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专题 06 实际问题与一元二次方程（2 个知识点 9 种
题型 2 个易错点 1 种中考考法）
【目录】
倍速学习五种方法
【方法一】 脉络梳理法
知识点1：列一元二次方程解应用题
知识点2：常见相关问题的数量关系及表示方法
【方法二】 实例探索法
题型1：增长率问题
题型2：面积问题
题型3：数字问题
题型4：利润（利息）问题
题型5：比赛统计问题
题型6：传播问题
题型7：行程问题
题型8：动点问题
题型9：方案设计问题
【方法三】 差异对比法
易错点1：建立方程模型时，分类讨论不全面导致错误
易错点2： 忽略所求方程的根是否符合实际问题的要求
【方法四】 仿真实战法
考法：用一元二次方程解决实际问题
【方法五】 成果评定法
【倍速学习五种方法】【方法一】脉络梳理法
知识点1：列一元二次方程解应用题
1.利用方程解决实际问题的关键是寻找等量关系.
2.解决应用题的一般步骤：
审(审题目，分清已知量、未知量、等量关系等)；
设(设未知数，有时会用未知数表示相关的量)；
列(根据题目中的等量关系，列出方程)；
解(解方程，注意分式方程需检验，将所求量表示清晰)；
验（检验方程的解能否保证实际问题有意义）
答(写出答案，切忌答非所问).
要点诠释： 列方程解实际问题的三个重要环节：
一是整体地、系统地审题；
二是把握问题中的等量关系；
三是正确求解方程并检验解的合理性.
知识点2：常见相关问题的数量关系及表示方法
题型1：增长率问题
列一元二次方程解决增长(降低)率问题时，要理清原来数、后来数、增长率或降低率，以及增长或降低的
次数之间的数量关系.如果列出的方程是一元二次方程，那么应在原数的基础上增长或降低两次.
(1)增长率问题：
平均增长率公式为 (a为原来数，x为平均增长率，n为增长次数，b为增长后的量.)
(2)降低率问题：
平均降低率公式为 (a为原来数，x为平均降低率，n为降低次数，b为降低后的量.)
题型2：面积问题
此类问题属于几何图形的应用问题，解决问题的关键是将不规则图形分割或组合成规则图形，根据图形
的面积或体积公式，找出未知量与已知量的内在关系并列出方程.
题型3：数字问题
(1)任何一个多位数都是由数位和数位上的数组成.数位从右至左依次分别是：个位、十位、百位、千位……，它们数位上的单位从右至左依次分别为：1、10、100、1000、……，数位上的数字只能是0、1、
2、……、9之中的数，而最高位上的数不能为0.因此，任何一个多位数，都可用其各数位上的数字与其数
位上的单位的积的和来表示，这也就是用多项式的形式表示了一个多位数.如：一个三位数，个位上数为
a，十位上数为b，百位上数为c，则这个三位数可表示为：100c+10b+a.
(2)几个连续整数中，相邻两个整数相差1.
如：三个连续整数，设中间一个数为x，则另两个数分别为x-1，x+1.
几个连续偶数(或奇数)中，相邻两个偶数(或奇数)相差2.
如：三个连续偶数(奇数)，设中间一个数为x，则另两个数分别为x-2，x+2.
题型4：利润（利息）问题
利息问题
(1)概念：
本金：顾客存入银行的钱叫本金.
利息：银行付给顾客的酬金叫利息.
本息和：本金和利息的和叫本息和.
期数：存入银行的时间叫期数.
利率：每个期数内的利息与本金的比叫利率.
(2)公式:
利息=本金×利率×期数
利息税=利息×税率
本金×(1+利率×期数)=本息和
本金×[1+利率×期数×(1-税率)]=本息和(收利息税时)
利润(销售)问题
利润(销售)问题中常用的等量关系：
利润=售价-进价(成本)
总利润=每件的利润×总件数题型5：比赛统计问题
比赛问题：解决此类问题的关键是分清单循环和双循环 ．
题型6：传播问题
传播问题：
a(1x)n A
，a表示传染前的人数，x表示每轮每人传染的人数，n表示传染的轮数或天数，A表示最终的
人数．
【方法二】实例探索法
题型1：增长率问题
例1.随着国家“惠民政策”的陆续出台，为了切实让老百姓得到实惠，国家卫计委通过严打药品销售环节
中的不正当行为，某种药品原价200元/瓶，经过连续两次降价后，现在仅卖98元/瓶，现假定两次降价的
百分率相同，求该种药品平均每场降价的百分率．
【思路点拨】 设该种药品平均每场降价的百分率是x，则两个次降价以后的价格是200（1﹣x）2，据此列
出方程求解即可．
【答案与解析】
解：设该种药品平均每场降价的百分率是x，
由题意得：200（1﹣x）2=98
解得：x =1.7（不合题意舍去），x =0.3=30%．
1 2
答：该种药品平均每场降价的百分率是30%．
【总结升华】此题考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找
出合适的等量关系，列出方程，再求解．判断所求的解是否符合题意，舍去不合题意的解．
【变式】某工厂今年1月份产品数是50万件，要求3月份达到60.5万件，求这个工厂2月份和3月份的月
平均增长率.
解答方法：通过3个月中的产量进行计算，通过一元二次方程求出平均增长率。
解：设 为工厂2月份和3月份的月平均增长率。或 （舍，不符题意）
答：这个工厂2月份和3月份的平均增长率为 。
答案：
题型2：面积问题
例2.如图，有一面积是150平方米的长方形鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长18米），墙对面有一个2米宽的
门，另三边（门除外）用竹篱笆围成，篱笆总长33米．求鸡场的长和宽各多少米？
18Ã×
2Ã×
解答方法：通过列出篱笆的长和宽来求解面积
解：设鸡场的宽为 。
（舍，不符合题意）或
答：鸡场的长为15米，宽为10米。
答案：10米。
【变式1】如图，一农户要建一个矩形猪舍，猪舍的一边利用长为12m的住房墙，另外三边用25m长的建
筑材料围成，为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个1m宽的门，所围矩形猪舍的长、宽分别为多少
时，猪舍面积为80m2？【答案与解析】
解：设矩形猪舍垂直于住房墙一边长为xm可以得出平行于墙的一边的长为（25﹣2x+1）m，
由题意得
x（25﹣2x+1）=80，
化简，得x2﹣13x+40=0，
解得：x
1
=5，x
2，8
，
当x=5时，26﹣2x=16＞12（舍去），当x=8时，26﹣2x=10＜12，
答：所围矩形猪舍的长为10m、宽为8m．
【总结升华】1．结合图形分析数量关系是解决面积等几何问题的关键；
2．注意检验一元二次方程的两个解是否符合题意．
【变式2】台门中学为美化校园，准备在长32米，宽20米的长方形场地上，修筑若干条道路，余下部分
作草坪，并请全校学生参与图纸设计．现有三位学生各设计了一种方案（图纸如下图），问三种设计方案
中道路的宽分别为多少米？
解答方法：通过列出校园的长和宽来求解面积
（1）甲方案图纸为图1，设计草坪总面积540平方米．
解：设道路宽为x米，根据题意，得
20
32
ͼ1
或者 （舍，不符合题意）
答：本方案的道路宽为 1 米．
（2）乙方案图纸为图2，设计草坪总面积540平方米．
解：设道路宽为x米，根据题意，得
20
32
ͼ2或 （舍，不符合题意）
答：本方案的道路宽为 2 米． 图
（3）丙方案图纸为图3，设计草坪总面积570平方米．
解：设道路宽为x米，根据题意，得
20
32
ͼ3
或 （舍，不符合题意）
答：本方案的道路宽为 1 米．
答案：1、2、1
题型3：数字问题
例3.已知两个数的和等于12，积等于32，求这两个数是多少．
【答案与解析】 设其中一个数为x，那么另一个数可表示为(12-x)，依题意得x(12-x)＝32，
整理得x2-12x+32＝0
解得 x＝4，x＝8，
1 2
当x＝4时12-x＝8；
当x＝8时12-x＝4．
所以这两个数是4和8．
【总结升华】 数的和、差、倍、分等关系，如果设一个数为x，那么另一个数便可以用x表示出来，然后
根据题目条件建立方程求解．
【变式1】一个两位数是一个一位数的平方，把这个一位数放在这个两位数的左边所成的三位数，比把这
个一位数放在这个两位数的右边所成的三位数大252，求这个两位数.
解答方法：通过数位的分析，列出方程进行求解。本题难点是设 。
设这个一位数为 。或
答案：4或7
【变式2】一个两位数，十位数字与个位数字之和是5，把这个数的个位数字与十位数字对调后，所得新的
两位数与原来的两位数的乘积为736．求原来的两位数．（★★★★）
【分析】一个两位数，如果十位上的数字是 ，个位上的数字是 ．那么这个两位数可用代数式 表
示．
【答案】设原来的两位数的十位数字为 ，则个位数字为( )．
依据题意，得 ．
整理，得 ． 解得 ．
当 时， ，符合题意，原来的两位数是23；
当 时， ．符合题意，原来的两位数是32．
答：原来的两位数是23或32．
【变式3】已知两个连续整数的积为132，求这两个整数.
