文档内容
专题 22.4 二次函数与一元二次方程【六大题型】
【人教版】
【题型1 抛物线与x轴的交点情况】......................................................................................................................1
【题型2 抛物线与x轴交点上的四点问题】..........................................................................................................3
【题型3 由二次函数解一元二次方程】..................................................................................................................6
【题型4 由二次函数的图象求一元二次方程的近似解】.....................................................................................9
【题型5 由二次函数的图象解不等式】................................................................................................................11
【题型6 由二次函数与一次函数交点个数求范围】...........................................................................................13
【知识点1 二次函数图象与x轴的交点情况决定一元二次方程根的情况】
根的判别式 二次函数的图象 二次函数与x轴的交点坐标 一元二次方程根的情况
抛物线 与 x 一元二次方程
轴交于 ， 两
△＞0 有两个不相等的实数根
点，且 ，
此时称抛物线与x轴相交
一元二次方程
抛物线 与 x
△＝0 有两个相等的实数根
轴交切于 这一点，此时称
抛物线与x轴相切
一元二次方程
抛物线 与 x
△＜0
轴无交点，此时称抛物线与x轴相
在实数范围内无解（或
离
称无实数根）
【题型1 抛物线与x轴的交点情况】
【例1】（2022春•西湖区校级期末）抛物线 y＝（x﹣x ）（x﹣x ）+mx+n与x轴只有一个交点（x ，
1 2 1
0）．下列式子中正确的是（ ）
A．x﹣x＝m B．x﹣x＝m C．m（x﹣x）＝n D．m（x+x）＝n
1 2 2 1 1 2 1 2【分析】由抛物线与x轴只有一个交点（x，0）可得抛物线顶点式，从而可得x，x 与m的关系．
1 1 2
【解答】解：∵抛物线经过（x，0），且抛物线与x轴只有一个交点，
1
∴抛物线顶点坐标为（x，0），y＝（x﹣x）2，
1 1
∴x2﹣2xx+x2=（x﹣x）（x﹣x）+mx+n＝x2﹣（x+x﹣m）x+xx+n，
1 1 1 2 1 2 1 2
∴x+x﹣m＝2x，即x﹣x＝m，
1 2 1 2 1
故选：B．
【变式1-1】（2022春•澧县校级月考）抛物线y＝x2+2x﹣3与坐标轴的交点个数有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【分析】由b2﹣4ac的大小可判断抛物线与x轴交点个数，由c的大小可判断抛物线与y轴的交点，进
而求解．
【解答】解：∵y＝x2+2x﹣3，
∴a＝1，b＝2，c＝﹣3，
∴b2﹣4ac＝22+12＝16＞0，
∴抛物线与x轴有2个交点，
∵c＝﹣3，
∴抛物线与y轴交点为（0．﹣3），
∴抛物线与坐标轴有3个交点，
故选：D．
【变式1-2】（2022•广阳区一模）已知抛物线y＝﹣3x2+bx+c与x轴只有一个交点，且过点A（m﹣2，
n），B（m+4，n），则n的值为（ ）
