文档内容
专题 22.4 二次函数与一元二次方程（举一反三讲义）
【人教版】
【题型1 抛物线与x轴的交点】..............................................................................................................................3
【题型2 利用二次函数的图象确定方程根的情况】.............................................................................................6
【题型3 求x轴与抛物线的截线长】......................................................................................................................9
【题型4 利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解】...............................................................................14
【题型5 利用二次函数的图象求一元二次不等式的取值范围】.......................................................................17
【题型6 利用不等式求自变量或函数值的取值范围】.......................................................................................20
【题型7 根据两函数交点确定不等式的解集】...................................................................................................25
【题型8 抛物线与x轴交点上的四点问题】........................................................................................................29
知识点 1 二次函数与一元二次方程的关系
一元二次方程是二次函数的函数值y=0时的情况，反映在图象上就是一元二次方程的根为对应二次函数的
图象与x轴交点的横坐标．
（1）若抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴两交点的横坐标分别为x ，x ，则x ，x 为一元二次方程
1 2 1 2
ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根．
（2）二次函数图象与x轴交点个数与对应一元二次方程根的情况的关系：知识点 2 利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解
利用二次函数图象求一元二次方程的近似解的一般步骤
（1）画出二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象；
（2）确定二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交点的横坐标在哪两个整数之间；
（3）列表，在（2）中的两数之间取值估计，并用计算器估算近似解，则近似解在对应y值正负交替的地
方．
通过列表求近似根的具体过程：
在列表求近似根时，近似根就出现在对应的y值正负交替的位置，也就是对x取一系列值，看y对应的哪
两个值，由负变成正或由正变成负，此时x的两个对应值之中必有个近似根，比如x由x 取到x 时，对应y
1 2
的值出现y >0，y <0或y <0，y >0，那么x ，x 中必有一个是近似根，比较|y )与|y )的大小，若
1 2 1 2 1 2 1 2
|y )>|y )，则说明x 是近似根；反之，则说明x 是近似根．从图象上观察，（x，y）离x轴越近，y值越
1 2 2 1
接近0，而y=0时x的值就是方程的确切根．
知识点 3 二次函数与一元二次不等式的关系
利用二次函数图象解一元二次不等式的步骤:
（1）将一元二次不等式化为ax2+bx+c>0(或<0)的形式；
（2）明确二次项系数a的正负、对称轴在y轴哪侧，并计算b2 −4ac的值；
（3）作出不等式对应的二次函数y=ax2+bx+c的草图；
（4）二次函数在x轴上方的图象对应的函数值大于零，在x轴下方的图象对应的函数值小于零．