【分析】设一个整数为 ，那么另一个连续整数是 .
【答案】假设一个整数为 ，那么另一个连续整数是 .
依据题意，得
整理，得 .解得 .
当 时， ；
当 时， .
答：这两个整数是11、12或 .
题型4：利润（利息）问题
例4.某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件．市场调查反映：每降价1元，每星期可多卖出
20件．已知商品的进价为每件40元，在顾客得实惠的前提下，商家还想获得6080元的利润，应将销售单
价定位多少元？
【答案与解析】
解：降价x元，则售价为（60﹣x）元，销售量为（300+20x）件，
根据题意得，（60﹣x﹣40）（300+20x）=6080，
解得x =1，x =4，
1 2
又顾客得实惠，故取x=4，级定价为56元，答：应将销售单价定位56元．
【总结升华】列一元二次方程解应用题往往求出两解，有的解不合实际意义或不合题意．应舍去，必须进
行检验．
【变式1】商场某种新商品每件进价是120元，在试销期间发现，当每件商品售价为130元时，每天可销
售70件，当每件商品售价高于130元时，每涨价1元，日销售量就减少1件．据此规律，请回答：
①当每件商品售价定为170元时，每天可销售多少件商品？商场获得的日盈利是多少？
②在上述条件不变、商品销售正常的情况下，每件商品的销售价定为多少元时，商场日盈利可达到1600元？
解答方法：（1）首先求出每天可销售商品数量，然后可求出日盈利；
（2）设商场的日盈利达到1600元时，每件商品的售价为 元，根据日盈利可求出方程求解。
答案：（1）当每件商品售价为170元时，比每件商品售价130元高出40元，即 （元），
则每天可销售商品30件，商场的日盈利为 （元）；
（2）设商场的日盈利达到1600元时，每件商品的售价为 元，
答：当销售价定为160元时，商场的日盈利可达到1600元。
【变式2】某汽车销售公司6月份销售某厂家汽车，在一定范围内，每辆汽车的进价与销售量有如下关系，
若当月仅售出1辆汽车，则该汽车的进价为27万元；每多售出1辆，所有售出的汽车的进价均降低0.1万
元/辆，月底厂家根据销售量一次性返利给销售公司，销售量在 10辆以内（含10辆），每辆返利0.5万元，
销售量在10辆以上，每辆返利1万.
（1）若该公司当月售出3辆汽车，则每辆汽车的进价为 万元；
（2）如果汽车的售价为28万元/辆，该公司计划当月盈利12万元，那么需要售出多少辆汽车？（盈利=销
售利润+返利）
解答方法：（1）首先求出每月手啊手借个，然后可求出进价；
（2）设商场的销售 辆时，用 来表示进价，进行求解。
答案：（1）27－（3－1）×0.1=26.8。
（2）设销售汽车 辆，则汽车的进价为 万元，若 ，则 解得 (不合题意，舍去)
若 ，,则 解得 (与 舍去，舍去)， (不合题意，
舍去)
公司计划当月盈利12万元，需要售出6辆汽车.
【变式3】某商场销售一批名牌鞋子，平均每天可售出20双，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，
尽快减少库存，商场采取适当的降价措施，经调查发现，如果每双鞋子降价一元，商场平均每天可多售出
2件.
（1）商场平均每天要盈利1200元，每双鞋子应降价多少元？
（2）商场平均每天盈利为Y，则每双鞋子降价多少元时，商场或利最大？最大值是多少？
解答方法：（1）首先求出每天可销售商品数量，然后可求出日盈利；
（2）设商场的日盈利达到1200元时，每件商品的售价为 元，根据日盈利可求出方程求解。
（3）设商场的日盈利达到 元时，每件商品的售价为 元，根据日盈利可求出方程求解。
答案：（1）设每件商品的售价为 元
或
（2）
当 时， 取到最大值900。
【变式4】某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品，据市场分析，若按每千克50元销售一个月
能售出500千克；销售单价每涨1元，月销售量就减少10千克，商店想在月销售成本不超过1万元的情况
下，使得月销售利润达到8000元，销售单价应定为多少？
【分析】设销售单价需上涨 元原售价50元/千克 原销售件数500千克
+1元 -10千克
+ 元 -10 千克
现售价 元 销售件数 千克
总利润=（单件的售价—单件的成本） 件数
8000=[ -40]
【答案】60元/千克.
【变式5】某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为扩大销售增加盈利，尽
快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价一元，市场每天可多售 2
件，若商场平均每天盈利1250元，每件衬衫应降价多少元？
【分析】单件利润=单件售价—单件成本
通常，成本不发生变化，售价如何变化，利润就如何变化.
原盈利40元/件 原销售件数20件
-1元 +2件
- 元 +2 件
现利润 元 销售件数 千克
总利润=每件的利润 件数
1250=
【答案】15元.
【小结】总利润=每件的利润 件数=（单件的售价-单件的成本） 件数
总利润=总售价-总成本=单件售价 件数-单件的成本 件数
【变式6】将进货价为40元的商品按50元的价格出售时，能卖出500个，已知该商品每涨价1元，其销售
量就要减少10个，为了赚取8000元利润，售价应定为多少？这时的进货量应为多少个？
【答案】设每个定价为
50+x
元，则
(10+x)(500−10x)=8000
∴x2 −40x+300=0
x=10或x=30
x=10 −10x=400
当 时500x=30 −10x=200
当 时500
答：当价格定为每个60元时，应进货400个，当价格定为每个80元时，应进货200个.
题型5：比赛统计问题
例5.圣诞节精锐师生互送贺卡，总共送出930张，求精锐共有师生多少人？
解答方法：设人数为 人，理解送贺卡的双向性，列出方程求解
答案：设人数为 人
或 （舍，不符合题意）
答：精锐师生共有31人。
【变式1】首届中国象棋比赛采用单循环制，每位棋手与棋手比赛一盘制，已知第一轮比赛共下了105场，
那么参加第一轮比赛的共有几名选手？
解答方法：设人数为 人，理解握手的单向性，列出方程求解
答案：设人数为 人
或 （舍，不符合题意）
答：棋手共有15人。
题型6：传播问题
例6.（2023·黑龙江鸡西·校考二模）“新冠肺炎”防治取得战略性成果．若有一个人患了“新冠肺炎”，
经过两轮传染后共有16个人患了“新冠肺炎”，则每轮传染中平均一个人传染的人数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【分析】据题意可得第一轮人数加第二轮人数，再加第三轮人数总数为16人，设平均每人感染x人，则列式为 ．即可解答．
【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染了x个人，根据题意，得
，
或 （舍去）．
答：每轮传染中平均一个人传染了3个人．
故选：B．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解决本题的关键是掌握增长率问题．
【变式】（2023·安徽合肥·校考一模）一人患了流感，两轮传染后共有121人感染了流感．按这样的传染
速度，若2人患了流感，第一轮传染后患流感的人共有( )人
A．20 B．22 C．60 D．61
【答案】B
【分析】设每轮传染中 人传染给 人，则第一轮传染后共 人患流感，第二轮传染后共
人患流感，列出方程进行计算即可．
【详解】解：设每轮传染中 人传染给 人，则第一轮传染后共 人患流感，第二轮传染后共
人患流感，
根据题意得： ，
解得： ， (舍去)，
．
故选：B．
【点睛】考查一元二次方程的应用，读懂题目，找出题目中的等量关系是解题的关键．
题型7：行程问题
例7.（2023·浙江台州·统考一模）小明在平整的草地上练习带球跑，他将球沿直线踢出后随即跟着球的方
向跑去，追上球后，又将球踢出……球在草地上滚动时，速度变化情况相同，小明速度达到6m/s后保持匀
速运动．下图记录了小明的速度 以及球的速度 随时间 的变化而变化的情况，小明在4s时第一次追上球．（提示：当速度均匀变化时，平均速度 ，距离 ）
(1)当 时，求 关于t的函数关系式；
(2)求图中a的值；
(3)小明每次踢球都能使球的速度瞬间增加6m/s，球运动方向不变，当小明带球跑完200m，写出小明踢球
次数共有____次，并简要说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)7，理由见解析
【分析】（1）设 关于t的函数关系式为 ，根据经过点 利用待定系数法即可得到答
案；
（2）先求出球前4秒的平均速度，再求出小明前a秒的平均速度和a秒后速度为 ，利用小明在4s时
第一次追上球可得方程，解方程即可得到答案；
