文档内容
第 10 讲 二次函数与一元二次方程 （2 个知识点+2 种题型
+分层练习）
知识导图
知识清单
知识点1．抛物线与x轴的交点
求二次函数 y＝ax2+bx+c（a，b，c 是常数，a≠0）与 x 轴的交点坐标，令 y＝0，即
ax2+bx+c＝0，解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标．
（1）二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的交点与一元二次方程ax2+bx+c＝0
根之间的关系．
△＝b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数．
△＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；
△＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；
△＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
（2）二次函数的交点式：y＝a（x﹣x ）（x﹣x ）（a，b，c是常数，a≠0），可直接得到
1 2
抛物线与x轴的交点坐标（x ，0），（x ，0）．
1 2
知识点2．图象法求一元二次方程的近似根
利用二次函数图象求一元二次方程的近似根的步骤是：
（1）作出函数的图象，并由图象确定方程的解的个数；
（2）由图象与y＝h的交点位置确定交点横坐标的范围；
（3）观察图象求得方程的根（由于作图或观察存在误差，由图象求得的根一般是近似的）．
题型强化
题型一．抛物线与x轴的交点1．（2023秋•荔城区校级期末）已知抛物线 与 轴的交点为 和
，点 ， ， ， 是抛物线上不同于 ， 的两个点，记△ 的面积
为 ，△ 的面积为 ，则下列结论正确的是
A．当 时， B．当 时，
C．当 时， D．当 时，
【分析】不妨假设 ，利用图象法一一判断即可．
【解答】解：不妨假设 ．
．如图1中， ， 满足 ，
，
，故 错误．
．当 ， ，满足 ，
则 ，故 错误．
． ，
， 在 轴的上方，且 离 轴的距离比 离 轴的距离大，，故 正确．
．如图2中， ， 满足 ，但是 ，故④错误．
故结论正确的是： ．
同理， 时，结论正确的是： ．
故答案为： ．
【点评】本题考查抛物线与 轴的交点，二次函数图象上的点的特征等知识，解题的关键
是学会利用图象法解决问题，属于中考选择题中的压轴题．
2．（2024•商丘模拟）若函数 的图象与 轴只有一个交点，那么
的值为 0 或 2 或 ．
【分析】当 时，函数为一次函数与 轴有一个交点，当 时，△ 时，抛物线
与 轴只有一个交点．
【解答】解：当 时，函数为 ，其图象与 轴只有一个交点．
当 时，△ ，即 ．
解得： ．
当 ，或 时，函数 的图象与 轴只有一个交点．
故答案为：0或2或 ．
【点评】本题主要考查的是抛物线与 轴的交点问题、一次函数图象上点的坐标特征，分
类讨论是解题的关键．3．（2024•鄄城县一模）如图，已知抛物线 与 轴交于点 和点
，与 轴交于点 ，连接 交抛物线的对称轴于点 ， 是抛物线的顶点．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）直接写出点 和点 的坐标；
（3）若点 在第一象限内的抛物线上，且 ，求 点坐标．
【分析】（1）根据点 、 的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；
（2）代入 求出 值，由此可得出点 的坐标，根据抛物线的解析式，利用二次函数
的性质即可求出顶点 的坐标；
（3）设点 的坐标为 ， ， ，根据三角形的面积公式结合
即可得出关于 的一元一次方程，解之即可得出 值，再代入 值求出 值，取其正值即
可得出结论．
【解答】解：（1）将 、 代入 ，
，解得： ，
抛物线的解析式为 ．
（2）当 时， ，
点 的坐标为 ；
抛物线的解析式为 ，顶点 的坐标为 ．
（3）设点 的坐标为 ， ， ，
， ，
，
，
，
，
解得： （不合题意，舍去）， ，