以y=ax2+bx+c(a>0)为例，二次函数与一元二次不等式的关系如下表：
∆=b2 −4ac ∆>0 ∆=0 ∆<0二次函数
y=ax2+bx+c
(a>0)的图像
一元二次方程
b
ax2+bx+c=0 x ，x x =x =− 没有实数根
1 2 1 2 2a
(a>0)的根
不等式
ax2+bx+c>0 xx x≠x 的一切实数 全体实数
1 2 1
(a>0)的解集
不等式
ax2+bx+c<0 x 0)的解集
【题型1 抛物线与x轴的交点】
【例1】（24-25九年级下·全国·期中）已知二次函数y=ax2 −4ax+4a+4（a为常数且a≠0）．
(1)当函数图象经过(4,0)，求该二次函数的表达式．
(2)若a>0，判断该二次函数图象与x轴的交点个数并证明．
(3)若该函数图象上有两点A(x ,y ),B(x ,y )，其中x 4．求证：y >y ．
1 1 2 2 1 2 1 2 1 2
【答案】(1)y=− x2+4x
(2)该二次函数图象与x轴无交点，见解析
(3)见解析
【分析】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求二次函数解析式，
解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
（1）利用待定系数法求二次函数解析式即可．
（2）令ax2 −4ax+4a+4=0，可得Δ=(−4a) 2 −4a(4a+4)=−16a<0，则方程ax2 −4ax+4a+4=0无实
数解，即该二次函数图象与x轴无交点．
（3）由题意得y =ax 2 −4ax +4a+4，y =ax 2 −4ax +4a+4，则可得y −y >0，即可得y >y ．
1 1 1 2 2 2 1 2 1 2
【详解】（1）解：将(4,0)代入y=ax2 −4ax+4a+4，
得16a−16a+4a+4=0，
解得a=−1，
∴该二次函数的表达式为y=− x2+4x．
（2）解：该二次函数图象与x轴无交点．
证明：令ax2 −4ax+4a+4=0，
∵a>0，∴Δ=(−4a) 2 −4a(4a+4)=16a2 −16a2 −16a=−16a<0，
∴方程ax2 −4ax+4a+4=0无实数解，
∴该二次函数图象与x轴无交点．
（3）证明：∵该函数图象上有两点A(x ,y ),B(x ,y )，
1 1 2 2
∴y =ax 2 −4ax +4a+4，y =ax 2 −4ax +4a+4，，
1 1 1 2 2 2
∴y −y =a(x 2 −x 2)−4a(x −x )=a(x +x )(x −x )−4a(x −x )=a(x +x −4)(x −x )，
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
∵x 4，
1 2 1 2
∴x −x <0，x +x −4>0，
1 2 1 2
∵a<0，
∴a(x +x −4)(x −x )>0，
1 2 1 2
∴y −y >0，
1 2
即y >y ．
1 2
【变式1-1】（24-25九年级下·全国·期中）若抛物线y=x2 −6x+a与x轴只有一个公共点，则a的值为
．
【答案】9
【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点，理解函数与方程的关系是解题的关键．根据二次函数与一元二
次方程的关系列方程求解．
【详解】解：由题意得：关于x的方程0=x2 −6x+a有两个相等的实数根，
∴Δ=36−4 a=0，
解得：a=9，
故答案为：9．
【变式1-2】（2025·内蒙古呼和浩特·模拟预测）已知二次函数y=x2+2mx+m2 −2m−3(m为常数)的图象
与x轴有交点，当x>2时，y随x的增大而增大，则m的取值范围是（ ）
3 3
A．m≥− B．− ≤m≤2 C．m<2 D．m≥−2
2 2
【答案】A
【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点，明确抛物线与x轴的交点个数与判别式的关系及二次函数的性
质是解题的关键．
3
根据图象与x轴有交点，得出判别式Δ≥0，从而解得m≥− ，然后求出抛物线的对称轴，结合抛物线开
2
口向上，且当x>2时，y随x的增大而增大，可得m≥−2，从而得出选项．【详解】解：∵二次函数y=x2+2mx+m2 −2m−3（m为常数）的图象与x轴有交点，
∴Δ=(2m) 2 −4×1× (m2 −2m−3)≥0，
3
解得：m≥− ，
2
2m
∵抛物线对称轴为直线x=− =− m，抛物线开口向上，当x>2时，y随x的增大而增大，
2×1
∴−m≤2，
∴m≥−2
3
∴m的取值范围是m≥− ，
