专题22.4二次函数y=a（x-h)²(a≠0)和y=a（x-h)²+k(a≠0)的图象与性质（知识梳理与考点分类讲解）（人教版）（教师版）_初中数学_九年级数学上册（人教版）_专题突破练习-V4_2025版

专题 22.4 二次函数 y=a（x-h）²(a≠0)和 y=a（x-h）²+k(a≠0)的图 象与性质（知识梳理与考点分类讲解） 第一部分【知识点归纳】 【知识点一】二次函数y=a(x-h)²(a≠0)的图象和性质 a的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 xh时， y 随x的增大而增大；xh时， y a0 向上 h，0 x=h 随x的增大而减小；xh时， y 有最小值0． xh时， y 随x的增大而减小；xh时， y a0 向下 h，0 x=h 随x的增大而增大；xh时， y 有最大值0． 【知识点二】二次函数y=a(x-h)²+k(a≠0)的图象和性质 a的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 xh时， y 随x的增大而增大；xh时， y a0 向上 h，k x=h 随x的增大而减小；xh时， y 有最小值k． xh时， y 随x的增大而减小；xh时， y a0 向下 h，k x=h 随x的增大而增大；xh时， y 有最大值k． 【知识点三】二次函数的平移 1.平移步骤： yaxh2k h，k ⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式 ，确定其顶点坐标 ； yax2 h，k ⑵ 保持抛物线 的形状不变，将其顶点平移到 处，具体平移方法如下：2.平移规律： 在原有函数的基础上“h值正右移，负左移；k值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减， 上加下减”． 第二部分【题型展示与方法点拨】 【题型1】二次函数y=a(x-h)²(a≠0)对称轴、顶点坐标、开口方向 【例1】（2022九年级下·江苏·专题练习）在同一直角坐标系中，画出二次函数 、 与 的图象．根据所画图象，填写下表： 抛物线 开口方向 对称轴 顶点坐标 增减性 【分析】利用描点法即可画出函数的图象，再根据图象填写表格。 解：在同一直角坐标系中，画出二次函数 、 与 的图象． 先列表： x … 0 1 2 3 … … 0 …… 0 … … 0 … 描点、连线，画出这三个函数的图象: 根据所画图象，填写下表： 开口方 抛物线 对称轴 顶点坐标 增减性 向 当 时，y随x的增大而减大； 开口向 y轴 下 当 时，y随x的增大而增小． 当 时，y随x的增大而减大； 开口向 下 当 时，y随x的增大而增小． 当 时，y随x的增大而减大； 开口向 下 当 时，y随x的增大而增小． 【点拨】本题主要考查描点法画函数图象，并通过函数图象得到抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标、 增减性．熟练画出函数图象并得到抛物线的性质是解题的关键． 【变式1】（23-24九年级下·广东广州·阶段练习）关于抛物线：① ；② ；③y ，下列结论正确的是（ ） A．顶点相同 B．对称轴相同 C．形状相同 D．都有最高点 【答案】C 【分析】此题考查了二次函数图象的性质，根据函数解析数确定对称轴，开口方向，顶点坐标，及最高 点和最低点，形状，熟练掌握各函数图象的性质是解题的关键解：① 的对称轴为y轴，开口向上，顶点坐标为 ， 图象有最低点； ② 的对称轴为y轴，开口向下，顶点坐标为 ， 图象有最高点； ③ 的对称轴为直线 ，开口向上，顶点坐标为 ， 图象有最低点； ∵三个图象的 ，故三个抛物线的形状相同， 故选：C. 【变式2】（23-24九年级上·广西崇左·阶段练习）已知抛物线 ，开口向下， 则k的取值范 围是 ． 【答案】 【分析】根据二次函数开口向下二次项系数 即可求出答案． 解：由 题意可知： ， 解得 ． 