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专题 06 实际问题与一元二次方程（2 个知识点 9 种
题型 2 个易错点 1 种中考考法）
【目录】
倍速学习五种方法
【方法一】 脉络梳理法
知识点1：列一元二次方程解应用题
知识点2：常见相关问题的数量关系及表示方法
【方法二】 实例探索法
题型1：增长率问题
题型2：面积问题
题型3：数字问题
题型4：利润（利息）问题
题型5：比赛统计问题
题型6：传播问题
题型7：行程问题
题型8：动点问题
题型9：方案设计问题
【方法三】 差异对比法
易错点1：建立方程模型时，分类讨论不全面导致错误
易错点2： 忽略所求方程的根是否符合实际问题的要求
【方法四】 仿真实战法
考法：用一元二次方程解决实际问题
【方法五】 成果评定法
【倍速学习五种方法】【方法一】脉络梳理法
知识点1：列一元二次方程解应用题
1.利用方程解决实际问题的关键是寻找等量关系.
2.解决应用题的一般步骤：
审(审题目，分清已知量、未知量、等量关系等)；
设(设未知数，有时会用未知数表示相关的量)；
列(根据题目中的等量关系，列出方程)；
解(解方程，注意分式方程需检验，将所求量表示清晰)；
验（检验方程的解能否保证实际问题有意义）
答(写出答案，切忌答非所问).
要点诠释： 列方程解实际问题的三个重要环节：
一是整体地、系统地审题；
二是把握问题中的等量关系；
三是正确求解方程并检验解的合理性.
知识点2：常见相关问题的数量关系及表示方法
题型1：增长率问题
列一元二次方程解决增长(降低)率问题时，要理清原来数、后来数、增长率或降低率，以及增长或降低的
次数之间的数量关系.如果列出的方程是一元二次方程，那么应在原数的基础上增长或降低两次.
(1)增长率问题：
平均增长率公式为 (a为原来数，x为平均增长率，n为增长次数，b为增长后的量.)
(2)降低率问题：
平均降低率公式为 (a为原来数，x为平均降低率，n为降低次数，b为降低后的量.)
题型2：面积问题
此类问题属于几何图形的应用问题，解决问题的关键是将不规则图形分割或组合成规则图形，根据图形
的面积或体积公式，找出未知量与已知量的内在关系并列出方程.
题型3：数字问题
(1)任何一个多位数都是由数位和数位上的数组成.数位从右至左依次分别是：个位、十位、百位、千位……，它们数位上的单位从右至左依次分别为：1、10、100、1000、……，数位上的数字只能是0、1、
2、……、9之中的数，而最高位上的数不能为0.因此，任何一个多位数，都可用其各数位上的数字与其数
位上的单位的积的和来表示，这也就是用多项式的形式表示了一个多位数.如：一个三位数，个位上数为
a，十位上数为b，百位上数为c，则这个三位数可表示为：100c+10b+a.
(2)几个连续整数中，相邻两个整数相差1.
如：三个连续整数，设中间一个数为x，则另两个数分别为x-1，x+1.
几个连续偶数(或奇数)中，相邻两个偶数(或奇数)相差2.
如：三个连续偶数(奇数)，设中间一个数为x，则另两个数分别为x-2，x+2.
题型4：利润（利息）问题
利息问题
(1)概念：
本金：顾客存入银行的钱叫本金.
利息：银行付给顾客的酬金叫利息.
本息和：本金和利息的和叫本息和.
期数：存入银行的时间叫期数.
利率：每个期数内的利息与本金的比叫利率.