2
故选：A．
【变式1-3】（24-25八年级下·安徽阜阳·期末）二次函数y=ax2 −(a+1)x−2a−1（a为常数，a>0）．
(1)若该二次函数图象关于直线x=1对称，求a的值；
(2)若该二次函数图象上点M(1,y )，N(2,y )满足y ；
2
(3)y +y ≥0 ．
1 2
【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象的性质，掌握对称轴公式以及函数图象
的性质是解题的关键．
（1）根据二次函数的对称轴为直线x=1即可求出a=1；
（2）将点M(1,y )，N(2,y )代入二次函数解析式，表示出y −y ，根据y ；
2
（3）解：点M(x ,y )，N(x ,y )在二次函数图象上，
1 1 2 2
∴y =ax 2 −(a+1)x −2a−1，y =ax 2 −(a+1)x −2a−1，
1 1 1 2 2 2
∵x +x =−2，
1 2
∴x =− 2−x ，
2 1
代入y =ax 2 −(a+1)x −2a−1得y =a(− 2−x ) 2 −(a+1)(− 2−x )−2a−1
2 2 2 2 1 1
=ax 2+(5a+1)x +4a+1，
1 1
∴y +y =ax 2 −(a+1)x −2a−1+ax 2+(5a+1)x +4a+1
1 2 1 1 1 1
=2ax 2+4ax +2a
1 1
=2a(x 2+2x +1)
1 1
=2a(x +1) 2 ，
1
∵a>0，(x +1) 2≥0，
1
∴y +y =2a(x +1) 2≥0．
1 2 1
【题型2 利用二次函数的图象确定方程根的情况】
【例2】（2025·黑龙江齐齐哈尔·二模）如图所示是二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的部分图象，该函数图
象的对称轴是直线x=1，图象与y轴交点的纵坐标是2．则下列结论：①2a+b=0；②方程ax2+bx+c=0
一定有一个根在−2和−1之间；③方程ax2+bx+c−a=0一定有两个不相等的实数根；④点A(x ,y )，
1 1
8
B(x ,y )在抛物线上，且x <12时，y >y ；⑤函数y的最大值大于 ．其中正确结论的个
2 2 1 2 1 2 1 2 3
数为（ ）A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
【答案】B
【分析】本题考查抛物线与x轴的交点，根与系数的关系，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特
征，解题的关键是掌握二次函数的图象和性质，熟练运用数形结合的方法解决问题．根据二次函数的对称
性，开口方向等来判断结论①②，根据二次函数与一元二次方程的关系来判断结论③，根据函数的增减
性，函数值判断结论④⑤即可．
【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线x=1，
b
∴− =1，
2a
∴b=−2a，即2a+b=1，故①正确；
∵抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为直线x=1，与x轴的一个交点的横坐标在2和3之间，
∴抛物线与x轴的另一个交点的横坐标在−1和0之间，
∴方程ax2+bx+c=0一定有一个根在−1和0之间，故②错误；
∵抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)图象与y轴交点的纵坐标是2，
∴c=2，
∴ax2 −2ax+2− a=0，
∴Δ=(−2a) 2 −4a×(2− a)=8a2 −8a=8a(a−1)，
令Δ=0，得8a2 −8a=8a(a−1)=0，
∴a=0或a=1，
∵a<0，
∴Δ>0，
∴方程ax2+bx+c−a=0一定有两个不相等的实数根，故③正确；
∵抛物线的开口向下，
∴抛物线上的点距离对称轴越远y值越小，距离对称轴越近y值越大，
∵x +x >2，
1 2
∴x >2− x ，
1 2∴− x <−2+ x ，
1 2
∴1− x <−2+ x +1，
1 2
∴1− x y ，故④正确；
1 2
如图，当x=3时，y<0，
∴9a−6a+2<0，
2
∴− a> ，
3
8
∴2− a> ，
3
8
当x=1时，y =a−2a+2=2− a> ，
最大 3
8
∴函数y的最大值大于 ，故⑤正确，
3
综上所述，正确的结论有：①③④⑤，共4个，
故选：B．
【变式2-1】（24-25八年级下·福建福州·期末）已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的一个根是x=3