A．﹣9 B．﹣16 C．﹣18 D．﹣27
【分析】根据点A、B的坐标易求该抛物线的对称轴是直线x＝m+1．故设抛物线解析式为y＝﹣3（x﹣
m﹣1）2，直接将A（m﹣2，n）代入，通过解方程来求n的值．
【解答】解：∵抛物线y＝﹣3x2+bx+c过点A（m﹣2，n）、B（m+4，n），
∴对称轴是直线x＝m+1，
又∵抛物线y＝x2+bx+c与x轴只有一个交点，
∴顶点为（m+1，0），
∴设抛物线解析式为y＝﹣3（x﹣m﹣1）2，
把A（m﹣2，n）代入，得：
n＝﹣3（m﹣2﹣m﹣1）2＝﹣27，即n＝﹣27．
故选：D．
【变式1-3】（2022春•汉滨区期中）已知抛物线y＝x2+bx+c与x轴的两个交点之间的距离为6，对称轴为
x＝3，则抛物线的顶点P关于x轴对称的点P'的坐标是（ ）
A．（3，9） B．（3，﹣9） C．（﹣3，9） D．（﹣3，﹣9）
【分析】根据抛物线y＝x2+bx+c与x轴两个交点间的距离为6．对称轴为直线x＝3，可以得到b、c的值，
然后即可得到该抛物线的解析式，再将函数解析式化为顶点式，即可得到点P的坐标，然后根据关于x
轴对称的点的特点横坐标不变，纵坐标互为相反数，即可得到点P关于x轴的对称点的坐标．
【解答】解：设抛物线y＝x2+bx+c与x轴两个交点坐标为（x，0），（x，0），
1 2
∵抛物线y＝x2+bx+c与x轴两个交点间的距离为6，对称轴为直线x＝3，
b
∴（x﹣x）2＝（x+x）2﹣4xx＝36，- =3，
1 2 1 2 1 2
2×1
∴（﹣b）2﹣4×c＝36，b＝﹣6，
解得：c＝0，
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣6x＝（x﹣3）2﹣9，
∴顶点P的坐标为（3，﹣9），
∴点P关于x轴的对称点的坐标是（3，9），
故选：A．
【题型2 抛物线与x轴交点上的四点问题】
【例2】（2022•武汉模拟）二次函数与一元二次方程有着紧密的联系，一元二次方程问题有时可以转化为
二次函数问题．请你根据这句话所提供的思想方法解决如下问题：若s，t（s＜t）是关于x的方程1+（x
﹣m）（x﹣n）＝0的两根，且m＜n，则m，n，s，t的大小关系是（ ）
A．s＜m＜n＜t B．m＜s＜n＜t C．m＜s＜t＜n D．s＜m＜t＜n
【分析】由y＝（x﹣m）（x﹣n）可得抛物线与x轴交点坐标为（m，0），（n，0），开口向上，则抛
物线y＝（x﹣m）（x﹣n）与直线y＝﹣1的交点坐标为（s，﹣1），（t，﹣1），从而可得m，n，s，t
的大小关系．
【解答】解：由1+（x﹣m）（x﹣n）＝0可得（x﹣m）（x﹣n）＝﹣1，
由y＝（x﹣m）（x﹣n）可得抛物线y＝（x﹣m）（x﹣n）与x轴交点坐标为（m，0），（n，0），抛
物线开口向上，
则抛物线y＝（x﹣m）（x﹣n）与直线y＝﹣1的交点在x轴下方，坐标为（s，﹣1），（t，﹣1），
∴m＜s＜t＜n．故选：C．
【变式2-1】（2022•定远县模拟）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，图象过点（﹣1，
0），对称轴为直线x＝2，方程a（x+1）（x﹣5）＝﹣3的两根为x 和x，且x＜x，则下列结论正确的
1 2 1 2
是（ ）
A．x＜﹣1＜5＜x B．x＜﹣1＜x＜5 C．﹣1＜x＜5＜x D．﹣1＜x＜x＜5
1 2 1 2 1 2 1 2
【分析】方程a（x+1）（x﹣5）＝﹣3的两根即为抛物线y＝a（x+1）（x﹣5）与直线y＝﹣3交点的横
坐标，据此可判断选项．
【解答】解：令y＝a（x+1）（x﹣5），
则抛物线y＝a（x+1）（x﹣5）与y＝ax2+bx+c形状相同、开口方向相同，且与x轴的交点为（﹣1，
0）、（5，0），
函数图象如图所示，
由函数图象可知方程a（x+1）（x﹣5）＝﹣3的两根即为抛物线y＝a（x+1）（x﹣5）与直线y＝﹣3交
点的横坐标，
∴x＜﹣1＜5＜x，