(2)公式:
利息=本金×利率×期数
利息税=利息×税率
本金×(1+利率×期数)=本息和
本金×[1+利率×期数×(1-税率)]=本息和(收利息税时)
利润(销售)问题
利润(销售)问题中常用的等量关系：
利润=售价-进价(成本)
总利润=每件的利润×总件数题型5：比赛统计问题
比赛问题：解决此类问题的关键是分清单循环和双循环 ．
题型6：传播问题
传播问题：
，a表示传染前的人数，x表示每轮每人传染的人数，n表示传染的轮数或天数，A表示最终的
人数．
【方法二】实例探索法
题型1：增长率问题
例1.随着国家“惠民政策”的陆续出台，为了切实让老百姓得到实惠，国家卫计委通过严打药品销售环节
中的不正当行为，某种药品原价200元/瓶，经过连续两次降价后，现在仅卖98元/瓶，现假定两次降价的
百分率相同，求该种药品平均每场降价的百分率．
【变式】某工厂今年1月份产品数是50万件，要求3月份达到60.5万件，求这个工厂2月份和3月份的月
平均增长率.
题型2：面积问题
例2.如图，有一面积是150平方米的长方形鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长18米），墙对面有一个2米宽的
门，另三边（门除外）用竹篱笆围成，篱笆总长33米．求鸡场的长和宽各多少米？18Ã×
2Ã×
【变式1】如图，一农户要建一个矩形猪舍，猪舍的一边利用长为12m的住房墙，另外三边用25m长的建
筑材料围成，为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个1m宽的门，所围矩形猪舍的长、宽分别为多少
时，猪舍面积为80m2？
【变式2】台门中学为美化校园，准备在长32米，宽20米的长方形场地上，修筑若干条道路，余下部分
作草坪，并请全校学生参与图纸设计．现有三位学生各设计了一种方案（图纸如下图），问三种设计方案
中道路的宽分别为多少米？
题型3：数字问题
例3.已知两个数的和等于12，积等于32，求这两个数是多少．【变式1】一个两位数是一个一位数的平方，把这个一位数放在这个两位数的左边所成的三位数，比把这
个一位数放在这个两位数的右边所成的三位数大252，求这个两位数.
【变式2】一个两位数，十位数字与个位数字之和是5，把这个数的个位数字与十位数字对调后，所得新的
两位数与原来的两位数的乘积为736．求原来的两位数．
【变式3】已知两个连续整数的积为132，求这两个整数.
题型4：利润（利息）问题
例4.某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件．市场调查反映：每降价1元，每星期可多卖出
20件．已知商品的进价为每件40元，在顾客得实惠的前提下，商家还想获得6080元的利润，应将销售单
价定位多少元？
【变式1】商场某种新商品每件进价是120元，在试销期间发现，当每件商品售价为130元时，每天可销售70件，当每件商品售价高于130元时，每涨价1元，日销售量就减少1件．据此规律，请回答：
①当每件商品售价定为170元时，每天可销售多少件商品？商场获得的日盈利是多少？
②在上述条件不变、商品销售正常的情况下，每件商品的销售价定为多少元时，商场日盈利可达到1600元？
【变式2】某汽车销售公司6月份销售某厂家汽车，在一定范围内，每辆汽车的进价与销售量有如下关系，
若当月仅售出1辆汽车，则该汽车的进价为27万元；每多售出1辆，所有售出的汽车的进价均降低0.1万
元/辆，月底厂家根据销售量一次性返利给销售公司，销售量在 10辆以内（含10辆），每辆返利0.5万元，
销售量在10辆以上，每辆返利1万.
