专题 22.4 二次函数与一元二次方程（举一反三讲义）
【人教版】
【题型1 抛物线与x轴的交点】..............................................................................................................................3
【题型2 利用二次函数的图象确定方程根的情况】.............................................................................................6
【题型3 求x轴与抛物线的截线长】......................................................................................................................9
【题型4 利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解】...............................................................................14
【题型5 利用二次函数的图象求一元二次不等式的取值范围】.......................................................................17
【题型6 利用不等式求自变量或函数值的取值范围】.......................................................................................20
【题型7 根据两函数交点确定不等式的解集】...................................................................................................25
【题型8 抛物线与x轴交点上的四点问题】........................................................................................................29
知识点 1 二次函数与一元二次方程的关系
一元二次方程是二次函数的函数值y=0时的情况，反映在图象上就是一元二次方程的根为对应二次函数的
图象与x轴交点的横坐标．
（1）若抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴两交点的横坐标分别为x ，x ，则x ，x 为一元二次方程
1 2 1 2
ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根．
（2）二次函数图象与x轴交点个数与对应一元二次方程根的情况的关系：知识点 2 利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解
利用二次函数图象求一元二次方程的近似解的一般步骤
（1）画出二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象；
（2）确定二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交点的横坐标在哪两个整数之间；
（3）列表，在（2）中的两数之间取值估计，并用计算器估算近似解，则近似解在对应y值正负交替的地
方．
通过列表求近似根的具体过程：
在列表求近似根时，近似根就出现在对应的y值正负交替的位置，也就是对x取一系列值，看y对应的哪
两个值，由负变成正或由正变成负，此时x的两个对应值之中必有个近似根，比如x由x 取到x 时，对应y
1 2
的值出现y >0，y <0或y <0，y >0，那么x ，x 中必有一个是近似根，比较|y )与|y )的大小，若
1 2 1 2 1 2 1 2
|y )>|y )，则说明x 是近似根；反之，则说明x 是近似根．从图象上观察，（x，y）离x轴越近，y值越
1 2 2 1
接近0，而y=0时x的值就是方程的确切根．
知识点 3 二次函数与一元二次不等式的关系
利用二次函数图象解一元二次不等式的步骤:
（1）将一元二次不等式化为ax2+bx+c>0(或<0)的形式；
（2）明确二次项系数a的正负、对称轴在y轴哪侧，并计算b2 −4ac的值；
（3）作出不等式对应的二次函数y=ax2+bx+c的草图；
（4）二次函数在x轴上方的图象对应的函数值大于零，在x轴下方的图象对应的函数值小于零．
以y=ax2+bx+c(a>0)为例，二次函数与一元二次不等式的关系如下表：
∆=b2 −4ac ∆>0 ∆=0 ∆<0二次函数
y=ax2+bx+c
(a>0)的图像
一元二次方程
b
ax2+bx+c=0 x ，x x =x =− 没有实数根
1 2 1 2 2a
(a>0)的根
不等式
ax2+bx+c>0 x<x 或x>x x≠x 的一切实数 全体实数
1 2 1
(a>0)的解集
不等式
ax2+bx+c<0 x <x<x 无解 无解
1 2
(a>0)的解集
【题型1 抛物线与x轴的交点】
【例1】（24-25九年级下·全国·期中）已知二次函数y=ax2 −4ax+4a+4（a为常数且a≠0）．
(1)当函数图象经过(4,0)，求该二次函数的表达式．
(2)若a>0，判断该二次函数图象与x轴的交点个数并证明．
(3)若该函数图象上有两点A(x ,y ),B(x ,y )，其中x <x ，若a<0，x +x >4．求证：y >y ．
1 1 2 2 1 2 1 2 1 2
【答案】(1)y=− x2+4x
(2)该二次函数图象与x轴无交点，见解析
(3)见解析
【分析】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求二次函数解析式，
解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
（1）利用待定系数法求二次函数解析式即可．
（2）令ax2 −4ax+4a+4=0，可得Δ=(−4a) 2 −4a(4a+4)=−16a<0，则方程ax2 −4ax+4a+4=0无实
数解，即该二次函数图象与x轴无交点．
（3）由题意得y =ax 2 −4ax +4a+4，y =ax 2 −4ax +4a+4，则可得y −y >0，即可得y >y ．
1 1 1 2 2 2 1 2 1 2
【详解】（1）解：将(4,0)代入y=ax2 −4ax+4a+4，
得16a−16a+4a+4=0，
解得a=−1，
∴该二次函数的表达式为y=− x2+4x．
（2）解：该二次函数图象与x轴无交点．
证明：令ax2 −4ax+4a+4=0，
∵a>0，∴Δ=(−4a) 2 −4a(4a+4)=16a2 −16a2 −16a=−16a<0，
∴方程ax2 −4ax+4a+4=0无实数解，
∴该二次函数图象与x轴无交点．
（3）证明：∵该函数图象上有两点A(x ,y ),B(x ,y )，
1 1 2 2
∴y =ax 2 −4ax +4a+4，y =ax 2 −4ax +4a+4，，
1 1 1 2 2 2
∴y −y =a(x 2 −x 2)−4a(x −x )=a(x +x )(x −x )−4a(x −x )=a(x +x −4)(x −x )，