，且二次函数y=ax2+bx+c的对称轴是直线x=1，则此方程ax2+bx+c=0的另一个根为 ．
【答案】x=−1
【分析】本题考查二次函数与一元二次方程的关系，以及抛物线的对称性，明确抛物线与x轴的两个交点
关于对称轴对称是解题的关键．
根据抛物线的对称性，可知y=ax2+bx+c的图像与x轴的两个交点关于直线x=1对称，两交点的横坐标即
为方程ax2+bx+c=0的两根，根据对称性建立关系式即可求解．
【详解】解：设方程ax2+bx+c=0的另一根为x ，
2
∵二次函数y=ax2+bx+c的对称轴是直线x=1，
x +x 3+x
∴ 1 2 =1，即 2 =1，
2 2
解得，x=−1，
∴另一根为x=−1，
故答案为：x=−1．
【变式2-2】如图，抛物线y=ax2与直线y=bx+c的两个交点坐标分别为A(−2,4)，B(1,1)，则关于x的
方程ax2 −bx−c=0的解为 ．【答案】x =−2，x =1
1 2
【分析】本题考查抛物线与一次函数的交点、一元二次方程等知识，解题的关键是灵活运用所学知识，学
会利用图象法解决实际问题，利用图象法即可解决问题，方程的解就是两个函数图象的交点的横坐标．
【详解】解：由图象可知，关于x的方程ax2 −bx−c=0的解，就是抛物线y=ax2与直线y=bx+c的两个
交点坐标分别为A(−2,4)，B(1,1)的横坐标，
即x =−2，x =1．
1 2
故答案为：x =−2，x =1．
1 2
【变式2-3】（2025·山东青岛·模拟预测）若二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于(−1,0)和(3,0)
n m
，关于x的一元二次方程cx2+bx+a=0(c≠0)的两个根分别是m和n，则 + = ．
m n
10 1
【答案】− /−3
3 3
【分析】本题考查二次函数的性质，一元二次方程的根与系数的关系，根据二次函数的性质求得
b c
− =−1+3=2， =− 1，×得3=到−b3=−2a，c=−3a，则方程可转化为3x2+2x−1=0，根据根与系数
a a
2 1 n m (m+n) 2 −2mn
的关系m+n=− ，mn=− ，再将 + 整理得到 ，代入数据计算即可求解．
3 3 m n mn
【详解】解：二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于(−1,0)和(3,0)，
b c
∴− =−1+3=2， =− 1，×3=−3
a a
∴b=−2a，c=−3a，
∴一元二次方程cx2+bx+a=0(c≠0)为−3ax2 −2ax+a=0，
即3x2+2x−1=0，
∵关于x的一元二次方程cx2+bx+a=0(c≠0)的两个根分别是m和n，
2 1
∴m+n=− ，mn=− ，
3 34 2
+
n m n2+m2 (m+n) 2 −2mn 9 3 10
∴ + = = = =− ，
m n mn mn 1 3
−
3
10
故答案为：− ．
3
【题型3 求x轴与抛物线的截线长】
【例3】（2025·浙江·二模）在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax2 −2ax+c(a>0)．
(1)当a=c时，
①求抛物线的顶点坐标．
②将抛物线向下平移m个单位(m>0)，若平移后的抛物线过点(0,−8)，且与x轴两交点之间的距离为6，求
m的值．
(2)已知点M(2,2n+1)，N(−1,3 n+2)在抛物线上，且c<0，求n的取值范围．
【答案】(1)①(1,0)；②m=9，
1
(2)−10)，得y=a(x−1) 2，即可得出顶点坐标；
②根据平移规律得平移后抛物线解析式为y=a(x−1) 2 −m，把(0,−8)代入，求得a=m−8，则
y=(m−8)x2 −2(m−8)x−8，设平移后的抛物线与x轴两交点横坐标为x ，x ，则x +x =2，
1 2 1 2
8 16−4 m 16
x ⋅x = ，又|x −x )=6，即可得出 − =36，解之即可求解．
1 2 8− m 1 2 8− m 8− m
1
（2）把M(2,2n+1)，代入y=ax2 −2ax+c(a>0)，得c=2n+1，根据c<0，求得n<− ；把N(−1,3 n+2)
2
代入y=ax2 −2ax+c(a>0)，得c=3n−3a+2，根据c=2n+1和a>0，求得n>−1，进而即可求解．
【详解】（1）解：①∵y=ax2 −2ax+c(a>0)，a=c
∴y=ax2 −2ax+a=a(x−1) 2
∴抛物线的顶点坐标为(1,0)，
②∵将抛物线向下平移m个单位(m>0)，
∴平移后抛物线解析式为y=a(x−1) 2 −m，