（1）若该公司当月售出3辆汽车，则每辆汽车的进价为 万元；
（2）如果汽车的售价为28万元/辆，该公司计划当月盈利12万元，那么需要售出多少辆汽车？（盈利=销
售利润+返利）
【变式3】某商场销售一批名牌鞋子，平均每天可售出20双，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，
尽快减少库存，商场采取适当的降价措施，经调查发现，如果每双鞋子降价一元，商场平均每天可多售出
2件.（1）商场平均每天要盈利1200元，每双鞋子应降价多少元？
（2）商场平均每天盈利为Y，则每双鞋子降价多少元时，商场或利最大？最大值是多少？
【变式4】某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品，据市场分析，若按每千克50元销售一个月
能售出500千克；销售单价每涨1元，月销售量就减少10千克，商店想在月销售成本不超过1万元的情况
下，使得月销售利润达到8000元，销售单价应定为多少？
【变式5】某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为扩大销售增加盈利，尽
快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价一元，市场每天可多售 2
件，若商场平均每天盈利1250元，每件衬衫应降价多少元？
【变式6】将进货价为40元的商品按50元的价格出售时，能卖出500个，已知该商品每涨价1元，其销售
量就要减少10个，为了赚取8000元利润，售价应定为多少？这时的进货量应为多少个？题型5：比赛统计问题
例5.圣诞节精锐师生互送贺卡，总共送出930张，求精锐共有师生多少人？
【变式1】首届中国象棋比赛采用单循环制，每位棋手与棋手比赛一盘制，已知第一轮比赛共下了105场，
那么参加第一轮比赛的共有几名选手？
题型6：传播问题
例6.（2023·黑龙江鸡西·校考二模）“新冠肺炎”防治取得战略性成果．若有一个人患了“新冠肺炎”，
经过两轮传染后共有16个人患了“新冠肺炎”，则每轮传染中平均一个人传染的人数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【变式】（2023·安徽合肥·校考一模）一人患了流感，两轮传染后共有121人感染了流感．按这样的传染
速度，若2人患了流感，第一轮传染后患流感的人共有( )人
A．20 B．22 C．60 D．61
题型7：行程问题
例7.（2023·浙江台州·统考一模）小明在平整的草地上练习带球跑，他将球沿直线踢出后随即跟着球的方
向跑去，追上球后，又将球踢出……球在草地上滚动时，速度变化情况相同，小明速度达到6m/s后保持匀
速运动．下图记录了小明的速度 以及球的速度 随时间 的变化而变化的情况，小明在
4s时第一次追上球．（提示：当速度均匀变化时，平均速度 ，距离 ）(1)当 时，求 关于t的函数关系式；
(2)求图中a的值；
(3)小明每次踢球都能使球的速度瞬间增加6m/s，球运动方向不变，当小明带球跑完200m，写出小明踢球
次数共有____次，并简要说明理由．
【变式1】（2023·四川成都·成都实外校考一模）为切实推进广大青少年学生走向操场、走进大自然、走到
阳光下，积极参加体育锻炼，阳光体育长跑是如今学校以及当代年轻人选择最多的运动．学生坚持长跑，
不仅能够帮助身体健康，还能够收获身心的愉悦．周末，小明和小齐相约一起去天府绿道跑步．若两人同
时从 地出发，匀速跑向距离 处的 地，小明的跑步速度是小齐跑步速度的1.2倍，那么小明比小
齐早5分钟到达 地．
根据以上信息，解答下列问题：
(1)小明每分钟跑多少米？(2)若从 地到达 地后，小明以跑步形式继续前进到 地（整个过程不休息）．据了解，从他跑步开始，
前30分钟内，平均每分钟消耗热量10卡路里，超过30分钟后，每多跑步1分钟，平均每分钟消耗的热量
就增加1卡路里，在整个锻炼过程中，小明共消耗2300卡路里的热量，小明从 地到 地锻炼共用多少分
钟．
【变式2】（2023春·重庆云阳·九年级校联考期中）周末，小明和小红约着一起去公园跑步锻炼身体若两人