点 的坐标为 ．
【点评】本题考查了抛物线与 轴的交点、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特
征、待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征以及三角形的面积，解
题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出抛物线解析式；（2）利用二次函
数性质求出顶点 的坐标；（3）根据三角形的面积公式结合 求出点 的纵
坐标．
题型二．图象法求一元二次方程的近似根
4．（2023秋•沭阳县期末）下表示用计算器探索函数 时所得的数值：
0 0.25 0.5 0.75 1
1.31 3
则方程 的一个解 的取值范围为
A． B． C． D．
【分析】根据函数解析式找出对称轴，即可知何时 随 的增大而增大，本题易解．
【解答】解： 二次函数 中 ，抛物线开口方向向上，
对称轴 ，
时 随 的增大而增大，
当 时， ，当 时， ，
方程 的一个正根： ，
故选： ．
【点评】解答此题的关键是求出对称轴，然后由图象解答，锻炼了学生数形结合的思想方
法．
5．（2024•硚口区模拟）抛物线 ， ， 是常数， 经过点
，其中 ．下列结论：① ；②关于 的一元二次方程 一定有
一个根在 到0之间；③当 时， 随 的增大而增大；④分式 的值小于
2．其中正确的结论是 ①②④ （填写序号）．
【分析】将点 坐标代入抛物线解析式可得 根据 即可判断①；根
据根与系数的关系判断②；抛物线对称轴 ，可以确定对称轴位置 ，
即可判断③；将 时， ，即 ，裂项变形 即可判断
④．
【解答】解：①将点 坐标代入抛物线解析式得： ，
，
，故结论①正确；
②令 ，则 ，两根之和， ，两根之积， ，
、 均小于0，当 时， ， ，抛物线开口向下，
抛物线有1个根在 到0之间，即 有1个根在 到0之间，②正确；
③ ， ，
，
，
，
，结论③错误；
④ 当 时， ，即 ，
，
，
，
，
，④正确．
故答案为：①②④．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数性质是解答本题的
关键．
6．（2023秋•林州市期中）已知：由函数 的图象知道，当 时， ，
当 时， ，所以方程 有一个根在 和0之间．
（1）参考上面的方法，求方程 的另一个根在哪两个连续整数之间；
（2）若方程 有一个根在0和1之间，求 的取值范围．
【分析】（1）计算 和 时， 的值，确定其 所在范围是 ；
（2）根据题意得到 ，解得即可．【解答】解：（1）利用函数 的图象可知，
当 时， ，当 时， ，
所以方程的另一个根在2和3之间；
（2）函数 的图象的对称轴为直线 ，
由题意，得 ，
解得 ．
【点评】本题主要考查利用图象法求一元二次方程的近似值、二次函数图象上的点的坐标
等知识的综合应用．
分层练习
一、单选题
1．抛物线y=x2﹣2x+1与y轴的交点坐标为( )
A．(1，0) B．(0，1) C．(0，0) D．(0，2)
【答案】B
【分析】令x=0求得y的值，即为抛物线与y轴交点的纵坐标．
【详解】令x=0，y=0-0+1=1
∴与y轴交点坐标为(0，1)
故选：B
【点睛】本题考查根据抛物线解析式求解与坐标轴交点坐标，注意抛物线y=ax2+bx+c
中，与y轴交点的坐标为(0，c)．
2．将二次函数 的图象向上平移，得到的函数图象与x轴只有一个公共点，
则平移的距离为（ ）
A．1个单位长度 B．2个单位长度 C．3个单位长度 D．4个单位长度
【答案】C
【分析】设将二次函数y=2x2+4x−1的图象向上平移m个单位长度，得平移后的抛物线解析
式为：y=2x2+4x−1+m，然后根据平移后的函数图象与x轴只有一个公共点，可得b2-4ac=0，
解方程即可求得结果．
【详解】解：设将二次函数y=2x2+4x−1的图象向上平移m个单位长度，∴平移后的抛物线解析式为：y=2x2+4x−1+m，
若平移后的函数图象与x轴只有一个公共点，
则b2-4ac=0，
即：42-4×2（-1+m）=0，
解得：m=3．
故选：C．