（3）根据题意找到速度、时间、路程的变化规律，即可得到答案．
【详解】（1）解：设 关于t的函数关系式为 ，把点 代入得，
，
解得 ，∴ 关于t的函数关系式为 ；
（2）解：对于球来说， ，
小明前a秒的平均速度为 ，a秒后速度为 ，
由小明在4s时第一次追上球可得， ，
解得 ，
即图中a的值为 ；
（3）小明第一次踢球已经带球跑了16米，还需要跑 米，由（1）知， ，假设每次
踢球t从0开始计算，因为球在草地上滚动时，速度变化情况相同，则第二次踢球后变化规律为 ，
， ，则 ，
，
第二次踢后，则 ， （舍去）， ，此时又经过了 米，
6×4=24
，
第三次踢后，变化规律为 ，
， ，则 ，
，
第三次追上，则 ， （舍去）， ，此时又经过了 米，
，
又开始下一个循环，
故第四次踢球所需时间为 ，经过24米，故第五次踢球所需时间为 ，经过48米，
故第六次踢球所需时间为 ，经过24米，
故第七次踢球所需时间为 ，经过48米，
∵ ， ，
∴带球走过200米，在第七次踢球时实现，故小明小明踢球次数共有七次，
故答案为：7
【点睛】此题考查了一元二次方程的应用、一次函数的应用、一元一次方程的应用，读懂题意，准确计算
是解题的关键．
【变式1】（2023·四川成都·成都实外校考一模）为切实推进广大青少年学生走向操场、走进大自然、走到
阳光下，积极参加体育锻炼，阳光体育长跑是如今学校以及当代年轻人选择最多的运动．学生坚持长跑，
不仅能够帮助身体健康，还能够收获身心的愉悦．周末，小明和小齐相约一起去天府绿道跑步．若两人同
时从 地出发，匀速跑向距离 处的 地，小明的跑步速度是小齐跑步速度的1.2倍，那么小明比小
齐早5分钟到达 地．
根据以上信息，解答下列问题：
(1)小明每分钟跑多少米？
(2)若从 地到达 地后，小明以跑步形式继续前进到 地（整个过程不休息）．据了解，从他跑步开始，
前30分钟内，平均每分钟消耗热量10卡路里，超过30分钟后，每多跑步1分钟，平均每分钟消耗的热量
就增加1卡路里，在整个锻炼过程中，小明共消耗2300卡路里的热量，小明从 地到 地锻炼共用多少分
钟．
【答案】(1)480米
(2)70分钟
【分析】（1）设小齐每分钟跑 米，则小明每分钟跑 米，根据题意建立分式方程，解方程即可得；
（2）设小明从 地到 地锻炼共用 分钟，再根据热量的消耗规律建立方程，解方程即可得．
【详解】（1）解：设小齐每分钟跑 米，则小明每分钟跑 米，
由题意得： ，
解得： ，
经检验， 既是所列分式方程的解也符合题意，
则 ，
答：小明每分钟跑480米．（2）解：设小明从 地到 地锻炼共用 分钟，
由题意得： ，
解得： ， （不符合题意，舍去），
答：小明从 地到 地锻炼共用70分钟．
【点睛】本题考查了分式方程和一元二次方程的应用，找准等量关系，正确建立方程是解题关键．
【变式2】（2023春·重庆云阳·九年级校联考期中）周末，小明和小红约着一起去公园跑步锻炼身体若两人
同时从A地出发，匀速跑向距离 处的B地，小明的跑步速度是小红跑步速度的1.2倍，那么小明比
小红早5分钟到达B地．
(1)求小明、小红的跑步速度；
(2)若从A地到达B地后，小明以跑步形式继续前进到C地（整个过程不休息），据了解，在他从跑步开始
前30分钟内，平均每分钟消耗热量10卡路里，超过30分钟后，每多跑步1分钟，平均每分钟消耗的热量
就增加1卡路里，在整个锻炼过程中，小明共消耗2300卡路里的热量，小明从A地到C地锻炼共用多少分
钟．
【答案】(1) ；
(2)
【分析】（1）分别设小红和小明的速度，根据等量关系（小明比小红早5分钟到达B地）列出等量关系式，
按照分式方程即可求解，求解后检验所求解是不是方程解．
（2）先求出小明前30分钟中的5分钟是从B地到C地，然后按照小明共消耗2300卡里的热量列方程，最
后求解．
【详解】（1）解：设小红的速度为 ，则小明的速度为 ，
依据题意列方程得， ，
，
，
经检验， 是原式方程的解．
．
小红的速度为 ，小明的速度为 ．
故答案为： ； ．
（2）解： 小明的速度为 ，小明从A地道B地需要的时间为： ．
小明在他从跑步开始前30分钟内，平均每分钟消耗热量10卡路里，
．
设B地到C地的距离为 ，依据题意列方程得，
，
，
，
，
或 （舍去）．
A地到C地所需要时间为： ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了分式方程的应用和一元二次方程的应用．解题的关键在于是否能根据题意列出等量关
系式，解题的重点在于是否能了解小明的前30分钟内的最后5分钟是属于B地到C地时间．
题型8：动点问题
例8.（2023春·安徽黄山·九年级统考阶段练习）如图所示， 中， ，点
P沿射线AB方向从点A出发以 的速度移动，点Q沿射线CB方向从点C出发以 的速度移动，
P，Q同时出发， ________________ 秒后， 的面积为 ．
【答案】 或7或【分析】当运动时间为t秒时， ，根据 的面积为 ，列出关于t的一
元二次方程求解即可．
【详解】解：当运动时间为t秒时， ，
根据题意得： ，
∴ ，
∴ ．
当 时， ，
整理得： ，
解得： ， （不符合题意，舍去）；
当 时， ，
整理得： ，
解得： ；
当 时， ，
整理得： ，
解得： （不符合题意，舍去）， ．
综上所述， 或7或 秒后， 的面积为 ．
故答案为： 或7或 ．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
【变式1】（2023·全国·九年级专题练习）如图所示，在矩形 中， ， ，点P从点A
出发沿 以每秒4个单位长度的速度向点B运动，同时点Q从点B出发沿 以每秒2个单位长度的速度
向点C运动，点P到达终点后，P、Q两点同时停止运动．（1）当 秒时，线段 __．
（2）当 __秒时， 的面积是24．
【答案】 20 2或3/3或2
【分析】（1）当 秒时，根据题意可得， ，再根据勾股定理即可求解．
（2）设运动时间为 秒，则 ， ，根据 的面积是24列出方程，求解即可．
【详解】解：（1）∵当 秒时， ，
根据勾股定理得 ．
故答案为：20．
（2）设运动时间为 秒，
此时， ， ，
∵ 的面积是24，
∴ ，
整理得， ，
解得： ，
∴当 秒或3秒时， 的面积是24．
故答案为：2或3．
【点睛】本题主要考查勾股定理、列代数式、一元二次方程的应用，根据题意找准数量关系，列出方程是
解题关键．
【变式2】如图，矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝12cm，点Ｐ从A开始沿AB边向点B以1厘米/秒的速度
移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2厘米/秒的速度移动，如果P、Q分别是从A、B同时出发，求经过几秒时，
①△PBQ的面积等于 8 平方厘米？
②五边形APQCD的面积最小？最小值是多少？
D C
Q
B
A
P
解答方法：通过列出三角形的底和高的代数式来求解面积
答案：① 解：设经过x秒时， 的面积等于 8 平方厘米，由题意得：
1
(6−x)⋅2x=8解之得：
2 x =2,x =4
1 2
经检验
x =2,x =4
都是原方程的根
1 2
答：设经过2秒或 4 秒时，△PBQ的面积等于 8 平方厘米；
②设五边形 的面积最小面积是 ，由题意得：
1
y=6×12− (6−x)⋅2x=x2 −6x+72=(x−3) 2 +63
2
答：经过3 秒时，五边形 的面积最小，最小值为63
题型9：方案设计问题
例9.（2023·重庆·模拟预测）某工程队采用A、B两种设备同时对长度为4800米的公路进行施工改造．原
计划A型设备每小时铺设路面比B型设备的2倍多30米，则32小时恰好完成改造任务．
(1)求A型设备每小时铺设的路面长度；
(2)通过勘察，此工程的实际施工里程比最初的4800米多了1000米．在实际施工中，B型设备在铺路效率
不变的情况下，时间比原计划增加了 小时，同时，A型设备的铺路速度比原计划每小时下降了
米，而使用时间增加了 小时，求 的值．
【答案】(1)A型设备每小时铺设的路面110米 (2)18【分析】（1）设B型设备每小时铺设的路面x米，可得： ，解方程即可解得答案；
（2）根据A型设备铺的路+B型设备铺的路=5800列方程，解方程即可得答案．
【详解】（1）设B型设备每小时铺设的路面x米，则A型设备每小时铺设路面 米，由题意得
，
解得 ，
米，
所以A型设备每小时铺设的路面110米；
（2）根据题意得： ，
解得 ， （舍去），
答：m的值是18．
【点睛】本题考查一元一次方程、一元二次方程的应用，解题的关键是读懂题意，找到等量关系列出方程．
【变式】（2023春·河南新乡·九年级河南师大附中校联考期中）某市总预算 亿元用三年时间建成一条轨
道交通线.轨道交通线由线路敷设、搬迁安置、辅助配套三项工程组成.从2015年开始，市政府在每年年初
分别对三项工程进行不同数额的投资.
