文档内容
专题21.2 解一元二次方程
（知识梳理+18个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共45题）
知识梳理 技巧点拨......................................................................1
知识点梳理01：直接开平方法解一元二次方程 ..........................................1
知识点梳理02：配方法解一元二次方程.................................................2
知识点梳理03：一元二次方程根的判别式...............................................3
知识点梳理04：公式法解一元二次方程.................................................3
知识点梳理05：因式分解法解一元二次方程.............................................4
优选题型 考点讲练......................................................................4
考点1：解—元二次方程-直接开平方法.................................................4
考点2：解—元二次方程-配方法.......................................................5
考点3：配方法的应用................................................................9
考点4：根据判别式判断一元二次方程根的情况.........................................11
考点5：根据一元二次方程根的情况求参数.............................................12
考点6：公式法解一元二次方程.......................................................13
考点7：因式分解法解一元二次方程...................................................15
考点8：换元法解一元二次方程.......................................................16
考点9：一元二次方程的根与系数的关系...............................................18
中考真题 实战演练.....................................................................20
难度分层 拔尖冲刺.....................................................................21
基础夯实..........................................................................21
培优拔高..........................................................................28
知识点梳理01：直接开平方法解一元二次方程
1. 非负数a的算术平方根为❑√a，平方根为±❑√a．
例如：144的算术平方根为❑√144=12，平方根为±❑√144=±12．
2. 根据平方根的意义直接开平方来解一元二次方程的方法，叫做直接开平方法．例如x2=25，解得x=±5．
一般地，对于方程x2=p．
方程有两个不等的实数根x =❑√p，
p>0 1
x =−❑√p
2
p=0 方程有两个相等的实数根x =x =0
1 2
p<0 方程无实数根
3. 直接降次解一元二次方程的步骤
(1)将方程化为x2=p或(mx+n) 2=p(p≥0,m≠0)的形式；
（2)直接开平方化为两个一元一次方程；
（3)解两个一元一次方程得到原方程的解．
知识点梳理02：配方法解一元二次方程
1. 解一元二次方程时，先把常数项移到右边，再把它的左边配成含有未知数的完全平方式，即将方
程化为(x+a) 2=b的形式，如果右边是一个非负数，那么就可以利用直接开平方的方法求解．这种通
过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法．
2. 配方法解一元二次方程的一般步骤(示例)
一般步骤 方法 实例(9 y2−18 y−4=0)
将常数项移到方程的右边，
一移 移项 含未知数的项移到方程的左 9 y2−18 y=4
边
二化
二次项系数化为 方程左、右两边同时除以二 y2−2y= 4
1 次项系数 9
4
y2−2y+1= +1
9
方程左、右两边同时加上一
三配 配方
次项系数一半的平方
13
即(y−1) 2=
9
利用平方根的意义直接开平 ❑√13
四开 开平方 (y−1)=±
方 3
❑√13
y =1+ ，
1 3
五解 得出两个根 移项，合并同类项
❑√13
y =1−
2 3
归纳：当方程一边配成了关于未知数的完全平方式后，如果另一边是正数，那么这个方程就有两个不相等的实数根；如果另一边是零，那么这个方程就有两个相等的实数根；如果另一边是负数，那么这
个方程就没有实数根．
3. 解题依据：(a±b) 2=a2±2ab+b2，把公式中的a看作未知数x，并用x代替，则
(x±b) 2=x2±2bx+b2．
知识点梳理03：一元二次方程根的判别式
b 2 b2−4ac
1. 对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，通过配方可得(x+ ) = ，则方程根的情况由
2a 4a2
b2−4ac 的符号决定．
一般地，式子b2−4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0根的判别式，通常用希腊字母“∆”表示它，
即∆=b2−4ac．
2. 根的判别式∆的符号与一元二次方程根的情况
（1）∆>0⟺一元二次方程有两个不相等的实数根；
（2）∆=0⟺一元二次方程有两个相等的实数根；
（3）∆<0⟺一元二次方程无实数根．
3. 应用
（1）不解方程判断一元二次方程根的情况；
（2）根据方程根的情况求字母系数的取值范围．
知识点梳理04：公式法解一元二次方程
−b±❑√b2−4ac
1. 当∆≥0时，方程ax2+bx+c=0(a≠0)通过配方，其实数根可写为x= 的形式，这个
2a
式子叫做一元二次方程ax2+bx+c=0的求根公式．将各系数直接代入求根公式，这种解一元二次方程
的方法叫做公式法．
方程有两个不相等的实数根
∆>0 −b±❑√b2−4ac
x=
2a
b
∆=0 方程有两个相等的实数根x =x =−
1 2 2a
∆<0 方程无实数根2. 利用公式法解一元二次方程的一般步骤
（1）把方程化为一般形式，确定 a ， b ， c 的值；
（2）求出∆=b2−4ac的值；
−b±❑√b2−4ac
（3）若∆≥0，则将a，b，c的值代人求根公式x= 求出方程的根，若∆<0，则方程无
2a
实数根．
知识点梳理05：因式分解法解一元二次方程
1. 先因式分解，使一元二次方程化为两个 一次式的乘积等于 0 的形式，再使这两个一次式分别等于
0，从而实现降次，这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法．
