文档内容
专题21.5 配方法（专项练习）（拓展延伸篇）
【试题信息】专项分层练习（夯实基础篇）分为选择题10题，填空题8题，解答题6
题，满分120分.
一、选择题(本大题共10个小题,每小题3分,共30分,每小题均有四个选项,其中只有一项符合题目要
求）
1．（24-25八年级下·广西贺州·期中）用配方法解一元二次方程 ，配方正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了配方法，灵活运用完全平方公式成为解题的关键．
直接根据配方法变形即可解答．
解：
．
故选A．
2．（2023·山西运城·模拟预测）配方法是解一元二次方程的一种基本方法，其本质是将一元二次方程由
一般 化为 的形式，然后利用开方求一元二次方程的解的过程，这
个过程体现的数学思想是（ ）
A．数形结合思想 B．函数思想
C．转化思想 D．公理化思想
【答案】C
【分析】本题考查了解一元二次方程配方法：用配方法解一元二次方程的过程实际上把一元二次方程转
化为一元一次方程的过程．先将一元二次方程由一般 化为 的形式，
然后利用开方求一元二次方程的解．
解：先将一元二次方程由一般 化为 的形式，然后利用开方求一元
二次方程的解，这个过程体现的数学思想是转化思想．故选C．
3．（2024九年级上·江苏·专题练习）判断方程 的根的情况是（ ）
A．有四个实数根 B．有两个实数根
C．有一个实数根 D．无实数根
【答案】C
【分析】本题考查了可化为一元二次方程的分式方程，熟练掌握方程的解法是解题关键．先判断出
，再将分式方程化成一元二次方程，利用直接开平方法解方程，然后进行检验即可得．
解：∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
解得 或 （不满足 ，舍去），
经检验， 是原方程的解，
所以方程 的根的情况是有一个实数根，
故选：C．
4．（21-22八年级下·福建福州·期中）在平面直角坐标系xOy中，若已知点 ，则下列结论一定
不成立的是
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由勾股定理可得： ，再利用配方法求解 的最小值，再求解 的最小值，
从而可得答案．
解：由勾股定理可得：当 时， 有最小值
∴ 的最小值为
所以A不符合题意，B，C，D都有可能，符合题意；
故选A
【点拨】本题考查的是配方法的应用，利用平方根解方程，掌握“配方法的应用”是解本题的关键．
5．（2025·河南周口·三模）若实数 分别满足： 且 ，则点 所
在的象限是（ ）
A．第一象限或第二象限 B．第一象限或第三象限
C．第二象限或第三象限 D．第三象限或第四象限
【答案】A
【分析】此题主要考查了点的坐标特点，解一元二次方程，求一元一次不等式的解集，先根据已知求出a
的值和b的取值范围，再分两种情况讨论，即可确定点 所在的象限．
解：∵ ，
∴ ，
解得 或 ，
∵ ，
∴ ，
分以下两种情况讨论：
当 时， ， ，
∴点 所在的象限是第一象限；当 时， ， ，
∴点 所在的象限是第二象限；
综上所述，点 所在的象限是第一象限或第二象限．
故选：A．
6．（23-24九年级下·安徽·开学考试）已知 与 互为倒数，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了倒数的定义，配方法的应用，由倒数的定义可得 ，进而得到 ，
把 代入 ，配方可得 ，再根据非负数的即可求出 的最小值，
由倒数的定义得到 是解题的关键．
解：∵ 与 互为倒数，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ 的最小值为 ，
故选： ．
7．（23-24七年级上·江苏盐城·阶段练习）如图所示，把同样大小的黑色棋子摆放在正多边形的边上，按
照这样的规律摆下去，若第n个图形需要黑色棋子的个数是440个，则n的值为（ ）A．19 B．20 C．21 D．22
【答案】B
【分析】此题主要考查了图形变化规律，得出棋子数量与边数的关系是解题关键，结合前四个图形，得
出图形与棋子个数的关系，求出n即可．
解：结合图形，第1个图形是 ，
第2个图形是 ，第3个图形是 ，
按照这样的规律摆下去，则第n个图形需要黑色棋子的个数是 ．
∵第n个图形需要黑色棋子的个数是440个，
，
解得： （不合题意舍去）．
故选：B．
8．（24-25八年级下·甘肃武威·阶段练习）定义 表示不超过实数 的最大整数，如： ，
， ．则方程 的解为（ ）
A． 或 或0 B． 或 或0