2015年年初，对线路敷设、搬迁安置的投资分别是辅助配套投资的2倍、4倍.随后两年，线路敷设投资每
年都增加 亿元，预计线路敷设三年总投资为54亿元时会顺利如期完工；搬迁安置投资从2016年初开始
遂年按同一百分数递减，依此规律，在 2017年年初只需投资5亿元，即可顺利如期完工；辅助配套工程
在2016年年初的投资在前一年基础上的增长率是线路敷设2016年投资增长率的1.5倍，2017年年初的投
资比该项工程前两年投资的总和还多4亿元，若这样，辅助配套工程也可以如期完工.经测算，这三年的线
路敷设、辅助配套工程的总投资资金之比达到3: 2.
（1）这三年用于辅助配套的投资将达到多少亿元？
（2）市政府2015年年初对三项工程的总投资是多少亿元？
（3）求搬迁安置投资逐年递减的百分数.
【答案】（1）36；（2）35亿元；（3）50%
【分析】（1）由线路敷设三年总投资为54亿元及这三年的线路敷设、辅助配套工程的总投资资金之比达
到3：2，可得答案．
（2）设2015年年初，对辅助配套的投资为x亿元，则线路敷设的投资为2x亿元，搬迁安置的投资是4x亿
元，根据“线路敷设三年总投资为54亿元、辅助配套三年的总投资为36亿元”列方程组，解之求得x、b的值可得答案．
（3）由x=5得出2015年初搬迁安置的投资为20亿元，设从2016年初开始，搬迁安置投资逐年递减的百
分数为y，根据“2017年年初搬迁安置的为投资5亿”列方程求解可得．
【详解】解：（1）三年用于辅助配套的投资将达到54× =36（亿元）；
（2）设2015年年初，对辅助配套的投资为x亿元，则线路敷设的投资为2x亿元，搬迁安置的投资是4x亿
元，
根据题意，得： ，
解得： ，
∴市政府2015年年初对三项工程的总投资是7x=35亿元；
（3）由x=5得，2015年初搬迁安置的投资为20亿元，
设从2016年初开始，搬迁安置投资逐年递减的百分数为y，
由题意，得：20（1﹣y）2=5，
解得：y=0.5，y=1.5（舍）
1 2
答：搬迁安置投资逐年递减的百分数为50%．
【点睛】本题考查一元二次方程的应用，分式方程的应用，找准等量关系，列出方程是关键.
【方法三】差异对比法
易错点1：建立方程模型时，分类讨论不全面导致错误
1.如图，矩形ABCD中，AB=6cm，BC=12cm，点P从A开始沿AB边向点B以1厘米/秒的速度移动，点Q
从点B开始沿BC边向点C以2厘米/秒的速度移动，当点P到达B点或点Q到达C点时，两点停止移动，
如果P、Q分别是从A、B同时出发，t秒钟后．
（1）求出△PBQ的面积；
（2）当△PBQ的面积等于8平方厘米时，求t的值；
（3）是否存在△PBQ的面积等于10平方厘米，若存在，求出t的值，若不存在，说明理由．D C
Q
A P B
【答案】（1） ；（2） 或 ；（3）不存在．
【解析】（1）根据题意可得 ， ，则有
；
（2）令 ，解得： ， ；
（3）令 ，方程无解．
【总结】考查几何类问题中的动点问题，根据题意把图像中的相应线段长度用字母表示出来根据题意求解
即可．
易错点2： 忽略所求方程的根是否符合实际问题的要求
2.如图，将一块长50厘米，宽40厘米的铁皮剪去四个正方形的角，就可以折成一个长方形的无盖盒子，
如果盒子的底面积为600平方厘米，求盒子的高度.
【分析】要求盒子的高度也就是求减去的四个角的边长.根据关系式“铁皮总面积—四个正方形角围成矩
形的面积=盒子的底面积”列方程.
【答案】设盒子的高度为 .
得到方程：
解方程组，得 （舍去）所以盒子的高度为10厘米.
【方法四】 仿真实战法
一．选择题（共4小题）
1．（2022•宁夏）受国际油价影响，今年我国汽油价格总体呈上升趋势．某地 92号汽油价格三月底是6.2
元/升，五月底是8.9元/升．设该地92号汽油价格这两个月平均每月的增长率为x，根据题意列出方程，
正确的是（ ）
A．6.2（1+x）2＝8.9
B．8.9（1+x）2＝6.2
C．6.2（1+x2）＝8.9
D．6.2（1+x）+6.2（1+x）2＝8.9
【分析】利用该地92号汽油五月底的价格＝该地92号汽油三月底的价格×（1+该地92号汽油价格这两
个月平均每月的增长率）2，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：依题意得6.2（1+x）2＝8.9，
故选：A．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的
感觉．
2．（2022•泰安）我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，遣人去买几株
椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．”其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为 6210文．
如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文
能买多少株椽？设这批椽的数量为x株，则符合题意的方程是（ ）
A．3（x﹣1）x＝6210 B．3（x﹣1）＝6210
C．（3x﹣1）x＝6210 D．3x＝6210
【分析】设这批椽的数量为x株，则一株椽的价钱为3（x﹣1）文，利用总价＝单价×数量，即可得出关
于x的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：∵这批椽的数量为x株，每株椽的运费是3文，少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于
一株椽的价钱，
∴一株椽的价钱为3（x﹣1）文．
依题意得：3（x﹣1）x＝6210．
故选：A．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
3．（2022•黑龙江）2022年北京冬奥会女子冰壶比赛有若干支队伍参加了单循环比赛，单循环比赛共进行
了45场，共有多少支队伍参加比赛？（ ）
A．8 B．10 C．7 D．9
【分析】设共有x支队伍参加比赛，根据“单循环比赛共进行了45场”列一元二次方程，求解即可．
【解答】解：设共有x支队伍参加比赛，
根据题意，可得 ，
解得x＝10或x＝﹣9（舍），
∴共有10支队伍参加比赛．
故选：B．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意并根据题意建立等量关系是解题的关键．
4．（2022•哈尔滨）某种商品原来每件售价为150元，经过连续两次降价后，该种商品每件售价为96元，
设平均每次降价的百分率为x，根据题意，所列方程正确的是（ ）
A．150（1﹣x2）＝96 B．150（1﹣x）＝96
C．150（1﹣x）2＝96 D．150（1﹣2x）＝96
【分析】可先表示出第一次降价后的价格，那么第一次降价后的价格×（1﹣降低的百分率）＝96，把相
应数值代入即可求解．
【解答】解：第一次降价后的价格为150×（1﹣x），两次连续降价后售价在第一次降价后的价格的基
础上降低x，为150×（1﹣x）×（1﹣x），
则列出的方程是150（1﹣x）2＝96．
故选：C．
【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程中求平均变化率的方法．若设变化前的量为
a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a（1±x）2＝b．
二．填空题（共1小题）
5．（2022•上海）某公司5月份的营业额为25万，7月份的营业额为36万，已知5、6月的增长率相同，
则增长率为 20% ．
【分析】设平均每月的增长率为x，根据5月份的营业额为25万元，7月份的营业额为36万元，表示出
7月的营业额，即可列出方程解答．
【解答】解：设平均每月的增长率为x，
由题意得25（1+x）2＝36，解得x ＝0.2，x ＝﹣2.2（不合题意，舍去）
1 2
所以平均每月的增长率为20%．
故答案为：20%．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，根据数量关系列出关于x的一元二次方程是解题的关键．
三．解答题（共4小题）
6．（2022•德州）如图，某小区矩形绿地的长宽分别为35m，15m．现计划对其进行扩充，将绿地的长、
宽增加相同的长度后，得到一个新的矩形绿地．
（1）若扩充后的矩形绿地面积为800m，求新的矩形绿地的长与宽；
（2）扩充后，实地测量发现新的矩形绿地的长宽之比为5：3．求新的矩形绿地面积．
【分析】（1）设将绿地的长、宽增加xm，则新的矩形绿地的长为（35+x）m，宽为（15+x）m，根据
扩充后的矩形绿地面积为800m，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，将其正值分别
代入（35+x）及（15+x）中，即可得出结论；
（2）设将绿地的长、宽增加ym，则新的矩形绿地的长为（35+y）m，宽为（15+y）m，根据实地测量
发现新的矩形绿地的长宽之比为5：3，即可得出关于y的一元一次方程，解之即可得出y值，再利用矩
形的面积计算公式，即可求出新的矩形绿地面积．
【解答】解：（1）设将绿地的长、宽增加xm，则新的矩形绿地的长为（35+x）m，宽为（15+x）m，