【点睛】本题主要考查的是二次函数的图象与几何变换和抛物线与x轴交点问题，熟练掌
握二次函数图像平移规律：“上加下减，左加右减”，以及b2-4ac＞0时，抛物线与x轴有
两个交点；b2-4ac=0时，抛物线与x轴有一个交点；b2-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点；
是解题关键．
3．下表是一组二次函数 的自变量 与函数值 的对应值如下图，那么方程
的一个根可能是（ ）
1 1.1 1.2 1.3 1.4
0.04 0.59 1.16
A．0.03 B．1.19 C．1.22 D．1.31
【答案】B
【分析】观察表格，得到函数值0在 与 之间，因此可判断根的取值范围，即可
解答．
【详解】解： 函数值0在 与 之间，
的一个根在1.1与1.2之间，四个选项只有1.19符合．
故选：B．
【点睛】本题考查了根据二次函数确定一元二次方程的根，熟知两者之间的关系是解题的
关键．
4．二次函数 图象如图，下列结论：① ；② ；③
；④ ；⑤ ．其中正确的是（ ）A．②③④⑤ B．①②④ C．②③⑤ D．①②③④⑤
【答案】C
【分析】根据二次函数的图象与性质进行求解即可．
【详解】解：由图可得，抛物线开口向下，与y轴交于正半轴，对称轴为 ，
∴ ， ，
∴ ，即 ，
∴ ，故①错误；
∵ ，
∴ ，故②正确；
由图可得，当 时， ，
把 代入解析式得， ，
∴ ，故③正确；
把 代入解析式得， ，
由图象可得，当 时， ，
∴ ，故④错误；
由图象可得，抛物线与x轴有两个交点，
∴当 时， ，有两个不相等的实数根，
∴ ，故⑤正确；
故选：C．
5．直线 与抛物线 的交点个数是（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．互相重合的两个
【答案】C
【详解】试题分析：根据直线与二次函数交点的求法得出一元二次方程的解，即可得出交点个数，由题意，可得 ，即 ，判别式>0，故有两个交点，
本题选C.
考点：二次函数的交点问题
6．下列关于抛物线 的说法正确的是（ ）
A．抛物线开口向下 B．抛物线经过点
C．抛物线的对称轴是直线 D．抛物线与x轴有两个交点
【答案】D
【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，根据 时，函数开口向上， 时，函
数开口向下，二次函数的对称轴为直线 ，以及二次函数与一元二次方程的关系，
逐个判断即可．
【详解】解：A、∵ ，∴抛物线开口向上，A不正确，不符合题意；
B、当 时， ，∴抛物线不经过点 ，故B不正确，不符合
题意；
C、抛物线的对称轴是直线 ，故C不正确，不符合题意；
D、∵ ，∴抛物线与x轴有两个交点，故D正确，
符合题意；
故选：D．
7．二次函数 的图象与x轴交于 ，则关于x的方程 的
解为（ ）
A．1，3 B．1， C． ，3 D．1，
【答案】D
【分析】把方程 变形为 ，根据一元二次方程
的两根即为二次函数 与x轴交点的横坐标即可．【详解】解：∵ ，
∴ ，
又二次函数 的图象与x轴交于 ，
∴方程 的两根为 ，
即方程 的解为 ，
故选：D
【点睛】本题考查二次函数与一元二次方程的关系，熟练掌握一元二次方程
的两根即为二次函数 与x轴交点的横坐标是解答本题的关
键．
8．在平面直角坐标系中，点 为坐标原点，抛物线 与 轴交于点 ，与 轴
负半轴交于点 ，连接 ．将 向左上方平移，得到 ，且点 ， 落
在抛物线的对称轴上，点 落在抛物线上，则直线 的表达式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查二次函数的图象和与坐标轴的交点坐标、图形的平移和待定系数法求一
次函数表达式等知识点，先求出 、 两点的坐标和对称轴，先确定三角形向左平移了 个
单位长度，求得 的坐标，再确定三角形向上平移 个单位，求得点 的坐标，用待定系
数法即可求解．
【详解】解：当 时， ，解得 ， ，
当 时， ，
， ，
对称轴为直线 ，经过平移， 落在抛物线的对称轴上，点 落在抛物线上，
三角形 向左平移 个单位，即 的横坐标为 ，
当 时， ，
，三角形 向上平移 个单位，