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
∵x <x ，x +x >4，
1 2 1 2
∴x −x <0，x +x −4>0，
1 2 1 2
∵a<0，
∴a(x +x −4)(x −x )>0，
1 2 1 2
∴y −y >0，
1 2
即y >y ．
1 2
【变式1-1】（24-25九年级下·全国·期中）若抛物线y=x2 −6x+a与x轴只有一个公共点，则a的值为
．
【答案】9
【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点，理解函数与方程的关系是解题的关键．根据二次函数与一元二
次方程的关系列方程求解．
【详解】解：由题意得：关于x的方程0=x2 −6x+a有两个相等的实数根，
∴Δ=36−4 a=0，
解得：a=9，
故答案为：9．
【变式1-2】（2025·内蒙古呼和浩特·模拟预测）已知二次函数y=x2+2mx+m2 −2m−3(m为常数)的图象
与x轴有交点，当x>2时，y随x的增大而增大，则m的取值范围是（ ）
3 3
A．m≥− B．− ≤m≤2 C．m<2 D．m≥−2
2 2
【答案】A
【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点，明确抛物线与x轴的交点个数与判别式的关系及二次函数的性
质是解题的关键．
3
根据图象与x轴有交点，得出判别式Δ≥0，从而解得m≥− ，然后求出抛物线的对称轴，结合抛物线开
2
口向上，且当x>2时，y随x的增大而增大，可得m≥−2，从而得出选项．【详解】解：∵二次函数y=x2+2mx+m2 −2m−3（m为常数）的图象与x轴有交点，
∴Δ=(2m) 2 −4×1× (m2 −2m−3)≥0，
3
解得：m≥− ，
2
2m
∵抛物线对称轴为直线x=− =− m，抛物线开口向上，当x>2时，y随x的增大而增大，
2×1
∴−m≤2，
∴m≥−2
3
∴m的取值范围是m≥− ，
2
故选：A．
【变式1-3】（24-25八年级下·安徽阜阳·期末）二次函数y=ax2 −(a+1)x−2a−1（a为常数，a>0）．
(1)若该二次函数图象关于直线x=1对称，求a的值；
(2)若该二次函数图象上点M(1,y )，N(2,y )满足y <y ，求a的范围；
1 2 1 2
(3)若该二次函数图象上两个不同的点M(x ,y )，N(x ,y )满足x +x =−2，求y +y 的取值范围
1 1 2 2 1 2 1 2
【答案】(1)a=1；
1
(2)a> ；
2
(3)y +y ≥0 ．
1 2
【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象的性质，掌握对称轴公式以及函数图象
的性质是解题的关键．
（1）根据二次函数的对称轴为直线x=1即可求出a=1；
（2）将点M(1,y )，N(2,y )代入二次函数解析式，表示出y −y ，根据y <y ，即可求解；
1 2 1 2 1 2
（3）将点M(x ,y )，N(x ,y )代入二次函数解析式，结合x +x =−2，表示出y +y 求解即可．
1 1 2 2 1 2 1 2
−(a+1) a+1
【详解】（1）解：二次函数y=ax2 −(a+1)x−2a−1的对称轴为直线x=− = ，
2a 2a
a+1
∴1= ，
2a
解得：a=1；
（2）解：∵点M(1,y )，N(2,y )在二次函数图象上，
1 2
∴y =a−(a+1)−2 a− 1=−a−22，
1
y =4a−2(a+1)−2 a− 1=，−3
2
∴y −y =−2a− 2−(−3)=−2a+1，
1 2∵y <y ，
1 2
∴y −y =−2a+1<0，
1 2
1
解得：a> ；
2
（3）解：点M(x ,y )，N(x ,y )在二次函数图象上，
1 1 2 2
∴y =ax 2 −(a+1)x −2a−1，y =ax 2 −(a+1)x −2a−1，
1 1 1 2 2 2
∵x +x =−2，
1 2
∴x =− 2−x ，
2 1
代入y =ax 2 −(a+1)x −2a−1得y =a(− 2−x ) 2 −(a+1)(− 2−x )−2a−1
2 2 2 2 1 1
=ax 2+(5a+1)x +4a+1，
1 1
∴y +y =ax 2 −(a+1)x −2a−1+ax 2+(5a+1)x +4a+1
1 2 1 1 1 1
=2ax 2+4ax +2a
1 1
=2a(x 2+2x +1)
1 1
=2a(x +1) 2 ，
1
∵a>0，(x +1) 2≥0，
1
∴y +y =2a(x +1) 2≥0．
1 2 1
【题型2 利用二次函数的图象确定方程根的情况】
【例2】（2025·黑龙江齐齐哈尔·二模）如图所示是二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的部分图象，该函数图
象的对称轴是直线x=1，图象与y轴交点的纵坐标是2．则下列结论：①2a+b=0；②方程ax2+bx+c=0
一定有一个根在−2和−1之间；③方程ax2+bx+c−a=0一定有两个不相等的实数根；④点A(x ,y )，
1 1
8
B(x ,y )在抛物线上，且x <1<x ，当x +x >2时，y >y ；⑤函数y的最大值大于 ．其中正确结论的个
2 2 1 2 1 2 1 2 3
数为（ ）A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
【答案】B
【分析】本题考查抛物线与x轴的交点，根与系数的关系，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特
征，解题的关键是掌握二次函数的图象和性质，熟练运用数形结合的方法解决问题．根据二次函数的对称
性，开口方向等来判断结论①②，根据二次函数与一元二次方程的关系来判断结论③，根据函数的增减
性，函数值判断结论④⑤即可．
【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线x=1，
b
∴− =1，
2a
∴b=−2a，即2a+b=1，故①正确；
∵抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为直线x=1，与x轴的一个交点的横坐标在2和3之间，
∴抛物线与x轴的另一个交点的横坐标在−1和0之间，
∴方程ax2+bx+c=0一定有一个根在−1和0之间，故②错误；
∵抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)图象与y轴交点的纵坐标是2，
∴c=2，
∴ax2 −2ax+2− a=0，
∴Δ=(−2a) 2 −4a×(2− a)=8a2 −8a=8a(a−1)，
令Δ=0，得8a2 −8a=8a(a−1)=0，
∴a=0或a=1，
∵a<0，
∴Δ>0，
∴方程ax2+bx+c−a=0一定有两个不相等的实数根，故③正确；
∵抛物线的开口向下，
∴抛物线上的点距离对称轴越远y值越小，距离对称轴越近y值越大，
∵x +x >2，
1 2
∴x >2− x ，
1 2∴− x <−2+ x ，
1 2
∴1− x <−2+ x +1，
1 2
∴1− x <x −1，
1 2
∵A点到对称轴的距离是1− x ，B点到对称轴的距离是x −1，
1 2
∴y >y ，故④正确；