C． 或 或0 D． 或 或0
【答案】A
【分析】本题考查了解一元二次方程，理解新定义运算法则，并利用分类讨论思想解答是解本题的关键．
首先根据非负性得到 ，则 ，再分类讨论，利用直接开平方法求解即可．
解：∵
∴ ，∴ ，
∴ ，
①当 时，符合题意；
② 时， ，
则 化为： ，解得： ，均不在 内，舍；
② 时， ，
则 化为： ，解得： ，均不在 内，舍；
③ 时， ，
则 化为： ，解得： 或 （舍）；
④ 时， ，
则 化为： ，解得： 或 （舍）；
⑤当 时，均不成立，
∴方程 的解为 或 或 ，
故选：A．
9．（22-23八年级下·广西南宁·期末）如图，在直角坐标系中，点 和点 在 轴上，
点 在 轴负半轴上， ，当线段 最长时，点 的坐标为（ ）A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据A、B点的坐标，表示出 的长，再根据配方法确定出 的最小值；然后再根据三角形
的面积可得 的最大值，再根据点M在x轴负半轴解答．
解：∵点 和点 ，
∴ ，
∴ 的最小值为1，此时 最长，
∴ ，
解得 ．
又∵点M在x轴负半轴，
∴点M的坐标为 ．
故选：D．
【点拨】本题考查配方法的应用，解题的关键是根据三角形的面积判断出 最小时， 最长．
10．（24-25八年级下·江苏苏州·期中）如图，四边形 是矩形， ， 是等边三角形，且
点 在射线 上，点 在射线 上，点 是 的中点，连接 ，则 长度的最小值为（ ）
A．3 B． C． D．
【答案】A
【分析】先以点 为坐标原点，分别以 所在的直线为 轴和 轴，建立平面直角坐标系，得出
，再求出点 ，运用两点的坐标且结合勾股定理表示 长度，即，即可作答．
解：以点 为坐标原点，分别以 所在的直线为 轴和 轴，建立平面直角坐标系，如图所示：
∵四边形 是矩形， ， 是等边三角形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
过点 作 ，
∴ ，
∴ ，
设
∴
∵点 是 的中点，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
则，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
当 时， ，
则 长度的最小值为 ，
故选：A．
【点拨】本题考查了点的坐标，30度的直角三角形，勾股定理，矩形的性质，等边三角形的性质，配方
法的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）
11．（24-25八年级下·上海闵行·阶段练习）方程 的解是 ．
【答案】 或
【分析】本题考查了直接开平方法，掌握直接开平方法解方程是解题的关键．根据直接开平方法求解方
程即可．
解： ，
，或 （舍去），
，
或 ．
故答案为： 或 ．
12．（23-24九年级上·四川成都·开学考试）若分式 的值为 ，则 的值为 ；若
，则 ．
【答案】 1 或
【分析】根据分式值为 的条件及配方法解一元二次方程即可求得答案．
本题考查分式值为 的条件及配方法解一元二次方程，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．
解：由分式值为 的条件可得 且 ，
解得： ；
，
移项得： ，
配方得： ，
即 ，
直接开平方得： ，
解得： 或 ；
故答案为： ； 或 ．
13．（2024九年级下·江苏无锡·竞赛）代数式 的最小值是 ．
【答案】
【分析】本题考查的是配方法的应用，掌握配方法的一般步骤，完全平方公式是解题的关键．根据配方法把原式变成平方和的形式，根据非负数的性质解答．
解：
=
=
因为任何数的平方都大于等于0，
所以 ， 那么 ，
当 ， 时，代数式取得最小值 ．
此时 ．
综上，该代数式的最小值是 ．
故答案为：
14．（23-24九年级上·山东威海·阶段练习）如果 ，则 ．
【答案】36
【分析】先将 变形成 ，进而求得a、b的值，然后再对
因式分解即可解答．
解：
，解得： ；
．
故答案为：36．【点拨】本题主要考查了配方法的应用、因式分解法的应用、非负数的性质等知识点，掌握完全平方公
式的结构并配方成平方和等于零的形式是解答本题的关键．
15．（24-25九年级上·福建泉州·期中）已知直角三角形的两条直角边的长是一元二次方程 的
两根，则该直角三角形的斜边的长等于 ．
【答案】
【分析】本题考查了解一元二次方程，勾股定理及二次根式的应用，求得方程的两个根是关键．解一元