此时 ，
，
设直线 的表达式为 ，
代入 ， ，
可得
解得： ，
故直线 的表达式为 ，
故选：B．
9．已知抛物线y=ax2+bx+c的顶点为(－3，－6)，有以下结论：①当a＞0时，b2＞4ac；②
当a＞0时，ax2+bx+c≥-6；③若点(－2，m) ，(-5,n) 在抛物线上，则m＜n；④若关于 x 的
一元二次方程ax2+bx+c=-4的一根为－5，则另一根为－1．其中正确的是( )
A．①② B．①③ C．②③④ D．①②④
【答案】D
【分析】①利用抛物线与x轴的交点个数可对①进行判断；
②利用抛物线的顶点坐标可对②进行判断；③由顶点坐标得到抛物线的对称轴为直线x＝﹣3，则根据二次函数的增减性可对③进行判
断；
④根据抛物线的对称性：得到抛物线y＝ax2+bx+c上的对称点（﹣1，﹣4），则可对④进行
判断．
【详解】①如图1，当a＞0，顶点为（﹣3，﹣6）时，与x轴有两个交点，所以△＞0，即
b2＞4ac；故①正确；
②如图1，当a＞0时，则y≥﹣6，∴ax2+bx+c≥﹣6；故②正确；
③∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣3，∴点（﹣2，m）与（﹣4，m）是对称点，当a＞0时，
x＜﹣3时，y随x的增大而减小，当a＜0时，x＜﹣3时，y随x的增大而增大，而点（﹣
2，m），（﹣5，n）在抛物线上，所以m与n的大小不能确定；故③错误；
④如图2，若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝﹣4的一根为﹣5，由对称性可得：另一根
为﹣1．所以④正确．
其中正确的是：①②④．
故选D．
【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，抛物线
与x轴的交点，二次函数与不等式的关系．
10．已知抛物线的解析式为 （m为常数），有下列说法：①当
时，点 在抛物线上；②对于任意的实数m， 都是方程
的一个根；③若 ，当 时，y随x的增大而增大；④已知点， ，则当 时，抛物线与线段AB有一个交点．其中正确的个数是
（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【分析】将 ， 代入解析式可判定①，将 代入解析式可得 ，可判断②，
由抛物线解析式可得抛物线开口方向及对称轴，从而判断③，由 的取值范围可判断抛物
线对称轴的位置，从而判断④．
【详解】解：当 时， ，
将 代入 得 得 ，
不在抛物线上，故①错误．
，
当 时， ，
都是方程的根，故②正确．
，
抛物线开口向上，对称轴为直线 ，
当 时， ，
当 时， 随 增大而增大，故③错误．
点 ， 关于直线 对称，
当 时， ，
抛物线对称轴在直线 与点 之间，
抛物线开口向上，顶点坐标为 ，
抛物线与线段 有2个交点，故④错误．
∴正确的有1个，
故选A．【点睛】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二
次函数与方程及不等式的关系．
二、填空题
11．二次函数 的图象与y轴的交点坐标是 ．
【答案】（0，4）
【分析】根据题目中的函数解析式，令 ，求出相应的y的值，即可解答本题．
【详解】解：∵ ，
∴当 时， ，
即二次函数 的图象与y轴的交点坐标为（0， 4），
故答案为：（0， 4）．
【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，找出所
求问题需要的条件，知道抛物线与y轴的交点，横坐标为0．
12．抛物线y x2 3x 10与x轴的交点坐标为 ．
【答案】（2，=0）+和-（ 5，0）．
【分析】抛物线与x轴交- 点的纵坐标为0，代入解析式即可求出横坐标．
【详解】解当y=0时，x2+3x-10=0，
∴x=2或x=-5，
∴与x轴的交点坐标是（2，0）、（-5，0）．
故填空答案：（2，0）和（-5，0）．
【点睛】本题考查了抛物线与坐标轴的交点坐标与解析式的关系，利用解析式中自变量与
函数值分别为0即可求出与坐标轴交点的坐标．
13．已知二次函数 的图象与坐标轴有三个公共点，则k的取值范围是 ．