同时从A地出发，匀速跑向距离 处的B地，小明的跑步速度是小红跑步速度的1.2倍，那么小明比
小红早5分钟到达B地．
(1)求小明、小红的跑步速度；
(2)若从A地到达B地后，小明以跑步形式继续前进到C地（整个过程不休息），据了解，在他从跑步开始
前30分钟内，平均每分钟消耗热量10卡路里，超过30分钟后，每多跑步1分钟，平均每分钟消耗的热量
就增加1卡路里，在整个锻炼过程中，小明共消耗2300卡路里的热量，小明从A地到C地锻炼共用多少分
钟．
题型8：动点问题
例8.（2023春·安徽黄山·九年级统考阶段练习）如图所示， 中， ，点
P沿射线AB方向从点A出发以 的速度移动，点Q沿射线CB方向从点C出发以 的速度移动，
P，Q同时出发， ________________ 秒后， 的面积为 ．【变式1】（2023·全国·九年级专题练习）如图所示，在矩形 中， ， ，点P从点A
出发沿 以每秒4个单位长度的速度向点B运动，同时点Q从点B出发沿 以每秒2个单位长度的速度
向点C运动，点P到达终点后，P、Q两点同时停止运动．
（1）当 秒时，线段 __．
（2）当 __秒时， 的面积是24．
【变式2】如图，矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝12cm，点Ｐ从A开始沿AB边向点B以1厘米/秒的速度
移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2厘米/秒的速度移动，如果P、Q分别是从A、B同时出发，求经
过几秒时，
①△PBQ的面积等于 8 平方厘米？
②五边形APQCD的面积最小？最小值是多少？
D C
Q
B
A
P
题型9：方案设计问题
例9.（2023·重庆·模拟预测）某工程队采用A、B两种设备同时对长度为4800米的公路进行施工改造．原
计划A型设备每小时铺设路面比B型设备的2倍多30米，则32小时恰好完成改造任务．
(1)求A型设备每小时铺设的路面长度；(2)通过勘察，此工程的实际施工里程比最初的4800米多了1000米．在实际施工中，B型设备在铺路效率
不变的情况下，时间比原计划增加了 小时，同时，A型设备的铺路速度比原计划每小时下降了
米，而使用时间增加了 小时，求 的值．
【变式】（2023春·河南新乡·九年级河南师大附中校联考期中）某市总预算 亿元用三年时间建成一条轨
道交通线.轨道交通线由线路敷设、搬迁安置、辅助配套三项工程组成.从2015年开始，市政府在每年年初
分别对三项工程进行不同数额的投资.
2015年年初，对线路敷设、搬迁安置的投资分别是辅助配套投资的2倍、4倍.随后两年，线路敷设投资每
年都增加 亿元，预计线路敷设三年总投资为54亿元时会顺利如期完工；搬迁安置投资从2016年初开始
遂年按同一百分数递减，依此规律，在 2017年年初只需投资5亿元，即可顺利如期完工；辅助配套工程
在2016年年初的投资在前一年基础上的增长率是线路敷设2016年投资增长率的1.5倍，2017年年初的投
资比该项工程前两年投资的总和还多4亿元，若这样，辅助配套工程也可以如期完工.经测算，这三年的线
路敷设、辅助配套工程的总投资资金之比达到3: 2.
（1）这三年用于辅助配套的投资将达到多少亿元？
（2）市政府2015年年初对三项工程的总投资是多少亿元？
（3）求搬迁安置投资逐年递减的百分数.
【方法三】差异对比法
易错点1：建立方程模型时，分类讨论不全面导致错误
1.如图，矩形ABCD中，AB=6cm，BC=12cm，点P从A开始沿AB边向点B以1厘米/秒的速度移动，点Q
从点B开始沿BC边向点C以2厘米/秒的速度移动，当点P到达B点或点Q到达C点时，两点停止移动，
如果P、Q分别是从A、B同时出发，t秒钟后．（1）求出△PBQ的面积；
（2）当△PBQ的面积等于8平方厘米时，求t的值；
（3）是否存在△PBQ的面积等于10平方厘米，若存在，求出t的值，若不存在，说明理由．
D C
Q
A P B
易错点2： 忽略所求方程的根是否符合实际问题的要求
2.如图，将一块长50厘米，宽40厘米的铁皮剪去四个正方形的角，就可以折成一个长方形的无盖盒子，
如果盒子的底面积为600平方厘米，求盒子的高度.【方法四】 仿真实战法