把(0,−8)代入，得a(0−1) 2 −m=−8，
∴a=m−8∴y=(m−8)(x−1) 2 −m=(m−8)x2 −2(m−8)x−8
设平移后的抛物线与x轴两交点横坐标为x ，x ，
1 2
8
则x +x =2，x ⋅x = ，
1 2 1 2 8− m
∴x 2+2x x +x 2=4
1 1 2 2
∴x 2+x 2=
16−4 m
1 2 8− m
∵平移后的抛物线与x轴两交点之间的距离为6，
∴|x −x )=6
1 2
∴x 2 −2x x +x 2=36
1 1 2 2
16−4 m 16
∴ − =36
8− m 8− m
解得：m=9
经检验，m=9是分式方程的解，且符合题意，
∴m=9．
（2）解：把M(2,2n+1)，代入y=ax2 −2ax+c(a>0)，得
c=2n+1，
∵c<0，
∴2n+1<0，
1
∴n<− ，
2
把N(−1,3 n+2)代入y=ax2 −2ax+c(a>0)，得
3a+c=3n+2，
∴c=3n−3a+2，
∵c=2n+1，
n+1
∴a= ，
3
n+1
∵a= >0，
3
∴n>−1，
1
∴−1x ，求出x x ，x −x ，然后代
2 2 1 1 2 2 1
y=kx
1 1
入 + 求解即可；
OP OQ
b b
（3）首先得到x −x +y −y =(x −x )(x +x +b+1)，根据x x ，
2 1
∴x x =
k+❑√k2+1
×
k−❑√k2+1
=−
1
，x −x =❑√k2+1，
1 2 2 2 4 2 1
1 + 1 = 1 + 1 = 1 ( 1 + 1 )= 1 ( x 1 −x 2) =4
∴ ．
OP OQ ❑√x2+y2 ❑√x2+y2 ❑√1+k2 |x ) |x ) ❑√1+k2 x x
1 1 2 2 1 2 1 2
（3）证明：x −x +y −y =x −x +x ❑ 2 −x ❑ 2+b(x −x )=(x −x )(x +x +b+1)
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
b
∵x 0，x=0,y=−2<0，
∴根据函数的连续性可得在−1∼0之间，存在一个数，使得y=0，
∵x=−3和x=−1的函数值相等，
− 3−1
∴对称轴为：x= =−2，
2
∴根据对称性可得：在− 4∼之−间3，也存在一个数，使得y=0，
∴一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的解x的范围是−40时，
自变量x的取值范围是（ ）
A．x<−1 B．x>2 C．−12
【答案】D
【分析】本题考查了二次函数与不等式的关系．根据题意，当函数值y>0时，自变量x的取值范围，就是
求当函数图象在x轴上方时，对应的x取值范围，由此得到答案．
【详解】观察图象知，当函数值y>0时，自变量x的取值范围是x<−1或x>2，
故选：D．
【变式5-2】（24-25九年级上·辽宁盘锦·阶段练习）二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图，根据图
象解答下列问题：
(1)直接写出方程ax2+bx+c=0的两个根；
(2)直接写出y随x的增大而减小时自变量x的取值范围；
(3)直接写出关于x的不等式ax2+bx+c<0的解集．
【答案】(1)x =1，x =3
1 2
(2)x≥2
(3)x<1或x>3
【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax2+bx+c（a，b，
c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．
【详解】（1）解：由图象看，
∵二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于点(1,0)，(3,0)
∴方程ax2+bx+c=0的两个根是x =1，x =3；
1 2
（2）解：从图象看，当x≥2时，y随x的增大而增大；
（3）解：从图象看，
∵当x<1或x>3时，二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象在x轴
∴不等式ax2+bx+c<0的解集是：x<1或x>3．
【变式5-3】（2025·广东清远·一模）抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)如图所示，抛物线与x轴交于点(−1，0)
，顶点坐标为(1，m)，下列结论：①ac<0；②8a+4b=0；③对于任意实数n，都有an2+bn+c≥m；④
当−10．其中正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质、二次函数图象与系数的关系、二次函数图象与不等式的关