【答案】 且
【分析】本题考查二次函数与 轴的交点，根据 ，且 解出 的
范围即可求出答案．解题的关键是正确列出 进行计算．【详解】解：由题意可知： 且 ，
解得： 且 ，
故答案为： 且 ．
14．二次函数 的图象如图所示，直接写出不等式 的解集为
．
【答案】
【分析】根据二次函数图像找到x轴上方图像x取值范围即可得到答案．
【详解】解：由二次函数图像可得，
当 时， ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查根据二次函数图像解一元二次不等式，解题的关键是熟练掌握二次函数
与一元二次不等式的关系．
15．设二次函数 （a，b，c是常数，且 ），如表，列出了x与y的部分
对应值：
x … ﹣2 0 2 4 …
y … ﹣1.5 2.5 m ﹣1.5 …
则方程 的解是 ．
【答案】 ，
【分析】利用中对应值可判断点 与点 为二次函数图象上的对称点，从
而得到抛物线的对称轴为直线 ，然后利用抛物线的对称性得到 ，所以方程的解为 ．
【详解】解：由表中对应值得二次函数图象经过点 和 ，
∴点 与点 为二次函数图象上的对称点，
∴抛物线的对称轴为直线 ，
∵点 与 关于直线 对称，
即 时， ，
∴ ，
∴方程 的解为 ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数 （a,b,c是常数，
）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．
16．如图是二次函数 与一次函数 的图象相交于点 、
，试确定能使 成立的 取值范围为 ．
【答案】
【分析】根据图象找到直线在抛物线上方的 的取值范围即可．
【详解】解：由图象可知：当 时，直线在抛物线的上方；
∴使不等式成立的 取值范围为： ；
故答案为： ．
【点睛】本题考查利用函数的思想解决不等式的解集问题．解题的关键是确定两个图象的
位置关系，谁在上方，谁的函数值就大．
17．已知二次函数 的图象如图所示，若方程 有两个不相等的实数根，则 的取值范围是 ．
【答案】
【详解】分析：先移项，整理为一元二次方程，让根的判别式大于0求值即可．
详解：由图象可知：二次函数y=ax2+bx+c的顶点坐标为（1，5），
∴ =5，即b2-4ac=-20a，
∵ax2+bx+c=k有两个不相等的实数根，
∴方程ax2+bx+c-k=0的判别式 ＞0，即b2-4a（c-k）=b2-4ac+4ak=-20a+4ak=-4a（5-k）＞0
∵抛物线开口向下 △
∴a＜0
∴5-k＞0
∴k＜5．
故答案为k＜5．
点睛：本题主要考查了抛物线与x轴的交点问题，以及数形结合法；二次函数中当b2-4ac
＞0时，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有两个交点．
18．如图所示，已知二次函数 的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点
C， ，对称轴是直线 ，则下列结论：① ；② ；③ 是
关于x的一元二次方程 的一个根；④若实数 ，则 ，其中
结论正确的序号是 ．【答案】 /
【分析】①本题③考③查①了二次函数的图象与性质，一元二次方程的根与二次函数的关系等知识．
熟练掌握二次函数的图象与性质，一元二次方程的根与二次函数的关系是解题的关键．
由题意知，当 时， ，可判断①的正误；当 时， ，即 ，
， ，可知 是关于x的一元二次方程 的一个根，可判断
③的正误；将 代入 可得 ，可判断②的正误；当 时，
随 的增大而增大，当 时， ，即 ，整理得，
，可判断④的正误．
【详解】解：由题意知，当 时， ，①正确，故符合要求；
当 时， ，即 ，
∵ ，
∴ ，
∵对称轴是直线 ，
∴ ，
∴ 是关于x的一元二次方程 的一个根，③正确，故符合要求；
将 代入 得， ，整理得， ，
∴ ，②错误，故不符合要求；
∵当 时， 随 的增大而增大，∴当 时， ，
整理得， ，④错误，故不符合要求；
故答案为：①③．
三、解答题
19．已知二次函数 ．
(1)用配方法将二次函数的表达式化为 的形式，并写出顶点坐标；