1 2
故选：A．
【变式2-2】（2022•张店区期末）已知二次函数y＝（x﹣1）2﹣t2（t是常数，且t≠0），方程（x﹣1）2﹣
t2﹣1＝0的两根分别为m，n（m＜n），方程（x﹣1）2﹣t2﹣3＝0的两根分别为p，q（p＜q），判断
m，n，p，q的大小关系是（ ）
A．p＜q＜m＜n B．p＜m＜n＜q C．m＜p＜q＜n D．m＜n＜p＜q
【分析】在平面直角坐标系中画出二次函数y＝（x﹣1）2﹣t2（t是常数，且t≠0）的图象，再作出直线y＝1，y＝3，它们与抛物线交于A，B和C，D，分别过交点作x轴的垂线，则垂足对应的数值为题干中
方程的根，利用数形结合的方法即可得出结论．
【解答】解：在平面直角坐标系中画出二次函数y＝（x﹣1）2﹣t2（t是常数，且t≠0）的图象如下图：
作直线y＝1与抛物线y＝（x﹣1）2﹣t2（t是常数，且t≠0）交于A，B，
分别经过A，B作x轴的垂线，垂足对应的数值分别为m，n，
∴m，n是方程（x﹣1）2﹣t2﹣1＝0的两根；
作直线y＝3与抛物线y＝（x﹣1）2﹣t2（t是常数，且t≠0）交于C，D，
分别经过AC，D作x轴的垂线，垂足对应的数值分别为p，q，
∴p，q是方程（x﹣1）2﹣t2﹣3＝0的两根．
由图象可知m，n，p，q的大小关系是：p＜m＜n＜q．
故选：B．
【变式2-3】（2022•河东区期末）已知抛物线y＝x2+bx+c的图象与x轴的两交点的横坐标分别α，β（α＜
β），而x2+bx+c﹣2＝0的两根为M、N（M＜N），则α、β、M、N的大小顺序为（ ）
A．α＜β＜M＜N B．M＜α＜β＜N C．α＜M＜β＜N D．M＜α＜N＜β
【分析】依题意画出函数y＝（x﹣α）（x﹣β）和y＝2的图象草图，根据二次函数的图象可直接求解．
【解答】解：依题意，画出函y＝（x﹣α）（x﹣β）的图象，如图所示．函数图象为抛物线，开口向上，与x轴两个交点的横坐标分别为α，β（α＜β），
方程x2+bx+c﹣2＝0的两根是抛物线y＝（x﹣α）（x﹣β）与直线y＝2的两个交点．
由M＜N，可知对称轴左侧交点横坐标为M，右侧为N．
由图象可知，M＜α＜β＜N，
故选：B．
【题型3 由二次函数解一元二次方程】
【例3】（2022•娄底一模）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过（﹣1，0）与（3，0）两点，关于x的
方程ax2+bx+c+m＝0（m＞0）有两个根，其中一个根是5．则关于x的方程ax2+bx+c+n＝0（0＜n＜m）
有两个整数根，这两个整数根是（ ）
A．﹣2或4 B．﹣2或0 C．0或4 D．﹣2或5
【分析】根据二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过（﹣1，0）与（3，0）两点求对称轴，后面两个方程二
次项、一次项系数没变，所以两根的和也不变还是2．
【解答】解：∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过（3，0）与（﹣1，0）两点，
∴当y＝0时，0＝ax2+bx+c的两个根为3和﹣1，函数y＝ax2+bx+c的对称轴是直线x＝1，
又∵关于x的方程ax2+bx+c+m＝0（m＞0）有两个根，其中一个根是5．
∴方程ax2+bx+c+m＝0（m＞0）的另一个根为﹣3，函数y＝ax2+bx+c的图象开口向下，
如图，∵0＜n＜m，
∴﹣m＞﹣m，
∵关于x的方程ax2+bx+c+n＝0 （0＜n＜m）有两个整数根，
∴直线y＝﹣n与y＝ax2+bx+c的交点的横坐标为﹣2，4，
∴这关于x的方程ax2+bx+c+n＝0 （0＜n＜m）有两个整数根，是﹣2或4，
故选：A．
【变式3-1】（2022•潮南区模拟）已知二次函数y＝ax2﹣2ax+c（a≠0）的图象与x轴的一个交点为（﹣
1，0），则关于x的一元二次方程ax2﹣2ax+c＝0的根是 x ＝﹣ 1 ， x ＝ 3 ．
1 2