系等知识点，灵活运用二次函数的性质成为解题的关键．
根据图象开口向上可知a<0，与y轴的交点在原点上方可知c>0，据此可判断①；因为抛物线与x轴交于
(−1，0)，对称轴为直线x=1，所以另一交点为(3，0)，则9a+3b+c=0、a−b+c=0两式相减可得
8a+4b=0，可判断②；抛物线顶点坐标为(1，m)，开口向下，则m为最大值，对于任意实数n，都有
an2+bn+c≤m，据此可判断③；由图象可得当−10，据此可判定④．
【详解】解：∵抛物线的开口向上，
∴a<0，
∵与y轴的交点在原点上方可，
∴c>0，
∴ac<0，即①正确；
∵抛物线与x轴交于(−1，0)，对称轴为直线x=1，
∴抛物线与x轴的另一交点为(3，0)，
∴当x=3时，9a+3b+c=0；当x=−1时，a−b+c=0，
∴两式相减可得8a+4b=0，即②正确；
∵抛物线顶点坐标为(−1，0)，开口向下，
∴m为最大值，∴对于任意实数n，都有an2+bn+c≤m，即③错误；
④由图象可得，当−10，即④正确．
综上，正确的有3个．
故选C．
【题型6 利用不等式求自变量或函数值的取值范围】
【例6】（2025·安徽安庆·模拟预测）抛物线y =x2+mx+n的顶点纵坐标与抛物线y =− x2 −mx的顶点纵
1 2
坐标之和为4．
(1)求n的值；
(2)已知A(s,t)为抛物线y =x2+mx+n上一点，B(p,q)为抛物线y =− x2 −mx上一点．
1 2
（i）若仅存在一个正数s，使得s+t=0，求p+q的最大值；
（ii）若p=s+2，且当10（符合题意）；
∴m=−5，
∴y =− x2+5x，
2
∵B(p,q)为抛物线y =− x2 −mx上一点，
2
∴q=− p2+5p，
∴p+q=− p2+6p=− (p−3) 2+9，
∵−1<0，
∴当p=3时，p+q有最大值9；
（ii）∵t=s2+ms+4，p=s+2，且B(p,q)为抛物线y =− x2 −mx上，
2
∴q=− (s+2) 2 −m(s+2)=− s2 −(4+m)s−2m−4，
∵t+q<4，
∴s2+ms+4+[−s2 −(4+m)s−2m−4)<4，
∴−2m<4+4s，
∵10；当x>5
时，y<0．若点(t,m)，(t+2,n)都在函数y=ax2 −6ax+c上，且m>n>5a，则t的取值范围是 ．
【答案】20；当x>5时，y<0，可得a<0，且抛物线与x轴的交点的横坐标为5和1，然后分两种情况：若点(t,m)，(t+2,n)均在对称轴的右侧，若点(t,m)，(t+2,n)均在对称轴的两侧，结合二次函
数的性质解答即可．
−6a
【详解】解：根据题意得：二次函数的对称轴为直线x=− =3，
2a
∴横坐标为5关于对称轴的对称点的横坐标为1，
∵当10；当x>5时，y<0，
∴a<0，且抛物线与x轴的交点的横坐标为5和1，
∴当x<3时，y随x的增大而增大，当x≥3时，y随x的增大而减小，
若点(t,m)，(t+2,n)均在对称轴的右侧，
此时t≥3，
∵抛物线与x轴的交点的横坐标为5和1，
∴当x=1时，y=0，
∴a−6a+c=0，即c=5a，
∴抛物线的解析式为y=ax2 −6ax+5a，
当x=0时，y=5a，
∴抛物线与y轴的交点为(0,5a)，
∴点(0,5a)关于对称轴的对称点为(6,5a)，
∵m>n>5a，
∴t+2<6，
即t<4，
此时3≤t<4；
若点(t,m)，(t+2,n)均在对称轴的两侧，则
3− t2；
综上所述，t的取值范围是2−1时，x
的取值范围为x− 3−t．则如下四个值中有可能为m的是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【分析】本题主要考查了二次函数与不等式之间的关系，二次函数的性质，根据题意可得当y=−1时，
x=t−1或x=− 3−t，且函数开口向上，即a>0，则可求出对称轴为直线x=−2，则可得到b=−4a，把2 1
(m,2)代入解析式得到a= ≥ ，据此求出m的取值范围即可得到答案．
m2+4m 4
【详解】解：∵当y>−1时，x的取值范围为x− 3−t，
∴当y=−1时，x=t−1或x=− 3−t，且函数开口向上，即a>0，
∴(t− 1,)−，1(− 3−t,−1)为抛物线上的点，
t− 1− 3−t
∴抛物线对称轴为直线x= =−2，
2
b
∴ =−2，
2a
∴b=−4a，
∴y=ax2+4ax=a(x+2) 2 −4a，
1
当a>0时，−4a≤−1，解得a≥ ，
4
将(m,2)代入解析式得am2+4am=2，
2 1
a= ≥
∴ ，
m2+4m 4
∴0n的解集为（ ）
2
A．x<3 B．x>−4 C．−43或x<−4
