文档内容
第 01 讲 一元二次方程（3 个知识点+3 种题型+分层练习）
知识导图
知识清单
知识点1．一元二次方程的定义
（1）一元二次方程的定义：
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．
（2）概念解析：
一元二次方程必须同时满足三个条件：
①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数；
②只含有一个未知数；
③未知数的最高次数是2．
（3）判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的
最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”．
知识点2．一元二次方程的一般形式
（1）一般地，任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c＝0（a≠0）．这种
形式叫一元二次方程的一般形式．
其中ax2叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项；c叫做常数项．一次项系数b和常数项c可取任
意实数，二次项系数a是不等于0的实数，这是因为当a＝0时，方程中就没有二次项了，所以，此方程就
不是一元二次方程了．
（2）要确定二次项系数，一次项系数和常数项，必须先把一元二次方程化成一般形式．
知识点3．一元二次方程的解
（1）一元二次方程的解（根）的意义：
能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．
（2）一元二次方程一定有两个解，但不一定有两个实数解．这 x ，x 是一元二次方程 ax2+bx+c＝0
1 2
（a≠0）的两实数根，则下列两等式成立，并可利用这两个等式求解未知量．
ax 2+bx +c＝0（a≠0），ax 2+bx +c＝0（a≠0）．
1 1 2 2
题型强化
题型一．一元二次方程的定义
1．（2023秋•靖宇县期末）若关于 的方程 是一元二次方程，则 的值是 1 ．
【分析】根据一元二次方程的定义可得 且 ，解得 的值即可．
【解答】解： 关于 的方程 是一元二次方程，
且 ，
解得： ，
故答案为：1．
【点评】本题考查一元二次方程的定义，结合已知条件得出 且 是解题的关键．
2．（2024春•东平县期末）下列方程中，关于 的一元二次方程是
A． B． C． D．
【分析】根据一元二次方程定义进行分析即可．
【解答】解： 、当 时，不是一元二次方程，故此选项不合题意；
、是分式方程，不是一元二次方程，故此选项不合题意；
、 化简后为 ，是一元一次方程，不是一元二次方程，故此选项不合题意；
、是一元二次方程，故此选项符合题意；
故选： ．
【点评】此题主要考查了一元二次方程，关键是掌握判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住 5个方
面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方
程”．3．（2024春•池州校级月考）关于 的方程 ，
（1）当 满足什么条件时，该方程是一元二次方程；
（2）当 满足什么条件时，该方程是一元一次方程．
【分析】利用一元二次方程的定义判断即可．
【解答】解：（1） 关于 的方程 是一元二次方程，
，
，
所以 时关于 的方程 是一元二次方程；
（2）关于 的方程 是一元一次方程，
且 ，
，
时关于 的方程 是一元一次方程．
【点评】此题考查了一元二次方程的定义，一元一次方程的定义，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．
题型二．一元二次方程的一般形式
4．（2024•修水县一模）将一元二次方程 化成一般形式后，若二次项的系数是3，则一次项的
系数是
A． B．2 C． D．4
【分析】先化成一元二次方程的一般形式，再找出一次项系数即可．
【解答】解： ，
，
一次项的系数是 ．
故选： ．【点评】本题考查了一元二次方程的一般形式．掌握一元二次方程的一般形式是 ，其
中 为二次项系数， 为一次项系数， 为常数项是解题关键．
5．（2024春•扶沟县期末）将一元二次方程 化为一般形式是 ．
【分析】先根据多项式乘多项式的运算法则计算，再根据一元二次方程的一般形式解答即可．
【解答】解： ，
则 ，
整理得： ，
故答案为： ．
【点评】本题考查的是一元二次方程的一般形式，任何一个关于 的一元二次方程经过整理，都能化成如