【分析】利用二次函数y＝ax2﹣2ax+c的解析式求得抛物线的顶点坐标，利用抛物线的对称性求得抛物
线与x轴的另一个交点，再利用抛物线与x轴的交点的横坐标与一元二次方程的根的关系得出结论．
【解答】解：∵y＝ax2﹣2ax+c，
-2a
∴抛物线的对称轴为直线x=- =1．
2a
∵二次函数y＝ax2﹣2ax+c（a≠0）的图象与x轴的一个交点为（﹣1，0），
∴该抛物线与x轴的另一个交点为（3，0）．
∴关于x的一元二次方程ax2﹣2ax+c＝0的根是：x＝﹣1，x＝3．
1 2
故答案为：x＝﹣1，x＝3．
1 2
【变式3-2】（2022•咸宁一模）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数，且a≠0）的y与x的部分对
应值如下表：
x ﹣5 ﹣4 ﹣2 0 2
y 6 0 ﹣6 ﹣4 6
则关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的根是 x ＝﹣ 4 ， x ＝ 1 ．
1 2
【分析】由抛物线经过点（﹣5，6），（2，6）可得抛物线对称轴，根据抛物线对称性及抛物线经过（﹣4，0）求解．
-5+2 3
【解答】解：由抛物线经过点（﹣5，6），（2，6）可得抛物线抛物线对称轴为直线x= =- ，
2 2
3
∵抛物线经过（﹣4，0），对称轴为直线x=- ，
2
∴抛物线经过（1，0），
∴一元二次方程ax2+bx+c＝0的根是x＝﹣4，x＝1．
1 2
故答案为：x＝﹣4，x＝1．
1 2
【变式3-3】（2022•永嘉县校级模拟）已知二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象经过（﹣1，0）与（5，0）两点，
且关于x的方程﹣x2+bx+c+d＝0有两个根，其中一个根是6，则d的值为（ ）
A．5 B．7 C．12 D．﹣7
【分析】先由二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象经过（﹣1，0）与（5，0）两点，求出b、c，再把b、c代
入方程﹣x2+bx+c+d＝0后，由方程的根是6求出d．
【解答】解：∵二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象经过（﹣1，0）与（5，0）两点，
{-1-b+c=0
∴ ，
-25+5b+c=0
{b=4
解得： ，
c=5
将b＝4，c＝5代入方程﹣x2+bx+c+d＝0，
可得：﹣x2+4x+5+d＝0，
又∵关于x的方程﹣x2+4x+5+d＝0有两个根，其中一个根是6，
∴把x＝6代入方程﹣x2+4x+5+d＝0，
得：﹣36+4×6+5+d＝0，
解得：d＝7，
经验证d＝7时，Δ＞0，符合题意，
∴d＝7．
故选：B．
【知识点2 求一元二次方程的近似解的方法（图象法）】
（1）作出函数的图象，并由图象确定方程的解的个数；
（2）由图象与y=h的交点位置确定交点横坐标的范围；
（3）观察图象求得方程的根（由于作图或观察存在误差，由图象求得的根一般是近似的）．
【题型4 由二次函数的图象求一元二次方程的近似解】
【例4】（2022•平度市期末）如表给出了二次函数y＝x2+2x﹣10中x，y的一些对应值，则可以估计一元二次方程x2+2x﹣10＝0的一个近似解为（ ）
x … 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 …
y … ﹣1.39 ﹣0.76 ﹣0.11 0.56 1.25 …
A．2.2 B．2.3 C．2.4 D．2.5
【分析】根据函数值，可得一元二次方程的近似根．
【解答】解：如图：
x＝2.3，y＝﹣0.11，x＝2.4，y＝0.56，x2+2x﹣10＝0的一个近似根是2.3．
故选：B．
【变式4-1】（2022•灌云县期末）已知二次函数y＝ax2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如表，则