1 2
如图，当x=3时，y<0，
∴9a−6a+2<0，
2
∴− a> ，
3
8
∴2− a> ，
3
8
当x=1时，y =a−2a+2=2− a> ，
最大 3
8
∴函数y的最大值大于 ，故⑤正确，
3
综上所述，正确的结论有：①③④⑤，共4个，
故选：B．
【变式2-1】（24-25八年级下·福建福州·期末）已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的一个根是x=3
，且二次函数y=ax2+bx+c的对称轴是直线x=1，则此方程ax2+bx+c=0的另一个根为 ．
【答案】x=−1
【分析】本题考查二次函数与一元二次方程的关系，以及抛物线的对称性，明确抛物线与x轴的两个交点
关于对称轴对称是解题的关键．
根据抛物线的对称性，可知y=ax2+bx+c的图像与x轴的两个交点关于直线x=1对称，两交点的横坐标即
为方程ax2+bx+c=0的两根，根据对称性建立关系式即可求解．
【详解】解：设方程ax2+bx+c=0的另一根为x ，
2
∵二次函数y=ax2+bx+c的对称轴是直线x=1，
x +x 3+x
∴ 1 2 =1，即 2 =1，
2 2
解得，x=−1，
∴另一根为x=−1，
故答案为：x=−1．
【变式2-2】如图，抛物线y=ax2与直线y=bx+c的两个交点坐标分别为A(−2,4)，B(1,1)，则关于x的
方程ax2 −bx−c=0的解为 ．【答案】x =−2，x =1
1 2
【分析】本题考查抛物线与一次函数的交点、一元二次方程等知识，解题的关键是灵活运用所学知识，学
会利用图象法解决实际问题，利用图象法即可解决问题，方程的解就是两个函数图象的交点的横坐标．
【详解】解：由图象可知，关于x的方程ax2 −bx−c=0的解，就是抛物线y=ax2与直线y=bx+c的两个
交点坐标分别为A(−2,4)，B(1,1)的横坐标，
即x =−2，x =1．
1 2
故答案为：x =−2，x =1．
1 2
【变式2-3】（2025·山东青岛·模拟预测）若二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于(−1,0)和(3,0)
n m
，关于x的一元二次方程cx2+bx+a=0(c≠0)的两个根分别是m和n，则 + = ．
m n
10 1
【答案】− /−3
3 3
【分析】本题考查二次函数的性质，一元二次方程的根与系数的关系，根据二次函数的性质求得
b c
− =−1+3=2， =− 1，×得3=到−b3=−2a，c=−3a，则方程可转化为3x2+2x−1=0，根据根与系数
a a
2 1 n m (m+n) 2 −2mn
的关系m+n=− ，mn=− ，再将 + 整理得到 ，代入数据计算即可求解．
3 3 m n mn
【详解】解：二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于(−1,0)和(3,0)，
b c
∴− =−1+3=2， =− 1，×3=−3
a a
∴b=−2a，c=−3a，
∴一元二次方程cx2+bx+a=0(c≠0)为−3ax2 −2ax+a=0，
即3x2+2x−1=0，
∵关于x的一元二次方程cx2+bx+a=0(c≠0)的两个根分别是m和n，
2 1
∴m+n=− ，mn=− ，
3 34 2
+
n m n2+m2 (m+n) 2 −2mn 9 3 10
∴ + = = = =− ，
m n mn mn 1 3
−
3
10
故答案为：− ．
3
【题型3 求x轴与抛物线的截线长】
【例3】（2025·浙江·二模）在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax2 −2ax+c(a>0)．
(1)当a=c时，
①求抛物线的顶点坐标．
②将抛物线向下平移m个单位(m>0)，若平移后的抛物线过点(0,−8)，且与x轴两交点之间的距离为6，求
m的值．
(2)已知点M(2,2n+1)，N(−1,3 n+2)在抛物线上，且c<0，求n的取值范围．
【答案】(1)①(1,0)；②m=9，
1
(2)−1<n<−
2
【分析】本题考查二次函数图象性质，二次函数图象平移，二次函数与一元二次方程的关系，熟练掌握二
次函数图象性质，二次函数图象平移规律“上加下减”是解题的关键．
（1）①把a=c代入y=ax2 −2ax+c(a>0)，得y=a(x−1) 2，即可得出顶点坐标；
②根据平移规律得平移后抛物线解析式为y=a(x−1) 2 −m，把(0,−8)代入，求得a=m−8，则
y=(m−8)x2 −2(m−8)x−8，设平移后的抛物线与x轴两交点横坐标为x ，x ，则x +x =2，
1 2 1 2
8 16−4 m 16
x ⋅x = ，又|x −x )=6，即可得出 − =36，解之即可求解．
1 2 8− m 1 2 8− m 8− m
1
（2）把M(2,2n+1)，代入y=ax2 −2ax+c(a>0)，得c=2n+1，根据c<0，求得n<− ；把N(−1,3 n+2)
2
代入y=ax2 −2ax+c(a>0)，得c=3n−3a+2，根据c=2n+1和a>0，求得n>−1，进而即可求解．
【详解】（1）解：①∵y=ax2 −2ax+c(a>0)，a=c
∴y=ax2 −2ax+a=a(x−1) 2
∴抛物线的顶点坐标为(1,0)，
②∵将抛物线向下平移m个单位(m>0)，
∴平移后抛物线解析式为y=a(x−1) 2 −m，
把(0,−8)代入，得a(0−1) 2 −m=−8，
∴a=m−8∴y=(m−8)(x−1) 2 −m=(m−8)x2 −2(m−8)x−8
设平移后的抛物线与x轴两交点横坐标为x ，x ，
1 2
8
则x +x =2，x ⋅x = ，
1 2 1 2 8− m
∴x 2+2x x +x 2=4
1 1 2 2
∴x 2+x 2=
16−4 m
1 2 8− m
∵平移后的抛物线与x轴两交点之间的距离为6，
∴|x −x )=6
1 2
∴x 2 −2x x +x 2=36
1 1 2 2
16−4 m 16
∴ − =36
8− m 8− m
解得：m=9
经检验，m=9是分式方程的解，且符合题意，
∴m=9．
（2）解：把M(2,2n+1)，代入y=ax2 −2ax+c(a>0)，得
c=2n+1，
∵c<0，
∴2n+1<0，
1
∴n<− ，
2
把N(−1,3 n+2)代入y=ax2 −2ax+c(a>0)，得
3a+c=3n+2，
∴c=3n−3a+2，
∵c=2n+1，
n+1
∴a= ，
3
n+1
∵a= >0，
3
∴n>−1，
1
∴−1<n<− ．
2
【变式3-1】（2025·浙江宁波·模拟预测）设二次函数 y =(x−x )(x−x )(x ≠x ) 的图像与一次函数
1 1 2 1 2
y =6x+2 的图像交于点 (x ,0)，若函数 y=y +y 的图像与 x 轴仅有一个交点，则 |x −x ) 的值是
2 1 1 2 1 2（ ）
17
A．6 B．8 C． D．7
3
【答案】A
【分析】此题主要考查了抛物线与x轴的交点问题，以及曲线上点的坐标与方程的关系，要熟练掌握，解
答此题的关键是判断出：函数y=y +y 与x轴的交点为(x ，0)．
1 2 1
1
首先根据一次函数y =6x+2 的图像交于点 (x ,0)，可得x =− ，然后根据函数y=y +y 的图象与x轴
2 1 1 3 1 2
1 2 2 1
仅有一个交点，可得函数y=y +y 与x轴的交点为(x ,0)，进而可得y=(x+ ) =x2+ x+ ，再结合