2. 适合用因式分解法求解的一元二次方程的形式
3. 利用因式分解法解一元二次方程的一般步骤
一移 使方程的右边为0
二分 将方程的左边因式分解
三化 将方程化为两个一元一次方程
四解 写出方程的两个解考点1：解—元二次方程-直接开平方法
【典例精讲】（24-25九年级上·江苏苏州·阶段练习）方程(x+3) 2=4的根是（ ）
A．x =−1，x =−5 B．x =1，x =−5
1 2 1 2
C．x =x =−1 D．x =−1，x =5
1 2 1 2
【答案】A
【思路引导】本题考查了解一元二次方程，通过直接开平方法解方程即可，掌握一元二次方程解法是解题
的关键．
【规范解答】解：(x+3) 2=4
x+3=±❑√4=±2，
x+3=2 或x+3=−2 ，
∴ x =−1，x =−5，
1 2
故选：A．
【变式训练】（24-25九年级上·云南昆明·期中）解方程：
(1)(x+1) 2−4=0
(2)（配方法）y2−6 y−112=0
【答案】(1)x =−3，x =1
1 2
(2)y =14,y =−8
1 2
【思路引导】本题考查了一元二次方程解法，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．
（1）先移项，进而根据直解开平方法解，即可求解．
（2）根据配方法解一元二次方程，即可求解．
【规范解答】（1）解：(x+1) 2−4=0，
∴(x+1) 2=4，
∴x+1=±2，
解得x =−3，x =1；
1 2
（2）解：y2−6 y−112=0∴y2−6 y=112，
∴y2−6 y+9=112+9，
∴(y−3) 2=121，
∴y−3=±11，
∴y−3=11 或 y−3=−11，
解得：y =14,y =−8．
1 2
考点2：解—元二次方程-配方法
【典例精讲】（24-25九年级下·全国·假期作业）用配方法解下列方程：
(1)x2+6x−11=0；
(2)2x2+6=7x；
(3)x2−10x+25=7；
(4)3x2+8x−3=0；
(5)(x−1)(x−2)=12．
【答案】(1)x =−3+2❑√5，x =−3−2❑√5；
1 2
3
(2)x =2，x = ；
1 2 2
(3)x =5+❑√7，x =5−❑√7；
1 2
1
(4)x = ，x =−3；
1 3 2
(5)x =5，x =−2．
1 2
【思路引导】本题考查了配方法解一元二次方程；掌握配方方法是解题的关键．
（1）移项后配方，再开方即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可；
（2）移项、二次项系数化成1，再配方，开方即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可；
（3）移项后配方，再开方即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可；
（4）移项、二次项系数化成1，再配方，开方即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可；
（5）整理后移项、二次项系数化成1，再配方，开方即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．
【规范解答】（1）解：x2+6x−11=0，
x2+6x=11，
配方得：x2+6x+9=11+9，(x+3) 2=20，
开方得：x+3=±2❑√5，
∴ x =−3+2❑√5，x =−3−2❑√5；
1 2
（2）解：2x2+6=7x，
2x2−7x=−6，
7
x2− x=−3，
2
配方得：x2−
7
x+
(7) 2
=−3+
(7) 2
，
2 4 4
( 7) 2 1
x− = ，
4 16
7 1
开方得：x− =± ，
4 4
3
∴ x =2，x = ；
1 2 2
（3）解：x2−10x+25=7，
x2−10x=−18，
配方得：x2−10x+25=−18+25，
(x−5) 2=7，
开方得：x−5=±❑√7，
∴ x =5+❑√7，x =5−❑√7；
1 2
（4）解：3x2+8x−3=0，
3x2+8x=3，
8
x2+ x=1，
3
配方得：x2+
8
x+
(4) 2
=1+
(4) 2
，
3 3 3
( 4) 2 25
x+ = ，
3 94 5
开方得：x+ =± ，
3 3
1
∴ x = ，x =−3；
1 3 2
（5）解：(x−1)(x−2)=12，
x2−3x=10，
配方得：x2−3x+
(3) 2
=10+
(3) 2
，
2 2
( 3) 2 49
x− = ，
2 4
3 7
开方得：x− =± ，
2 2
∴ x =5，x =−2．
1 2
【变式训练】（24-25九年级下·全国·假期作业）用配方法解下列方程：
(1)2x2−5x−7=0；
(2)❑√3 y2−y−❑√3=0；
(3)(x+1)(x−1)=2x2−4x−6．
7
【答案】(1)x = ，x =−1
1 2 2
❑√3+❑√39 ❑√3−❑√39
(2)y = ，y =
1 6 2 6
(3)x =5，x =−1
1 2
【思路引导】本题考查了用配方法解一元二次方程，掌握配方法的步骤是解题的关键．
（1）方程二次项系数化为1，常数项移到右边，两边加上一次项系数一半的平方，利用完全平方公式变形
后，开方即可求出解．
（2）方程二次项系数化为1，常数项移到右边，两边加上一次项系数一半的平方，利用完全平方公式变形
后，开方即可求出解．
（3）将方程化为一般式，方程二次项系数化为1，常数项移到右边，两边加上一次项系数一半的平方，利
用完全平方公式变形后，开方即可求出解．
5 7
【规范解答】（1）解：方程变形得：x2− x= ，
2 25 25 7 25
配方得：x2− x+ = + ，
2 16 2 16
( 5) 2 81
即 x− = ，
4 16
5 9
开方得：x− =± ，
4 4
7
∴ x = ，x =−1；
1 2 2
1
（2）解：方程变形得：y2− y=1，
❑√3
1 1 13
配方得：y2− y+ = ，
❑√3 12 12
( 1 ) 2 13
即 y− = ，
2❑√3 12
1 √13
开方得：y− =±❑ ，
2❑√3 12
❑√3±❑√39
解得：y= ；
6
❑√3+❑√39 ❑√3−❑√39
∴ y = ，y = ；
1 6 2 6
（3）解：整理得：x2−4x=5，
配方得：x2−4x+4=9，
即(x−2) 2=9，
开方得：x−2=±3，
∴ x =5，x =−1．
1 2
考点3：配方法的应用
【典例精讲】（2025·安徽池州·模拟预测）已知实数a，b满足a+2b=4,a>0，则下列判断正确的是
（ ）
A．a+b>2,a2+5a+2b<4 B．a+b<2,a2+5a+2b<4
C．a+b>2,a2+5a+2b>4 D．a+b<2,a2+5a+2b>4
【答案】C【思路引导】本题考查了不等式的性质及配方法的应用，解决本题的关键是熟练掌握不等式的性质及配方
4−a 4−a 2a+4−a a+4 a+4 4
法的应用，由a+2b=4可得b= ，可得a+b=a+ = = .可得出 > =2， 即
2 2 2 2 2 2
a+b>2对所有a>0成立．将2b=4−a代入a2+5a+2b得：
a2+5a+2b=a2+5a+(4−a)=a2+4a+4=(a+2) 2.可得(a+2) 2>22=4， 再判断即可．
4−a
【规范解答】解：由a+2b=4可得b= ，
2
4−a 2a+4−a a+4
∴ a+b=a+ = = .
2 2 2
∵a>0，
∴a+4>4，
a+4 4
∴ > =2，
2 2
即a+b>2对所有a>0成立．
将2b=4−a代入a2+5a+2b得：
a2+5a+2b=a2+5a+(4−a)=a2+4a+4=(a+2) 2.