(2)在平面直角坐标系 中画出这个二次函数的图象；
(3)结合图象直接回答：当 时，则y的取值范围是____________．
【答案】(1) ，顶点坐标为
(2)见解析
(3)
【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握数形结合思想的应用是解题的关键．
（1）利用配方法把二次函数解析式配成顶点式；
（2）利用描点法画出二次函数图象；
（3）利用二次函数的图象求解．
【详解】（1）解： ，
∴抛物线顶点坐标为 ；
（2）解：列表：
x 0 1 2 3 5y 5 2 1 2 5
根据描点法画二次函数图象如下：
；
（3）解：由图象可知：当 时， ．
故答案是： ．
20．已知抛物线 经过点 和点 ．
(1)求抛物线的解析式；
(2)求抛物线与x轴的交点A，B的坐标；
(3)求 的面积．
【答案】(1)
(2)点 ，点
(3)
【分析】本题考查待定系数法求二次函数的解析式，二次函数与图形面积综合．
（1）将点 和点 代入即可求出解析式；（2）令 ，解出的x的值即可得到点A、B的坐标；
（3）根据点坐标求得 ，代入面积公式计算即可．
【详解】（1）解：把点 和点 代入 得
解得 ，
所以抛物线的解析式为： ．
（2）把 代入 ，
得 ，
解得 ，
∵点A在点B的左边，
∴点 ，点 ．
（3）解：连接 ，
由题意得 ，
21．点 在抛物线 上，点 在点 的左侧．(1)求 的值；并在如图中画出函数的图像；
(2)点 是抛物线上点 之间的曲线段上的动点（包括端点），求 的最大值与
最小值的差；
(3)将抛物线 进行平移（点 随之移动），使平移后的抛物线与 轴的交点分别为
，直接写出点 移动的最短距离．
【答案】(1) ； ；作图见解析
(2)
(3)
【分析】（1）根据题意，将点的坐标代入表达式即可得到 的值；并在如图中画出函数
的图像即可；
（2）由（1）中所求得到 ，结合二次函数图像与性质求出 的最大值与最小值，
作差即可得到答案；
（3）根据题意，得到平移过程，从而求出点 移动的最短距离．
【详解】（1）解： 点 在抛物线 上，
，解得 或 ； ，解得 ；
点 在点 的左侧，
， ；
画出函数的图像，如图所示：（2）解： 点 是抛物线上点 之间的曲线段上的动点（包括端点），
，
的对称轴是 ，开口向下，
当 时， 有最大值为1；当 时， 有最小值为 ；
的最大值与最小值的差为 ；
（3）解： 平移后的抛物线与 轴的交点分别为 ，
平移后的函数表达式为 ，
由 平移到 ，只需要向上平移3个单位长度即可，
点 移动的最短距离为 ．
【点睛】本题考查二次函数综合，涉及求抛物线上点的坐标、作抛物线图像、二次函数最
值、二次函数平移等知识，读懂题意，数形结合，熟练掌握二次函数图像与性质是解决问
题的关键．
22．在平面直角坐标系 中，二次函数 的图象与x轴有两
个公共点，k取满足条件的最小整数．
(1)求二次函数的解析式；
(2)当 时，求x的取值范围．
【答案】(1)
(2) 或【分析】本题主要考查了二次函数与一元二次方程之间的关系，二次函数与不等式之间的
关系：
（1）根据题意可得关于x的方程 有两个不相等的实数根，
利用判别式求出 ，再由k取满足条件的最小整数，得到 ，则二次函数解析式为
；
（2）根据（1）所求得到 ，进而得到 ，则 或
，解两个不等式组即可得到答案．
【详解】（1）解：∵二次函数 的图象与x轴有两个公共点，
∴关于x的方程 有两个不相等的实数根，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵k取满足条件的最小整数，
∴ ，
∴二次函数解析式为 ；
（2）解：∵ ，
∴ ，
∴ ，∴ 或 ，
解不等式组 得， ，解不等式组 得， ，
∴ 或 ，
∴ 时，x的取值范围为 或 ．
23．在平面直角坐标系中，若点 的横坐标和纵坐标相等或互为相反数，则称点 为“美
丽点”．例如点 ， ， ，…，都是“美丽点”．
(1)直接写出抛物线 上的“美丽点”为 ．
(2)若二次函数 的图象上无“美丽点”，则 的取值范围为 ．
(3)已知二次函数 的图象上只有三个“美丽点”，其中一个“美