二次方程，求得方程的两根，由勾股定理求得斜边的长．
解：解方程 ，
得： ， ，
即：直角三角形的两直角边分别 和 ，
由勾股定理得斜边长为： ．
故答案为： ．
16．（22-23八年级上·上海静安·期中）对于两个不相等的实数 ，我们规定符号 表示 中的
较大值，如： ，按照这个规定，如果 ，则此时 的
值是 ．
【答案】 或
【分析】根据 与 的大小关系，取 与 中的最大值化简所求方程，求出解即可．解：当 ，即 时，方程为 ，
去分母得： ，
解得： ，
经检验 是原方程的解；
当 ，即 时，方程为
去分母得： ，
解得： （不符合题意，舍）， ，
经检验 都为分式方程的解．
故答案为： 或 ．
【点拨】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程
求解．解分式方程一定注意要验根．
17．（22-23九年级上·浙江宁波·阶段练习）在平面直角坐标系中，点C、B分别在x轴、y轴上，
是等腰直角三角形， ，已知 ．M为BC的中点，当PM最短时，则M的坐标
为 ．
【答案】（ ， ）
【分析】设 ，过A作 轴于点D，过C作 轴，交AD于点E，证明 ，
进而用b表示C点坐标，再由中点公式求得M点的坐标．
解：过A作 轴于点D，过C作 轴，交AD于点E，如图所示，∵ ，
∴ ，
设 ，则 ，
∵ 是等腰直角三角形， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵M为BC的中点，
∴ ，
∴ ，
当 时，PM有最小值，
∴ ，故答案为： ．
【点拨】本题考查全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加辅
助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
18．（2023·江苏无锡·模拟预测）如图，正方形 和正方形 的边长分别为6和4，连接 ，H
为 的中点，连接 ．将正方形 绕点A旋转一周，则 的取值范围是 ；当C、F、G
三点共线时， 的长是 ．
【答案】 或
【分析】如图 1 中，在 的上方作正方形 ， 连接 ，求出 的取值范围，再利用三角形中
位线定理求解即可； 的长分两种情形，分别画出图形求解即可．
解：如图1中，在 的上方作正方形 ，
四边形 和四边形 是正方形，
， ，
H为 的中点，
，
，
， ，
，
，，
；
如图2中，当C，F，G三点共线时，连接 ， 过点D作 于点J， 交 的延长线于
点K，设 交 于点O，则 ，
四边形 和四边形 是正方形，
， ，
，
，
，
，
，
，
四边形 是矩形，
，
四边形 是正方形，
，
设 ，则 ，
，
，
或 （舍），
，
，
，，
，
，
如图3，当C，G，F三点共线时，
同理可得 ， ，
则 ，
综上所述， 的长为 或 ，
故答案为： ， 或 ．
【点拨】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，三角形
的中位线，解一元二次方程等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造三角形中位线解决问题，
学会用分类讨论的思考问题．
三、解答题（本大题共6小题，共58分）
19．（本小题满分8分）（24-25九年级上·云南昆明·期中）解方程：
（1）
（2）（配方法）
【答案】（1） ， ；（2）
【分析】本题考查了一元二次方程解法，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．
（1）先移项，进而根据直解开平方法解，即可求解．
（2）根据配方法解一元二次方程，即可求解．解：（1）解： ，
，
，
解得 ， ；
（2）解：
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 或 ，
解得： ．
20．（本小题满分8分）（24-25九年级上·福建莆田·期中）已知关于 的方程 只有
一个负根，求 的取值范围．
【答案】
【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，一元一次不等式组，熟练掌握以上知识点是解答本题的关
键．
先根据配方法解得 ，再根据关于 的方程 只有一个负根，列
出一元一次不等式组，解之即可求解．
解：由配方法解方程得： ，
，
，
，且原方程只有一个负根，，
，
的取值范围： ．
21．（本小题满分10分）（2025·河北·一模）如图，每个表格内包含一个运算，选定一个数后按照相应