根据题意得：（35+x）（15+x）＝800，
整理得：x2+50x﹣275＝0
解得：x ＝5，x ＝﹣55（不符合题意，舍去），
1 2
∴35+x＝35+5＝40，15+x＝15+5＝20．
答：新的矩形绿地的长为40m，宽为20m．
（2）设将绿地的长、宽增加ym，则新的矩形绿地的长为（35+y）m，宽为（15+y）m，
根据题意得：（35+y）：（15+y）＝5：3，
即3（35+y）＝5（15+y），
解得：y＝15，
∴（35+y）（15+y）＝（35+15）×（15+15）＝1500．
答：新的矩形绿地面积为1500m2．【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及一元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关
系，正确列出一元二次方程；（2）找准等量关系，正确列出一元一次方程．
7．（2022•泰州）如图，在长为50m、宽为38m的矩形地面内的四周修筑同样宽的道路，余下的铺上草坪．
要使草坪的面积为1260m2，道路的宽应为多少？
【分析】要求路宽，就要设路宽应为x米，根据题意可知：矩形地面﹣所修路面积＝草坪面积，利用平
移更简单，依此列出等量关系解方程即可．
【解答】解：设路宽应为x米
根据等量关系列方程得：（50﹣2x）（38﹣2x）＝1260，
解得：x＝4或40，
40不合题意，舍去，
所以x＝4，
答：道路的宽应为4米．
【点评】解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求
解．
8．（2022•毕节市）2022北京冬奥会期间，某网店直接从工厂购进A、B两款冰墩墩钥匙扣，进货价和销
售价如下表：（注：利润＝销售价﹣进货价）
类别 A款钥匙 B款钥匙
扣 扣
价格
进货价 30 25
（元/件）
销售价 45 37
（元/件）
（1）网店第一次用850元购进A、B两款钥匙扣共30件，求两款钥匙扣分别购进的件数；
（2）第一次购进的冰墩墩钥匙扣售完后，该网店计划再次购进 A、B两款冰墩墩钥匙扣共80件（进货
价和销售价都不变），且进货总价不高于2200元．应如何设计进货方案，才能获得最大销售利润，最
大销售利润是多少？
（3）冬奥会临近结束时，网店打算把B款钥匙扣调价销售，如果按照原价销售，平均每天可售4件．经调查发现，每降价1元，平均每天可多售2件，将销售价定为每件多少元时，才能使B款钥匙扣平均
每天销售利润为90元？
【分析】（1）设购进A款钥匙扣x件，B款钥匙扣y件，利用总价＝单价×数量，结合该网店第一次用
850元购进A、B两款钥匙扣共30件，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设购进m件A款钥匙扣，则购进（80﹣m）件B款钥匙扣，利用总价＝单价×数量，结合总价不超
过2200元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围，设再次购进的A、B两
款冰墩墩钥匙扣全部售出后获得的总利润为w元，利用总利润＝每件的销售利润×销售数量，即可得出
w关于m的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题；
（3）设B款钥匙扣的售价定为a元，则每件的销售利润为（a﹣25）元，平均每天可售出（78﹣2a）件，
利用平均每天销售B款钥匙扣获得的总利润＝每件的销售利润×平均每天的销售量，即可得出关于a的
一元二次方程，解之即可得出结论．
【解答】解：（1）设购进A款钥匙扣x件，B款钥匙扣y件，
依题意得： ，
解得： ．
答：购进A款钥匙扣20件，B款钥匙扣10件．
（2）设购进m件A款钥匙扣，则购进（80﹣m）件B款钥匙扣，
依题意得：30m+25（80﹣m）≤2200，
解得：m≤40．
设再次购进的A、B两款冰墩墩钥匙扣全部售出后获得的总利润为 w元，则w＝（45﹣30）m+（37﹣
25）（80﹣m）＝3m+960．
∵3＞0，
∴w随m的增大而增大，
∴当m＝40时，w取得最大值，最大值＝3×40+960＝1080，此时80﹣m＝80﹣40＝40．
答：当购进40件A款钥匙扣，40件B款钥匙扣时，才能获得最大销售利润，最大销售利润是1080元．
（3）设B款钥匙扣的售价定为a元，则每件的销售利润为（a﹣25）元，平均每天可售出4+2（37﹣
a）＝（78﹣2a）件，
依题意得：（a﹣25）（78﹣2a）＝90，
整理得：a2﹣64a+1020＝0，
解得：a ＝30，a ＝34．
1 2答：将销售价定为每件30元或34元时，才能使B款钥匙扣平均每天销售利润为90元．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用、一元二次方程的应用以及一次函
数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关
系，找出w关于m的函数关系式；（3）找准等量关系，正确列出一元二次方程．
9．（2022•宜昌）某造纸厂为节约木材，实现企业绿色低碳发展，通过技术改造升级，使再生纸项目的生
产规模不断扩大．该厂3，4月份共生产再生纸800吨，其中4月份再生纸产量是3月份的2倍少100吨．
（1）求4月份再生纸的产量；
（2）若4月份每吨再生纸的利润为1000元，5月份再生纸产量比上月增加m%．5月份每吨再生纸的利
润比上月增加 %，则5月份再生纸项目月利润达到66万元．求m的值；
（3）若4月份每吨再生纸的利润为1200元，4至6月每吨再生纸利润的月平均增长率与6月份再生纸
产量比上月增长的百分数相同，6月份再生纸项目月利润比上月增加了25%．求6月份每吨再生纸的利
润是多少元？
【分析】（1）设3月份再生纸的产量为x吨，则4月份再生纸的产量为（2x﹣100）吨，根据该厂3，4
月份共生产再生纸800吨，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可求出x的值，再将其代入（2x﹣
100）中即可求出4月份再生纸的产量；
（2）利用月利润＝每吨的利润×月产量，即可得出关于m的一元二次方程，解之取其正值即可得出结
论；
（3）设4至6月每吨再生纸利润的月平均增长率为y，5月份再生纸的产量为a吨，根据6月份再生纸
项目月利润比上月增加了25%，即可得出关于y的一元二次方程，化简后即可得出6月份每吨再生纸的
利润．
【解答】解：（1）设3月份再生纸的产量为x吨，则4月份再生纸的产量为（2x﹣100）吨，
依题意得：x+2x﹣100＝800，
解得：x＝300，
∴2x﹣100＝2×300﹣100＝500．
答：4月份再生纸的产量为500吨．
（2）依题意得：1000（1+ %）×500（1+m%）＝660000，
整理得：m2+300m﹣6400＝0，
解得：m ＝20，m ＝﹣320（不合题意，舍去）．
1 2
答：m的值为20．（3）设4至6月每吨再生纸利润的月平均增长率为y，5月份再生纸的产量为a吨，
依题意得：1200（1+y）2•a（1+y）＝（1+25%）×1200（1+y）•a，
∴1200（1+y）2＝1500．
答：6月份每吨再生纸的利润是1500元．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用以及一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次
方程（或一元二次方程）是解题的关键．
【方法五】 成果评定法
一、单选题
1．（2023春·内蒙古通辽·九年级校考期中）在本次新冠疫情中，因为某些发达国家控制不力，导致全球不
少人被感染，其中有一人患了流感，经过两轮传染后共有100人患了流感，每轮传染中平均一个人传染的
人数x满足的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】由每轮传染中平均一个人传染的人数是x人，那么经过第一轮后有 人患了流感，经过第二
轮后有 人患了流感，再根据经过两轮传染后共有100人患了流感即可列出方程．
【详解】解：依题意得： ．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的运用，根据题意分别列出不同阶段患了流感的人数是解本题的关
键．
2．（2023秋·浙江台州·九年级统考期末）一人患了流感，经过两轮传染后共有121个人患了流感，每轮传
染中平均一个人传染几个人？设每轮传染中平均一个人传染 个人．根据题意列出方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C【分析】第一轮传染后总传染人数为 ，第二轮后总传染人数为 ，由此可解．
【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染 个人，
则第一轮传染后总传染人数为 ，第二轮后总传染人数为 ，
因此 ．
故选C．
【点睛】本题考查一元二次方程的实际应用，找准等量关系是解题的关键．
3．（2023·云南昭通·统考二模）某大型超市在2022年12月份的纯利润是100万元，由于改进管理，额外
损耗减少，2023年2月份的纯利润达到了121万元．假设该超市在2022年12月至2023年1月、2月间每