∵a>0，
∴a+2>2，
∴(a+2) 2>22=4，
即a2+5a+2b>4对所有a>0成立．
故选：C．
【变式训练】（24-25八年级下·安徽宣城·期中）我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配
方法还有其他重要应用，例如：试求二次三项式x2+4x+5最小值．
解：x2+4x+5=x2+4x+4+1=(x+2) 2+1，
∵(x+2) 2≥0,(x+2) 2+1≥1，
∴x2+4x+5≥1，即x2+4x+5的最小值是1．
试利用“配方法”解决下列问题：
(1)已知代数式−2x2+4x−5，求它的最大值．
(2)比较代数式2x2+3x−5与3x2−x+1的大小，并说明理由．(3)知识迁移：
如图，在Rt△ABC中，∠C=90°,AC=8cm,BC=6cm，点P在AC边上以2cm/s的速度从点A向C移
动，点Q在CB边上以1cm/s的速度从点C向点B移动．若点P,Q同时出发，且当一点移动到终点时，另
一点也随之停止，设四边形APQB的面积为Scm2，运动时间为t秒，求S的最小值．
【答案】(1)−3
(2)3x2−x+1>2x2+3x−5，理由见解析
(3)20
【思路引导】本题考查了配方法的应用，三角形的面积，解题的关键是掌握配方法．
（1）利用“配方法”计算即可；
（2）两式相减，差和0比较，确定大小；
（3）S=大三角形面积减去小三角形面积，再把含有t的式子配方，求最小值．
【规范解答】（1）解：−2x2+4x−5=−2(x2−2x+1−1)−5=−2(x−1) 2−3，
∵−2(x−1) 2≤0，
∴−2(x−1) 2−3≤−3，
∴−2x2+4x−5的最大值为−3；
（2）(3x2−x+1)−(2x2+3x−5)=x2−4x+6=(x−2) 2+2≥0
∵(x−2) 2≥0，
∴(x−2) 2+2≥2，
∴(x−2) 2+2>0
∴ 3x2−x+1>2x2+3x−5；
（3）∵ AC=8cm,BC=6cm，点P在AC边上以2cm/s的速度从点A向C移动，点Q在CB边上以
1cm/s的速度从点C向点B移动∴点P从A点运动到C点所需时间为8÷2=4s，点Q从C点运动到B点所需时间为6÷1=6s，
∴0≤t≤4，
1 1
S=S −S = ×AC×BC− ×PC×QC，
△ABC △PCQ 2 2
1 1
S= ×8×6− (8−2t)t，
2 2
S=t2−4t+24=(t−2) 2+20≥20，
∴S的最小值为20．
考点4：根据判别式判断一元二次方程根的情况
【典例精讲】（24-25九年级上·江西宜春·阶段练习）已知关于x的方程kx2+(1−k)x−1=0，下列说
法中正确的是（ ）
A．当k=0时，方程无实数根 B．当k=−1时，方程有两个不相等的实数根
C．当k=1时，方程有两个相等的实数根 D．当k≠0时，方程有两个实数根
【答案】D
【思路引导】本题考查了根的判别式，当k≠0时，找出b2−4ac=(1+k) 2≥0；当k=0时，找出方程，解
方程发现方程有一个实数根，从而可得出结论．
【规范解答】解：A、当k=0时，原方程为x−1=0，解得x=1，故选项A不符合题意；
B、当k≠0时，b2−4ac=(1+k) 2，
当k=−1时，b2−4ac=(1−1) 2=0，
所以，方程有两个相等的实数根，故选项B不符合题意；
C、当k=1时，b2−4ac=(1+1) 2=4>0，
所以，方程有两个不相等的实数根，故选项C不符合题意；
D、当k≠0时，b2−4ac=(1+k) 2≥0，方程有两个实数根，故选项D正确；
故选：D．
【变式训练】（2025·河南·模拟预测）规定：对于任意实数a，b，c，d，有
[a c)=ab+cd，其中等
b d式右边是通常的加法和乘法运算．如：
[2 −1)=2×3+(−1)×4=2，则关于x的方程
3 4
[ x −k )=k+1的根的情况，下列说法正确的是（
）
x+2k x−1
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．无法判断
【答案】A
【思路引导】本题考查了新定义运算，一元二次方程根的判别式，根据题中定义将方程转化为标准一元二
次方程，计算判别式判断根的情况即可，掌握相关知识是解题的关键．
【规范解答】解：由题意得：x(x+2k)+(−k)(x−1)=x2+2kx−kx+k=x2+kx+k=k+1，
∴x2+kx−1=0
∴Δ=k2−4×1×(−1)=k2+4>0，
∴方程有两个不相等的实数根，
故选：A．
考点5：根据一元二次方程根的情况求参数
【典例精讲】（24-25九年级上·江苏扬州·期末）已知关于x的方程：x2+kx−(k+3)=0．
(1)若该方程有一个根是2，求k的值；
(2)证明：无论k取何值，该方程总有两个不相等的实数根．
【答案】(1)k=−1
(2)见解析
【思路引导】本题考查根的判别式，一元二次方程的解，解题的关键是掌握学会用转化的思想解决问题．
（1）根据方程解的定义，将x=2代入方程x2+kx−(k+3)=0，得到关于k的一元一次方程，解方程求解即
可；
（2）证明Δ=b2−4ac>0即可．
【规范解答】（1）解：∵方程：x2+kx−(k+3)=0的一个根为2，
∴4+2k−k−3=0，
∴k=−1；（2）证明：∵Δ=k2+4(k+3)=k2+4k+12=(k+2) 2+8，
∵(k+2) 2≥0，
∴Δ>0，
∴该方程总有两个不相等的实数根．
【变式训练】（24-25九年级上·江苏盐城·期末）已知：一元二次方程x2+2x+k−1=0
(1)当方程的一个根为1时，求出k的值；
(2)k取什么值时，此方程有两个不相等实数根．
【答案】(1)k=−2
(2)k<2时，此方程有两个不相等的实数根
【思路引导】本题考查了一元二次方程的解，根的判别式；理解方程的解，掌握根的判别式：“当Δ>0时，
方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ<0时，方程有无的实数根．”是
解题的关键．
（1）将x=1代入方程，即可求解；
（2）由根的判别式得Δ −4k+8>0，即可求解；
【规范解答】（1）解：由题意得,1+2+k−1=0
解得：k=−2．
（2）∵a=1，b=2，c=k−1，
∴Δ=22−4(k−1)=−4k+8
∵方程有两个不相等的实数根，
∴−4k+8>0，
∴k<2，
∴k<2时，此方程有两个不相等的实数根
考点6：公式法解一元二次方程
【典例精讲】（24-25八年级下·山东泰安·期中）解下列方程：
(1)x(x−4)=2−8x；
(2)3x2−2x−1=0．
【答案】(1)x =−2+❑√6，x =−2−❑√6
1 2
1
(2)x =1，x =−
1 2 3【思路引导】本题主要考查了解一元二次方程．
（1）先去括号，再把含未知数的项移到方程左边，然后利用配方法解方程即可；
（2）利用公式法解方程即可．
【规范解答】（1）解：x(x−4)=2−8x，
整理后得：x2+4x=2，
配方得：(x+2) 2=6，
开方得：x+2=❑√6或x+2=−❑√6，
所以x =−2+❑√6，x =−2−❑√6；
1 2
（2）解：3x2−2x−1=0，
∵a=3，b=−2，c=−1，
∵Δ=(−2) 2−4×3×(−1)=16>0，
−(−2)±❑√16 2±4
∴x= = ，
2×3 6
1
即x =1，x =− ．
1 2 3
【变式训练】（24-25九年级上·河南鹤壁·阶段练习）已知关于x的一元二次方程 (x−1)(x−4)=p2其
中p为常数．
(1)判断方程实数根的情况，并说明理由；
(2)试写出三个p 的值，使该方程有整数解，并简要说明理由．
【答案】(1)方程有两个不相等的实数根，理由见解析
(2)0，2，❑√10
【思路引导】本题主要考查了解一元二次方程，一元二次方程根与系数的关系等，掌握b2−4ac与一元二
次方程的解的关系是解题的关键．
（1）先求出b2−4ac，再判断即可；
（2）根据求根公式求出方程的解，根据❑√4 p2+9为大于1的奇数，再解答即可．
【规范解答】（1）解：方程有两个不相等的实数根，理由如下：
∵(x−1)(x−4)=p2，
原方程整理，得x2−5x+4−p2=0，∴b2−4ac=(−5) 2−4×(4−p2)=4 p2+9，
∴该方程有两个不相等的实数根；
（2）解：0，2，❑√10，理由如下：
−b±❑√b2−4ac 5±❑√4 p2+9
原方程的解为x= = .
