专题 22.4 二次函数与一元二次方程【八大题型】
【人教版】
【题型1 根据抛物线与x轴交点个数求字母的值（或取值范围）】.................................................................1
【题型2 利用二次函数的图象确定一元二次方程的实数根】.............................................................................2
【题型3 抛物线与x轴交点上的四点问题】..........................................................................................................3
【题型4 抛物线与x轴的截线长问题】..................................................................................................................3
【题型5 图象法确定一元二次方程的近似根】.....................................................................................................4
【题型6 利用二次函数的图象解一元二次不等式】.............................................................................................6
【题型8 由几何变换后的抛物线与一次函数的交点个数问题求字母取值范围】.............................................8
【知识点1 二次函数图象与x轴的交点情况决定一元二次方程根的情况】
根的判别式 二次函数的图象 二次函数与x轴的交点坐标 一元二次方程根的情况
抛物线 与 x 一元二次方程
轴交于 ， 两
△＞0 有两个不相等的实数根
点，且 ，
此时称抛物线与x轴相交
一元二次方程
抛物线 与 x
△＝0 有两个相等的实数根
轴交切于 这一点，此时称
抛物线与x轴相切
一元二次方程
抛物线 与 x
△＜0
轴无交点，此时称抛物线与x轴相
在实数范围内无解（或
离
称无实数根）
【题型1 根据抛物线与x轴交点个数求字母的值（或取值范围）】
【例1】（2023春·广东广州·九年级期末）已知抛物线y=kx2+2x-1与坐标轴有三个交点，则k的取值范
围（ ）
A．k≥-1 B．k>-1 C．k≥-1且k≠0 D．k>-1且k≠0【变式1-1】（2018·四川资阳·九年级四川省安岳中学校考期末）若关于x的函数y=（a+2）x2﹣（2a﹣1）
x+a﹣2的图象与坐标轴有两个交点，则a的值为 ．
【变式1-2】（2023春·浙江绍兴·九年级统考期中）已知抛物线y=x2﹣（4m+1）x+2m﹣1与x轴交于两点，
1
如果有一个交点的横坐标大于2，另一个交点的横坐标小于2，并且抛物线与y轴的交点在点（0，- ）的
2
下方，那么m的取值范围是（ ）
1 1 1 1
A． <m< B．m< C．m> D．全体实数
6 4 6 4
【变式1-3】（2023春·广东惠州·九年级校考期末）已知二次函数y=mx2-6mx+6的图象与x交于点A和
点B（点B在点A的左侧），与y轴交于点C，△ABC是以BC为底的等腰三角形，那么m的值为 ．
【题型2 利用二次函数的图象确定一元二次方程的实数根】
【例2】（2023春·山西临汾·九年级统考期末）如图，二次函数y=ax2+bx+c的部分图象，图象过点(3,0)，
对称轴为直线x=1，下列结论：①abc>0；②a-b+c=0；③y的最大值为3；④方程ax2+bx+c+1=0
有实数根；⑤4a+c<0．其中正确的结论为 （填序号）．
【变式2-1】（2023春·辽宁大连·九年级统考期中）抛物线y=ax2+bx+c的顶点A在x轴上，点A的坐标