故答案为： ． 【点拨】本题考查二次函数的性质，解题的关键是熟练运用二次函数的图象与性质． 【题型2】二次函数y=a(x-h)²+k对称轴、顶点坐标、开口方向 【例2】（23-24九年级上·全国·课后作业）指出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标． 对称 抛物线 开口方向 顶点坐标 轴 【分析】根据二次函数 的图象与性质即可得到答案． 解：根据题意可得： 抛物线 开口方向 对称轴 顶点坐标直线 向下 向上 直线 向上 直线 向下 直线 【点拨】本题主要考查了二次函数 的图象与性质，熟练掌握当 时抛物线开口 向上，当 时抛物线开口向下，对称轴为直线 ，顶点坐标为 ，是解题的关键． 【变式1】（2023·山东枣庄·二模）二次函数 的图象如图所示，则一次函数 的 图象经过（ ） A．第一、二、三象限 B．第一、二、四象限 C．第一、三、四象限 D．第二、三、四象限 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、一次函数的性质，由二次函数解析式可得抛物线的顶点坐 标为 ，结合图象得出 ， ，最后由一次函数的性质即可得出答案，采用数形结合的思想 是解此题的关键． 解： ， 抛物线的顶点坐标为 ， 由二次函数 的图象可得： ， ， ，一次函数 的图象经过第二、三、四象限， 故选：D． 【变式2】（23-24九年级上·湖北武汉·期中）请写出一个开口向下，且经过点 的二次函数解析式： 【答案】 （答案不唯一） 【分析】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是掌握二次函数图象上点的坐标特征，以及开口向下 ． 解：根据题意可得： 经过点 ， 故答案为： ． 【题型3】二次函数y=a(x-h)²+k(a≠0)的对称性、增减性、最值 【例3】（22-23九年级上·浙江绍兴·期中）已知函数 （1）填空：函数图像的开口方向是___________，对称轴是直线___________． （2）当 ___________时， 随 的增大而减小． （3）以 轴为对称轴，将拋物线 进行轴对称变换， 求变换后所得到的拋物线解析式． 【答案】(1)向下， ； (2) ；(3) 【分析】（1）直接根据抛物线的顶点坐标式直接写出函数图象的开口方向，对称轴； （2）根据二次函数的性质得出结论； （3）根据轴对称的性质即可得到结论． （1）解：函数 图象的开口向下，对称轴为直线 ； 故答案为：向下， ； （2）解：当 时， 随 的增大而减小； 故答案为： ； （3）解：将抛物线 沿 轴进行轴对称变换，得到的新抛物线的解析式是 ．【点拨】本题主要考查了二次函数的性质和二次函数图象变换的知识，解答本题的关键是记住抛物线顶 点坐标式及正确的理解题意． 【变式1】（20-21九年级上·河北唐山·阶段练习）已知二次函数y=(x－1)2－1（0≤x≤3）的图像如图所示， 关于该函数在所给自变量取值范围内的最值，下列说法正确的是（ ） A．有最小值0，有最大值3 B．有最小值－1，无最大值 C．有最小值0，无最大值 D．有最小值－1，有最大值3 【答案】D 【分析】根据图像可直接排除选项． 解：由图像可知：二次函数y=(x－1)2－1（0≤x≤3）的最大值为3，最小值为-1； 故选D． 【点拨】本题主要考查二次函数的图像与性质，熟练掌握二次函数的图像与性质是解题的关键． 【变式2】（22-23九年级上·黑龙江佳木斯·期末）点 在二次函数 的图像上，且到该抛物 线对称轴的距离为3，则点 的坐标为 ． 【答案】 或 / 或 【分析】根据二次函数解析式得到对称轴 ，结合点 在二次函数 的图像上，且到该抛 物线对称轴的距离为3，得到点 的横坐标为 或 ，将横坐标代入表达式即可得到答案． 解： 二次函数 ， 对称轴为 ， 点 在二次函数 的图像上，且到该抛物线对称轴的距离为3， 点 的横坐标为 或 ，代入函数表达式得 ，点 的坐标为 或 ， 故答案为： 或 ． 