2a 2
∵一元二次方程有整数解，
∴❑√4 p2+9为大于1的奇数，即3或5或7或⋅⋅⋅⋅⋅⋅，
当❑√4 p2+9=3时，p=0；
当❑√4 p2+9=5时，p=2；
当❑√4 p2+9=7时，p=❑√10，
⋅⋅⋅⋅⋅⋅
∴p的值可以为0，2，❑√10，原方程有整数解．
考点7：因式分解法解一元二次方程
【典例精讲】（24-25九年级上·全国·随堂练习）用因式分解法解下列方程：
(1)2(x−1) 2=x−1．
(2)(3x−2) 2=(4−x) 2．
3
【答案】(1)x =1，x =
1 2 2
3
(2)x = ，x =−1
1 2 2
【思路引导】本题考查了提取公因式的方法进行因式分解，熟练掌握是解题的关键．
（1）先移项，提取公因式(x−1)，再计算即可；
（2）先移项，利用平方差公式分解因式，再计算即可．
【规范解答】（1）2(x−1) 2=x−1
解：移项，得2(x−1) 2−(x−1)=0，分解因式，得(x−1)(2x−2−1)=0，
x−1=0或2x−2−1=0，
3
所以x =1，x = ．
1 2 2
（2）(3x−2) 2=(4−x) 2
解：移项，得(3x−2) 2−(4−x) 2=0，
分解因式，得[(3x−2)−(4−x)][(3x−2)+(4−x)]=0，
即(4x−6)(2x+2)=0，
所以4x−6=0或2x+2=0．
3
所以x = ，x =−1．
1 2 2
【变式训练】（24-25九年级上·重庆开州·阶段练习）计算：
(1)解方程：x2−4x−5=0．
( 7 ) a2−6a+9
(2)化简： 1− ÷ ．
a+4 a+4
【答案】(1)x =5,x =−1；
1 2
1
(2)
a−3
【思路引导】此题考查解一元二次方程，分式的混合运算，熟记计算法则是解题的关键：
（1）利用因式分解法解方程；
（2）先计算括号中的异分母分式减法，将除法化为乘法，再计算乘法．
【规范解答】（1）解：x2−4x−5=0
(x−5)(x+1)=0
∴x =5,x =−1；
1 2
( 7 ) a2−6a+9
（2）解： 1− ÷
a+4 a+4
a+4−7 a2−6a+9
= ÷
a+4 a+4
a−3 a+4
= ·
a+4 (a−3) 21
= ．
a−3
考点8：换元法解一元二次方程
【典例精讲】（24-25九年级上·江苏泰州·阶段练习）对于问题：关于x的方程a(x+m) 2+b=0的解是
x =1，x =−2(a、m、b均为常数，a≠0)，求方程a(x+m+2) 2+b=0的解．
1 2
(1)小明的思路如图所示，请你按照他的思路解决这个问题：
小明的思路
第1步 把1，−2代入到第1个方程中求出m的值；
b
第2步 把m的值代入到第1个方程中求出− 的
a
值；
第3步 解第2个方程．
(2)小红仔细观察两个方程，她把第2个方程a(x+m+2) 2+b=0中的“x+2”看作第1个方程中的“x”，
则“x+2”的值为 ，从而更简单地解决了问题．
【答案】(1)x =−1，x =−4
1 2
(2)1或−2
【思路引导】本题考查一元二次方程的解，解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．
1 1 2 b 9
（1）把x =1，x =−2分别代入原方程求得m= ，于是得到原方程为：a(x+ ) +b=0，求得− = ，
1 2 2 2 a 4
1 b 9
将m= 和− = 代入第2个方程得于是得到结论；
2 a 4
（2）把第二个方程中的“x+2”看作第一个方程中的“x”，即可得到答案．
{ a(1+m) 2+b=0① )
【规范解答】（1）解：把x =1，x =−2分别代入原方程得， ，
1 2 a(−2+m) 2+b=0②
①−②得：3a(2m−1)=0，
∵a≠0，
∴2m−1=0，
1
解得：m= ，
2( 1) 2
∴原方程为：a x+ +b=0，
2
b 9
∴− = ，
a 4
1 b 9 ( 5) 2 9
将m= 和− = 代入第2个方程得， x+ = ，
2 a 4 2 4
解得：x =−1，x =−4；
1 2
（2）解：把第二个方程中的“x+2”看作第一个方程中的“x”，
∵x的值为1或−2,
则“x+2”的值为1或−2；
故答案为：1或−2；
【变式训练】（2025九年级上·全国·专题练习）利用换元法解下列方程：
(1)x2=❑√2|x|；
(2)x2−6x−3|x−3|−1=0．
【答案】(1)x =0，x =−❑√2，x =❑√2．
1 2 3
(2)x =8，x =−2
1 2
【思路引导】本题考查的是利用换元法解一元二次方程，掌握解法步骤是关键；
（1）把原方程化为：x2−❑√2|x|=0，设|x|= y，则y2−❑√2y=0．再按照一元二次方程的解法求解即可；
（2）把原方程化为：|x−3| 2 −3|x−3|−10=0，设|x−3|= y，则y2−3 y−10=0，再按照解一元二次方
程的解法求解即可．
【规范解答】（1）解：∵x2=❑√2|x|，
∴x2−❑√2|x|=0，
设|x|= y，则y2−❑√2y=0．
解得：y =0，y =❑√2．
1 2
当y=0时，|x)=0，
∴x=0；当y=❑√2时，
∴x=±❑√2；
∴原方程的解是：x =0，x =−❑√2，x =❑√2．
1 2 3
（2）解：∵x2−6x−3|x−3|−1=0，
∴(x−3) 2−3|x−3|−10=0，
即|x−3| 2 −3|x−3|−10=0．
设|x−3|= y，则y2−3 y−10=0，
解得：y =5，y =−2．
1 2
当y =5时，即|x−3|=5，
1
∴x=8或x=−2．
当y =−2时，即|x−3|=−2，
2
∴方程无解．
∴原方程的解是：x =8，x =−2．
1 2
考点9：一元二次方程的根与系数的关系
【典例精讲】（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）已知关于x的一元二次方程
x2−2(m+1)x+m2+5=0有实数根．
(1)求m的取值范围；
(2)方程的两个实数根x 、x 满足(x −1)(x −1)=3m，求实数m的值．
1 2 1 2
【答案】(1)m≥2
(2)4
【思路引导】（1）根据方程的系数结合根的判别式Δ≥0，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可
得出m的取值范围；
（2）根据方程的系数结合，可得出关于m的方程，解之经检验后即可得出结论．
本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，解题的关键是：找出关于m的方程．
【规范解答】（1）解： ∵关于x的一元二次方程x2−2(m+1)x+m2+5=0有实数根，∴ Δ=[−2(m+1)) 2 −4×1×(m2+5)=4(m+1) 2−4(m2+5)≥0，
解得：m≥2．
（2）解：方程x2−2(m+1)x+m2+5=0的两个实数根x 、x ，
1 2
∴x +x =2(m+1)，x x =m2+5，
1 2 1 2
原式=x x −(x +x )+1=m2+5−2(m+1)+1
1 2 1 2
∴m2+5−2(m+1)+1=3m
∴m2−5m+4=0