个月增长的利润率相同，则每个月增长的利润率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】设每个月增长的利润率为 ，根据题意列一元二次方程 ，解方程即可．
【详解】解：设每个月增长的利润率为 ，
由题意得： ，
解得 ， （舍去），
因此每个月增长的利润率为 ，
故选：D．
【点睛】本题考查一元二次方程的实际应用，解题的关键是理解利润率的概念．
4．（2023·广东揭阳·统考一模）如图，有一面积为 的长方形鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长 ），
另三边用竹篱笆围成，其中一边开有 的门，竹篱笆的总长为 ．设鸡场垂直于墙的一边长为 ，则
列方程正确的是（ ）A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】设鸡场垂直于墙的一边长为 ，则平行于墙的一边长为 ，根据面积为 ，列
出方程，即可求解．
【详解】解：设鸡场垂直于墙的一边长为 ，则平行于墙的一边长为 ，根据题意得：
．
故选：B
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关
键．
5．（2023·黑龙江鸡西·校考二模）某商店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元．经调查
发现，商品销售单价每降1元，平均每天可多售出2件．在每件盈利不少于25元的前提下，要获利1200
元利润，每件商品应降价（ ）
A．10元 B．20元 C．10元或20元 D．13元
【答案】A
【分析】根据题意设每件商品降价 元，则平均每天可售出 件，根据每日的总利润 每件商品的
利润 每日的销售量，即可得出关于 的一元二次方程，解之即可得出 的值，再结合 即可确定
的值．
【详解】解：设每件商品降价 元，则平均每天可售出 件，
依题意得： ，
整理得： ，
解得： ， ，
又 ，
，．
故选：A．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
二、填空题
6．（2023·西藏拉萨·统考一模）有一人患了流感，经过两轮传染后共有169人患了流感，每轮传染中平均
一个人传染了___人．
【答案】12
【分析】设每轮传染中平均一个人传染了x人，则一轮传染后共有 人患了流感，两轮传染后共有
人患了流感，由此列一元二次方程，即可求解．
【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染了x人，
由题意可知： ，
整理得： ，
解得 ， （舍去），
因此每轮传染中平均一个人传染了12人．
故答案为：12．
【点睛】本题考查一元二次方程的实际应用，解题的关键是根据题意正确列出一元二次方程．
7．（2023秋·江苏镇江·九年级统考期末）两个连续奇数的积为323，设其中的一个奇数为 ，可得方程
________．
【答案】 或
【分析】已知设其中的一个奇数为 ，且设其中的一个奇数为 ，分两种情况讨论：若 为较小的奇数，
则另一个奇数为 ，即可列出方程 ；若 为较大的奇数，则另一个奇数为 ，即可
列出方程 ，即可正确解答．
【详解】①若 为较小的奇数，则另一个奇数为 ，
∵两个连续奇数的积为323，∴ ；
②若 为较大的奇数，则另一个奇数为 ，
∴ ；
故答案为： 或
【点睛】本题主要考查由实际问题抽象出一元二次方程，正确的理解题意，找出题目中的等量关系是解题
的关键．
三、解答题
8．（2023·全国·九年级专题练习）有一人感染了某种病毒，经过两轮传染后，共有256人感染了该种病毒，
求每轮传染中平均每人传染了多少个人．
【答案】15人
【分析】有一人感染了某种病毒，经过两轮传染后，共有256人感染了该种病毒，设每轮传染中平均每人
传染了x人，即可得出关于 的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【详解】设每轮传染中平均每人传染了x人，
依题意，得 ，
即 ，
解方程，得 ， （舍去）．
答：每轮传染中平均每人传染了15人，
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
9．（2023秋·辽宁大连·九年级统考期末）有一个人患了流感，经过两轮感染后共有81个人患了流感．
(1)求每轮感染中平均一个人会传染了几个人？
(2)如果按这样的传染速度，经过三轮感染后共有多少个人患流感？
【答案】(1)8人
(2)729人
【分析】（1）设第一个人传染了 人，根据两轮传染后共有 人患了流感列出方程求解即可；
（2）根据题意列式计算即可．
【详解】（1）解：设每轮传染中平均一个人会传染x个人，
依题意可得： ，解得： ， （不合题意，舍去）．
答：每轮感染中平均一个人会传染了8个人．
（2）解：第三轮的患病人数为： （人）．
答：三轮感染后，共有729人患流感．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用、列式计算等知识点，读懂题意、设出合适的未知数、找出等量
关系，列方程求解是解答本题的关键．
10．（2023·湖南·湖南师大附中校联考模拟预测）今年五一“网红长沙”再次火出“圈”，27个旅游景区
五天累计接待游客 万人，成为全国十大必到城市之一．长沙美食也吸引了无数游客纷纷打卡，某网
红火锅店五一期间生意火爆，第2天营业额达到10万元，第4天营业额为 万元，据估计第3天、第4
天营业额的增长率相同．
(1)求该网红店第3，4天营业额的平均增长率；
(2)若第1天的营业额为 万元，第五天由于游客人数下降，营业额是前四天总营业额的 ，求该网红
店第5天营业额．
【答案】(1)该网红店第3，4天营业额的平均增长率为 ；
(2)该网红店第5天营业额为 万元．
【分析】（1）设该网红店第3，4天营业额的平均增长率为 ，连续增长两次，根据第2天的营业额为10
万元可列出方程求解；
（2）求得前四天营业总额，根据“第五天的营业额是前四天总营业额的 ”列式计算即可求解．
【详解】（1）解：设该网红店第3，4天营业额的平均增长率为 ，则
解得 ， （舍）
答：该网红店第3，4天营业额的平均增长率为 ；
（2）解：前四天营业额为： 万元．
第五天营业额： 万元，
答：该网红店第5天营业额为 万元．
【点睛】本题考查了一元二次方程中求增长率的方法．若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均增长率为x，则经过两次变化后的数量关系为 ．
11．（2023·浙江金华·统考二模）今年某百货公司“五一黄金周”进行促销活动期间，前四天的总营业额
为360万元，第五天的营业额是前四天总营业额的 ．
(1)求该百货公司今年“五一黄金周”这五天的总营业额；
(2)今年，该百货公司2月份的营业额为300万元，3、4月份营业额的月增长率相同，“五一黄金周”这五
天的总营业额与4月份的营业额相等，求该百货公司今年3、4月份营业额的月增长率．
【答案】(1)432万元
(2)
【分析】（1）利用该百货公司今年“五一黄金周”前四天的总营业额乘以 ，求得第五天的营业额，
再利用前四天的总营业额加上第五天的营业额即可求解；
（2）设百货公司今年3、4月份营业额的月增长率为x，根据“五一黄金周”这五天的总营业额与4月份
的营业额相等，即可得出关于x的一元二次方程，进行求解即可．
【详解】（1）解：（1） （元），
答：今年“五一黄金周”这五天的总营业额为432万元；
（2）解：设百货公司今年3、4月份营业额的月增长率为x，
根据题意，得 ，
解这个方程，得 （不合题意，舍去）， ，
经检验， 满足题意．
答：百货公司今年3、4月份营业额的月增长率为 ．
【点睛】本题考查一元二次方程的实际应用，明确题意，找出等量关系是解题的关键．
12．（2023·湖南长沙·长沙市南雅中学统考一模）受益于国家对高新技术企业的大力扶持，某新材料公司
的利润逐年增高，据统计，该公司2020年的利润为30亿元，2022年的利润为36.3亿元．
(1)求该企业从2020年至2022年利润的年均增长率；
(2)若2023年保持前两年利润的年均增长率不变，该企业2023年的利润能否超过39.9亿元？
【答案】(1)10%
(2)能
【分析】（1）设年均增长率为x，根据“公司2020年的利润为30亿元，2022年的利润为36.3亿元”列方程求解即可；
（2）根据（1）中的增长率求出2023年的利润，再与39.9亿元比较即可．
【详解】（1）设该公司从2020年至2022年利润的年均增长率为x，
根据题意得： ，
解得： ， （不符合题意，舍去）．
答：该企业从2020年至2022年利润的年均增长率为10%．
（2） （亿元）
∴该企业2023年的利润能超过39.9亿元．
【点睛】本题考查一元二次方程的应用，读懂题意，正确列出方程是解题的关键．
13．（2023·广东广州·统考二模）随着我国数字化阅读方式的接触率和人群持续增多，数字阅读凭借独有
的便利性成为了更快获得优质内容的重要途径.某市2020年数字阅读市场规模为 万元，2022年数字阅
读市场规模为 万元.
(1)求2020年到2022年该市数字阅读市场规模的年平均增长率；
(2)若年平均增长率不变，求2023年该市数字阅读市场规模是多少万元?