下形式 ．这种形式叫一元二次方程的一般形式．
6．（2021秋•龙岗区校级期末）把下列方程化成一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数以及常数
项．
（1） ；
（2） ．
【分析】各方程整理为一般形式，找出二次项系数，一次项系数，以及常数项即可．
【解答】解：（1）化简后为 ，因此二次项系数为5；一次项系数为1；常数项为 ；
（2）化简后为 ，二次项系数为2；一次项系数为6；常数项为1．
【点评】此题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式是： ， ， 是
常数且 特别要注意 的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中 叫二次项，
叫一次项， 是常数项．其中 ， ， 分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．
题型三．一元二次方程的解7．（2024•东莞市校级一模）若 是一元二次方程 的根，则下列式子成立的是
A． B． C． D．
【分析】将 代人方程后即可得到正确的选项．
【解答】解： 是一元二次方程 的根，
，
故选： ．
【点评】考查了一元二次方程的解的知识，解题的关键是了解方程的解能使得方程左右两边相等，难度不
大．
8．（2024•罗湖区校级模拟）若 是关于 的方程 的一个根，则 的值是
2026 ．
【分析】将 代入一元二次方程得到 ，整体代入求代数式值即可得到答案．
【解答】解： 是关于 的方程 的一个根，
，则 ，
，
故答案为：2026．
【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的
解．利用整体代入的方法计算可简化计算．
9．（2024•南山区校级三模）已知， ．
（1）化简 ；
（2）若 是方程 的一个根，求 的值．
【分析】（1）通分，化成同分母，进行计算即可；（2）把 代入方程，得到 ，整体代入（1）中结果进行求解即可．
【解答】解：（1）
；
（2） 是方程 的一个根，
，
．
【点评】本题考查异分母分式的减法运算，一元二次方程的解，关键是同分的应用．
分层练习
一、单选题
1．（23-24九年级上·河南周口·开学考试）下列方程中，是一元二次方程共有（ ）
① ② ③ ④ ⑤ ．
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】B
【分析】此题考查了一元二次方程的定义，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，
然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．利用一元二次方程的定义判断即可．
【详解】解：① ，是；② ，不是；③ ，不是；④ ，是；⑤
，是，则一元二次方程共有3个．故选：B
2．（22-23九年级上·广东东莞·阶段练习）下列是一元二次方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了一元二次方程定义，根据一元二次方程必须同时满足三个条件：①整式方程，即
等号两边都是整式；②只含有一个未知数；③未知数的最高次数是2，进行分析即可．
【详解】解：A、 中，未知数的次数是1，不符合题意；
B、 是一元二次方程，符合题意；
C、 ，当 时，不是一元二次方程，不符合题意；
D、 中，未知数的次数是3，不符合题意．
故选：B．
3．（22-23九年级上·广东佛山·阶段练习）一元二次方程 的一次项系数是（ ）
A．3 B．8 C． D．
【答案】B
【分析】此题主要考查了一元二次方程的一般式．根据一元二次方程的一般形式是： （ ，
， 是常数且 ），在一般形式中 叫一次项，系数是 ，可直接得到答案．
【详解】解：一元二次方程 ，
∵一次项是 ，
∴一次项系数是8，
故选：B．
4．（23-24九年级上·广西南宁·开学考试）把一元二次方程 化成一般形式，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题考查的是一元二次方程的一般形式，掌握“一元二次方程的一般形式：”是解本题的关键．
先把方程的左边按照平方差公式进行整理，再移项把方程化为 ，从而可得答案．
【详解】解：∵ ，
∴方程的一般形式为： ．
故选：A．
5．（23-24九年级上·四川泸州·期中）若 是关于x的一元二次方程 的一个解，则m的值