丽点”是 ，当 时，函数 的最小值为 ，最大
值为 ，求 的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）将 和 分别代入 求解即可；
（2）将 和 分别代入 ，再根据二次函数 的图象上无
“美丽点”，可得 ，计算即可；
（3）将 代入 可得 ，再由 的图象
上只有三个“美丽点”，可得对应的一元二次方程必有一个两个相等的实数根，可求得 、
，进而可求 得取值范围．【详解】（1）解：当 时，有 ，
，
或 ，
当 时，有 ，
，
或 ，
“美丽点”为 ，
故答案为： ；
（2）解：当 时，有 ，
的图象上无“美丽点”，
，
，
，
当 时，有 ，
的图象上无“美丽点”，
，
，
，
的取值范围为： ，
故答案为： ；
（3）解： 一个“美丽点”是 ，
，
，的图象上只有三个“美丽点”，
对应的一元二次方程必有一个有两个相等的实数根，
当 时，有 ，
，
化简得： ，
，此方程无解，
当 时，有 ，
，
化简得： ，
，
，
，
原二次函数为 ，
，
，
当 时，二次函数有最大值为 ，
当 时， ，
关于抛物线的对称轴直线 的对称点为 ，
当 时，函数 的最小值为 ，最大值为 ，
的取值范围为： ．
【点睛】本题主要考查了函数的新定义问题以及函数图象上点的坐标特征、二次函数的最值，能正确理解题意是解决本题的关键．
24．已知关于x的方程ax2+（3a+1）x+3＝0．
(1)求证：无论a取任何实数时，该方程总有实数根；
(2)若抛物线y＝ax2+（3a+1）x+3的图象与x轴两个交点的横坐标均为整数，且a为正整数，
求a值以及此时抛物线的顶点H的坐标；
(3)在（2）的条件下，直线y＝﹣x+5与y轴交于点C，与直线OH交于点D．现将抛物线平
移，保持顶点在直线OD上．若平移的抛物线与射线CD（含端点C）只有一个公共点，请
直接写出它的顶点横坐标h的值或取值范围．
【答案】(1)证明过程见详解．
(2)a＝1，(﹣2，﹣1)
(3)h＝ 或﹣ ≤h<2
【分析】（1）分别讨论当a＝0和a≠0的两种情况，分别对一元一次方程和一元二次方程
的根进行判断；
（2）令y＝0，则 ax2+（3a+1）x+3＝0，求出两根，再根据抛物线y＝ax2+（3a+1）x+3的
图象与x轴两个交点的横坐标均为整数，且a为正整数，求出a的值，即可求顶点坐标；
（3）分两种情况讨论，通过特殊位置可求h的范围，由平移的抛物线与直线CD（含端点
C）只有一个公共点，联立方程组可求h的值，即可求解．
【详解】（1）解：当a＝0时，原方程化为x+3＝0，此时方程有实数根 x＝﹣3．
当a≠0时，原方程为一元二次方程．
∵ ＝（3a+1）2﹣12a＝9a2﹣6a+1＝（3a﹣1）2≥0．
∴∆此时方程有两个实数根．
综上，不论a为任何实数时，方程 ax2+（3a+1）x+3＝0总有实数根．
（2）∵令y＝0，则 ax2+（3a+1）x+3＝0．
解得 x＝﹣3，x＝﹣ ．
1 2
∵抛物线y＝ax2+（3a+1）x+3的图象与x轴两个交点的横坐标均为整数，且a为正整数，
∴a＝1．
∴抛物线的解析式为y＝x2+4x+3＝（x+2）2﹣1．
∴顶点H坐标为（﹣2，﹣1）；
（3）∵点O（0，0），点H（﹣2，﹣1）∴直线OH的解析式为：y＝ x，
∵现将抛物线平移，保持顶点在直线OD上．
∴设平移后的抛物线顶点坐标为（h， h），
∴解析式为：y＝（x﹣h）2+ h，
∵直线y＝﹣x+5与y轴交于点C，
∴点C坐标为（0，5）
当抛物线经过点C时，
∴5＝（0﹣h）2+ h，
∴h＝﹣ ，h＝2，
1 2
∴当﹣ ≤h<2时，平移的抛物线与射线CD（含端点C）只有一个公共点；
当平移的抛物线与直线CD（含端点C）只有一个公共点，
联立方程组可得 ，
∴x2+（1﹣2h）x+h2+ h﹣5＝0，
∴ ＝（1﹣2h）2﹣4（h2+ h﹣5）＝0，
∆
∴h＝ ，
∴抛物线y＝（x﹣ ）2+ 与射线CD的唯一交点为（3，2），符合题意；
综上所述：平移的抛物线与射线CD（含端点C）只有一个公共点，顶点横坐标h＝ 或﹣
≤h<2．
【点睛】此题考查了根的判别式、二次函数与x轴的交点问题、二次函数与不等式的关系；