方程ax2+bx+c＝0的一个解的范围是 6.1 8 ＜ x ＜ 6.1 9 ．
x 6.17 6.18 6.19 6.20
y ﹣0.03 ﹣0.01 0.02 0.04
【分析】根据表格中自变量、函数的值的变化情况，得出当y＝0时，相应的自变量的取值范围即可．
【解答】解：由表格数据可得，当x＝6.18时，y＝﹣0.01，当x＝6.19时，y＝0.02，
于是可得，当y＝0时，相应的自变量x的取值范围为6.18＜x＜6.19，
故答案为：6.18＜x＜6.19．
【变式4-2】（2022•渠县一模）如图，是二次函数y＝ax2+bx﹣c的部分图象，由图象可知关于x的一元二
次方程ax2+bx＝c的两个根可能是 x ＝ 0. 8 ， x ＝ 3. 2 合理即可 ．（精确到0.1）
1 2【分析】直接利用抛物线与x轴交点的位置估算出两根的大小．
【解答】解：由图象可知关于x的一元二次方程ax2+bx＝c的两个根可能是：x＝0.8，x＝3.2合理即可．
1 2
故答案为：x＝0.8，x＝3.2合理即可．
1 2
【变式4-3】（2022秋•萍乡期末）代数式ax2+bx+c（a≠0，a，b，c是常数）中，x与ax2+bx+c的对应值
如下表：
x ﹣1 1 0 1 1 3 2 5 3
-
2 2 2 2
ax2+bx ﹣2 1 1 7 2 7 1 1 ﹣2
- -
+c 4 4 4 4
请判断一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0，a，b，c是常数）的两个根x ，x 的取值范围是下列选项中的
1 2
（ ）
1 3 1 5
A．- ＜x＜0， ＜x＜2 B．﹣1＜x＜- ，2＜x＜
1 2 1 2
2 2 2 2
1 5 1 3
C．- ＜x＜0，2＜x＜ D．﹣1＜x＜- ， ＜x＜2
1 2 1 2
2 2 2 2
1
【分析】观察表格可知，在x＜1时，随x值的增大，代数式ax2+bx+c的值逐渐增大，x的值在- ～0
2
1
之间，代数式ax2+bx+c的值由负到正，故可判断ax2+bx+c＝0时，对应的x的值在- ～0之间，在x＞1
2
5
时，随x的值增大，代数式ax2+bx+c逐渐减小，x的值在2～ 之间，代数式ax2+bx+c的值由正到负，
2
5
故可判断ax2+bx+c＝0时，对应的x的值在2～ 之间，
2
1 5
【解答】解：根据表格可知，代数式ax2+bx+c＝0时，对应的x的值在- ～0和2～ 之间，
2 21
即：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0，a，b，c是常数）的两个根x ，x 的取值范围是- ＜x ＜0，2
1 2 1
2
5
＜x＜
2
2
故选：C．
【题型5 由二次函数的图象解不等式】
【例5】（2022秋•垦利区期末）如图，抛物线y＝ax2+c与直线y＝mx+n交于A（﹣1，p），B（3，q）两
点，则不等式ax2﹣mx+c＜n的解集为（ ）
A．x＞﹣1 B．x＜3 C．﹣1＜x＜3 D．x＜﹣3或x＞1
【分析】由抛物线与直线交点横坐标确定直线在抛物线上方时x的取值范围．
【解答】解：∵A（﹣1，p），B（3，q），
∴﹣1＜x＜3时，直线在抛物线上方，即﹣1＜x＜3时，ax2+c＜mx+n，
∴不等式ax2﹣mx+c＜n的解集为﹣1＜x＜3．
故选：C．
【变式5-1】（2022•定远县二模）抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如
下表：
x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 …
y … 0 4 6 6 4 …
请求出当y＜0时x的取值范围 x ＜﹣ 2 或 x ＞ 3 ．
【分析】把点（0，6）代入求出c，把点（﹣1，4）和（1，6）代入抛物线的解析式列方程组，解出可
得a、b，即可得抛物线的解析式，进而可列不等式求出y＜0时x的取值范围．