为（ ）
A． B． C．2 D．6
【答案】A
【分析】本题考查一元二次方程的解的定义，掌握方程的解就是使等式成立的未知数的值是解题关键．
把 代入一元二次方程 中即可解得 的值．
【详解】解：把 代入一元二次方程 中得： ，
解得： ．
故选：A．
6．（23-24九年级上·湖南株洲·期中）将方程 化为一般形式后，二次项系数、一次项系数、常
数项之和为（ ）
A．0 B．10 C．4 D．
【答案】D
【分析】此题主要考查了一元二次方程的一般形式，关键是掌握任何一个关于 的一元二次方程经过整理，
都能化成如下形式 ．这种形式叫一元二次方程的一般形式．其中 叫做二次项，
叫做二次项系数； 叫做一次项，b一次项系数； 叫做常数项．
根据一元二次方程的定义判断即可．
【详解】解：将方程 化为一般形式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别为1、 、
，
二次项系数、一次项系数、常数项之和为： ．故选：D．
7．（2024·江苏淮安·一模）已知 是一元二次方程 的一个根，则 的值为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了一元二次方程的根，代数式求值，由一元二次方程根的定义可得 ，进
而得 ，再把 代入代数式计算即可求解，掌握一元二次方程根的定义是解题的关键．
【详解】解：∵ 是一元二次方程 的一个根，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故选： ．
8．（2024·山西阳泉·二模）已知关于 的一元二次方程 ，其中一次项系数被墨迹污染了．若
这个方程的一个根为 ，则一次项系数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了一元二次方程的解，一元二次方程的定义．熟练掌握一元二次方程的解，一元二次方
程的定义是解题的关键．
设一元二次方程为 ，将 代入，计算求解，然后作答即可．
【详解】解：设一元二次方程为 ，
将 代入得， ，
解得， ，
∴一次项系数为 ，
故选：C．
9．（2023·河南平顶山·一模）若关于 的一元二次方程 的一个根为 ，则 的值
为（ ）
A． B． C． D． 或【答案】C
【分析】本题考查了一元二次方程的定义和一元二次方程的解，把 代入一元二次方程可得 ，
又根据 可得 ，进而求解，掌握一元二次方程的定义和一元二次方程的解的定义是解题的关
键．
【详解】解：∵关于 的一元二次方程 的一个根为 ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
故选： ．
10．（22-23九年级上·广东佛山·阶段练习）若 是关于x的一元二次方程 的一个根，则
的值为（ ）
A．2018 B．2020 C．2022 D．2024
【答案】B
【分析】本题考查了一元二次方程的解．先根据一元二次方程根的定义得到 ，再把
变形为 ，然后利用整体代入的方法计算即可．
【详解】解：∵ 是关于x的一元二次方程 的一个根，
∴ ，
∴ ．
故选：B．
二、填空题
11．（23-24九年级上·吉林·阶段练习）方程 的一次项系数是 ．
【答案】
【分析】本题考查了一元二次方程中的项，单项式的系数，由方程得方程中一次项为 ，由单项式的系
数即可求解；理解一元二次方程 （ ）中二次项为 、一次项为 、常数项为 是解题
的关键．【详解】解：由题意得
方程 中一次项为 ，
一次项系数是 ，
故答案： ．
12．（23-24九年级上·湖南怀化·期中）一元二次方程 的二次项系数和常数项的和是 .
【答案】
【分析】此题主要考查了一元二次方程的一般形式，根据一般地，任何一个关于x的一元二次方程经过整
理，都能化成如下形式 这种形式叫一元二次方程的一般形式．其中 叫做二次项，a
叫做二次项系数； 叫做一次项；c叫做常数项可得答案．
【详解】解：一元二次方程 的二次项系数和常数项分别为3， ，
即 ，
故答案为：
13．（24-25九年级上·全国·课后作业）若 是关于x的一元二次方程，则
．
【答案】0
【分析】此题考查一元二次方程的定义，熟记定义是解题的关键，只含有一个未知数，并且未知数的最高
次数是2的方程是一元二次方程，根据定义求出m的值即可．
【详解】解：∵ 是关于x的一元二次方程，
∴ 且 ，
解得 ．
故答案为：0．
14．（22-23九年级上·福建莆田·开学考试）若a为方程 的解，则 的值为
【答案】4
