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专题 22.4 二次函数与一元二次方程【六大题型】
【人教版】
【题型1 抛物线与x轴的交点情况】......................................................................................................................1
【题型2 抛物线与x轴交点上的四点问题】..........................................................................................................2
【题型3 由二次函数解一元二次方程】..................................................................................................................3
【题型4 由二次函数的图象求一元二次方程的近似解】.....................................................................................3
【题型5 由二次函数的图象解不等式】..................................................................................................................4
【题型6 由二次函数与一次函数交点个数求范围】.............................................................................................5
【知识点1 二次函数图象与x轴的交点情况决定一元二次方程根的情况】
根的判别式 二次函数的图象 二次函数与x轴的交点坐标 一元二次方程根的情况
抛物线 与 x 一元二次方程
轴交于 ， 两
△＞0 有两个不相等的实数根
点，且 ，
此时称抛物线与x轴相交
一元二次方程
抛物线 与 x
△＝0 有两个相等的实数根
轴交切于 这一点，此时称
抛物线与x轴相切
一元二次方程
抛物线 与 x
△＜0
轴无交点，此时称抛物线与x轴相
在实数范围内无解（或
离
称无实数根）
【题型1 抛物线与x轴的交点情况】
【例1】（2022春•西湖区校级期末）抛物线 y＝（x﹣x ）（x﹣x ）+mx+n与x轴只有一个交点（x ，
1 2 1
0）．下列式子中正确的是（ ）
A．x﹣x＝m B．x﹣x＝m C．m（x﹣x）＝n D．m（x+x）＝n
1 2 2 1 1 2 1 2【变式1-1】（2022春•澧县校级月考）抛物线y＝x2+2x﹣3与坐标轴的交点个数有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【变式1-2】（2022•广阳区一模）已知抛物线y＝﹣3x2+bx+c与x轴只有一个交点，且过点A（m﹣2，
n），B（m+4，n），则n的值为（ ）
A．﹣9 B．﹣16 C．﹣18 D．﹣27
【变式1-3】（2022春•汉滨区期中）已知抛物线y＝x2+bx+c与x轴的两个交点之间的距离为6，对称轴为
x＝3，则抛物线的顶点P关于x轴对称的点P'的坐标是（ ）
A．（3，9） B．（3，﹣9） C．（﹣3，9） D．（﹣3，﹣9）
【题型2 抛物线与x轴交点上的四点问题】
【例2】（2022•武汉模拟）二次函数与一元二次方程有着紧密的联系，一元二次方程问题有时可以转化为
二次函数问题．请你根据这句话所提供的思想方法解决如下问题：若s，t（s＜t）是关于x的方程1+（x
﹣m）（x﹣n）＝0的两根，且m＜n，则m，n，s，t的大小关系是（ ）
A．s＜m＜n＜t B．m＜s＜n＜t C．m＜s＜t＜n D．s＜m＜t＜n
【变式2-1】（2022•定远县模拟）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，图象过点（﹣1，
0），对称轴为直线x＝2，方程a（x+1）（x﹣5）＝﹣3的两根为x 和x，且x＜x，则下列结论正确的
1 2 1 2
是（ ）
A．x＜﹣1＜5＜x B．x＜﹣1＜x＜5 C．﹣1＜x＜5＜x D．﹣1＜x＜x＜5
1 2 1 2 1 2 1 2
【变式2-2】（2022•张店区期末）已知二次函数y＝（x﹣1）2﹣t2（t是常数，且t≠0），方程（x﹣1）2﹣
t2﹣1＝0的两根分别为m，n（m＜n），方程（x﹣1）2﹣t2﹣3＝0的两根分别为p，q（p＜q），判断
m，n，p，q的大小关系是（ ）
A．p＜q＜m＜n B．p＜m＜n＜q C．m＜p＜q＜n D．m＜n＜p＜q
【变式2-3】（2022•河东区期末）已知抛物线y＝x2+bx+c的图象与x轴的两交点的横坐标分别α，β（α＜
β），而x2+bx+c﹣2＝0的两根为M、N（M＜N），则α、β、M、N的大小顺序为（ ）
A．α＜β＜M＜N B．M＜α＜β＜N C．α＜M＜β＜N D．M＜α＜N＜β
【题型3 由二次函数解一元二次方程】
【例3】（2022•娄底一模）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过（﹣1，0）与（3，0）两点，关于x的方程ax2+bx+c+m＝0（m＞0）有两个根，其中一个根是5．则关于x的方程ax2+bx+c+n＝0（0＜n＜m）
有两个整数根，这两个整数根是（ ）
A．﹣2或4 B．﹣2或0 C．0或4 D．﹣2或5
【变式3-1】（2022•潮南区模拟）已知二次函数y＝ax2﹣2ax+c（a≠0）的图象与x轴的一个交点为（﹣
1，0），则关于x的一元二次方程ax2﹣2ax+c＝0的根是 ．
