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一元二次方程单元综合测试题
一、填空题（每题2分，共20分）
1．方程 x（x－3）=5（x－3）的根是_______．
2．下列方程中，是关于x的一元二次方程的有________．
（1）2y2+y－1=0；（2）x（2x－1）=2x2；（3） －2x=1；（4）
ax2+bx+c=0；（5） x2=0．
3．把方程（1－2x）（1+2x）=2x2－1 化为一元二次方程的一般形式为
________．
4．如果 － －8=0，则 的值是________．
5．关于x的方程（m2－1）x2+（m－1）x+2m－1=0是一元二次方程的条件是
________．
6．关于x的一元二次方程x2－x－3m=0有两个不相等的实数根，则m的取值
范围是定______________．
7．x2－5│x│+4=0的所有实数根的和是________．
8．方程x4－5x2+6=0，设y=x2，则原方程变形_________
原方程的根为________．
9．以－1为一根的一元二次方程可为_____________（写一个即可）．
10．代数式 x2+8x+5的最小值是_________．
二、选择题（每题3分，共18分）
11．若方程（a－b）x2+（b－c）x+（c－a）=0是关于x的一元二次方程，则
必有（ ）．
A．a=b=c B．一根为1 C．一根为－1 D．以上都不对
12．若分式 的值为0，则x的值为（ ）．
A．3或－2 B．3 C．－2 D．－3或2
13．已知（x2+y2+1）（x2+y2+3）=8，则x2+y2的值为（ ）．
A．－5或1 B．1 C．5 D．5或－1
14．已知方程 x2+px+q=0 的两个根分别是 2 和－3，则 x2－px+q 可分解为
（ ）．
A．（x+2）（x+3） B．（x－2）（x－3）
C．（x－2）（x+3） D．（x+2）（x－3）15 已知 α，β 是方程 x2+2006x+1=0 的两个根，则（1+2008α+α2）
（1+2008β+β2）的值为（ ）．
A．1 B．2 C．3 D．4
16．三角形两边长分别为2和4，第三边是方程x2－6x+8=0的解，则这个三角
形的周长是（ ）．
A．8 B．8或10 C．10 D．8和10
三、用适当的方法解方程（每小题4分，共16分）
17．（1）2（x+2）2－8=0； （2）x（x－3）=x；
（3） x2=6x－ ； （4）（x+3）2+3（x+3）－4=0．
四、解答题（18，19，20，21题每题7分，22，23题各9分，共46分）
18．如果x2－10x+y2－16y+89=0，求 的值．
19．阅读下面的材料，回答问题：
解方程x4－5x2+4=0，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的
解法通常是：
设 x2=y，那么 x4=y2，于是原方程可变为 y2－5y+4=0 ①，解得 y =1，
1
y =4．
2
当y=1时，x2=1，∴x=±1；
当y=4时，x2=4，∴x=±2；
∴原方程有四个根：x =1，x =－1，x =2，x =－2．
1 2 3 4
（1）在由原方程得到方程①的过程中，利用___________法达到________的目的，体现了数学的转化思想．
（2）解方程（x2+x）2－4（x2+x）－12=0．
20．如图，是丽水市统计局公布的 2000～2003年全社会用电量的折线统
计图．
（1） 填写统计表：
2000～2003年丽水市全社会用电量统计表:
年 份 2000 2001 2002 2003
全社会用电量 13.33
（单位：亿kW·h）
（2）根据丽水市2001年至2003年全社会用电量统计数据，求这两年年
平均增长的百分率（保留两个有效数字）．