解题的关键是第（3）题要根据CD是射线，分情况讨论．25．如图1，抛物线 ： 的对称轴为直线 ，且经过点 ．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若点 是抛物线对称轴上一点，且 ，求点 的坐标；
(3)如图2．将抛物线 平移，得到抛物线 ，其顶点坐标为 ，点 为直线
上一点，过点 的直线 、 与抛物线只有一个公共点，求证：直线 过定点．
【答案】(1)
(2)点 的坐标为 或
(3)见解析
【分析】（1）由 的对称轴为直线 ，可得 ，根据
经过点 ，得到 ，联立 ，即可求解；
（2）在 中，令 ，求得点 ，点 ，则 ，令 ，
则 ，得到点 ， ， ，由 是抛物线对称
轴上一点，可设点 的坐标为 ，从而得到 ，，根据 ，可得 ，即
，求出 即可求解；
（3）由题意得： ，设过点 的直线的解析式为 ，与抛物线解析式联
立，利用过点 的直线 、 与抛物线只有一个公共点，得到 与 的关系式，则直线
的解析式为 ，直线 的解析式为 ，分别与抛物
线联立，设点 的横坐标为 ，则 是方程 的根，利用根与系
数的关系得到 ， ，则 、 是方程 的两根，即
，整理得： ，于是得到点 、 是抛物线
与直线 的交点，由此即可得证．
【详解】（1）解： 的对称轴为直线 ，
，
将点 代入 中得： ，
联立 ，
解得： ，
抛物线的解析式为 ；
（2）令 ，则 ，解得： ， ，
点 ，点 ，
，
令 ，则 ，
点 ，
，
，
是抛物线对称轴上一点，
设点 的坐标为 ，
则 ， ，
，
在 中， ，
即 ，
解得： 或 ，
点 的坐标为 或 ；
（3）证明： 将抛物线 平移，得到抛物线 ，其顶点坐标为 ，
抛物线 的解析式为： ，
点 为直线 上一点，
设点 ，
设过点 的直线的解析式为 ，，
，
过点P 的直线的解析式为 ，
，
，
即 ，
过点 的直线 、 与抛物线只有一个公共点，
，
，
， ，
则直线 的解析式为 ，
则直线 的解析式为 ，
联立得：
，
设点 的横坐标为 ，则 是方程 的根，
过点 的直线 与抛物线只有一个公共点，
方程 有两个相等的实根，
，
；，
设点 的横坐标为 ，则 是方程 的根，
过点 的直线 与抛物线只有一个公共点，
方程 有两个相等的实根，
，
，
， ，
、 是方程 的两根，
，
，
即：点 、 的坐标满足方程组 ，
点 、 是抛物线 与直线 的交点，
，
直线 过定点 ．
【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，二次函数图像上点的坐标特征，一次函数的性
质，一元二次方程根与系数的关系，抛物线与直线的交点，直角三角形的性质，利用点的
坐标表示出相应线段的长度是解题的关键．
26．在初中阶段的函数学习中，我们经历了列表、描点、连线画函数图象，并结合图象研究函数性质的过程． 以下是我们研究函数 性质及其应用的部分过程，请按要求
完成下列各题．
（1）函数 的自变量 的取值范围是 ，并补全下表：
… －3 －2 0 2 3 5 …
… 2 …
（2）描点、连线，在所给的平面直角坐标系中画出该函数的图象，写出该函数的一条性质．
（3）已知函数 的图象如图所示，结合你所画的函数图象，直接写出关
于 的不等式 的解集．（保留1位小数，误差不超过0.2）
【答案】（1） ；补全的表格见解析；（2）函数图像见解析；图像性质：函数图像不
对称；（3）-2.2≤x≤1.2或1.3≤x≤2.4．
【分析】（1）根据分母不能为0，即可求出x的取值范围；把对应的x值分别代入函数中，求出相应的y值填入表格即可；
（2）根据（1）中表格中的数据，描点连线即可，观察作出的图像，即可得到其性质；
（3）求不等式 的解集，就是求 在 之下
时x的范围，观察图像即可得到答案．
【详解】解：（1）∵ ，
∴ ，
∴函数 的自变量 的取值范围是 ；
当x=-1，0，3，4时，对应的y值分别为： ，0， ， ，
则补全下表：
（2）图像如下：函数的性质：该函数图像不对称；
（3）由图像可知，当 时，即 在 之下，
∴ 的解集为：-2.2≤x≤1.2或1.3≤x≤2.4．
【点睛】本题考查二次函数图像与性质，二次函数与不等式，描点作图，正确作出图形是
解题的关键．
