2023秋•西华县期末）方程 的解是
A． B． C． ， D． ，
2．（2023秋•彰武县期末）若关于 的一元二次方程 的一个实数根是 ，则
的值为 ．
3．（2023秋•右玉县期末）解下列方程：
（1） ；
（2） ．
题型二．换元法解一元二次方程
4．（2023 秋•中江县月考）已知实数 满足 ，则代数式
的值为
A．7 B． C．7或 D． 或1
5．（2024春•雨花区期末）若实数 、 满足 ，则
．
6．（2023 秋•黔南州期末）阅读材料：解方程 ，我们可以将
视为一个整体，然后设 ，则 ，原方程化为 ．①解得 ，
当 时， ． ． ；
当 时， ， ， ．
原方程的解为 ， ， ， ．
根据上面的解答，解决下面的问题：
（1）填空：在由原方程得到方程①的过程中，利用 换元 法达到了降次的目的，体现
了 的数学思想．
（2）解方程： ．
分层练习
一、单选题
1．已知关于 的一元二次方程 的一个根是0，则另一个根是（ ）
A． B．5 C． D．1
2．方程 的解为（ ）
A． B． 或 C． D． 或
3．一元二次方程 的根是（ ）
A． B．
C． D．
4．如图1，在 中， ， 于点 ，动点 从 点出发，沿
折线 方向运动，运动到点 停止，设点 的运动路程为 ， 的面积为 ，
与 的函数图象如图2，则 的长为（ ）A．6 B．8 C．9 D．10
5．一元二次方程 的解为（ ）
A． ， B． ， C． ，
D． ，
6．关于x的方程 ，则 的值是（ ）
A． B．1 C． 或1 D．3或
7．已知实数x满足 ，则代数式 的值为（ ）
A．7 B． C．7或 D． 或1
8．三角形两边的长是3和4，第三边的长是方程 的根，则该三角形的周长
为（ ）
A．12 B．14 C．12或14 D．24
9．若关于x的一元二次方程 的两个实数根为 和 ，则 的值是
（ ）．
A． B． C． D．
10．已知方程 的解是 ， ，则给出另一个方程
，它的解是（ ）
A． 或3 B．1或3 C． 或 D．1或
二、填空题11．方程 的解是 ．
12．若关于 的方程 有两个不相等的实数根，则 的取值范围是 ．
13．已知等腰三角形的底边长和腰长恰好是方程 的两根，则等腰三角形的周
长为 ．
14．已知三角形的两边长分别是3和4，第三边长是方程 的根，则这个三角
形的周长是
15．如果 ，则 的值是 ．
16．已知 ，则 的值为 ．
17．若关于x的一元二次方程 的解为 ，则关于y的一元二次方
程 的解为 ．
18．如图，在 中， 于点H， ， ，且 ，则
.
三、解答题
19．解一元二次方程20．解方程：
(1)
(2)
(3)
21．阅读材料：
已知方程 ，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍．解：设所求方程的根为 ，则 ，所以 ，
把 代入已知方程，得 ，
化简得 ，
所以，所求方程为 ，
这种利用方程根的代换求新方程的方法叫做“换根法”．
利用阅读材料提供的换根法求新方程：
(1)已知方程 ，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数，
则所求方程为__________．
(2)已知方程 ，求一个一元二次方程，使它的根分别比已知方程的根大1，则
所求方程为__________．
22．（1）用配方法解方程：
（2）用适当的方法解方程：23．阅读下面的例题，回答问题：
例：解方程：
令 ，原方程化成
解得 （不合题意，舍去）
原方程的解是 ．
请模仿上面的方法解方程：
24．阅读下列例题的解答过程：
解方程： ．
解：设 ，则原方程可以化为 ．
∴ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ．
当 时， ，
∴ ；
当 时， ，
∴ ．∴原方程的解为 ， ．
请仿照上面的例题解方程： ．
25．按要求解下列方程
(1) （配方法）
(2)
(3)
(4) （公式法）
26．阅读下列材料：已知实数m，n满足 ，试求 的
值．
解：设 ，则原方程变为 ，整理得所以 ， ，
所以 ，因为 ，所以 ．
上面这种方法称为“换元法”，把其中某些部分看成一个整体并用新字母代替(即换元)，
则能使复杂的问题简单化．
根据以上阅读材料内容，解决下列问题，并写出解答过程．
(1)已知实数x、y，满足 ，求 的值；(2)已知的三边为a、b、c(c为斜边)，其中a、b满足，求斜边的长度．