21．某商场服装部销售一种名牌衬衫，平均每天可售出 30件，每件盈利40元．
为了扩大销售，减少库存，商场决定降价销售，经调查，每件降价1元时，平
均每天可多卖出2件．
（1）若商场要求该服装部每天盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？
（2）试说明每件衬衫降价多少元时，商场服装部每天盈利最多．
22．设a，b，c是△ABC的三条边，关于 x的方程 x2+ x+c－ a=0有两
个相等的实数根，方程3cx+2b=2a的根为x=0．（1）试判断△ABC的形状．
（2）若a，b为方程x2+mx－3m=0的两个根，求m的值．
23．已知关于x的方程a2x2+（2a－1）x+1=0有两个不相等的实数根 x ，x ．
1 2
（1）求a的取值范围；（2）是否存在实数a，使方程的两个实数根互为相反
数？如果存在，求出a的值；如果不存在，说明理由．
解：（1）根据题意，得△=（2a－1）2－4a2>0，解得a< ．
∴当a<0时，方程有两个不相等的实数根．
（2）存在，如果方程的两个实数根x ，x 互为相反数，则x +x =－
1 2 1 2
=0 ①，
解得a= ，经检验，a= 是方程①的根．
∴当a= 时，方程的两个实数根x 与x 互为相反数．
1 2
上述解答过程是否有错误？如果有，请指出错误之处，并解答．
24、如图，A、B、C、D为矩形的4个顶点，AB＝16cm，BC＝6cm，动点
P、Q分别从点A、C同时出发，点P以3cm/s的速度向点B移动，一直到达
点B为止；点Q以2cm/s的速度向点B移动，经过多长时间P、Q两点之间的
距离是10cm?
C D
Q
B A
P
25、如图，在△ABC中，∠B＝90°，BC＝12cm，AB＝6cm，点P从点A开
始沿AB边向点B以2cm/s的速度移动（不与B点重合），动直线QD从AB
开始以2cm/s速度向上平行移动，并且分别与BC、AC交于Q、D点，连结
DP，设动点P与动直线QD同时出发，运动时间为t秒，
C
（1）试判断四边形BPDQ是什么特殊的四边形？如果P点的速度是以1cm/s，
则四边形BPDQ还会是梯形吗？那又是什么特殊的四边形呢？
（2）求t为何值时，四边形BPDQ的面积最大，最大面积是多少？
Q D
↑
A
B
P ←1、如图，在平面直角坐标系内，已知点 A(0，6)、点B(8，0)，动点P从点A
开始在线段AO上以每秒1个单位长度的速度向点O移动，同时动点Q从点B
开始在线段BA上以每秒2个单位长度的速度向点A移动，设点P、yQ移动的
时间为t秒，
A
（1）当t为何值时，△APQ与△AOB相似？
P
Q
（2）当t为何值时，△APQ的面积为 个平方单位？
O
B x
2、有一边为 5cm的正方形ABCD和等腰三角形PQR，PQ＝PR＝5cm，QR
＝8cm，点B、C、Q、R在同一直线l上，当C、Q两点重合时，等腰三角形
PQR以1cm/s的速度沿直线l按箭头方向匀速运动，
（1）t秒后正方形ABCD与等腰三角形PQR重合部分的面积为5，求时间t；
（2）当正方形ABCD与等腰三角形PQR重合部分的面积为7，求时间t；
A D
P
l
B Q C R
3、如图所示，在平面直角坐标中，四边形 OABC 是等腰梯形，CB∥OA，
OA=7，AB=4，∠COA=60°，点P为x轴上的—个动点，点P不与点0、点A
重合．连结CP，过点P作PD交AB于点D，(1)求点B的坐标；(2)当点P运
动什么位置时，△OCP为等腰三角形，求这时点P的坐标；(3)当点P运动什么
位置时，使得∠CPD=∠OAB， y
且 ，求这时点P的坐标；
C B
D
O P A x答案:
1．x=3，x=10
1 2
2．（5） 点拨：准确掌握一元二次方程的定义：即含一个未知数，未知数的最高次数
是2，整式方程．
3．6x2－2=0
4．4 －2 点拨：把 看做一个整体．