【答案】(1)
(2)预计2023年该市数字阅读市场规模是 万元
【分析】（1）设2020年到2022年该市数字阅读市场规模的年平均增长率为 ，利用2022年该市数字阅
读市场规模 年该市数字阅读市场规模 ，
即可得出关于 的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论；
（2）利用2023年该市数字阅读市场规模 年该市数字阅读市场规模
，可预计出2023年该市数字阅读市场规模．
【详解】（1）解：设2020年到2022年该市数字阅读市场规模的年平均增长率为
根据题意得：解得： ， （不符合题意，舍去）
答：2020年到2022年该市数字阅读市场规模的年平均增长率为
（2） （万元）
∴预计2023年该市数字阅读市场规模是 万元．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元二次方程；
（2）根据各数量之间的关系，列式计算．
14．（2023·广西梧州·统考二模）要建一个面积为 的长方形养鸡场，为了节省材料，养鸡场的一边利
用原有的一道墙，另三边用铁丝网围成，如果铁丝网的长为 ．
(1)若墙足够长，则养鸡场的长与宽各为多少？
(2)若给定墙长为 ，则墙长a对题目的解是否有影响？
【答案】(1)养鸡场的长为 或 ，宽为 或 ；
(2)当 时，题目无解；当 时，题目只有一个解；当 时，题目有两个解．
【分析】（1）设垂直于墙的边长为 ，则平行于墙的边长为 ，根据长方形的面积公式结合养
鸡场的面积为 ，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论；
（2）根据（1）的结论可分 、 及 三种情况，找出题目解的个数．
【详解】（1）解：设垂直于墙的边长为 ，则平行于墙的边长为 ，
依题意，得： ，
整理，得： ，
解得： ，
∴ 或 ．
答：养鸡场的长为 或 ，宽为 或 ；（2）解：当 时，题目无解；
当 时，题目只有一个解；
当 时，题目有两个解．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
15．（2023·河北秦皇岛·统考三模）如图，公园里有两块边长分别为a，b的正方形区域A、B，其中阴影部
分M为雕塑区，面积为m，其他部分种植花草．
(1)用含a，b，m的代数式表示种植花草的面积______；
(2)若正方形A的一个顶点恰为正方形B的中心，a比b大20，M的面积是A的 ，求a的值．
【答案】(1)
(2)60
【分析】（1）根据两个正方形区域的面积和雕塑区的面积之间的关系求解即可；
（2）根据M的面积是A的 列方程求解即可．
【详解】（1）解：种植花草的面积 ；
（2）依题意得， ， ， ．
列方程得， ，
解得 ，
∵ ，
∴ ．【点睛】此题考查了列代数式，一元二次方程的应用，解题的关键是熟练掌握以上知识点．
16．（2023·湖南长沙·校考一模）如图，某小区规划在长 米，宽 米的矩形场地 上修建三条同样
宽的 条小路，使某中两条与 平行，一条与 平行，其余部分种草，若使草坪的面积为 ，问小
路应为多宽？
【答案】 米
【分析】设小路应为 米宽，根据使草坪的面积为 ，建立方程，解方程即可求解．
【详解】解：设小路应为 米宽，根据题得，
解得： 舍 ， ．
答：小路应为 米宽．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意建立方程是解题的关键．
17．（2023·辽宁大连·统考一模）如图，矩形绿地的长为 ，宽为 ，将此绿地的长、宽各增加相同的
长度后，绿地面积增加了 ，求绿地长、宽增加的长度．
【答案】绿地长、宽各增加了
【分析】设绿地长、宽各增加了 根据绿地面积增加了 列方程即可解答．
【详解】解：设绿地长、宽各增加了 ．
，
解这个方程，得 （舍去）．
答：绿地长、宽各增加了 ．【点睛】本题考查了长方形的面积公式，一元二次方程与实际问题，明确题意找出等量关系是解题的关键．
18．（2023·全国·九年级专题练习）读诗词解题：大江东去浪淘尽，千古风流数人物，而立之年督东吴，
早逝英年两位数，十位恰小个位三，个位平方与寿符，哪位学子算得快，多少年华属周瑜？（提示：三十
而立，四十而不惑）
【答案】周瑜去世时是36岁．
【分析】设周瑜去世时年龄的个位数是 ，则十位数是 ，根据题意列出方程，解方程即可求解．
【详解】解：设周瑜去世时年龄的个位数是 ，则十位数是 ．
根据题意可知 ，
解得 或 ，∴ 或 ．
∵三十而立，四十而不惑，
∴ 不合题意，舍去，
综上，周瑜去世时是36岁．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出一元二次方程是解题的关键．
19．（2023·全国·九年级专题练习）阅读材料，回答下列问题：
反序数：
有这样一对数，一个数的数字排列完全颠倒过来变成另一个数，简单的说，就是顺序相反的两个数，我们
把这样的一对数称为“反序数”，比如： 的反序数是 ， 的反序数是 ．
用方程知识解决问题：
若一个两位数，其十位上的数字比个位上的数字大3，这个两位数与其反序数之积为 ，求这个两位数．
【答案】
【分析】设这个两位数的个位数字为x，则十位数字为 ，根据这个两位数与其反序数之积为 ，
可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．
【详解】解：设这个两位数的个位数字为x，则十位数字为 ，
根据题意得： ，
∴ ，即 ，
∴ ，
∴
解得 或 （舍去），∴ ，
∴这个两位数为 ．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
20．（2023·河北衡水·校联考一模）发现：五个连续的偶数中，存在前三个偶数的平方和等于后两个偶数
的平方和．
验证：（1）
（2）若还存在五个连续的偶数，前三个偶数的平方和可以等于后两个偶数的平方和，设中间的偶数为 ，
求
延伸：（3）是否存在三个连续的奇数中，有前两个奇数的平方和可以等于后一个奇数的平方，请说明理
由．
【答案】（1）4；（2）24；（3）不存在；答案见解析．
【分析】（1）计算等号成立即可得出结论；
（2）根据连续偶数结构用n表示出五个连续偶数，然后根据前三个偶数的平方和可以等于后两个偶数的平
方和列出方程，解之即可；
（3）先设中间奇数为m，再验证是否存在即可．
【详解】解：（1）∵
故答案为：4；
（2）由题意，连续5个偶数分别为：n-4，n-2，n，n+2，n+4，则有：
解得： ，
所以 =24；
（3）不存在，理由为：
设中间的奇数为m，则3个连续奇数分别为m-2，m，m+2，
由 解得： ，
∵0和8都不是奇数，
∴不存在三个连续的奇数中，有前两个奇数的平方和可以等于后一个奇数的平方．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用、完全平方公式、解一元二次方程，会根据题意列方程并会解方程是解答的关键．
21．（2023·山西大同·校联考模拟预测）“天使草莓”是通过草莓杂交育种、脱毒育苗筛查等生物技术而
培育的一种草莓品种，因其外观通体雪白、色泽透亮、汁多味美而深受广大消费者欢迎．今年春季，某水
果店以60元/盒的价格购进一批名叫“天使 ”的新品种草莓进行销售．该商家在销售过程中发现当每
盒的售价为100元时，平均每天可售出180盒．若每盒的售价每降价5元，则每天可以多售出10盒．设此
种草莓每盒的售价为x元，每天销售此种草莓的利润为y元．
(1)用含x的式子表示每盒此种草莓的利润为______元，每天可卖出此种草莓的数量为______盒．
(2)若该水果店计划每天销售此种草莓盈利6000元，问此种草莓每盒的售价应定为多少元？
【答案】(1) ；
(2)90元
【分析】（1）根据每盒利润等于每盒售价减每盒成本可得每盒利润，根据每盒的售价每降价5元，则每天
可以多售出10盒可得每天可卖出此种草莓的数量；
（2）根据每天总利润等于每盒利润乘以每天可卖出此种草莓的数量列出方程求解即可．
【详解】（1）解：∵此种草莓每盒的售价为x元，每盒进价60元，
∴每盒此种草莓的利润为 元；
又∵每盒的售价每降价5元，则每天可以多售出10盒，
∴每天可卖出此种草莓的数量为： (盒)
故答案为： ；
（2）由题意得 ，
解得 ， (不符合题意舍去)
答：此种草莓每盒的售价应定为90元
【点睛】本题考查一元二次方程的应用—利润问题、列代数式，根据等量关系列式和列方程是解题的关键．22．（2023·广东深圳·统考二模）买入奉节脐橙、赣南脐橙， 奉节脐橙买入价比 赣南脐橙买入价低
4元，用240元买入奉节脐橙与用360元买入赣南脐橙重量相同．
(1)求这两种脐橙的买入价；
(2)上周以14元 卖出奉节脐橙 、24元 卖出赣南脐橙 ；本周以上周相同的价买入这两种
脐橙，奉节脐橙卖出价降低 元，结果奉节脐橙比上周多卖出 ，赣南脐橙比上周少卖出 ，
全部售完后共获利2280元，求m的值．
【答案】(1)奉节脐橙的买入价为8元，赣南脐橙的买入价为12元
(2)10
【分析】（1）设奉节脐橙的买入价为 元，则赣南脐橙的买入价为 元，由题意：用240元买入奉节
脐橙与用360元买入赣南脐橙重量相同．列出分式方程，解方程即可；
（2）利用总利润 每千克的利润 销售数量，结合该水果超市第二周销售两种脐橙总共获利2280元，列
出一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【详解】（1）解：设奉节脐橙的买入价为 元，则赣南脐橙的买入价为 元，
由题意得： ，
解得： ，
经检验， 是原方程的解，且符合题意，
，
答：奉节脐橙的买入价为8元，赣南脐橙的买入价为12元；
（2）由题意得： ，
整理得： ，
解得： （不合题意，舍去）， ．
答： 的值为10．
【点睛】本题考查了分式方程的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正