【解答】解：由表得，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）过点（0，6），
∴c＝6，
∵抛物线y＝ax2+bx+6过点（﹣1，4）和（1，6），
{a-b+6=4
∴ ，
a+b+6=6{a=-1
解得： ，
b=1
∴二次函数的表达式为：y＝﹣x2+x+6，
所以令﹣x2+x+6＜0，
解得：x＜﹣2或x＞3．
故答案为：x＜﹣2或x＞3．
【变式5-2】（2022•工业园区校级模拟）若二次函数y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数）的图象如图所示，则
关于x的不等式a（x+2）2+b（x+2）+c＜0的解集为 x ＜﹣ 1 或 x ＞ 1 ．
【分析】根据图象可得x＜1或x＞3时ax2+bx+c＜0，则a（x+2）2+b（x+2）+c＜0时x+2＜1或x+2＞
3，进而求解．
【解答】解：由图象可得x＜1或x＞3时ax2+bx+c＜0，
∴当a（x+2）2+b（x+2）+c＜0时，x+2＜1或x+2＞3，
解得x＜﹣1或x＞1，
故答案为：x＜﹣1或x＞1．
【变式5-3】（2022•驿城区校级期末）如图，二次函数y＝x2﹣4x+m的图象与y轴交于点C，点B是点C
关于该二次函数图象的对称轴对称的点．已知一次函数y＝kx+b的图象经过该二次函数图象上点A（1，
0）及点B．则满足kx+b≥x2﹣4x+m的x的取值范围是（ ）
A．x≤1或x≥4 B．1≤x≤4 C．x≤1或x≥5 D．1≤x≤5
【分析】由二次函数解析式可得抛物线对称轴为直线x＝2，从而可得点B横坐标，进而求解．
【解答】解：∵y＝x2﹣4x+m，
∴抛物线对称轴为直线x＝2，∵点B和点C关于直线x＝2对称，
∴点B横坐标为4，
∵点A横坐标为1，
∴1≤x≤4时，kx+b≥x2﹣4x+m，
故选：B．
【题型6 由二次函数与一次函数交点个数求范围】
【例6】（2022•虞城县三模）已知抛物线y＝a（x﹣2）2+c（a＞0）．
（1）若抛物线与直线y＝mx+n交于（1，0），（5，8）两点．
①求抛物线和直线的函数解析式；
②直接写出当a（x﹣2）2+c＞mx+n时自变量x的取值范围．
（2）若a＝c，线段AB的两个端点坐标分别为A（0，3），B（3，3），当抛物线与线段AB有唯一公
共点时，直接写出a的取值范围．
【分析】（1）①利用待定系数法求解析式即可，②抛物线开口向上，数形结合直接写出答案；
（2）结合抛物线和线段AB，分情况讨论求a的取值范围．
【解答】解：（1）①∵抛物线y＝a（x﹣2）2+c与直线y＝mx+n交于（1，0），（5，8）两点，
{a+c=0 {m+n=0
∴ ， ，
9a+c=8 5m+n=8
{a=1 {m=2
解得 ， ，
c=-1 n=-2
∴抛物线和直线的函数解析式分别为y＝（x﹣2）2﹣1，y＝2x﹣2．
②∵a＞0，抛物线开口向上，抛物线与直线y＝mx+n交于（1，0），（5，8）两点，
∴当a（x﹣2）2+c＞mx+n时自变量x的取值范围为x＜1或x＞5．
（2）若a＝c，则抛物线y＝a（x﹣2）2+a（a＞0），
∴开口向上，对称轴为x＝2，顶点坐标为（2，a），
当抛物线顶点在线段AB上时有唯一公共点，此时a＝3，
当抛物线顶点在线段AB下方时，
3
当经过B（3，3）时，a+a＝3，解得a= ，
2
3
当经过A（0，3）时，4a+a＝3，解得a= ，
5
3 3
∴当抛物线与线段AB有唯一公共点时，a的取值范围为 ≤a＜ 或a＝3．
5 2
【变式6-1】（2022•余姚市一模）已知：一次函数y＝2x﹣2，二次函数y＝﹣x2+bx+c（b，c为常数），
1 2（1）如图，两函数图象交于点（3，m），（n，﹣6）．求二次函数的表达式，并写出当y ＜y 时x的
1 2
取值范围．
（2）请写出一组b，c的值，使两函数图象只有一个公共点，并说明理由．
【分析】（1）将（3，m），（n，﹣6）代入直线解析式求出点坐标，然后通过待定系数法求解，根据