5．m≠±1
6．m>－ 点拨：理解定义是关键．
7．0 点拨：绝对值方程的解法要掌握分类讨论的思想．
8．y2－5y+6=0 x= ，x=－ ，x= ，x=－
1 2 3 4
9．x2－x=0（答案不唯一）
10．－27
11．D 点拨：满足一元二次方程的条件是二次项系数不为0．
12．A 点拨：准确掌握分式值为0的条件，同时灵活解方程是关键．
13．B 点拨：理解运用整体思想或换元法是解决问题的关键，同时要注意 x2+y2式子本
身的属性．
14．C 点拨：灵活掌握因式分解法解方程的思想特点是关键．
15．D 点拨：本题的关键是整体思想的运用．
16．C 点拨：本题的关键是对方程解的概念的理解和三角形三边关系定理的运用．
17．（1）整理得（x+2）2=4，
即（x+2）=±2，
∴x=0，x=－4
1 2
（2）x（x－3）－x=0，
x（x－3－1）=0，
x（x－4）=0，
∴x=0，x=4．
1 2（3）整理得 x2+ －6x=0，
x2－2 x+1=0，
由求根公式得x= + ，x= － ．
1 2
（4）设x+3=y，原式可变为y2+3y－4=0，
解得y=－4，y=1，
1 2
即x+3=－4，x=－7．
由x+3=1，得x=－2．
∴原方程的解为x=－7，x=－2．
1 2
18．由已知x2－10x+y2－16y+89=0，
得（x－5）2+（y－8）2=0，
∴x=5，y=8，∴ = ．
19．（1）换元 降次
（2）设x2+x=y，原方程可化为y2－4y－12=0，
解得y=6，y=－2．
1 2
由x2+x=6，得x=－3，x=2．
1 2
由x2+x=－2，得方程x2+x+2=0，
b2－4ac=1－4×2=－7<0，此时方程无解．
所以原方程的解为x=－3，x=2．
1 2
20．（1）
年 份 2000 2001 2002 2003
全社会用电量 13.33 14.73 17.05 21.92
（单位：亿kW·h）
（2）设2001年至2003年平均每年增长率为x，
则2001年用电量为14.73亿kW·h，
2002年为14.73（1+x）亿kW·h，
2003年为14.73（1+x）2亿kW·h．
则可列方程：14.73（1+x）2=21.92，1+x=±1.22，
∴x=0.22=22%，x=－2.22（舍去）．
1 2
则2001～2003年年平均增长率的百分率为22%．
21．（1）设每件应降价x元，由题意可列方程为（40－x）·（30+2x）=1200，
解得x=0，x=25，
1 2
当x=0时，能卖出30件；
当x=25时，能卖出80件．根据题意，x=25时能卖出80件，符合题意．
故每件衬衫应降价25元．
（2）设商场每天盈利为W元．
W=（40－x）（30+2x）=－2x2+50x+1200=－2（x2－25x）+1200=－2（x－12.5）
2+1512.5
当每件衬衫降价为12.5元时，商场服装部每天盈利最多，为1512.5元．
22．∵ x2+ x+c－ a=0有两个相等的实数根，
∴判别式=（ ）2－4× （c－ a）=0，
整理得a+b－2c=0 ①，
又∵3cx+2b=2a的根为x=0，
∴a=b ②．
把②代入①得a=c，
∴a=b=c，∴△ABC为等边三角形．
（2）a，b是方程x2+mx－3m=0的两个根，
所以m2－4×（－3m）=0，即m2+12m=0，
∴m=0，m=－12．
1 2
当m=0时，原方程的解为x=0（不符合题意，舍去），
∴m=12．
23．上述解答有错误．
（1）若方程有两个不相等实数根，则方程首先满足是一元二次方程，
∴a2≠0且满足（2a－1）2－4a2>0，∴a< 且a≠0．
（2）a不可能等于 ．
∵（1）中求得方程有两个不相等实数根，同时a的取值范围是a< 且a≠0，
而a= > （不符合题意）
所以不存在这样的a值，使方程的两个实数根互为相反数．