确列出分式方程；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程．
23．（2023·湖北宜昌·校考一模）去年，迎春村种植水稻200亩、玉米100亩，收获后售价分别为3元/千克、2.5元/千克，且水稻的平均亩产量比玉米高100千克，该村的水稻和玉米全部售出后总收入40万元．
(1)求该村去年水稻、玉米的平均亩产量分别是多少千克？
(2)粮食安全事关国家安全，今年，通过改良品种和优化种植方法，在保持去年种植面积不变的情况下，预
计水稻、玉米的平均亩产量将在去年的基础上分别增加 和 ，由于粮食品质的提升，水稻的售价每
千克上涨了0.2元，玉米的售价在去年的基础上上涨了 ，这样今年的水稻和玉米全部售出后总收人将
比去年增加 ，求 的值．
【答案】(1)该村去年水稻平均亩产量为500千克，玉米的平均亩产量为400千克
(2)
【分析】（1）设该村去年水稻平均亩产量为x千克，则玉米的平均亩产量为 千克，然后根据题意
可列方程进行求解；
（2）根据题意可得水稻、玉米的平均亩产量分别为 、 ，水稻和玉米的售价分别
为 元、 元，然后可列方程进行求解．
【详解】（1）解：设该村去年水稻平均亩产量为x千克，则玉米的平均亩产量为 千克，由题意得：
，
解得： ，
∴ ，
答：该村去年水稻平均亩产量为500千克，玉米的平均亩产量为400千克
（2）解：由题意得：
，
整理得： ，
解得： （不符合题意，舍去）；
∴ ．
【点睛】本题主要考查一元一次方程及一元二次方程的应用，解题的关键是理清题中的等量关系．
24．（2023秋·海南省直辖县级单位·九年级统考期末）如图， 中， ， ， ，
点 从点 开始沿 边向点 以 的速度移动，同时点 从点 开始，沿 边向点 以 的速度移动，点 到达点 后，点 停止运动．
(1)经过 后 ， 的面积等于 ，求 的值；
(2)经过 后， ， 的长度为 ，求 的值；
(3) 的面积能否等于 ？
【答案】(1) 的值为
(2) 的值为
(3) 的面积不能等于 ，理由见解析
【分析】（1）利用时间 路程 速度，可求出点 到达点 及点 到达点 所需时间，比较后可得出
，当运动时间为 时， ， ．根据 的面积等于 ，可得出关于
的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论；
（2）利用勾股定理，可得出关于 的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论；
（3） 的面积不能等于 ，假设 的面积能等于 ，根据 的面积等于 ，可得出
关于 的一元二次方程，由根的判别式 ，可得出该方程没有实数根，假设不成立，即 的面
积不能等于 ．
【详解】（1）解： ， ， ，
．当运动时间为 时， ， ．
根据题意得： ，
即 ，
整理得： ，
解得： ， （不符合题意，舍去）．
答： 的值为 ；
（2）解：根据题意得： ，
整理得： ，
解得： （不符合题意，舍去）， ．
答： 的值为 ；
（3）解： 的面积不能等于 ，理由如下：
假设 的面积能等于 ，根据题意得： ，
即 ，
整理得： ，
，
该方程没有实数根，
假设不成立，即 的面积不能等于 ．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用、勾股定理以及根的判别式，找准等量关系，正确列出一元二次
方程是解题的关键．
25．（2023秋·内蒙古包头·九年级统考期末） 中， ，点P从点A开
始沿边 向终点B以1 的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边 向终点C以2 的速度
移动．如果P、Q分别从A、B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为t秒．(1)填空 ______， ______（用含t的代数式表示）；
(2)当t为何值时， 的长度等于 ？
(3)是否存在t的值，使得 的面积等于 ？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2) 或 时， 的长度等于
(3)存在，
【分析】（1）根据路程 速度 时间即可得出 ，然后用 就可得出 的值；
（2）运用勾股定理可得： ，代入（1）中数据计算即可；
（3）根据三角形面积计算公式可得： ，代入数据计算即可．
【详解】（1）解：由题意得，
， ，
，
故答案为： ；
（2） ，
∴ 是直角三角形，
根据勾股定理得： ，
即： ，解得： ， ，
或 时， 的长度等于 ；
（3）由题意得： ，
即 ，
解得： ， ，
当点Q运动到点C时，两点停止运动，
即 ，
解得 ，
时， 的面积等于 ．
【点睛】本题考查了三角形的动点问题，考查了列代数式，一元二次方程的解法，勾股定理的应用，三角
形面积公式的运用，在解答时要注意所求的实际问题有意义．
26．（2023春·云南昆明·九年级云南省昆明市第十中学校联考开学考试）已知：如图所示，在 中，
， ， ，点P从点A开始沿 边向点B以 的速度移动，点Q从点B开
始沿BC边向点C以 的速度移动，当其中一点到达终点后，另外一点也随之停止运动．
(1)运动几秒时四边形 的面积为 ？
(2) 的面积能否等于 面积的一半？若能，求出运动时间，若不能，说明理由．
【答案】(1)2秒
(2)不能，理由见解析
【分析】（1）设运动时间为t秒，表示出 和 ，利用 的面积减去 ，令其结果为16，得出
方程，解之即可；（2）根据三角形的面积公式列出方程，根据一元二次方程根的判别式判断即可．
【详解】（1）解：设运动时间为t秒，
由题意可得： ， ，
∴ ，
∴四边形 的面积为 ，
则 ，
解得： 或 (舍)，
∴运动2秒时，四边形 的面积为 ；
（2）由题意可得： ，
整理得： ，
∵ ，
∴不存在某一时刻，使得 的面积等于 的面积的一半．
【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用，得出等量关系是解决问题的关键．
27．（2023·重庆开州·校联考一模）某工程队采用A，B两种设备同时对长度为3600米的公路进行施工改
造．原计划A型设备每小时铺设路面比B型设备的2倍多30米，则30小时恰好完成改造任务．
(1)求A型设备每小时铺设的路面长度；
(2)通过勘察，此工程的实际施工里程比最初的3600米多了750米．在实际施工中，B型设备在铺路效率不
变的情况下，时间比原计划增加了 小时，同时，A型设备的铺路速度比原计划每小时下降了3m米，
而使用时间增加了m小时，求m的值．
【答案】(1) 型设备每小时铺设的路面长度为90米
(2) 的值为10
【分析】（1）设 型设备每小时铺设路面 米，则 型设备每小时铺设路面 米，根据题意列出方
程求解即可；
（2）根据“ 型设备铺设的路面长度 型设备铺设的路面长度 ”列出方程，求解即可．
【详解】（1）解：设 型设备每小时铺设路面 米，则 型设备每小时铺设路面 米，根据题意得，
，
解得： ，
则 ，
答： 型设备每小时铺设的路面长度为90米；
（2）根据题意得，
，
整理得， ，
解得： ， （舍去），
∴ 的值为10．
【点睛】本题主要考查一元一次方程、一元二次方程的应用，解题关键是读懂题意，找准等量关系并列出
方程．
28．（2023秋·重庆合川·九年级统考期末）2022年暑期，我区遭遇连续高温和干旱，一居民小区的部分绿
化树枯死．小区物业管理公司决定补种绿化树，计划购买小叶榕和香樟共50棵进行栽种．其中小叶榕每棵
680元，香樟每棵1000元，经测算，购买两种树共需38800元．
(1)原计划购买小叶榕、香樟各多少棵？
(2)实际购买时，经物业管理公司与商家协商，每棵小叶榕和香樟的售价均下降 元（ ），且两种
树的售价每降低10元，物业管理公司将在原计划的基础上多购买小叶榕2棵，香樟1棵．物业管理公司实
际购买的费用比原计划多3600元，求物业管理公司实际购买两种树共多少棵？
【答案】(1)原计划购买小叶榕35棵、香樟15棵
(2)物业管理公司实际购买两种树共56棵
【分析】（1）设原计划购买小叶榕 棵，则购买香樟 棵，根据题意列出方程
即可得出答案．
（2）根据给出的条件先列出小叶榕与香樟的单价表达式分别为 元每棵， 元每棵，
再列出实际购买棵树的表达式，得到 方程式求出满足条件 的值，即可得出答案．
【详解】（1）设原计划购买小叶榕 棵，则购买香樟 棵，
根据题意，可得 ，
解得， ．
答：原计划购买小叶榕35棵、香樟15棵．
（2）根据题意，可得 ，
整理得， ，
解得： ， ，
∵ ，∴ ，
∴购买了39棵小叶榕，17棵香樟，
答：物业管理公司实际购买两种树共56棵．
【点睛】本题主要考查一元一次方程的实际应用和一元二次方程应用的问题，熟练掌握题中的等量关系列
出正确的方程解决本题的关键．
29．（2023春·重庆沙坪坝·九年级重庆市天星桥中学校考阶段练习）“铁路建设助推经济发展”，近年来
我国政府十分重视铁路建设．渝利铁路通车后，从重庆到上海比原铁路全程缩短了320千米，列车设计运
行时速比原铁路设计运行时速提高了120千米/小时，全程设计运行时间只需8小时，比原铁路设计运行时
间少用16小时．
（1）渝利铁路通车后，重庆到上海的列车设计运行里程是多少千米？
（2）专家建议：从安全的角度考虑，实际运行时速要比设计时速减少m%，以便于有充分时间应对突发事
件，这样，从重庆到上海的实际运行时间将增加 小时，求m的值．
【答案】（1）1600；（2）20．
【分析】（1）利用“从重庆到上海比原铁路全程缩短了320千米，列车设计运行时速比原铁路设计运行时
速提高了l20千米/小时，全程设计运行时间只需8小时，比原铁路设计运行时间少用16小时”，分别得出
等式组成方程组求出即可；
（2）根据题意得出： 进而求出即可．【详解】（1）设原时速为xkm/h，通车后里程为ykm，则有： ，
解得： ，
答：渝利铁路通车后，重庆到上海的列车设计运行里程是1600千米；
（2）由题意可得出： ，
解得： ， （不合题意舍去），
答：m的值为20．