如图所示，则一元二次方程ax2+bx+c=0的根是 ．
【变式2-2】（2023春·江苏南京·九年级南京外国语学校仙林分校校考期末）若关于x的一元二次方程
的一个根为2，则二次函数 与 轴的交点坐标为（ ）
ax2+k=0 y=a(x+1) 2+k x
A．(-3,0)、(1,0) B．(-2,0)、(2,0)
C．(-1,0)、(1,0) D．(-1,0)、(3,0)【变式2-3】（2023春·广东广州·九年级广州四十七中校考期末）关于x的一元二次方程x2+x=n有两个不
相等的实数根，则抛物线y=x2+x-n的顶点在第 象限．
【题型3 抛物线与x轴交点上的四点问题】
【例3】（2023春·福建厦门·九年级大同中学校考期中）已知抛物线y=(x-x )(x-x )+1(x <x )，抛物
1 2 1 2
线与x轴交于(m，0)，(n，0)两点(m<n)，则m，n，x ，x 的大小关系是（ ）
1 2
A．x <m<n<x B．m<x <x <n
1 2 1 2
C．m<x <n<x D．x <m<x <n
1 2 1 2
【变式3-1】（2023春·浙江台州·九年级统考期末）抛物线 与x轴交于 ，
y=ax2+bx+c(a>0) (x ,0)
1
两点，将此抛物线向上平移，所得抛物线与x轴交于 ， 两点，下列说法正确的是
(x ,0) (x ,0) (x ,0)
2 3 4
（ ）
A．x +x >x +x B．x +x <x +x
1 2 3 4 1 2 3 4
C．x +x =x +x D．x -x =x -x
1 2 3 4 1 2 3 4
【变式3-2】（2023春·山东临沂·九年级统考期末）已知抛物线y=x2+bx+c的图象与x轴的两交点的横坐
标分别α、β(α<β)，而x2+bx+c-2=0的两根为M、N(M<N)，则α、β、M、N的大小顺序为（ ）
A．α<β<M<N B．M<α<β<N
C．α<M<β<N D．M<α<N<β
1
【变式3-3】（2023春·吉林长春·九年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=- x2-x+n
2
1
与x轴交于A、B两点，抛物线y=- x2+x+n与x轴交于C、D两点，其中n>0．若AD=2BC，则n的
2
值为______．
【题型4 抛物线与x轴的截线长问题】
【例4】（2023春·广西玉林·九年级统考期中）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=mx2-2mx+m-3（
m≠0）与x轴交于点A，B．若线段AB上有且只有7个点的横坐标为整数，则m的取值范围是（ ）3 1
A．m>0 B． <m≤
16 3
3 3 1
C．m> D． <m<
16 16 3
【变式4-1】（2023春·江苏淮安·九年级校考期中）小明在画一个二次函数的图像时，列出了下面几组x与
y的对应值．
x …… -2 -1 0 1 2 ……
y …… 3 4 3 0 -5 ……
(1)求该二次函数的表达式；
(2)当y=0时，x的值为 ；
(3)该二次函数图像与直线y=n有两个交点A、B，若AB>6时，n的取值范围为 ．
【变式4-2】（2023春·福建福州·九年级统考期末）对于每个非零的自然数n，抛物线
与 轴交于 、 两点，以 表示这两点间的距离，则
y=n(n+1)x2-(2n+1)x+1 x A B A B
n n n n
A B +A B +⋅⋅⋅+A B 的值是（ ）
1 1 2 2 2018 2018
2018 2017 2019 2018
A． B． C． D．
2017 2018 2018 2019
【变式4-3】（2023春·湖南长沙·八年级校联考期末）定义：如果抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于
点 ， ，那么我们把线段 叫做雅礼弦， 两点之间的距离 称为抛物线的雅礼弦长．
A(x ,0) B(x ,0) AB AB l
1 2
(1)求抛物线y=x2-2x-3的雅礼弦长；
(2)求抛物线 的雅礼弦长的取值范围；