一．选择题（共4小题）
1．（2022•宁夏）受国际油价影响，今年我国汽油价格总体呈上升趋势．某地 92号汽油价格三月底是6.2
元/升，五月底是8.9元/升．设该地92号汽油价格这两个月平均每月的增长率为x，根据题意列出方程，
正确的是（ ）
A．6.2（1+x）2＝8.9 B．8.9（1+x）2＝6.2
C．6.2（1+x2）＝8.9 D．6.2（1+x）+6.2（1+x）2＝8.9
2．（2022•泰安）我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，遣人去买几株
椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．”其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为 6210文．
如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文
能买多少株椽？设这批椽的数量为x株，则符合题意的方程是（ ）
A．3（x﹣1）x＝6210 B．3（x﹣1）＝6210
C．（3x﹣1）x＝6210 D．3x＝6210
3．（2022•黑龙江）2022年北京冬奥会女子冰壶比赛有若干支队伍参加了单循环比赛，单循环比赛共进行
了45场，共有多少支队伍参加比赛？（ ）
A．8 B．10 C．7 D．9
4．（2022•哈尔滨）某种商品原来每件售价为150元，经过连续两次降价后，该种商品每件售价为96元，
设平均每次降价的百分率为x，根据题意，所列方程正确的是（ ）
A．150（1﹣x2）＝96 B．150（1﹣x）＝96
C．150（1﹣x）2＝96 D．150（1﹣2x）＝96
二．填空题（共1小题）
5．（2022•上海）某公司5月份的营业额为25万，7月份的营业额为36万，已知5、6月的增长率相同，
则增长率为 ．
三．解答题（共4小题）6．（2022•德州）如图，某小区矩形绿地的长宽分别为35m，15m．现计划对其进行扩充，将绿地的长、
宽增加相同的长度后，得到一个新的矩形绿地．
（1）若扩充后的矩形绿地面积为800m，求新的矩形绿地的长与宽；
（2）扩充后，实地测量发现新的矩形绿地的长宽之比为5：3．求新的矩形绿地面积．
7．（2022•泰州）如图，在长为50m、宽为38m的矩形地面内的四周修筑同样宽的道路，余下的铺上草坪．
要使草坪的面积为1260m2，道路的宽应为多少？
8．（2022•毕节市）2022北京冬奥会期间，某网店直接从工厂购进A、B两款冰墩墩钥匙扣，进货价和销
售价如下表：（注：利润＝销售价﹣进货价）
类别 A款钥匙 B款钥匙
扣 扣
价格
进货价 30 25（元/件）
销售价 45 37
（元/件）
（1）网店第一次用850元购进A、B两款钥匙扣共30件，求两款钥匙扣分别购进的件数；
（2）第一次购进的冰墩墩钥匙扣售完后，该网店计划再次购进 A、B两款冰墩墩钥匙扣共80件（进货
价和销售价都不变），且进货总价不高于2200元．应如何设计进货方案，才能获得最大销售利润，最
大销售利润是多少？
（3）冬奥会临近结束时，网店打算把B款钥匙扣调价销售，如果按照原价销售，平均每天可售4件．
经调查发现，每降价1元，平均每天可多售2件，将销售价定为每件多少元时，才能使B款钥匙扣平均
每天销售利润为90元？
9．（2022•宜昌）某造纸厂为节约木材，实现企业绿色低碳发展，通过技术改造升级，使再生纸项目的生
产规模不断扩大．该厂3，4月份共生产再生纸800吨，其中4月份再生纸产量是3月份的2倍少100吨．
（1）求4月份再生纸的产量；
（2）若4月份每吨再生纸的利润为1000元，5月份再生纸产量比上月增加m%．5月份每吨再生纸的利
润比上月增加 %，则5月份再生纸项目月利润达到66万元．求m的值；
（3）若4月份每吨再生纸的利润为1200元，4至6月每吨再生纸利润的月平均增长率与6月份再生纸
产量比上月增长的百分数相同，6月份再生纸项目月利润比上月增加了25%．求6月份每吨再生纸的利润是多少元？
【方法五】 成果评定法
一、单选题
1．（2023春·内蒙古通辽·九年级校考期中）在本次新冠疫情中，因为某些发达国家控制不力，导致全球不