1 2 1 3 3 9
1 1
y=x2+(6− x + )x− x +2求解即可．
2 3 3 2
【详解】解：∵一次函数y =6x+2的图象经过点(x ,0)，
2 1
1
∴6x +2=0，解得：x =− ，
1 1 3
∵当x=x 时，y =0，y =0，
1 1 2
∴当x=x 时，y=y +y =0，
1 1 2
∵函数 y=y +y 的图像与 x 轴仅有一个交点，
1 2
1
∴y=y +y 的图象与x轴的交点为(− ,0)，
1 2 3
1 2 2 1
∴y=(x+ ) =x2+ x+
3 3 9
1 1 1
又∵y =(x+ )(x−x )=x2+ x−x x− x ，
1 3 2 3 2 3 2
1 1
∴y=y +y =x2+ x−x x− x +6x+2
1 2 3 2 3 2
1 1
=x2+(6− x + )x− x +2，
2 3 3 2
1 2
{6− x + = )
2 3 3 17
∴ ，解得：x =
1 1 2 3
− x +2=
3 2 9
∴|x −x )= | − 1 − 17 )=6，
1 2 3 3
故选：A．【变式3-2】（24-25九年级上·湖北咸宁·期末）已知关于x的一元二次方程x2 −(a−1)x+a−2=0．
(1)求证：该方程总有两个实数根；
(2)若抛物线y=x2 −(a−1)x+a−2与x轴交于点A，B，且AB=2，求a的值．
【答案】(1)见解析
(2)a=1或5
【分析】本题考查一元二次方程的根的判别式，一元二次方程根与系数的关系，解一元二次方程，二次函
数与一元二次方程的关系，完全平方公式及配方法，熟练掌握这些性质和方法是解题的关键．
（1）直接利用一元二次方程的根的判别式，结合配方法进行判别即可；
（2）令y=0，得：x2 −(a−1)x+a−2=0，利用根的判别式，结合完全平方公式及配方法得出(x −x ) 2 关
1 2
于a的式子，再利用二次函数与一元二次方程的关系，得出AB=|x −x )=2，即可得出关于a的等式，求解
1 2
即可．
【详解】（1）解：∵Δ=(a−1) 2 −4(a−2)
=a2 −6a+9
=(a−3) 2≥0，
∴该方程总有两个实数根；
（2）解：令y=0，得：x2 −(a−1)x+a−2=0，
∴x +x =a−1，x x =a−2，
1 2 1 2
∴(x −x ) 2=x 2+x 2 −2x x =(x +x ) 2 −4x x =(a−1) 2 −4(a−2)，
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
∵抛物线y=x2 −(a−1)x+a−2与x轴交于点A，B，且AB=2，
∴|x −x )=2，
1 2
∴(x −x ) 2=(a−1) 2 −4(a−2)=4，
1 2
化简为：a2 −6a+5=0，
解得：a=1或5．
1
【变式3-3】（2025·安徽合肥·一模）已知P(x ,y )，Q(x ,y )是抛物线y=x2+bx− 上的两个不同点．
1 1 2 2 4
b2
(1)若P，Q两点都在直线y=− 上，求线段PQ的长；
4
1 1
(2)若抛物线关于y轴对称，直线PQ过坐标原点O，求 + 的值；
OP OQ
(3)若点P，Q在抛物线对称轴的左侧，x ，x 为整数，且x <x ，证明：x −x +y −y 为正值．
1 2 1 2 1 2 1 2【答案】(1)1
1 1
(2) + =4
OP OQ
(3)见解析
1 b2 −b±1
【分析】（1）根据题意得到直线PQ平行于x轴，令x2+bx− =− ，求出x= ，然后代入
4 4 2
|x −x )求解即可；
1 2
1 1
（2）首先求出b=0，然后分两种情况：当直线PQ落在x轴上时，可得 + =4，
OP OQ
1
{y=x2 − ) k±❑√k2+1
当直线PQ不在x轴上，然后联立 4 求出x= ，设x >x ，求出x x ，x −x ，然后代
2 2 1 1 2 2 1
y=kx
1 1
入 + 求解即可；
OP OQ
b b
（3）首先得到x −x +y −y =(x −x )(x +x +b+1)，根据x <x <− 求出x <− −1，然后结合
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 2
x −x <0即可证明．
1 2
【详解】（1）解：∵直线PQ平行于x轴，
∴令x2+bx−
1
=−
b2
，即x2+bx+
b2 −1
=0，
4 4 4
−b±1
解得x= ，
2
∴线段PQ的长度为|x −x )=
|−b+1
−
−b−1
)=1．
1 2 2 2
1
（2）解：∵抛物线y=x2+bx− 关于y轴对称，
4
∴b=0
1
∴抛物线y=x2
−
4
若直线PQ落在x轴上，
1
∴当y=0时，即0=x2
−
4
1
解得x=±
21
∴OP=OQ=
2
1 1
∴ + =2+2=4；
OP OQ
若直线PQ不在x轴上，
1
{y=x2 − )
设直线PQ的解析式为y=kx，联立方程， 4
y=kx
1
得x2 −kx− =0，
4
k±❑√k2+1
解得x= ．
2
不妨设x >x ，
2 1
∴x x =
k+❑√k2+1
×
k−❑√k2+1
=−
1
，x −x =❑√k2+1，
1 2 2 2 4 2 1
1 + 1 = 1 + 1 = 1 ( 1 + 1 )= 1 ( x 1 −x 2) =4
∴ ．
OP OQ ❑√x2+y2 ❑√x2+y2 ❑√1+k2 |x ) |x ) ❑√1+k2 x x
1 1 2 2 1 2 1 2
（3）证明：x −x +y −y =x −x +x ❑ 2 −x ❑ 2+b(x −x )=(x −x )(x +x +b+1)
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
b
∵x <x <− ，且x ，x 为整数，
1 2 2 1 2
b b
∴x ≤x − 1<−−1，即x <− −1
1 2 2 1 2
b b
∴x +x +b+1<− − 1− +b+1=0，
1 2 2 2
又x −x <0，
1 2
∴x −x +y −y 为正值．
1 2 1 2
【点睛】此题考查了二次函数的图象和性质，二次函数和一元二次方程的关系等知识，解题的关键是掌握
二次函数的图象和性质．
【题型4 利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解】
【例4】（2025·广西崇左·三模）如图是二次函数 y=ax2+bx+c的图象，图象上有两点分别为
A(2.68,0.54)，B(2.18,−0.56 )，则关于x的方程 ax2+bx+c=0的一个根可能是（ ）A．2.18 B．2.68 C．−0.56 D．2.45
【答案】D
【分析】本题考查了抛物线和x轴交点，理解抛物线和一元二次方程的关系是解答关键．
观察函数图象可得y=0的点对应的横坐标在2.18和2.68之间，进而求解．
【详解】解：从函数图象看，y=0的点对应的横坐标在2.18和2.68之间，
而在2.18和2.68之间被选项中的数为2.45，
∴ax2+bx+c=0的方程的一个根可能为2.45．
故选：D．
【变式4-1】（24-25九年级上·福建厦门·期中）如表中列出了二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的一些对应