【变式3-2】（2022•咸宁一模）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数，且a≠0）的y与x的部分对
应值如下表：
x ﹣5 ﹣4 ﹣2 0 2
y 6 0 ﹣6 ﹣4 6
则关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的根是 ．
【变式3-3】（2022•永嘉县校级模拟）已知二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象经过（﹣1，0）与（5，0）两点，
且关于x的方程﹣x2+bx+c+d＝0有两个根，其中一个根是6，则d的值为（ ）
A．5 B．7 C．12 D．﹣7
【知识点2 求一元二次方程的近似解的方法（图象法）】
（1）作出函数的图象，并由图象确定方程的解的个数；
（2）由图象与y=h的交点位置确定交点横坐标的范围；
（3）观察图象求得方程的根（由于作图或观察存在误差，由图象求得的根一般是近似的）．
【题型4 由二次函数的图象求一元二次方程的近似解】
【例4】（2022•平度市期末）如表给出了二次函数y＝x2+2x﹣10中x，y的一些对应值，则可以估计一元
二次方程x2+2x﹣10＝0的一个近似解为（ ）
x … 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 …
y … ﹣1.39 ﹣0.76 ﹣0.11 0.56 1.25 …
A．2.2 B．2.3 C．2.4 D．2.5
【变式4-1】（2022•灌云县期末）已知二次函数y＝ax2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如表，则
方程ax2+bx+c＝0的一个解的范围是 ．
x 6.17 6.18 6.19 6.20
y ﹣0.03 ﹣0.01 0.02 0.04
【变式4-2】（2022•渠县一模）如图，是二次函数y＝ax2+bx﹣c的部分图象，由图象可知关于x的一元二
次方程ax2+bx＝c的两个根可能是 ．（精确到0.1）【变式4-3】（2022秋•萍乡期末）代数式ax2+bx+c（a≠0，a，b，c是常数）中，x与ax2+bx+c的对应值
如下表：
x ﹣1 1 0 1 1 3 2 5 3
-
2 2 2 2
ax2+bx ﹣2 1 1 7 2 7 1 1 ﹣2
- -
+c 4 4 4 4
请判断一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0，a，b，c是常数）的两个根x ，x 的取值范围是下列选项中的
1 2
（ ）
1 3 1 5
A．- ＜x＜0， ＜x＜2 B．﹣1＜x＜- ，2＜x＜
1 2 1 2
2 2 2 2
1 5 1 3
C．- ＜x＜0，2＜x＜ D．﹣1＜x＜- ， ＜x＜2
1 2 1 2
2 2 2 2
【题型5 由二次函数的图象解不等式】
【例5】（2022秋•垦利区期末）如图，抛物线y＝ax2+c与直线y＝mx+n交于A（﹣1，p），B（3，q）两
点，则不等式ax2﹣mx+c＜n的解集为（ ）
A．x＞﹣1 B．x＜3 C．﹣1＜x＜3 D．x＜﹣3或x＞1
【变式5-1】（2022•定远县二模）抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如
下表：
x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 …y … 0 4 6 6 4 …
请求出当y＜0时x的取值范围 ．
【变式5-2】（2022•工业园区校级模拟）若二次函数y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数）的图象如图所示，则
关于x的不等式a（x+2）2+b（x+2）+c＜0的解集为 ．
【变式5-3】（2022•驿城区校级期末）如图，二次函数y＝x2﹣4x+m的图象与y轴交于点C，点B是点C
关于该二次函数图象的对称轴对称的点．已知一次函数y＝kx+b的图象经过该二次函数图象上点A（1，
0）及点B．则满足kx+b≥x2﹣4x+m的x的取值范围是（ ）
A．x≤1或x≥4 B．1≤x≤4 C．x≤1或x≥5 D．1≤x≤5
【题型6 由二次函数与一次函数交点个数求范围】
【例6】（2022•虞城县三模）已知抛物线y＝a（x﹣2）2+c（a＞0）．
（1）若抛物线与直线y＝mx+n交于（1，0），（5，8）两点．
①求抛物线和直线的函数解析式；
②直接写出当a（x﹣2）2+c＞mx+n时自变量x的取值范围．
（2）若a＝c，线段AB的两个端点坐标分别为A（0，3），B（3，3），当抛物线与线段AB有唯一公
共点时，直接写出a的取值范围．【变式6-1】（2022•余姚市一模）已知：一次函数y＝2x﹣2，二次函数y＝﹣x2+bx+c（b，c为常数），
1 2
（1）如图，两函数图象交于点（3，m），（n，﹣6）．求二次函数的表达式，并写出当 y ＜y 时x的
1 2
取值范围．
（2）请写出一组b，c的值，使两函数图象只有一个公共点，并说明理由．
【变式6-2】（2022•河南模拟）小新对函数y＝a|x2+bx|+c（a≠0）的图象和性质进行了探究．已知当自变
量x的值为0或4时，函数值都为﹣3；当自变量x的值为1或3时，函数值都为0．探究过程如下，请
补充完整．
（1）这个函数的表达式为 ；
（2）在给出的平面直角坐标系中，画出这个函数的图象并写出这个函数的一条性质： ；
（3）进一步探究函数图象并解决问题：①直线y＝k与函数y＝a|x2+bx|+c有三个交点，则k＝ ；
②已知函数y＝x﹣3的图象如图所示，结合你所画的函数图象，写出不等式 a|x2+bx|+c≤x﹣3的解集：
．
1
【变式6-3】（2022•海珠区一模）令a、b、c三个数中最大数记作max{a，b，c}，直线y= x+t与函数y＝
2
max{﹣x2+4，x﹣2，﹣x﹣2}的图象有且只有3个公共点，则t的值为 ．