∴(m−1)(m−4)=0
∴m =1（与m≥2相矛盾，故舍去），m =4．
1 2
【变式训练】（24-25九年级上·广东惠州·期中）已知关于x的一元二次方程x2−(2k+1)x+k2+2k=0
的两个实数根为x ，x ．
1 2
(1)求k的取值范围．
(2)是否存在实数k，使得x2+x2−x ⋅x ≤0成立？若存在，请求出k值，若不存在，请说明理由．
1 2 1 2
1
【答案】(1)k≤ ；
4
(2)不存在这样的实数k．理由见解析
【思路引导】本题考查了一元二次方程的根的判别式、根与系数的关系等知识点．
（1）根据一元二次方程的根的判别式即可得；
（2）先根据一元二次方程根与系数的关系可得x +x =2k+1，x x =k2+2k，再代入化简可得
1 2 1 2
k2−2k+1=(k−1) 2，据此求解即可得．
【规范解答】（1）解：由题意得：方程的根的判别式Δ=[−(2k+1)) 2 −4(k2+2k)≥0，
1
解得k≤ ；
4
（2）解：不存在，理由如下，由一元二次方程根与系数的关系得：x +x =2k+1，x x =k2+2k，
1 2 1 2
则x2+x2−x x =(x2+2x x +x2)−3x x ，
1 2 1 2 1 1 2 2 1 2
=(x +x ) 2−3x x ，
1 2 1 2
=(2k+1) 2−3(k2+2k)，
=k2−2k+1=(k−1) 2≥0，
∵x2+x2−x ⋅x ≤0，
1 2 1 2
∴(k−1) 2≤0，
∴k=1．
1
∵k=1> （不符题意，舍去），
4
故不存在这样的实数k．
1．（2025·北京·中考真题）若关于x的一元二次方程ax2+2x+1=0有两个相等的实数根，则实数a的
值为（ ）
A．−4 B．−1 C．1 D．4
【答案】C
【思路引导】本题考查根的判别式，根据方程有两个相等的实数根，得到Δ=0，进行求解即可．
【规范解答】解：由题意，得：Δ=22−4a=0，
解得：a=1；
故选C．
2．（2025·四川眉山·中考真题）已知方程x2−2x−5=0的两根分别为x ，x ，则(x +1)(x +1)的值为
1 2 1 2
．
【答案】−2
【思路引导】本题考查根与系数之间的关系，熟练掌握根与系数之间的关系，是解题的关键．根据根与系数之间的关系，得到x +x =2,x x =−5，将代数式用多项式乘以多项式的法则展开后，利用整体代入法
1 2 1 2
进行求解即可．
【规范解答】解：由题意，得：x +x =2,x x =−5，
1 2 1 2
∴(x +1)(x +1)=x x +x +x +1
1 2 1 2 1 2
=−5+2+1
=−2；
故答案为：−2．
3．（2025·江苏苏州·中考真题）已知x ,x 是关于x的一元二次方程x2+2x−m=0的两个实数根，其中
1 2
x =1，则x = ．
1 2
【答案】−3
【思路引导】本题考查根与系数的关系，根据根与系数的关系得到x +x =−2，结合x =1，进行求解即
1 2 1
可，熟练掌握根与系数的关系，是解题的关键．
【规范解答】解：∵x ,x 是关于x的一元二次方程x2+2x−m=0的两个实数根，
1 2
∴x +x =−2，
1 2
∵x =1，
1
∴x =−3；
2
故答案为：−3．
4．（2025·新疆·中考真题）若关于x的一元二次方程x2−2x+a=0无实数根，则实数a的取值范围是
（ ）
A．a<1 B．a>1 C．a≤1 D．a≥1
【答案】B
【思路引导】本题考查了一元二次方程根的判别式．根据一元二次方程根的判别式，当判别式Δ < 0时，
方程无实数根．代入方程系数计算判别式并解不等式即可．
【规范解答】解：∵关于x的一元二次方程x2−2x+a=0无实数根，
∴Δ=(−2) 2−4a=4−4a<0，
解得：a>1，
故选：B．
5．（2025·山东·中考真题）若关于x的一元二次方程x2+4x−m=0有两个不相等的实数根，则实数m
的取值范围是 ．
【答案】m>−4【思路引导】本题考查的是一元二次方程根的判别式，注意记忆判别式大于0时有两个不相等的实数根，
判别式等于0时有两个相等的实数根，判别式小于0时方程无实数根．根据有两个不相等的实数根，直接
得到判别式>0，即可求解本题．
【规范解答】解：∵方程x2+4x−m=0有两个不相等的实数根，
∴Δ=42−4×1×(−m)>0，
解得：m>−4；
故答案为：m>−4．
基础夯实
1．（24-25九年级上·北京·阶段练习）用配方法解一元二次方程x2−8x+10=0配方后得到的方程是
（ ）
A．(x+8) 2=54 B．(x−8) 2=54 C．(x+4) 2=6 D．(x−4) 2=6
【答案】D
【思路引导】本题主要考查一元二次方程的配方法，把常数项移到等式右边后，利用完全平方公式配方得
到结果，即可做出判断．
【规范解答】x2−8x+10=0
移项得：x2−8x=−10，
配方得：x2−8x+16=−10+16，
整理得：(x−4) 2=6，
故选：D．
2．（24-25九年级上·海南·期末）一元二次方程 x2−6x−2=0配方后化为（ ）
A．(x−3) 2=11 B．(x−3) 2=2
C．(x+3) 2=11 D．(x+3) 2=2
【答案】A
【思路引导】本题考查了配方法解一元二次方程，先移项，得x2−6x=2，再配方，即x2−6x+9=11，整理得(x−3) 2=11，即可作答．
【规范解答】解：∵x2−6x−2=0
∴移项，得x2−6x=2，
则配方，得x2−6x+9=2+9=11，
即(x−3) 2=11，
故选：A
3．（24-25九年级上·河南郑州·阶段练习）若关于x的方程x2−x−m=0有两个不相等的实数根，则实
数m的取值范围是（ ）
1 1 1 1
A．m<− B．m≤− C．m>− D．m≥−
4 4 4 4
【答案】C
【思路引导】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与
Δ=b2−4ac有如下关系：①Δ>0，方程有两个不相等的实数根，②Δ=0，方程有两个相等的实数根，③
Δ<0，方程没有实数根，由题意得出Δ=(−1) 2−4×1×(−m)>0，计算即可得出答案．
【规范解答】解：∵关于x的方程x2−x−m=0有两个不相等的实数根，
∴Δ=(−1) 2−4×1×(−m)>0，
1
解得：m>− ，
4
故选：C．
4．（24-25九年级上·吉林长春·期末）关于x的一元二次方程x2−4x−2k=0有两个不相等的实数根，
则k的取值范围为 ．
【答案】k>−2
【思路引导】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式Δ=b2−4ac：当Δ>0，方程有
两个不相等的实数根；当Δ=0，方程有两个相等的实数根；当Δ<0，方程没有实数根．
根据题意得到一元二次方程根的判别式Δ>0，然后解不等式即可．
【规范解答】解：∵一元二次方程两个不相等的实数根，
∴Δ=b2−4ac>0，
∵a=1，b=−4，c=−2k，∴Δ=(−4) 2−4×1×(−2k)>0，
解得k>−2．
故答案为：k>−2．
5．（24-25九年级上·广东惠州·阶段练习）定义新运算“*”：对于实数x和y，有x* y=x2−xy+2，