值，则一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的解x的范围是 ．（两相邻整数之间）
x … −3 −2 −1 0 1 …
y … 1 2 1 −2 −7 …
【答案】−4<x<−3或−1<x<0
【分析】本题考查图像法求一元二次方程的解，解题的关键是理解函数和方程的关系．据此解答即可．
【详解】解：∵x=−1,y=1>0，x=0,y=−2<0，
∴根据函数的连续性可得在−1∼0之间，存在一个数，使得y=0，
∵x=−3和x=−1的函数值相等，
− 3−1
∴对称轴为：x= =−2，
2
∴根据对称性可得：在− 4∼之−间3，也存在一个数，使得y=0，
∴一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的解x的范围是−4<x<−3或−1<x<0，
故答案为：−4<x<−3或−1<x<0．
【变式4-2】（24-25九年级上·河南周口·期中）小明用GGB探索方程ax2+bx+c=0（a≠0,a、b、c为常
数）的根，作出如图所示的图象，并求得一个近似根x=−3.4，则方程的另一个近似根（精确到0.1）为
（ ）A．2.4 B．2.6 C．1.4 D．1.6
【答案】C
【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程，由二次函数的对称性可得抛物线与x轴的另一个交点坐标
为(1.4,0)，据此即可求解，掌握二次函数的性质是解题的关键．
【详解】解：∵抛物线与x轴的一个交点为(−3.4,0)，对称轴为直线x=−1，
∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为(1.4,0)，
∴方程的另一个近似根为1.4，
故选：C．
【变式4-3】在实际问题中往往需要求得方程的近似解，这个时候，我们通常利用函数的图象来完成．
如，求方程x2﹣2x﹣2＝0的实数根的近似解，观察函数y＝x2﹣2x﹣2的图象，发现，当自变量为2时，函
数值小于0（点（2，﹣2）在x轴下方），当自变量为3时，函数值大于0（点（3，1）在x轴上方）．因
为抛物线y＝x2﹣2x﹣2是一条连续不断的曲线，所以抛物线y＝x2﹣2x﹣2在2＜x＜3这一段经过x轴，也
就是说，当x取2、3之间的某个值时，函数值为0，即方程x2﹣2x﹣2＝0在2、3之间有根．进一步，我们
取2和3的平均数2.5，计算可知，对应的数值为﹣0.75，与自变量为3的函数值异号，所以这个根在2.5
与3之间任意一个数作为近似解，该近似解与真实值的差都不会大于3﹣2.5＝0.5．重复以上操作，随着操
作次数增加，根的近似值越来越接近真实值．用以上方法求得方程x2﹣2x﹣2＝0的小于0的解，并且使得
所求的近似解与真实值的差不超过0.3，该近似解为【答案】﹣0.75
【分析】观察函数y＝x2−2x−2的图象，发现，当自变量为0时，函数值小于0，当自变量为−1时，函数值
大于0，求得−1和0的平均数−0.5，对应的数值为−0.75，与自变量为−1的函数值异号，再求−1和−0.5
的平均数−0.75，对应的数值为0.0625，即可求得这个根在−0.75与−0.5之间任意一个数作为近似解，由
−0.5−（−0.75）＝0.25＜0.3，即可求得近似值．
【详解】解：观察函数y＝x2﹣2x﹣2的图象，发现，当自变量为0时，函数值小于0，当自变量为﹣1时，
函数值大于0，因为抛物线y＝x2﹣2x﹣2是一条连续不断的曲线，所以抛物线y＝x2﹣2x﹣2在﹣1＜x＜0这
一段经过x轴，也就是说，当x取﹣1、0之间的某个值时，函数值为0，即方程x2﹣2x﹣2＝0在﹣1、0之
间有根．
我们取﹣1和0的平均数﹣0.5，计算可知，对应的数值为﹣0.75，与自变量为﹣1的函数值异号，所以这个
根在﹣1与﹣0.5之间，取﹣1和﹣0.5的平均数﹣0.75，计算可知，对应的数值为0.0625，与自变量为﹣0.5
的函数值异号，所以这个根在﹣0.75与﹣0.5之间任意一个数作为近似解，该近似解与真实值的差都不会大
于﹣0.5﹣（﹣0.75）＝0.25＜0.3，该近似解为﹣0.75，
故答案为﹣0.75．
【点睛】本题考查的是根据图象求一元二次方程的解，读懂函数图象，从中获取正确的信息是解题的关
键．
【题型5 利用二次函数的图象求一元二次不等式的取值范围】
【例5】（24-25九年级上·重庆·期末）二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，则不等式
ax2+bx+c≤3的解集是 ．
【答案】x≤0或x≥2
【分析】本题考查了二次函数与不等式，根据对称轴为直线x=1，可求出当y=3时，x=0或x=2，再结合
图象即可求解，掌握二次函数的性质，利用数形结合求不等式的解集是解题的关键．
【详解】解：由图象可知，二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为直线x=1，
当y=3时，x=0或x=2，
∴通过图象可知：不等式ax2+bx+c≤3的解集是x≤0或x≥2，故答案为：x≤0或x≥2．
【变式5-1】（24-25九年级上·河南开封·期末）二次函数y=x2 −x−2的图象如图所示，则函数值y>0时，
自变量x的取值范围是（ ）
A．x<−1 B．x>2 C．−1<x<2 D．x<−1或x>2
【答案】D
【分析】本题考查了二次函数与不等式的关系．根据题意，当函数值y>0时，自变量x的取值范围，就是
求当函数图象在x轴上方时，对应的x取值范围，由此得到答案．
【详解】观察图象知，当函数值y>0时，自变量x的取值范围是x<−1或x>2，
故选：D．
【变式5-2】（24-25九年级上·辽宁盘锦·阶段练习）二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图，根据图
象解答下列问题：
(1)直接写出方程ax2+bx+c=0的两个根；
(2)直接写出y随x的增大而减小时自变量x的取值范围；
(3)直接写出关于x的不等式ax2+bx+c<0的解集．
【答案】(1)x =1，x =3
1 2
(2)x≥2
(3)x<1或x>3
【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax2+bx+c（a，b，
c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．
【详解】（1）解：由图象看，
∵二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于点(1,0)，(3,0)
∴方程ax2+bx+c=0的两个根是x =1，x =3；
1 2
（2）解：从图象看，当x≥2时，y随x的增大而增大；
（3）解：从图象看，
∵当x<1或x>3时，二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象在x轴
∴不等式ax2+bx+c<0的解集是：x<1或x>3．
【变式5-3】（2025·广东清远·一模）抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)如图所示，抛物线与x轴交于点(−1，0)
，顶点坐标为(1，m)，下列结论：①ac<0；②8a+4b=0；③对于任意实数n，都有an2+bn+c≥m；④
当−1<x<3时，y>0．其中正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质、二次函数图象与系数的关系、二次函数图象与不等式的关