【分析】本题考查了一元二次方程的解，熟练掌握一元二次方程的解与一元二次方程的关系是解题的关键．由题意可得 ，再由 ，代入求值即可．
【详解】解： 为方程 的解
．
故答案为：4．
15．（24-25九年级上·全国·课后作业）已知 是一元二次方程 的一个根，则 的值为
．
【答案】8
【分析】本题考查了一元二次方程的解，将 代入一元二次方程 得到关于a的一元一次方程
求解出a的值，再代入 计算即可．
【详解】解：根据题意得： ，即 ，
解得： ，
，
故答案为：8．
16．（2023·湖北孝感·一模）已知一元二次方程 ，将其化成二次项系数为正数的一般形式
后，它的常数项是 ．
【答案】
【分析】本题考查了一元二次方程的一般式，熟练掌握运算的法则是解题的关键．
先把化方程为一般式，从而得到常数项．
【详解】解： ，
去括号，得 ，
合并，得 ，
所以常数项是 ．
故答案为： ．17．（23-24九年级上·新疆伊犁·期中）当 时，关于x的方程 是一元二
次方程；当 时，它是一元一次方程．
【答案】
【分析】
本题考查了一元二次方程和一元一次方程的定义．注意：未知数的最高次数的系数不为 根据一元二次方
程和一元一次方程的定义计算即可．
【详解】解：当关于x的方程 是一元二次方程时， ，则 ．
当关于x的方程 是一元一次方程时， 且 ，则 ．
故答案是： ； ．
18．（23-24九年级上·山西太原·阶段练习）若方程 的根也是方程 的根，则
．
【答案】
【分析】本题主要考查了一元二次方程的解．该题难度比较大，在解题时，采用了“转化法”，即将所求
转化为求 （其中k为常数）的相应的系数间的关系．
设m是方程 的一个根，根据方程解的意义知，m既满足方程 ，也满足方程
，将m代入这两个方程，并整理，得 ．从而可知：方程
的两根也是方程 的根，这两个方程实质上应该是同一个一元二
次方程，然后根据同一个一元二次方程的定义找出相对应的系数间的关系即可．
【详解】解：设m是方程 的一个根，
则 ，所以 ．
由题意，m也是方程 的根，
所以 ，把 代入此式，得 ，
整理得 ．
从而可知：方程 的两根也是方程 的根，
这两个方程实质上应该是同一个一元二次方程，
从而有（ （其中k为常数），
所以 ， ， ，
所以 ， ， ，
因此， ．
故答案为：
三、解答题
19．（23-24八年级下·全国·假期作业）已知关于 的一元二次方程 ．
(1)若 ，求证： 必是该方程的一个根；
(2)当 之间的关系是___________时，方程必有一个根是 ？
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查的是一元二次方程的解的含义，理解解的含义是解本题的关键；
（1）由 ，可得 ，从而可得答案；
（2）由 时，可得 ，从而可得答案．
【详解】（1）解：∵ ，
∴ ，
∴当 时， ，
∴当 时，方程 成立，
∴ 是方程 的一个解，
（2）∵ 时，有 ，∴当 时，方程 必有一个根是 ．
20．（23-24九年级上·湖南益阳·阶段练习）关于 的方程 是一元二次方程，求 的值并
求此方程的解．
【答案】 ；方程无解
【分析】本题考查了一元二次方程的概念，解一元二次方程，解题的关键是不要忽略 的条件．
根据一元二次方程的定义：只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程列出相应
的关系式，求解即可得出 的值，代入求出一元二次方程，解方程即可．
【详解】解：由题意，得
且 ，
解得： ．
∴原一元二次方程为 ，
即 ，
∴ ， ， ，
则 ，
∴原方程无解．
21．（23-24九年级上·甘肃陇南·阶段练习）已知关于x的方程 ．当a为何值时，
方程是一元二次方程．
【答案】
【分析】由一元二次方程的一般式： 中 ，进行求解即可．
【详解】解：要使原方程是一元二次方程，则需满足条件为：
解得： ，
故当 时，方程是一元二次方程．
【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，理解定义中的 是解题的关键．
22．（2022九年级上·全国·专题练习）设a，b，c分别是一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数
项，根据下列条件，写出该一元二次方程．
(1) ，且 ；
(2) ．【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据已知设 ，代入 列出关于k的方程，求出方程的解得到k
的值，确定出a，b及c的值，写出方程即可；
（2）利用非负数之和为0，非负数分别为0求出a，b及c的值，写出方程即可．