例如：3*(−2)=32−3×(−2)+2=17，若关于x的方程x*3=m有两个实数根，则m的取值范围是 ．
1
【答案】m≥−
4
【思路引导】本题主要考查一元二次方程根的判别式，理解题中新运算定义是解答的关键．先根据题意得
到方程x2−3x+2−m=0，再根据方程解的情况得到Δ=(−3) 2−4(2−m)=1+4m≥0，进而解不等式求
解即可．
【规范解答】解：由题意，x*3=m可化为x2−3x+2=m，即x2−3x+2−m=0，
∵该方程有两个实数根，
∴Δ=(−3) 2−4(2−m)=1+4m≥0，
1
解得m≥− ，
4
1
故答案为：m≥− ．
4
6．（24-25九年级上·山东枣庄·阶段练习）已知一元二次方程x2+x−2=0的两根分别为x ,x ，则
1 2
1 1
+
的值为 ．
x x
1 2
1
【答案】 /0.5
2
【思路引导】本题考查一元二次方程的根与系数的关系，若一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根分
b c
别为x ,x ，则x +x =− ,x x = ，掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．
1 2 1 2 a 1 2 a
1 1 x +x
先根据根与系数的关系得到x +x =−1,x x =−2，然后把 + 化简为 1 2 然后整体代入即可．
1 2 1 2 x x x x
1 2 1 2
【规范解答】解：∵方程x2+x−2=0的两根分别为x ,x ，
1 2∴x +x =−1,x x =−2，
1 2 1 2
1 1 x +x −1 1
∴ + = 1 2= = ，
x x x x −2 2
1 2 1 2
1
故答案为： ．
2
7．（24-25九年级上·江苏无锡·阶段练习）已知关于x的一元二次方程kx2−6x+1=0．
(1)若方程的其中一个根是1，求k的值及方程的另一个根；
(2)若方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围．
1
【答案】(1)k=5，方程另一个根为
5
(2)k<9且k≠0
【思路引导】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的解，根与系数关系等知识．熟知一元
二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与Δ=b2−4ac有如下关系：当Δ>0时，方程有两个不相等的两个实
数根；当Δ=0时，方程有两个相等的两个实数根；当Δ<0时，方程无实数根是解题的关键．
（1）由于x=1是方程的一个根，直接把它代入方程即可求出k的值，再根据根与系数关系求出方程的另
一个根即可；
（2）根据根的判别式公式，令Δ>0，得到关于k的一元一次不等式，求出k<9，然后根据一元二次方程
的定义得到k≠0，进而可求解．
【规范解答】（1）解：把x=1代入kx2−6x+1=0得：k−6+1=0，
∴k=5；
∴方程为5x2−6x+1=0，
−6
设方程的另一个根为x ，则x +1=− ，
1 1 5
1
∴x = ，
1 5
1
即方程另一个根为 ；
5
（2）解：∵方程有两个不相等的实数根，
∴ Δ=(−6) 2−4k×1>0，
∴k<9，
∵关于x的一元二次方程kx2−6x+1=0，∴k≠0，
∴k的取值范围为k<9且k≠0．
8．（24-25九年级上·内蒙古巴彦淖尔·期末）计算题
(1)2x2−4x−3=0；
(2)4(x−3) 2−x(x−3)=0．
(3)(2y−1) 2=3(1−2y)
❑√10 ❑√10
【答案】(1)x =1+ ，x =1−
1 2 2 2
(2)x =3，x =4
1 2
1
(3)y = ，y =−1
1 2 2
【思路引导】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握直接开平方法，因式分解法，配方法和公式法是解题
的关键．
（1）利用公式法解一元二次方程即可；
（2）利用因式分解法解一元二次方程即可；
（3）利用因式分解法解一元二次方程即可．
【规范解答】（1）解：2x2−4x−3=0
a=2，b=−4，c=−3
Δ=(−4) 2−4×2×(−3)=40
−(−4)±❑√40 4±2❑√10 2±❑√10
∴x= = =
2×2 4 2
❑√10 ❑√10
解得x =1+ ，x =1− ；
1 2 2 2
（2）解：4(x−3) 2−x(x−3)=0
(x−3)(4x−12−x)=0
(x−3)(3x−12)=0
x−3=0或3x−12=0
解得x =3，x =4；
1 2
（3）解：(2y−1) 2=3(1−2y)(2y−1) 2+3(2y−1)=0
(2y−1)(2y−1+3)=0
2y−1=0或2y+2=0
1
∴y = ，y =−1．
1 2 2
9．（24-25九年级上·全国·随堂练习）解下列一元二次方程．
(1)0.3x2+x=0.2（公式法）．
(2)−2x2−3x+3=0（配方法）．
(3)5 y(y−1)=3−3 y．
(4)(x−3)(x+1)=5+2x．
−5+❑√31 −5−❑√31
【答案】(1)x = ，x = ．
1 3 2 3
❑√33−3 −❑√33−3
(2)x = ，x = ．
1 4 2 4
3
(3)y =1，y =− ．
1 2 5
(4)x =2+2❑√3，x =2−2❑√3．
1 2
【思路引导】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的解法：直接开平方法，配方
法，公式法，因式分解法等．
（1）利用公式法解一元二次方程即可；
（2）利用配方法解一元二次方程即可；
（3）利用因式分解法解一元二次方程即可；
（4）利用配方法解一元二次方程即可．
【规范解答】（1）解：0.3x2+x=0.2
原方程可化为3x2+10x−2=0，
a=3，b=10，c=−2，
Δ=b2−4ac=102−4×3×(−2)=124，
−10±❑√124 −5±❑√31
x= = ．
2×3 3
−5+❑√31 −5−❑√31
∴x = ，x = ；
1 3 2 3（2）解：−2x2−3x+3=0
原方程可化为2x2+3x=3，
3 3
二次项系数化为1，得x2+ x= ，
2 2
配方，得x2+
3
x+
(3) 2
=
3
+
(3) 2
，
2 4 2 4
( 3) 2 33
即 x+ = ．
4 16
3 ❑√33
两边开平方，得x+ =± ，
4 4
❑√33−3 −❑√33−3
∴x = ，x = ；
1 4 2 4
（3）解：5 y(y−1)=3−3 y
方程整理，得5 y(y−1)=3(1−y)，
移项，得5 y(y−1)+3(y−1)=0，
∴(y−1)(5 y+3)=0，
∴y−1=0或5 y+3=0．
3
∴y =1，y =− ；
1 2 5
（4）解：(x−3)(x+1)=5+2x
方程整理，得x2−2x−3=5+2x，即x2−4x=8，
配方，得x2−4x+4=8+4，
即(x−2) 2=12，x−2=±2❑√3，
∴x =2+2❑√3，x =2−2❑√3．
1 2