系等知识点，灵活运用二次函数的性质成为解题的关键．
根据图象开口向上可知a<0，与y轴的交点在原点上方可知c>0，据此可判断①；因为抛物线与x轴交于
(−1，0)，对称轴为直线x=1，所以另一交点为(3，0)，则9a+3b+c=0、a−b+c=0两式相减可得
8a+4b=0，可判断②；抛物线顶点坐标为(1，m)，开口向下，则m为最大值，对于任意实数n，都有
an2+bn+c≤m，据此可判断③；由图象可得当−1<x<3时，y>0，据此可判定④．
【详解】解：∵抛物线的开口向上，
∴a<0，
∵与y轴的交点在原点上方可，
∴c>0，
∴ac<0，即①正确；
∵抛物线与x轴交于(−1，0)，对称轴为直线x=1，
∴抛物线与x轴的另一交点为(3，0)，
∴当x=3时，9a+3b+c=0；当x=−1时，a−b+c=0，
∴两式相减可得8a+4b=0，即②正确；
∵抛物线顶点坐标为(−1，0)，开口向下，
∴m为最大值，∴对于任意实数n，都有an2+bn+c≤m，即③错误；
④由图象可得，当−1<x<3时，y>0，即④正确．
综上，正确的有3个．
故选C．
【题型6 利用不等式求自变量或函数值的取值范围】
【例6】（2025·安徽安庆·模拟预测）抛物线y =x2+mx+n的顶点纵坐标与抛物线y =− x2 −mx的顶点纵
1 2
坐标之和为4．
(1)求n的值；
(2)已知A(s,t)为抛物线y =x2+mx+n上一点，B(p,q)为抛物线y =− x2 −mx上一点．
1 2
（i）若仅存在一个正数s，使得s+t=0，求p+q的最大值；
（ii）若p=s+2，且当1<s<2时，总有t+q<4，求m的取值范围．
【答案】(1)4
(2)（i）9；（ii）m≥−4
【分析】（1）分别求出抛物线y =x2+mx+n与抛物线y =− x2 −mx的顶点坐标，建立关于n的方程求解
1 2
即可；
（2）（i）由（1）得y =x2+mx+4，根据题意得到−s=s2+ms+4，即s2+(m+1)s+4=0，由仅存在一个正
1
数s，使得s+t=0，则关于s的一元二次方程s2+(m+1)s+4=0，有两个相等的正数根，求出m =3,m =−5
1 2
，m=−5，得到p+q=− p2+6p=− (p−3) 2+9，即可解答；（ii）根据题意求出t=s2+ms+4，
q=− s2 −(4+m)s−2m−4，由t+q<4，得到s2+ms+4+[−s2 −(4+m)s−2m−4)<4，求出−2m<4+4s，
即可解答．
【详解】（1）解：∵y =x2+mx+n=(x+
m
)
2
+
4n−m2
，y =− x2 −mx=− (x+
m
)+
m2
，
1 2 4 2 2 4
∴抛物线y =x2+mx+n顶点坐标为 ( − m , 4n−m2 ) ，抛物线y =− x2 −mx的顶点坐标为 ( − m , m2 ) ，
1 2 4 2 2 4
∵抛物线y =x2+mx+n的顶点纵坐标与抛物线y =− x2 −mx的顶点纵坐标之和为4，
1 2
4n−m2 m2
∴ + =4，即n=4；
4 4
（2）解：（i）由（1）知n=4，
∴抛物线y =x2+mx+4，
1
∵A(s,t)为抛物线y =x2+mx+n上一点，
1
∴t=s2+ms+4，∵s+t=0，即t=− s，
∴−s=s2+ms+4，即s2+(m+1)s+4=0，
∵仅存在一个正数s，使得s+t=0，
∴关于s的一元二次方程s2+(m+1)s+4=0，有两个相等的正数根，
∴Δ=(m+1) 2 −4×1×4=0，即(m+1) 2=16，
解得：m =3,m =−5，
1 2
当m=3时，s2+4s+4=0，解得：s=−2<0（舍去，不符合题意）；
当m=−5时，s2 −4s+4=0，解得：s=2>0（符合题意）；
∴m=−5，
∴y =− x2+5x，
2
∵B(p,q)为抛物线y =− x2 −mx上一点，
2
∴q=− p2+5p，
∴p+q=− p2+6p=− (p−3) 2+9，
∵−1<0，
∴当p=3时，p+q有最大值9；
（ii）∵t=s2+ms+4，p=s+2，且B(p,q)为抛物线y =− x2 −mx上，
2
∴q=− (s+2) 2 −m(s+2)=− s2 −(4+m)s−2m−4，
∵t+q<4，
∴s2+ms+4+[−s2 −(4+m)s−2m−4)<4，
∴−2m<4+4s，
∵1<s<2，
∴8<4+4s<12，
∴−2m≤8，
∴m≥−4．
【点睛】本题考查了二次函数的图象性质，二次函数与一元二次方程的关系，二次函数与不等式，正确掌
握相关性质内容是解题的关键．
【变式6-1】（2025·福建宁德·二模）已知二次函数y=ax2 −6ax+c，当1<x<2时，函数值y>0；当x>5
时，y<0．若点(t,m)，(t+2,n)都在函数y=ax2 −6ax+c上，且m>n>5a，则t的取值范围是 ．
【答案】2<t<4
【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质．根据题意得到二次函数的对称轴为直线x=3，再由当
1<x<2时，函数值y>0；当x>5时，y<0，可得a<0，且抛物线与x轴的交点的横坐标为5和1，然后分两种情况：若点(t,m)，(t+2,n)均在对称轴的右侧，若点(t,m)，(t+2,n)均在对称轴的两侧，结合二次函
数的性质解答即可．
−6a
【详解】解：根据题意得：二次函数的对称轴为直线x=− =3，
2a
∴横坐标为5关于对称轴的对称点的横坐标为1，
∵当1<x<2时，函数值y>0；当x>5时，y<0，
∴a<0，且抛物线与x轴的交点的横坐标为5和1，
∴当x<3时，y随x的增大而增大，当x≥3时，y随x的增大而减小，
若点(t,m)，(t+2,n)均在对称轴的右侧，
此时t≥3，
∵抛物线与x轴的交点的横坐标为5和1，
∴当x=1时，y=0，
∴a−6a+c=0，即c=5a，
∴抛物线的解析式为y=ax2 −6ax+5a，
当x=0时，y=5a，
∴抛物线与y轴的交点为(0,5a)，
∴点(0,5a)关于对称轴的对称点为(6,5a)，
∵m>n>5a，
∴t+2<6，
即t<4，
此时3≤t<4；
若点(t,m)，(t+2,n)均在对称轴的两侧，则
3− t<t+2−3，
即t>2；
综上所述，t的取值范围是2<t<4．
故答案为：2<t<4
【变式6-2】（2025·黑龙江大庆·二模）已知二次函数y=ax2 −bx(a≠0)，经过点P(m,2)．当y>−1时，x
的取值范围为x<t−1或x>− 3−t．则如下四个值中有可能为m的是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【分析】本题主要考查了二次函数与不等式之间的关系，二次函数的性质，根据题意可得当y=−1时，
x=t−1或x=− 3−t，且函数开口向上，即a>0，则可求出对称轴为直线x=−2，则可得到b=−4a，把2 1
(m,2)代入解析式得到a= ≥ ，据此求出m的取值范围即可得到答案．
m2+4m 4
【详解】解：∵当y>−1时，x的取值范围为x<t−1或x>− 3−t，
∴当y=−1时，x=t−1或x=− 3−t，且函数开口向上，即a>0，
∴(t− 1,)−，1(− 3−t,−1)为抛物线上的点，
t− 1− 3−t
∴抛物线对称轴为直线x= =−2，
2
b
∴ =−2，
2a
∴b=−4a，
∴y=ax2+4ax=a(x+2) 2 −4a，
1
当a>0时，−4a≤−1，解得a≥ ，