【答案】C
【分析】本题主要考查二次函数与一次函数的综合．观察图象得：当−4mx+n的解集为−4n的解集为−40恒成立，
1 2
当1− a=0即a=1时，函数y=(1− b)x+4是一次函数，显然y>0不恒成立，
当1− a<0即a>1时，二次函数y的图象开口向下，
∴y>0不恒成立，故选项C、D不符合题意；
∴只需1− a>0，且Δ=(a−b) 2 −16(1− a)<0恒成立，
当−20，但b值不确定，当b很大时，Δ可能大于0，故选项A不符合题意；
当−21，−20)关于直线x=2的“和睦函数”为C ，将
1 2
2
函数C 与C 的图象组成的图形记为T，若T与线段MN只有2个公共点，则a的取值范围是a≥ ．
1 2 3
【答案】 /④②
【分析】②本题④主要考查了二次函数顶点式、二次函数点的坐标特征、二次函数交点问题等内容，利用数形
结合是解题的关键．①根据“友好函数”的定义即可求解，②n=m2 −4m+1=(m−2)2 −3，再根据m的取
值范围即可得到n的范围，③根据题意得出|m2 −4m)≤3，解不等式，即可求解；④当MN过“和睦点”时，为临界点情况，当MN过C 的顶点时，此时T与线段MN只有2个公共点，找出临界值代入求解即可．
1
【详解】解：①∵y=x2 −2x=(x−1)2 −1，
∴顶点(1,−1)，它关于直线x=−1 的对称点为(− 3，,−1)
∴ “和睦函数”为y=(x+3)2 −1=x2+6x+8，
∵两个函数图象关于直线x=−1 对称，
∴其交点必在直线x=−1 上，将x=−1代入y=x2 −2x中，y=1− ，2×(−1)=3
∴ “和睦点”坐标为(−1,3)；故①正确；
②由题意得n=m2 −4m+1=(m−2)2 −3，
∵1>0，
∴n关于m的函数图象是一条抛物线，开口向上，顶点为(2,−3)，
∴当m=2 时，n有最小值−3，
当m=1 时，n=−2，当m=4 时，n=1，
∴−3≤ n≤1；故②错误；
③依题意可得d=m2 −4m
∵|d|≤3，
∴|m2 −4m)≤3
∴m2 −4m−3≤0或m2 −4m+3≥0
解得：3≤m≤2+❑√7或2− ❑√7≤m≤1，故③正确
④如图，
当MN过“和睦点”时，为临界点情况，
当x=2时，y=a(2−1) 2 −4a=−3a，
即−3a=−2，
2
解得：a=
32
则当a≥ 时，T与线段MN只有2个公共点；
3
当MN过C 的顶点时，此时T与线段MN只有2个公共点，
1
当x=1时，y=a(1−1) 2 −4a=−4a，
即−4a=−2，
1
解得：a= ；
2
2 1
综上，a的取值范围为：a≥ 或a= ，故④错误，
3 2
故答案为：②④．
【题型8 抛物线与x轴交点上的四点问题】
【例8】（24-25九年级上·湖北武汉·期中）已知抛物线y=(x−x )(x−x )−3(x q−p
C．m+n=p+q，n−mq−p
【答案】C
【分析】本题考查抛物线与x轴交点问题，解答涉及交点与对称轴的关系，会用数形结合思想是解题的关
键．因为抛物线y=−3(x−ℎ) 2+5开口向下，所以抛物线向上平移，对称轴不变，与x轴的两交点距离变长
解答即可．
【详解】解：∵抛物线y=−3(x−ℎ) 2+5与x轴相交于(m,0)，(n,0)两点(m0．若AD=3BC，则n的值为
．
【答案】3
【分析】本题主要考查了抛物线与x轴的交点问题，根据题意用n表示出AD2=9BC2，列出关于n的方程是
解题的关键．先求出抛物线y=− x2 −2x+n与x轴的交点，抛物线y=− x2+2x+n与x轴的交点，然后根据
AD=3BC，得出AD2=9BC2，列出关于n的方程，解方程即可．
【详解】解：把y=0代入y=− x2 −2x+n得：−x2 −2x+n=0，
−(−2)+❑√4+4n −(−2)−❑√4+4n
解得：x = =− 1−❑√1+n，x = =−1+❑√1+n，
1 2×(−1) 2 2×(−1)
把y=0代入y=− x2+2x+n得：−x2+2x+n=0，
解得：x =1− ❑√1+n，x =1+❑√1+n，
3 4
∵AD=3BC，
∴AD2=9BC2，∴ (x −x ) 2=9(x −x ) 2 (1+❑√1+n+1+❑√1+n) 2=9(1− ❑√1+n+1− ❑√1+n) 2
4 1 3 2
，即
，
∴ (1+❑√1+n) 2=9(1− ❑√1+n) 2 ，
令❑√1+n=m，则(1+m) 2=9(1− m) 2，
1
解得：m = ，m =2，
1 2 2
1 1 3
当m = 时，❑√1+n= ，解得：n=− ，
1 2 2 4
∵n>0，
3
∴ n=− <0不符合题意，舍去；
4
当m =2时，❑√1+n=2，解得：n=3，
2
∵3>0，
∴n=3符合题意；
综上分析可知，n的值为3，
故答案为：3．