10．（24-25九年级上·江苏扬州·阶段练习）已知关于x的一元二次方程x2−(m+2)x+2m=0．
(1)求证：不论m为何值，该方程总有两个实数根；
(2)若该方程的两个实数根都是正数，求m的取值范围．
【答案】(1)见解析
(2)m>0
【思路引导】本题考查解一元二次方程，根的判别式，熟练掌握公式法解一元二次方程是解题的关键；（1）根据根的判别式即可求出答案；
（2）通过因式分解法求出方程的两根，根据题意列出方程即可求出答案．
【规范解答】（1）证明：∵方程x2−(m+2)x+2m=0，
∴Δ=b2−4ac=[−(m+2)) 2 −4×1×2m=(m−2) 2≥0，
∴无论m为何值，该方程总有两个实数根．
（2）解：∵x2−(m+2)x+2m=0
∴(x−2)(x−m)=0，
∴x−2=0或x−m=0，
∴x =2，x =m，
1 2
∵该方程的两个实数根都是正数，
∴m>0．
培优拔高
11．（24-25九年级上·辽宁锦州·阶段练习）一元二次方程(k−1)x2−3x+1=0有实数根，则k的取值
范围（ ）
5 5 13 13
A．k≥ B．k> 且k≠1 C．k< D．k≤ 且k≠1
4 4 4 4
【答案】D
【思路引导】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，掌握一元二次方程根的判别式与根的情况之间的
关系是解题的关键．先根据该方程有实数根，可知b2−4ac≥0，且k−1≠0，求出解集即可．
【规范解答】解：∵一元二次方程(k−1)x2−3x+1=0有实数根，
∴b2−4ac=(−3) 2−4(k−1）≥0，且k−1≠0，
13
解得k≤ ，且k≠1．
4
故选：D．
12．（24-25九年级上·天津蓟州·阶段练习）方程2x2+3x−2=0的两个根为（ ）
1 1
A．x =−2，x = B．x =2，x =
1 2 2 1 2 21 1
C．x =−2，x =− D．x =2，x =−
1 2 2 1 2 2
【答案】A
【思路引导】本题主要考查了利用公式法解一元二次方程，解题的关键是掌握求根公式．
利用一元二次方程的求根公式进行求解即可．
【规范解答】解：2x2+3x−2=0，a=2,b=3,c=−2，
Δ=b2−4ac=9−4×2×(−2)=25>0，
根据求根公式得，
−b±❑√Δ −3±❑√25 −3±5
x= = = ，
2a 2×2 4
1
∴x =−2，x = ，
1 2 2
故选：A．
−5±❑√52+4×3×1
13．（24-25九年级上·全国·随堂练习）下列一元二次方程的根是x= 的是（ ）
2×3
A．3x2+5x+1=0 B．3x2−5x+1=0 C．3x2−5x−1=0 D．
3x2+5x−1=0
【答案】D
【思路引导】本题主要考查了用公式法解一元二次方程，将求根公式一一代入方程验证即可得出答案．
−5±❑√52−4×3×1
【规范解答】A、3x2+5x+1=0中，x= ，不符合题意；
2×3
−(−5)±❑√(−5) 2−4×3×1 5±❑√52−4×3×1
B、3x2−5x+1=0中，x= = ，不符合题意；
2×3 2×3
−(−5)±❑√(−5) 2−4×3×(−1) 5±❑√52+4×3×1
C、3x2−5x−1=0中，x= = ，不符合题意；
2×3 2×3
−5±❑√52−4×3×(−1) −5±❑√52+4×3×1
D、3x2+5x−1=0中，x= = ，符合题意．
2×3 2×3
故选：D．
14．（24-25九年级上·辽宁锦州·阶段练习）在平面直角坐标系中，A(−1,0)，B(3,0)，P为y轴上一点，
连接PA，PB，当∠APB=135°，则P点坐标为 ．【答案】(0,❑√7−2)或(0,2−❑√7)
【思路引导】本题考查坐标与图形、勾股定理、等腰直角三角形的判定与性质、解一元二次方程，设点P
的坐标为P(0,y)，若点P在y轴的正半轴，画出相应图形，利用勾股定理和等腰直角三角形，结合一元二
次方程的解法求得y值即可；若点P在y轴的负半轴，同理求解即可．
【规范解答】解：设点P的坐标为P(0,y)，
若点P在y轴的正半轴，过BQ⊥AP交AP延长线于Q，如图，则OP= y，
∵A(−1,0)，B(3,0)，
∴OA=1，OB=3，
∴AP=❑√OP2+OA2=❑√y2+1，BP=❑√OP2+OB2=❑√y2+9，
∵∠APB=135°，
∴∠BPQ=45°，OP−1且k≠0
【思路引导】本题主要考查一元二次方程根的判别式，掌握一元二次方程根的判别式与根的情况的关系成
为解题的关键．
直接根据根的判别式列不等式求解即可．
【规范解答】解：∵关于x的一元二次方程kx2−2x−1=0有两个不相等的实数根，
∴Δ=(−2) 2−4×(−1)⋅k>0且k≠0，即4+4k>0，解得：k>−1且k≠0．
故答案为：k>−1且k≠0．
17．（24-25九年级上·辽宁锦州·阶段练习）解下列一元二次方程：
(1)4(x−3) 2=x(3−x)
(2)x(x−4)=1212
【答案】(1)x = ，x =3
1 5 2
(2)x =−2或x =6
1 2
【思路引导】本题主要考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的方法是解题的关键．
（1）先移项，再利用提公因式法把方程左边分解因式，进而解方程即可；
（2）先把原方程化为一般式，再利用十字相乘法把方程左边分解因式，进而解方程即可．
【规范解答】（1）解：∵4(x−3) 2=x(3−x)，
∴4(x−3) 2+x(x−3)=0，
∴[4(x−3)+x)(x−3)=0，
∴4(x−3)+x=0或x−3=0，
12
解得x = ，x =3；
1 5 2
（2）解：∵x(x−4)=12，
∴x2−4x−12=0，
∴(x+2)(x−6)=0，
∴x+2=0或x−6=0，
解得x =−2或x =6．
1 2
18．（24-25九年级上·江苏扬州·阶段练习）我们给出定义：若关于x的一元二次方程
ax2+bx+c=0(a≠0)的两个实数根为x ,x (x ≤x )，分别以x , x 为横坐标和纵坐标得到点M(x , x )，
1 2 1 2 1 2 1 2
则称点M为该一元二次方程的衍生点．
(1)若方程为x2−3x+2=0，该方程的衍生点M为________．
(2)若关于x的一元二次方程x2−(5m+1)x+5m=0的衍生点为M，过点M向x轴和y轴作垂线，两条垂线
与坐标轴恰好围成一个正方形，求m的值．
(3)是否存在b, c，使得不论n(n≠0)为何值，关于x的方程x2+bx+c=0的衍生点M始终在直线
y=nx+2n+1的图象上，若有请求出b,c的值，若没有说明理由．
【答案】(1)(1,2)
1 1
(2)m= 或m=−
5 5
(3)存在，b=1，c=−2【思路引导】本题属于一元二次方程与一次函数综合题，考查了新定义，一元二次方程的解法，一次函数
的图象及性质，解题的关键是理解题意，熟练掌握一次函数的图象及性质，学会用分类讨论的思想解决问
题．
（1）解方程x2−3x+2=0得x =1,x =2，该方程的衍生点M(1,2)．
1 2
（2）解关于x的一元二次方程x2−(5m+1)x+5m=0得x =1,x =5m，则M(1,5m)或M(5m,1)，由过