4
将(m,2)代入解析式得am2+4am=2，
2 1
a= ≥
∴ ，
m2+4m 4
∴0<m2+4m≤8，
∴4<(m+2) 2≤12，
∴− 2−❑√23≤m<−4或0<m≤−2+2 ❑√3，
∵2.25<3<4，
∴1.5<❑√3<2，
∴3<2❑√3<4，
∴1<−2+2 ❑√3<2，
综上所述，m的可能取值为1，
故选：A．
【变式6-3】（2025·安徽合肥·二模）在平面直角坐标系xOy中，直线y=2x与抛物线y=ax2+bx−4交于点
A(x ,y )、B(x ,y )，且x <x ，点P是该抛物线上位于A，B两点之间的动点．
1 1 2 2 1 2
(1)当x =−1，x =2时，求抛物线的解析式；
1 2
(2)在（1）的条件下，当△PAB面积最大时，求点P的坐标；
2 m
(3)设抛物线顶点的横坐标为ℎ，当x
1
=m，x
2
=n且n≥
a
时，求证：ℎ ≥
2
．
【答案】(1)y=2x2 −41 7
(2)P( ,− )
2 2
(3)详见解析
【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数与图形的面积，待定系数法求解析式，掌握知识点的应用
是解题的关键．
（1）利用待定系数法求出解析式即可；
1 2 27
（2）过点P作PQ⊥x轴交直线y=2x于点Q，设点P(t,2t2 −4)，则Q(t,2t)，则S =−3(t− ) +
△PAB 2 4
，再通过二次函数的性质即可求解；
（3）将A(m,2m)，B(n,2n)代入y=ax2+bx−4得2m=am2+bm−4①，2n=an2+bn−4②，故有
2− b 2 b 2 2 b 2
2(m−n)=a(m+n)(m−n)+b(m−n)，则n= −m= − −m，又n≥ ，所以 − −m≥ ，从而
a a a a a a a
求证．
【详解】（1）解：当x =−1时，y =2×(−1)=−2，x =2时，y =2×2=4，
1 1 2 1
∴将A(− 1,)−，2B(2,4)代入y=ax2+bx−4得
{a−b− 4=−) 2 {a=2
)
，解得 ，
4a+2b−4=4 b=0
∴y=2x2 −4；
（2）解：过点P作PQ⊥x轴交直线y=2x于点Q，
设点P(t,2t2 −4)，则Q(t,2t)，
∴PQ=2t−2t2+4，
∵S =S +S
△PAB △PAQ △PBQ1
= PQ(x −x )
2 B A
=−3t2+3t+6
1 2 27
=−3(t− ) + ，
2 4
1
∴当t= 时，S 有最大值，
2 △PAB
1 7
∴P( ,− ) ；
2 2
（3）解：当x =m，x =n，且m<n，
1 2
将A(m,2m)，B(n,2n)代入y=ax2+bx−4得：
2m=am2+bm−4①，2n=an2+bn−4②，
①−②得：2(m−n)=a(m+n)(m−n)+b(m−n)，
∴a(m+n)+b=2，
2− b 2 b
∴n= −m= − −m，
a a a
2
∵n≥ ，
a
2 b 2
∴ − −m≥ ，
a a a
b
∴m≤− ，
a
m b m
∴ ≤− ，即ℎ ≥ ．
2 2a 2
【题型7 根据两函数交点确定不等式的解集】
【例7】（24-25九年级上·北京密云·期末）已知抛物线y=x2+bx+c经过两点A(2,−3)，B(4,5)．
(1)求b，c值；
(2)当1≤x≤4时，函数y=x+n的函数值总大于函数y=x2+bx+c的函数值，且函数y=−7x+n的函数值
总小于函数y=x2+bx+c的函数值，直接写出满足题意的n的取值范围．
【答案】(1)b=−2,c=−3
(2)1<n<3
【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数的解析式、二次函数与一次函数交点问题；
（1）利用待定系数法即可求得；
（2）依据题意，求得函数y=x+n以及函数y=−7x+n的图象过界点时的n的值，可以判断得解．【详解】（1）解：∵抛物线y=x2+bx+c经过两点A(2,−3)，B(4,5)．
{4+2b+c=−3
)
∴
16+4b+c=5
{b=−2
)
∴
c=−3
（2）抛物线上，当x=1时，y=−4，当x=4时，y=5；
函数y=x+n的图象上，当x=4，y=5时，n=1；
函数y=−7x+n的图象上，当x=1，y=−4时n=3，
∵1≤x≤4时，函数y=x+n的函数值总大于函数y=x2+bx+c的函数值，且函数y=−7x+n的函数值总
小于函数y=x2+bx+c的函数值．
∴1<n<3．
【变式7-1】（24-25九年级下·广东广州·期中）一次函数y =mx+n(m≠0)与二次函数
1
y =ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，则不等式ax2+(b−m)x+c>n的解集为（ ）
2
A．x<3 B．x>−4 C．−4<x<3 D．x>3或x<−4
【答案】C
【分析】本题主要考查二次函数与一次函数的综合．观察图象得：当−4<x<3时，二次函数图象位于一次
函数图象的上方，即可求解．
【详解】解：观察图象得：当−4<x<3时，二次函数图象位于一次函数图象的上方，
∴不等式ax2+bx+c>mx+n的解集为−4<x<3，
即不等式ax2+(b−m)x+c>n的解集为−4<x<3．
故选：C．
【变式7-2】（2025·浙江·模拟预测）已知二次函数y =ax2 −ax−1(a≠0),y =x2 −bx+3，则下列结论
1 2
正确的是（ ）
A．若−2<a<0<b，则y <y B．若−2<a<b<0，则y <y
1 2 1 2
C．若0<a<2<b，则y <y D．若0<a<b<2，则y <y
1 2 1 2
【答案】B【分析】本题二次函数的图象与性质、二次函数与不等式、二次函数图象与x轴的交点问题，理解并灵活
运用相关知识是解答的关键．先构造差函数y=y −y =(1− a)x2+(a−b)x+4，再根据二次函数图象与性
2 2
质，以及对应图象与x轴的交点问题求解即可．
【详解】解：设函数y=y −y =(1− a)x2+(a−b)x+4，
2 1
要使y <y ，只需y>0恒成立，
1 2
当1− a=0即a=1时，函数y=(1− b)x+4是一次函数，显然y>0不恒成立，
当1− a<0即a>1时，二次函数y的图象开口向下，
∴y>0不恒成立，故选项C、D不符合题意；
∴只需1− a>0，且Δ=(a−b) 2 −16(1− a)<0恒成立，
当−2<a<0<b时，满足1− a>0，但b值不确定，当b很大时，Δ可能大于0，故选项A不符合题意；
当−2<a<b<0时，满足1− a>1，−2<a−b<0，
∴Δ=(a−b) 2 −16(1− a)<0恒成立，故选项B符合题意，
故选：B．
【变式7-3】（24-25九年级下·黑龙江大庆·期中）定义：若函数C 和函数C 的图象关于直线x=m对称，则
1 2
称函数C 和C 关于直线x=m互为“和睦函数”，函数C 和C 的图象交点叫做“和睦点”．
1 2 1 2
例如：函数y=x2 −3关于直线x=1的“和睦函数”为y=(x−2)2 −3，“和睦点”为(1,−2)．下列说法不
正确的序号为 ．
①函数y=x2 −2x关于直线x=−1的“和睦函数”为y=(x+3)2 −1=x2+6x+8，“和睦点”坐标为
(−1,3)；
②函数y=x2 −4x+1关于直线x=m的“和睦点”的纵坐标为n，当1≤m≤4时，则n的取值范围是
−2≤n≤1；