少人被感染，其中有一人患了流感，经过两轮传染后共有100人患了流感，每轮传染中平均一个人传染的
人数x满足的方程为（ ）
A． B．
C． D．
2．（2023秋·浙江台州·九年级统考期末）一人患了流感，经过两轮传染后共有121个人患了流感，每轮传
染中平均一个人传染几个人？设每轮传染中平均一个人传染 个人．根据题意列出方程为（ ）
A． B．
C． D．
3．（2023·云南昭通·统考二模）某大型超市在2022年12月份的纯利润是100万元，由于改进管理，额外
损耗减少，2023年2月份的纯利润达到了121万元．假设该超市在2022年12月至2023年1月、2月间每
个月增长的利润率相同，则每个月增长的利润率为（ ）
A． B． C． D．
4．（2023·广东揭阳·统考一模）如图，有一面积为 的长方形鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长 ），
另三边用竹篱笆围成，其中一边开有 的门，竹篱笆的总长为 ．设鸡场垂直于墙的一边长为 ，则列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2023·黑龙江鸡西·校考二模）某商店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元．经调查
发现，商品销售单价每降1元，平均每天可多售出2件．在每件盈利不少于25元的前提下，要获利1200
元利润，每件商品应降价（ ）
A．10元 B．20元 C．10元或20元 D．13元
二、填空题
6．（2023·西藏拉萨·统考一模）有一人患了流感，经过两轮传染后共有169人患了流感，每轮传染中平均
一个人传染了___人．
7．（2023秋·江苏镇江·九年级统考期末）两个连续奇数的积为323，设其中的一个奇数为 ，可得方程
________．
三、解答题
8．（2023·全国·九年级专题练习）有一人感染了某种病毒，经过两轮传染后，共有256人感染了该种病毒，
求每轮传染中平均每人传染了多少个人．
9．（2023秋·辽宁大连·九年级统考期末）有一个人患了流感，经过两轮感染后共有81个人患了流感．
(1)求每轮感染中平均一个人会传染了几个人？
(2)如果按这样的传染速度，经过三轮感染后共有多少个人患流感？10．（2023·湖南·湖南师大附中校联考模拟预测）今年五一“网红长沙”再次火出“圈”，27个旅游景区
五天累计接待游客 万人，成为全国十大必到城市之一．长沙美食也吸引了无数游客纷纷打卡，某网
红火锅店五一期间生意火爆，第2天营业额达到10万元，第4天营业额为 万元，据估计第3天、第4
天营业额的增长率相同．
(1)求该网红店第3，4天营业额的平均增长率；
(2)若第1天的营业额为 万元，第五天由于游客人数下降，营业额是前四天总营业额的 ，求该网红
店第5天营业额．
11．（2023·浙江金华·统考二模）今年某百货公司“五一黄金周”进行促销活动期间，前四天的总营业额
为360万元，第五天的营业额是前四天总营业额的 ．
(1)求该百货公司今年“五一黄金周”这五天的总营业额；
(2)今年，该百货公司2月份的营业额为300万元，3、4月份营业额的月增长率相同，“五一黄金周”这五
天的总营业额与4月份的营业额相等，求该百货公司今年3、4月份营业额的月增长率．
12．（2023·湖南长沙·长沙市南雅中学统考一模）受益于国家对高新技术企业的大力扶持，某新材料公司
的利润逐年增高，据统计，该公司2020年的利润为30亿元，2022年的利润为36.3亿元．
(1)求该企业从2020年至2022年利润的年均增长率；
(2)若2023年保持前两年利润的年均增长率不变，该企业2023年的利润能否超过39.9亿元？13．（2023·广东广州·统考二模）随着我国数字化阅读方式的接触率和人群持续增多，数字阅读凭借独有
的便利性成为了更快获得优质内容的重要途径.某市2020年数字阅读市场规模为 万元，2022年数字阅
读市场规模为 万元.
(1)求2020年到2022年该市数字阅读市场规模的年平均增长率；
(2)若年平均增长率不变，求2023年该市数字阅读市场规模是多少万元?