y=x2+(n+1)x-1(1≤n<3)
(3)设m，n为正整数，且m≠1，抛物线y=x2+(4-mt)x-4mt的雅礼弦长为l ，抛物线
1
的雅礼弦长为 ， ，试求出 与 之间的函数关系式，若不论 为何值， 恒
y=-x2+(t-n)x+nt l s=l2-l2 s t t s≥0
2 1 2
成立，求m，n的值．
【知识点2 求一元二次方程的近似解的方法（图象法）】
（1）作出函数的图象，并由图象确定方程的解的个数；
（2）由图象与y=h的交点位置确定交点横坐标的范围；
（3）观察图象求得方程的根（由于作图或观察存在误差，由图象求得的根一般是近似的）．【题型5 图象法确定一元二次方程的近似根】
【例5】（2023春·广东潮州·九年级统考期末）在估算一元二次方程x2+12x-15=0的根时，小彬列表如
右：由此可估算方程x2+12x-15=0的一个根x的范围是（ ）．
x 1 1.1 1.2 1.3
x2+12x-15 -2 -0.59 0.84 2.29
A．1<x<1.1 B．1.1<x<1.2 C．1.2<x<1.3 D．x>1.3
【变式5-1】（2023春·黑龙江绥化·八年级绥化市第八中学校校考期中）二次函数y=2x2+4x-1的图象如
图所示，若方程2x2+4x-1=0的一个近似根是x=-2.2，则方程的另一个近似根为 ．（结果
精确到0.1）
1
【变式5-2】（2023春·全国·九年级期中）小朋在学习过程中遇到一个函数y= |x|(x-3) 2．
2
下面是小朋对其探究的过程，请补充完整：
(1)观察这个函数的解析式可知，x的取值范围是全体实数，并且y有______值（填“最大”或“最小”），
这个值是______；
(2)进一步研究，当x≥0时，y与x的几组对应值如下表：
1 3 5 7
x 0 1 2 3 4 …
2 2 2 2
25 27 5 7
y 0 2 1 0 2 …
16 16 16 16
1
结合上表，画出当x≥0时，函数y= |x|(x-3) 2的图像；
2(3)结合（1）（2）的分析，解决问题：
1
若关于x的方程 |x|(x-3) 2=kx-1有一个实数根为2，则该方程其它的实数根约为______（结果保留小数
2
点后一位）．
【变式5-3】（2023春·湖南长沙·九年级校联考期中）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0，a，b，c是常数）中，
自变量x与函数y的对应值如下表：
1 1 3 5
x -1 - 0 1 2 3
2 2 2 2
1 7 7 1
y -2 - 1 2 1 - -2
4 4 4 4
一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c是常数）的两个根x ，x 的取值范围是下列选项中的哪一个
1 2
（填序号）
1 3 1 5
①- <x <0, <x <2 ②-1<x <- ,2<x <
2 1 2 2 1 2 2 2
1 5 1 3
③- <x <0,2<x < ④-1<x <- , <x <2
2 1 2 2 1 2 2 2
【题型6 利用二次函数的图象解一元二次不等式】
【例6】（2023春·湖北黄石·九年级黄石市有色中学校考开学考试）如图，抛物线y=ax2+bx+c与直线
y=kx+h交于A、B两点，下列是关于x的不等式或方程，结论正确的是（ ）A． 的解集是
ax2+(b-k)x+c>h 2<x<4
B． 的解集是
ax2+(b-k)x+c>h x>4
C． 的解集是
ax2+(b-k)x+c>h x<2
D． 的解是 或
ax2+(b-k)x+c=h x=2 x=4
【变式6-1】（2023春·辽宁大连·九年级统考期末）已知：二次函数y=-x2+2x+3．
(1)将函数关系式化为 的形式，并指出函数图像的对称轴和顶点坐标；
y=a(x-h) 2+k
(2)利用描点法画出所给函数的图像．
x ··· -1 0 1 2 3 ···
y ··· ···
(3)当-1<x<2时，观察图像，直接写出函数值y的取值范围．