③函数y=x2 −4x关于直线x=m的“和睦点”纵坐标d满足：|d|≤3，m的取值范围是3≤m≤2+❑√7或
2− ❑√7≤m≤1
④已知M(1,−2)，N(4,−2)，函数C :y=a(x−1)2 −4a(a>0)关于直线x=2的“和睦函数”为C ，将
1 2
2
函数C 与C 的图象组成的图形记为T，若T与线段MN只有2个公共点，则a的取值范围是a≥ ．
1 2 3
【答案】 /④②
【分析】②本题④主要考查了二次函数顶点式、二次函数点的坐标特征、二次函数交点问题等内容，利用数形
结合是解题的关键．①根据“友好函数”的定义即可求解，②n=m2 −4m+1=(m−2)2 −3，再根据m的取
值范围即可得到n的范围，③根据题意得出|m2 −4m)≤3，解不等式，即可求解；④当MN过“和睦点”时，为临界点情况，当MN过C 的顶点时，此时T与线段MN只有2个公共点，找出临界值代入求解即可．
1
【详解】解：①∵y=x2 −2x=(x−1)2 −1，
∴顶点(1,−1)，它关于直线x=−1 的对称点为(− 3，,−1)
∴ “和睦函数”为y=(x+3)2 −1=x2+6x+8，
∵两个函数图象关于直线x=−1 对称，
∴其交点必在直线x=−1 上，将x=−1代入y=x2 −2x中，y=1− ，2×(−1)=3
∴ “和睦点”坐标为(−1,3)；故①正确；
②由题意得n=m2 −4m+1=(m−2)2 −3，
∵1>0，
∴n关于m的函数图象是一条抛物线，开口向上，顶点为(2,−3)，
∴当m=2 时，n有最小值−3，
当m=1 时，n=−2，当m=4 时，n=1，
∴−3≤ n≤1；故②错误；
③依题意可得d=m2 −4m
∵|d|≤3，
∴|m2 −4m)≤3
∴m2 −4m−3≤0或m2 −4m+3≥0
解得：3≤m≤2+❑√7或2− ❑√7≤m≤1，故③正确
④如图，
当MN过“和睦点”时，为临界点情况，
当x=2时，y=a(2−1) 2 −4a=−3a，
即−3a=−2，
2
解得：a=
32
则当a≥ 时，T与线段MN只有2个公共点；
3
当MN过C 的顶点时，此时T与线段MN只有2个公共点，
1
当x=1时，y=a(1−1) 2 −4a=−4a，
即−4a=−2，
1
解得：a= ；
2
2 1
综上，a的取值范围为：a≥ 或a= ，故④错误，
3 2
故答案为：②④．
【题型8 抛物线与x轴交点上的四点问题】
【例8】（24-25九年级上·湖北武汉·期中）已知抛物线y=(x−x )(x−x )−3(x <x )，抛物线与x轴交
1 2 1 2
于(m,0)，(n,0)两点(m<n)，则m，n，x ，x 的大小关系是（ ）
1 2
A．x <m<n<x B．m<x <x <n
1 2 1 2
C．m<x <n<x D．x <m<x <n
1 2 1 2
【答案】B
【分析】本题考查的是抛物线与x轴的交点，主要考查函数图象上点的坐标特征，设y′=(x−x )(x−x )
1 2
，而y=(x−x )(x−x )−3=y′ −3，即函数y′向下平移3个单位得到函数y，通过画出函数大致图象即可
1 2
求解．
【详解】解：设y′=(x−x )(x−x )，则x 、x 是函数y′和x轴的交点的横坐标，
1 2 1 2
而y=(x−x )(x−x )−3=y′ −3，
1 2
即函数y′向下平移3个单位得到函数y，
则两个函数的图象如图所示（省略了y轴），从图象看，m<x <x <n，
1 2
故选：B．
【变式8-1】（2024·浙江杭州·二模）已知抛物线y=− x2+bx+c的图象与x轴的两交点的横坐标分别α，
β(α<β)，而−x2+bx+c−2=0的两根为M、N(M<N)，则α、β、M、N的大小顺序为（ ）
A．α<β<M<N B．M<α<β<N
C．α<M<N<β D．M<α<N<β
【答案】C
【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程的关系，依题意画出函数y=−(x−a)(x−β)和y=2的图
象草图，根据二次函数的图象可直接求解．
【详解】解：依题意，画出函y=−(x−a)(x−β)的图象，如图所示．
函数图象为抛物线，开口向下，与x轴两个交点的横坐标分别为α，β(α<β)，
方程−x2+bx+c−2=0的两根是抛物线y=−(x−a)(x−β)与直线y=2的两个交点．
由M<N，可知对称轴左侧交点横坐标为M，右侧为N．
由图象可知，α<M<N<β，
故选：C．
【变式8-2】（2024·江西赣州·二模）在平面坐标系中，抛物线y=−3(x−ℎ) 2+5与x轴交于(m,0)，(n,0)两
点，其中m<n．现将此抛物线向上平移，平移后的抛物线与x轴交于(p,0)，(q,0)两点，且p<q，下列结
论正确的是（ ）
A．m+n<p+q，n−m<q−p B．m+n<p+q，n−m>q−p
C．m+n=p+q，n−m<q−p D．m+n=p+q，n−m>q−p
【答案】C
【分析】本题考查抛物线与x轴交点问题，解答涉及交点与对称轴的关系，会用数形结合思想是解题的关
键．因为抛物线y=−3(x−ℎ) 2+5开口向下，所以抛物线向上平移，对称轴不变，与x轴的两交点距离变长
解答即可．
【详解】解：∵抛物线y=−3(x−ℎ) 2+5与x轴相交于(m,0)，(n,0)两点(m<n)，m+n
∴抛物线的对称轴为直线x= ，
2
∵将此抛物线向上平移，平移后的抛物线与x轴相交于(p,0)，(q,0)两点(p<q)，
p+q
∴抛物线的对称轴为直线x= ，
2
∵抛物线向上平移对称轴不变，
m+n p+q
∴ = ，
2 2
即m+n=p+q，
∵抛物线y=−3(x−ℎ) 2+5开口向下，
∴将此抛物线向上平移，平移后的抛物线与x轴两交点间距离会变长，
∴n−m<q−p，
故选：C．
【变式8-3】（24-25九年级上·安徽合肥·期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=− x2 −2x+n与x轴
交于A、B两点，抛物线y=− x2+2x+n与x轴交于C、D两点，其中n>0．若AD=3BC，则n的值为
．
【答案】3
【分析】本题主要考查了抛物线与x轴的交点问题，根据题意用n表示出AD2=9BC2，列出关于n的方程是
解题的关键．先求出抛物线y=− x2 −2x+n与x轴的交点，抛物线y=− x2+2x+n与x轴的交点，然后根据
AD=3BC，得出AD2=9BC2，列出关于n的方程，解方程即可．
【详解】解：把y=0代入y=− x2 −2x+n得：−x2 −2x+n=0，
−(−2)+❑√4+4n −(−2)−❑√4+4n
解得：x = =− 1−❑√1+n，x = =−1+❑√1+n，
1 2×(−1) 2 2×(−1)
把y=0代入y=− x2+2x+n得：−x2+2x+n=0，
解得：x =1− ❑√1+n，x =1+❑√1+n，
3 4
∵AD=3BC，
∴AD2=9BC2，∴ (x −x ) 2=9(x −x ) 2 (1+❑√1+n+1+❑√1+n) 2=9(1− ❑√1+n+1− ❑√1+n) 2
4 1 3 2
，即
，
∴ (1+❑√1+n) 2=9(1− ❑√1+n) 2 ，
令❑√1+n=m，则(1+m) 2=9(1− m) 2，
1
解得：m = ，m =2，
1 2 2
1 1 3
当m = 时，❑√1+n= ，解得：n=− ，
1 2 2 4
∵n>0，
3
∴ n=− <0不符合题意，舍去；
4
当m =2时，❑√1+n=2，解得：n=3，
2
∵3>0，
∴n=3符合题意；
综上分析可知，n的值为3，
故答案为：3．