1 2
点M向x轴和y轴作垂线，两条垂线与坐标轴恰好围成一个正方形，得5m=1或5m=−1，求出m的值即可
解答．
（3）根据直线y=nx+2n+1=n(x+2)+1，可得直线过定点(−2,1)，结合题意可知点M的坐标为(−2,1)，
故方程x2+bx+c=0的两个根为x =−2,x =1，再根据一元二次方程根与系数的关系即可解答．
1 2
【规范解答】（1）解：解方程x2−3x+2=0得x =1,x =2，
1 2
故该方程的衍生点M(1,2)．
故答案为：(1,2)．
（2）解：解关于x的一元二次方程x2−(5m+1)x+5m=0，
得x =1,x =5m，
1 2
则M(1,5m)或M(5m,1)，
由过点M向x轴和y轴作垂线，两条垂线与坐标轴恰好围成一个正方形，
得5m=1或5m=−1，
1 1
解得m= 或m=− ．
5 5
（3）解：直线y=nx+2n+1=n(x+2)+1，
当x=−2时，y=1，
∴直线过定点(−2,1)，
∵关于x的方程x2+bx+c=0的衍生点M始终在直线y=nx+2n+1的图象上，
∴点M的坐标为(−2,1)，
故方程x2+bx+c=0的两个根为x =−2,x =1，
1 2
根据一元二次方程根与系数关系，得−b=x +x =−2+1=−1，c=x x =−2×1=−2，
1 2 1 2
∴b=1，c=−2．
19．（25-26九年级上·全国·课后作业）阅读材料：已知实数m,n满足m2−m−1=0,n2−n−1=0，且
n m
m≠n，求 + 的值．
m n解：由题意知m,n是方程x2−x−1=0的两个不相等的实数根，
n m n2+m2
∴m+n=1,mn=−1,∴ + =
m n mn
(m+n) 2−2mn 1+2
= = =−3
mn −1
根据上述材料解决以下问题：
(1)已知实数m,n满足7m2−7m−1=0，7n2−7n−1=0，且m≠n，求m2n+mn2的值．
2st+7s+2
(2)已知实数s,t分别满足7s2+7s+1=0，t2+7t+7=0，且st≠1．求 的值．
t
1
【答案】(1)−
7
(2)-1
【思路引导】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程的解，解题的关键是掌握根与系数
的关系．
1
（1）由题意得出m,n是方程7x2−7x−1=0的两个不相等的实数根，据此知m+n=1,mn=− ，将其
7
代入计算即可；
(1) 2 1 1
（2）把t2+7t+7=0变形为7⋅ +7⋅ +1=0，据此可得实数s和 可看作方程7x2+7x+1=0的两
t t t
1 s 1
个不相等的实数根，继而知s+ =−1, = ，进一步代入计算可得．
t t 7
【规范解答】（1）解：由题意知m,n是方程7x2−7x−1=0的两个不相等的实数根，
1
∴m+n=1,mn=− ,
7
1 1
∴m2n+mn2=mn(m+n)=− ×1=−
7 7
1
故答案为：− ．
7
（2）解：把t2+7t+7=0两边同时除以t2，得
(1) 2 1
7⋅ +7⋅ +1=0．
t t
又∵7s2+7s+1=0,st≠1，1
∴实数s和 可看作方程7x2+7x+1=0的两个不相等的实数根，
t
1 s 1
∴s+ =−1, =
t t 7
2st+7s+2
∴
t
s 2
=2s+7⋅ +
t t
( 1) s
=2 s+ +7⋅
t t
1
=2×(−1)+7×
7
=−1．
故答案为：−1．
20．（23-24九年级上·山东青岛·阶段练习）如图，在矩形ABCD中，AB=3cm，BC=6cm．点P从
点D出发向点A运动，运动到点A即停止；同时，点Q从点B出发向点C运动，运动到点C即停止，点P、
Q的速度都是1cm/s．连接PQ、AQ、CP．设点P、Q运动的时间为ts．
(1)当t=______时，四边形ABQP是矩形；
(2)当t=______时，四边形AQCP是菱形；
(3)是否存在某一时刻t使得PQ⊥PC，如果存在，请求出t的值，如果不存在，请说明理由；
(4)在运动过程中，沿着AQ把△ABQ翻折，当t为何值时，翻折后点B的对应点B′恰好落在PQ边上．
【答案】(1)3
9
(2)
4
(3)不存在；理由见解析
(4)当t等于1或3时，翻折后点B的对应点B′恰好落在PQ边上
【思路引导】（1）当四边形ABQP是矩形时，BQ=AP，据此求得t的值；
（2）当四边形AQCP是菱形时，AQ=QC，列方程求得运动的时间t；（3）过Q作QM⊥AD，交AD于M，∠QMD=∠QMA=90°，得出四边形ABQM是矩形，列方程得
2t2−6t+9=0，根据根的判别式得出方程无实数根，即可得出结论；
（4）根据折叠的性质得出∠AQB=∠AQB′，AB′=AB=3cm，BQ=B′Q=tcm，
∠AB′Q=∠B=90°，进而在Rt△AB′P中，AB′2+B′P2=PA2，勾股定理建立方程，解方程，即可
求解．
【规范解答】（1）解：由已知可得，BQ=DP=tcm，AP=CQ=(6−t)cm，
在矩形ABCD中，∠B=90°，AD∥BC，AD=BC，
当BQ=AP时，四边形ABQP为矩形，
∴t=6−t，
解得：t=3，
故当t=3时，四边形ABQP为矩形；
（2）解：∵BQ=DP=tcm，AD=BC，
∴AD−DP=BC−BQ，
即AP=CQ，
∵AD∥BC，
∴四边形AQCP为平行四边形，
∴当AQ=CQ时，四边形AQCP为菱形，
根据勾股定理得：AQ2=AB2+BQ2=32+t2，CQ2=(6−t) 2，
∴此时32+t2=(6−t) 2，
9
解得t= ，
4
9
故当t= 时，四边形AQCP为菱形；
4
（3）解：不存在某一时刻t使得PQ⊥PC；理由如下：
过Q作QM⊥AD，交AD于M，如图所示：
则∠QMD=∠QMA=90°，∵∠QMA=∠BAM=∠B=90°，
∴四边形ABQM是矩形，
∴AM=BQ=tcm，QM=AB=3cm，
∴MP=(6−2t)cm，
∴PQ2=PM2+QM2=(6−2t) 2+32，
∵矩形ABCD中∠D=90°，
∴△PDC为直角三角形，
∴PC2=PD2+CD2=t2+32，
∵PQ⊥PC，
∴∠QPC=90°，
∴PQ2+PC2=CQ2，
∴(6−2t) 2+32+t2+32=(6−t) 2，
∴2t2−6t+9=0，
∵Δ=b2−4ac=36−72=−36<0，
∴此方程无实数根，
∴不存在某一时刻t使得PQ⊥PC；
（4）解：如图2，
根据折叠可知：∠AQB=∠AQB′，AB′=AB=3cm，BQ=B′Q=tcm，∠AB′Q=∠B=90°，
在矩形ABCD中，AD∥BC，
∴∠AQB=∠PAQ，
∴∠AQB′=∠PAQ，
∴PA=PQ=(6−t)cm，
∴B′P=6−t−t=(6−2t)cm，
∵∠AB′P=180°−90°=90°，
在Rt△AB′P中，由勾股定理得：AB′2+B′P2=PA2，∴32+(6−2t) 2=(6−t) 2，即：t2−4t+3=0，
解得：t =1，t =3，
1 2
即当t等于1或3时，翻折后点B的对应点B′恰好落在PQ边上．
【考点评析】本题主要考查了菱形的判定和性质、矩形的判定与性质，勾股定理，解一元二次方程．折叠
的性质，解决此题注意结合方程的思想解题．