【变式6-2】（2023春·山西运城·九年级校考期末）定义min{a,b,c}为a，b，c中的最小值，例如：
， ．如果 ，那么 的取值范围是（ ）
min{5,3,1}=1 min{8,5,5}=5 min{4,-x2+4x,3}=3 x
A．1≤x≤3 B．x≤1或x≥3 C．1<x<3 D．x<1或x>3【变式6-3】（2023春·浙江嘉兴·九年级统考期末）我们规定：形如y=ax2+b|x|+c(a<0)的函数叫作“M
型”函数．如图是“M型”函数y=-x2+4|x|-3的图象，根据图象，以下结论：
①图象关于y轴对称；
②不等式x2-4|x|+3<0的解集是-3<x<-1或1<x<3；
③方程-x2+4|x|-3=k有两个实数解时k<-3．正确的是（ ）
A．①②． B．②③． C．①③． D．①②③．
【题型7 由抛物线与线段的交点个数问题求字母取值范围】
【例7】（2023春·福建福州·九年级福建省福州杨桥中学校考期中）在平面直角坐标系中，已知点P，Q的
坐标分别为(-2,0)，(2,2)，抛物线y=ax2-x+2(a>0)也在该平面直角坐标系中．若抛物线与线段PQ有
两个不同的交点，则a的取值范围是 ．
【变式7-1】（2023春·新疆乌鲁木齐·九年级校考期中）已知二次函数y=x2-2mx+2m-1（m为常数）．
(1)求证：不论m为何值，该二次函数的图象与x轴总有公共点．
(2)求证：不论m为何值，该二次函数的图象的顶点都在函数 的图象上．
y=-(x-1) 2
(3)已知点 ，线段AB与函数 的图象有公共点，则a的取值范围是 ．
A(a,-1),B(a+2,-1) y=-(x-1) 2
【变式7-2】（2023春·北京·九年级北京市第三中学校考期中）在平面直角坐标系xOy中，点A（﹣4，﹣
2），将点A向右平移6个单位长度，得到点B．
（1）直接写出点B的坐标；
（2）若抛物线y=-x2+bx+c经过点A，B，求抛物线的表达式；
（3）若抛物线y=-x2+bx+c的顶点在直线y＝x+2上移动，当抛物线与线段AB有且只有一个公共点时，
求抛物线顶点横坐标t取值范围．【变式7-3】（2023春·福建泉州·九年级校考期末）已知：在平面直角坐标系中，A(-1,0)，B(4,0)，抛物
线y=x2-2x+n与线段AB有唯一公共点，则n可以取 （写出所有正确结论的序号）．①n=1；②
n=2；③n≤-8；④-8≤n<-3；⑤-8≤n≤-3，
【题型8 由几何变换后的抛物线与一次函数的交点个数问题求字母取值范围】
【例8】（2023春·广东广州·九年级统考期中）抛物线y=x2-2x-3的图象为G ，G 关于x轴对称的图象
1 1
为G ，G 和G 组成的图象与直线y=x+m有3个公共点时，m的范围（或值）是 ．
2 1 2
【变式8-1】（2023春·浙江·九年级期末）如图，将二次函数y=x2-m（其中m>0）的图象在x轴下方的
部分沿x轴翻折，图象的其余部分保持不变，形成新的图象记为y ，另有一次函数y=x+2的图象记为y ，
1 2
若y 与y 恰有两个交点时，则m的范围是 ．
1 2
【变式8-2】（2023春·浙江杭州·九年级校考期末）如图，抛物线y=-2x2+8x-6与x轴交于点A，B，把
抛物线在x轴及其上方的部分记作C ，将C 向右平移得C ，C 与x轴交于点B，D，若直线y=x+m与C ，
1 1 2 2 1
C 共有3个不同的交点，则m的取值范围是 ．
2
【变式8-3】（2023春·浙江·九年级期末）对于某一函数给出如下定义：对于任意实数m，当自变量x≥m
时，函数y关于x的函数图象为G ，将G 沿直线x=m翻折后得到的函数图象为G ，函数G的图象由G 和
1 1 2 1G 两部分共同组成，则函数G为原函数的“对折函数”，如函数y=x(x≥2)的对折函数为y=¿.
2
(1)求函数 ( )的对折函数；
y=(x-1) 2-4 x≥-1
(2)若点 在函数 ( )的对折函数的图象上，求 的值；
P(m,5) y=(x-1) 2-4 x≥-1 m
(3)当函数 ( )的对折函数与 轴有不同的交点个数时，直接写出 的取值范围.
y=(x-1) 2-4 x≥n x n