图象可得y＜y 时x的取值范围．
1 2
（2）﹣x2+bx+c＝2x﹣2，由Δ＝0求解．
【解答】解：（1）将（3，m）代入y＝2x﹣2得m＝6﹣2＝4，
1
将（n，﹣6）代入y＝2x﹣2得﹣6＝2n﹣2，
1
解得n＝﹣2，
∴抛物线经过点（3，4），（﹣2，﹣6），
{ 4=-9+3b+c
将（3，4），（﹣2，﹣6）代入y＝﹣x2+bx+c得 ，
2 -6=-4-2b+c
{b=3
解得 ，
c=4
∴y＝﹣x2+3x+4，
由图象可得﹣2＜x＜3时，抛物线在直线上方，
∴y＜y 时x的取值范围是﹣2＜x＜3．
1 2
（2）令﹣x2+bx+c＝2x﹣2，整理得x2+（2﹣b）x﹣（2+c）＝0，
当Δ＝（2﹣b）2+4（2+c）＝0时，两函数图象只有一个公共点，
∴b＝2，c＝﹣2，满足题意．
【变式6-2】（2022•河南模拟）小新对函数y＝a|x2+bx|+c（a≠0）的图象和性质进行了探究．已知当自变
量x的值为0或4时，函数值都为﹣3；当自变量x的值为1或3时，函数值都为0．探究过程如下，请
补充完整．（1）这个函数的表达式为 y ＝ | x 2 ﹣ 4 x | ﹣ 3 ；
（2）在给出的平面直角坐标系中，画出这个函数的图象并写出这个函数的一条性质： 函数关于直线
x ＝ 2 对称 ；
（3）进一步探究函数图象并解决问题：
①直线y＝k与函数y＝a|x2+bx|+c有三个交点，则k＝ 1 ；
②已知函数y＝x﹣3的图象如图所示，结合你所画的函数图象，写出不等式 a|x2+bx|+c≤x﹣3的解集：
x ＝ 0 或 3 ≤ x ≤ 5 ．
【分析】（1）将x＝0，y＝﹣3；x＝4，y＝﹣3；x＝1，y＝0代入y＝a|x2+bx|+c（a≠0），得到：c＝﹣
3，b＝﹣4，a＝1，即可求解析式为y＝|x2﹣4x|﹣3；
（2）描点法画出函数图象，函数关于x＝2对称；
（3）①从图象可知：当x＝2时，y＝1，k＝1时直线y＝k与函数y＝|x2﹣4x|﹣3有三个交点；
②y＝x﹣3与y＝x2﹣4x﹣3的交点为x＝0或x＝5，结合图象，y＝|x2﹣4x|﹣3≤x﹣3的解集为3≤x≤5．
【解答】解：（1）将x＝0，y＝﹣3；x＝4，y＝﹣3；x＝1，y＝0代入y＝a|x2+bx|+c（a≠0），
得到：c＝﹣3，b＝﹣4，a＝1，
∴y＝|x2﹣4x|﹣3，
故答案为：y＝|x2﹣4x|﹣3；
（2）如图：函数关于直线x＝2对称，
故答案为：函数关于直线x＝2对称；
（3）①当x＝2时，y＝1，
∴k＝1时直线y＝k与函数y＝|x2﹣4x|﹣3有三个交点，
故答案为1；
②y＝x﹣3与y＝|x2﹣4x|﹣3的交点为x＝0或x＝3，
结合图象，y＝|x2﹣4x|﹣3≤x﹣3的解集为x＝0或3≤x≤5，
故答案为：x＝0或3≤x≤5．
1
【变式6-3】（2022•海珠区一模）令a、b、c三个数中最大数记作max{a，b，c}，直线y= x+t与函数y＝
2
65
max{﹣x2+4，x﹣2，﹣x﹣2}的图象有且只有3个公共点，则t的值为 1 或 ．
16
【分析】只需画出函数y＝max{﹣x2+4，x﹣2，﹣x﹣2}的图象，然后结合图象并运用分类讨论的思想，
就可解决问题．
【解答】解：在直角坐标系中画出函数y＝max{﹣x2+4，x﹣2，﹣x﹣2}的图象，如图所示．1
当直线y= x+t经过（﹣2，0）或与抛物线y＝﹣x2+4相切时，
2
1
直线y= x+t与函数y＝max{﹣x2+4，x﹣2，﹣x﹣2}的图象有且只有3个公共点．
2
1
①若直线y= x+t经过（﹣2，0），
2
1
则有0= ×（﹣2）+t，
2
解得t＝1；
1
②若直线y= x+t与抛物线y＝﹣x2+4相切，
2
1 1
则关于x的方程 x+t＝﹣x2+4即x2+ x+t﹣4＝0有两个相等的实数根，
2 2
1
则△＝（ ）2﹣4×1×（t﹣4）＝0，
2
65
解得t= ．
16
65
综上所述：t＝1或 ．
16
65
故答案为1或 ．
16