顺序运算得出结果．
甲 乙 丙 丁
平
取倒数 取相反数 加2
方
（1）若选取数字2，按照丙乙丁甲的运算顺序列算式算出结果；
（2）如选取一个非负数后，按照丁乙丙的顺序运算后，结果为 ，求选取的数字．
【答案】（1） ；（2）0
【分析】本题涉及到倒数、平方、相反数等数学概念的运算及解一元二次方程，熟练掌握概念解一元二
次方程的解法是解题的关键。
（1）按照给定的运算顺序逐步计算即可。
（2）通过设未知数，根据运算顺序列出一元二次方程来求解。
解：（1）解：若选取数字2，按照丙乙丁甲的顺序运算得：
，
（2）解;设所选数字为x，根据运算程序所以列出方程：
，
∴ ，
解得 ， ，
∵所选数为非负数，
∴所选数为0．
22．（本小题满分10分）（24-25九年级上·河北石家庄·期末）已知关于 的一元二次方程．
（1）若方程有一个根为0，求实数 的值；
（2）当 时，等腰 的底边长和腰长分别是一元二次方程 的两个根．请
用配方法解此方程，并求出 的周长．
【答案】（1） 或 ；（2）13或11，详见分析
【分析】本题主要考查了方程的解，解一元二次方程，等腰三角形的定义以及三角形三边关系等知识点，
（1）将 代入原方程可得出关于a的一元二次方程，解方程求出a的值；
（2）先求解方程的解，再结合（1）以及等腰三角形的定义和三角形的三边关系，即可找出三角形的腰
长，再根据三角形的周长公式即可得出结论，将方程的解代入原方程求出a值是解题的关键．
解：（1）∵方程有一个根为0，
∴把 代入方程得 ，
∴ 或 ；
（2）当 时，方程为 ，
整理得 ，
配方得 ，
直接开平方得 或 ，
解得 ，
当 的底为3时，则该三角形的三边长为3，5，5，其周长为13，
当 的底为5时，则该三角形的三边长为5，3，3，其周长为11，
综上所述， 的周长为13或11．
23．（本小题满分10分）（24-25八年级上·北京·期中）小明在学习有关整式的知识时，发现一个有趣的
现象：对于关于 的多项式 ，由于 ，所以当 取任意一对互为相反数
的数时，多项式 的值是相等的．例如，当 ，即 或0时， 的值均为3；
当 ，即 或 时， 的值均为6．
于是小明给出一个定义：对于关于 的多项式，若当 取任意一对互为相反数的数时，该多项式的值相等，就称该多项式关于
对称．例如 关于 对称．
请结合小明的思考过程，运用此定义解决下列问题：
（1）多项式 关于 ______对称；
（2）若关于 的多项式 ．关于 对称，求 的值；
（3）整式 关于 ______对称．
【答案】（1）3；（2） ；（3）
【分析】本题主要考查了配方法的应用，灵活运用配方法以及新定义判断出对称轴是解题的关键．
（1）先对多项式进行配方，再根据新定义判断即可；
（2）求出 的对称轴，令对称轴 即可解答；
（3）先对多项式进行配方，再根据新定义判断即可．
解：（1）解： ，则多项式关于 对称．
故答案为：3．
（2）解：∵ ，
∴关于x的多项式 关于 对称，
∵关于 的多项式 ，关于 对称，
∴ ，
∴ ．
（3）解：∴关于 对称．
故答案为： ．
24．（本小题满分12分）（24-25八年级下·安徽淮北·阶段练习）【阅读理解】“配方法”是一种数学思
想方法，利用这种方法可以解决很多数学问题，下面是小明同学用配方法解一元二次方程
的过程：
解：移项得 ，
配方得 ，
所以 ，
直接开平方得 ，
所以 ．
【问题解决】
（1）小明配方的依据是（ ）
A．完全平方公式 B．平方差公式 C．多项式与多项式乘法法则
（2）用配方法解方程： ；
【拓展应用】
（1）已知 是实数，求代数式 的最小值；
（2）已知 都是实数，求代数式 的最小值．
【答案】[问题解决]（1）A；（2） ；[拓展应用]（1）4；（2）
【分析】本题主要考查利用完全平方公式下的配方法的应用，
[问题解决]（1）根据运算过程即可知为完全平方公式；
（2）结合配方法将原式变形为 ，再利用直接开平方法计算即可；[拓展应用]（1）利用配方法将原式化简为 ，结合 ，即有 ，则当 时，
有最小值4；
（2）将原式变形为 ，结合 ，即可知当 且 时，
有最小值 ．
解：[问题解决]（1）方程两边同时加上1，方程左边变成 ，即 ，右边变成2，
则运用的是完全平方公式，
故选：A；
（2）移项得 ，二次项系数化为1得 ，
配方得 ，即 ，
直接开平方得 ，
则 ；
[拓展应用]
（1） ．
无论 取什么数，都有 ，
，
当 时， 有最小值4，
即代数式 的最小值是4；
（2）．
无论 取什么数，都有 ，
，
当 且 时， 有最小值 ，
即代数式 的最小值是 ．