【详解】（1）解：（1） ，
设 ，
，
∴ ，
解得： ，
∴ ，
则方程为： ；
（2）解：∵ ，
∴ ，
解得： ，
则方程为 ．
【点睛】此题考查了一元二次方程的一般形式，熟练掌握一元二次方程的一般形式并根据已知求出
的值是解答此题的关键．
23．（2021九年级上·全国·专题练习）将下列方程化为一元二次方程一般形式，并指出二次项系数、一次
项系数和常数项：
(1) ；
(2) ．
【答案】(1)二次项系数为3，一次项系数为 ，常数项为2
(2)二次项系数为 ，一次项系数为1，常数项为【分析】（1）一元二次方程的一般形式是 （a，b，c是常数且 ），a，b，c分别是二
次项系数、一次项系数、常数项，据此解答即可；
（2）一元二次方程的一般形式是 （a，b，c是常数且 ），a，b，c分别是二次项系数、
一次项系数、常数项，据此解答即可．
【详解】（1）解：∵ 化为一般形式为 ，
∴二次项系数为3，一次项系数为 ，常数项为2；
（2）∵ 化为一般形式为 ，
∴二次项系数为 ，一次项系数为1，常数项为 ．
【点睛】本题考查了一元二次方程的一般形式： （a，b，c是常数且 ），其中a，b，c
分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．
24．（22-23九年级上·河南开封·阶段练习）已知关于x的方程 ．
(1)当k取何值时，此方程是一元一次方程？并求出此方程的根；
(2)当k取何值时，此方程是一元二次方程？并写出这个一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项．
【答案】(1) ，
(2) ，二次项系数是 ，一次项系数是 ，常数项是
【分析】（1）根据二次项系数等于零，一次项系数不等于零时是一元一次方程，可得答案；
（2）根据二次项系数不等于零是一元二次方程，可得答案．
【详解】（1）由 是一元一次方程，得
，
解得 ，
原方程变为： ，
∴
解得 ；
（2）由 是一元二次方程，得，
解得 ，
∴ 时， 是一元二次方程，
二次项系数是 ，一次项系数是 ，常数项是 ．
【点睛】本题考查了一元二次方程，二次项系数等于零，一次项系数不等于零是元一次方程得我定义；熟
练掌握定义是解答本题的关键．
25．（23-24九年级上·全国·课后作业）将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系
数、一次项系数和常数项：
(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) ．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
(4)见解析
【分析】（1）根据一元二次方程一般式的定义，以及二次项系数、一次项系数、常数项的定义，即可解
答；
（2）根据一元二次方程一般式的定义，以及二次项系数、一次项系数、常数项的定义，即可解答；
（3）根据一元二次方程一般式的定义，以及二次项系数、一次项系数、常数项的定义，即可解答；
（4）根据一元二次方程一般式的定义，以及二次项系数、一次项系数、常数项的定义，即可解答．
【详解】（1）解：化为一般形式是 ，
二次项系数是4，一次项系数是 ，常数项是3．
（2）解：化为一般形式是 ，
二次项系数是3，一次项系数是0，常数项是 ．（3）解：化为一般形式是 ，
二次项系数是2，一次项系数是10，常数项是 ．
（4）解：化为一般形式是 ，
二次项系数是3，一次项系数是 ，常数项是0．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的相关定义，解题的关键是掌握一元二次方程的一般式为
，a为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项．
26．（2023九年级上·全国·专题练习）已知关于x的方程 ．
(1)m为何值时，此方程是一元一次方程？
(2)m为何值时，此方程是一元二次方程？
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据方程是一元一次方程二次项系数为0列式求解即可得到答案；
（2）根据方程为一元二次方程保证二次项系数不为0列式求解即可得到答案；
【详解】（1）解：∵关于x的方程 是一元一次方程，
∴ ，
解得 ；
（2）解：∵关于x的方程 是一元二次方程，
∴ ，
解得 ；
【点睛】本题考查一元二次方程的定义及一元一次方程的定义，解题的关键是熟练掌握定义列等式或不等
式．