14．（2023·广西梧州·统考二模）要建一个面积为 的长方形养鸡场，为了节省材料，养鸡场的一边利
用原有的一道墙，另三边用铁丝网围成，如果铁丝网的长为 ．
(1)若墙足够长，则养鸡场的长与宽各为多少？
(2)若给定墙长为 ，则墙长a对题目的解是否有影响？
15．（2023·河北秦皇岛·统考三模）如图，公园里有两块边长分别为a，b的正方形区域A、B，其中阴影部
分M为雕塑区，面积为m，其他部分种植花草．(1)用含a，b，m的代数式表示种植花草的面积______；
(2)若正方形A的一个顶点恰为正方形B的中心，a比b大20，M的面积是A的 ，求a的值．
16．（2023·湖南长沙·校考一模）如图，某小区规划在长 米，宽 米的矩形场地 上修建三条同样
宽的 条小路，使某中两条与 平行，一条与 平行，其余部分种草，若使草坪的面积为 ，问小
路应为多宽？
17．（2023·辽宁大连·统考一模）如图，矩形绿地的长为 ，宽为 ，将此绿地的长、宽各增加相同的
长度后，绿地面积增加了 ，求绿地长、宽增加的长度．
18．（2023·全国·九年级专题练习）读诗词解题：大江东去浪淘尽，千古风流数人物，而立之年督东吴，
早逝英年两位数，十位恰小个位三，个位平方与寿符，哪位学子算得快，多少年华属周瑜？（提示：三十
而立，四十而不惑）
19．（2023·全国·九年级专题练习）阅读材料，回答下列问题：反序数：
有这样一对数，一个数的数字排列完全颠倒过来变成另一个数，简单的说，就是顺序相反的两个数，我们
把这样的一对数称为“反序数”，比如： 的反序数是 ， 的反序数是 ．
用方程知识解决问题：
若一个两位数，其十位上的数字比个位上的数字大3，这个两位数与其反序数之积为 ，求这个两位数．
20．（2023·河北衡水·校联考一模）发现：五个连续的偶数中，存在前三个偶数的平方和等于后两个偶数
的平方和．
验证：（1）
（2）若还存在五个连续的偶数，前三个偶数的平方和可以等于后两个偶数的平方和，设中间的偶数为 ，
求
延伸：（3）是否存在三个连续的奇数中，有前两个奇数的平方和可以等于后一个奇数的平方，请说明理
由．
21．（2023·山西大同·校联考模拟预测）“天使草莓”是通过草莓杂交育种、脱毒育苗筛查等生物技术而
培育的一种草莓品种，因其外观通体雪白、色泽透亮、汁多味美而深受广大消费者欢迎．今年春季，某水
果店以60元/盒的价格购进一批名叫“天使 ”的新品种草莓进行销售．该商家在销售过程中发现当每
盒的售价为100元时，平均每天可售出180盒．若每盒的售价每降价5元，则每天可以多售出10盒．设此
种草莓每盒的售价为x元，每天销售此种草莓的利润为y元．
(1)用含x的式子表示每盒此种草莓的利润为______元，每天可卖出此种草莓的数量为______盒．
(2)若该水果店计划每天销售此种草莓盈利6000元，问此种草莓每盒的售价应定为多少元？22．（2023·广东深圳·统考二模）买入奉节脐橙、赣南脐橙， 奉节脐橙买入价比 赣南脐橙买入价低
4元，用240元买入奉节脐橙与用360元买入赣南脐橙重量相同．
(1)求这两种脐橙的买入价；
(2)上周以14元 卖出奉节脐橙 、24元 卖出赣南脐橙 ；本周以上周相同的价买入这两种
脐橙，奉节脐橙卖出价降低 元，结果奉节脐橙比上周多卖出 ，赣南脐橙比上周少卖出 ，
全部售完后共获利2280元，求m的值．
23．（2023·湖北宜昌·校考一模）去年，迎春村种植水稻200亩、玉米100亩，收获后售价分别为3元/千
克、2.5元/千克，且水稻的平均亩产量比玉米高100千克，该村的水稻和玉米全部售出后总收入40万元．
(1)求该村去年水稻、玉米的平均亩产量分别是多少千克？
(2)粮食安全事关国家安全，今年，通过改良品种和优化种植方法，在保持去年种植面积不变的情况下，预
计水稻、玉米的平均亩产量将在去年的基础上分别增加 和 ，由于粮食品质的提升，水稻的售价每
千克上涨了0.2元，玉米的售价在去年的基础上上涨了 ，这样今年的水稻和玉米全部售出后总收人将
比去年增加 ，求 的值．24．（2023秋·海南省直辖县级单位·九年级统考期末）如图， 中， ， ， ，
点 从点 开始沿 边向点 以 的速度移动，同时点 从点 开始，沿 边向点 以 的速
度移动，点 到达点 后，点 停止运动．
(1)经过 后 ， 的面积等于 ，求 的值；
(2)经过 后， ， 的长度为 ，求 的值；
(3) 的面积能否等于 ？
25．（2023秋·内蒙古包头·九年级统考期末） 中， ，点P从点A开始
沿边 向终点B以1 的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边 向终点C以2 的速度移
动．如果P、Q分别从A、B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为t秒．(1)填空 ______， ______（用含t的代数式表示）；
(2)当t为何值时， 的长度等于 ？
(3)是否存在t的值，使得 的面积等于 ？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由．
26．（2023春·云南昆明·九年级云南省昆明市第十中学校联考开学考试）已知：如图所示，在 中，
， ， ，点P从点A开始沿 边向点B以 的速度移动，点Q从点B开
始沿BC边向点C以 的速度移动，当其中一点到达终点后，另外一点也随之停止运动．
(1)运动几秒时四边形 的面积为 ？
(2) 的面积能否等于 面积的一半？若能，求出运动时间，若不能，说明理由．
27．（2023·重庆开州·校联考一模）某工程队采用A，B两种设备同时对长度为3600米的公路进行施工改
造．原计划A型设备每小时铺设路面比B型设备的2倍多30米，则30小时恰好完成改造任务．
(1)求A型设备每小时铺设的路面长度；
(2)通过勘察，此工程的实际施工里程比最初的3600米多了750米．在实际施工中，B型设备在铺路效率不
变的情况下，时间比原计划增加了 小时，同时，A型设备的铺路速度比原计划每小时下降了3m米，
而使用时间增加了m小时，求m的值．28．（2023秋·重庆合川·九年级统考期末）2022年暑期，我区遭遇连续高温和干旱，一居民小区的部分绿
化树枯死．小区物业管理公司决定补种绿化树，计划购买小叶榕和香樟共50棵进行栽种．其中小叶榕每棵
680元，香樟每棵1000元，经测算，购买两种树共需38800元．
(1)原计划购买小叶榕、香樟各多少棵？
(2)实际购买时，经物业管理公司与商家协商，每棵小叶榕和香樟的售价均下降 元（ ），且两种
树的售价每降低10元，物业管理公司将在原计划的基础上多购买小叶榕2棵，香樟1棵．物业管理公司实
际购买的费用比原计划多3600元，求物业管理公司实际购买两种树共多少棵？
29．（2023春·重庆沙坪坝·九年级重庆市天星桥中学校考阶段练习）“铁路建设助推经济发展”，近年来
我国政府十分重视铁路建设．渝利铁路通车后，从重庆到上海比原铁路全程缩短了320千米，列车设计运
行时速比原铁路设计运行时速提高了120千米/小时，全程设计运行时间只需8小时，比原铁路设计运行时
间少用16小时．
（1）渝利铁路通车后，重庆到上海的列车设计运行里程是多少千米？
（2）专家建议：从安全的角度考虑，实际运行时速要比设计时速减少m%，以便于有充分时间应对突发事
件，这样，从重庆到上海的实际运行时间将增加 小时，求m的值．