【点拨】本题考查二次函数图像与性质，涉及点在图像上，点到对称在距离等知识，熟练掌握二次函数 图像与性质是解决问题的关键． 【题型4】抛物线y=a(x-h)²(a≠0)之间y=a(x-h)²+k(a≠0)的平移关系 【例4】（2023九年级下·江苏·专题练习）已知函数 ， 和 ． （1）在同一平面直角坐标系中画出它们的图像； （2）分别说出各个函数图象的开口方向，对称轴、顶点坐标； （3）试说明：分别通过怎样的平移，可以由函数 的图象得到函数 和函数 的图象； （4）分别说出各个函数的性质． 【答案】(1)见解析； (2)见解析 (3) 由抛物线 向左平移1个单位， 由抛物线 向右平移1个单位； (4)见解析 【分析】（1）根据“五点法”可画函数图象；（2）根据二次函数的性质可进行求解；（3）根据二次函 数的平移可进行求解；（4）根据二次函数的图象与性质可进行求解． （1）解：如图所示： （2）解： 开口向上，对称轴为y轴，顶点坐标为 ，开口向上，对称轴为 ，顶点坐标为 ， 开口向上，对称轴为 ，顶点坐标为 ； （3）解： 由抛物线 向左平移1个单位， 由抛物线 向右平移1个单 位； （4）解： 当 时y随着x的增大而减小，当 时y随着x的增大而增大， 当 时y随着x的增大而减小，当 时y随着x的增大而增大， 当 时y随着x的增大而减小，当 时y随着x的增大而增大． 【点拨】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 【变式1】（23-24九年级上·江苏淮安·阶段练习）将抛物线 ，先向右平移3个单位长度， 再向下平移2个单位长度后所得抛物线解析式（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了二次函数图象的平移与几何变换，直接根据“上加下减，左加右减”的原则进行解 答即可． 解：将抛物线 ，先向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度后所得抛物线的解析式 为： ，即 ； 故选：D． 【变式2】（2019·四川广安·一模）将抛物线y＝2x2平移，使顶点移动到点P（﹣3，1）的位置，那么平 移后所得新抛物线的表达式是 ． 【答案】y＝2（x+3）2+1 【分析】由于抛物线平移前后二次项系数不变，然后根据顶点式写出新抛物线解析式． 解：抛物线y＝2x2平移，使顶点移到点P（﹣3，1）的位置，所得新抛物线的表达式为y＝2（x+3）2+1． 故答案为y＝2（x+3）2+1【点拨】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后 的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求 出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式． 【题型5】二次函数y=a(x-h)²+k(a≠0)的图象和坐标轴交点和面积问题 【例5】（21-22九年级上·山东德州·期中）已知抛物线C：y＝（x﹣m）2+m+1． （1）若抛物线C的顶点在第二象限，求m的取值范围； （2）若m＝﹣2，求抛物线C与坐标轴的交点围成的三角形的面积． 【答案】（1）m的取值范围是 ；（2）抛物线C与坐标轴的交点围成的三角形的面积是3． 【分析】（1）先根据抛物线解析式得到抛物线的顶点坐标为（ ， ），再根据第二象限点的坐标特 征进行求解即可； （2）先求出抛物线的解析式，然后求出抛物线与坐标轴的交点，由此求解面积即可． 解：（1）∵抛物线的解析式为 ， ∴抛物线的顶点坐标为（ ， ）， ∵抛物线的顶点坐标在第二象限， ∴ ， ∴ ； （2）当 时，抛物线解析式为 ， 令 ，即 ， 解得 或 ， 令 ， ， ∴如图所示，A（-3，0），B（-1，0），D（0，3）， ∴OD=3，AB=2， ∴ ， ∴抛物线C与坐标轴的交点围成的三角形的面积是3．【点拨】本题主要考查了抛物线的顶点坐标，第二象限点的坐标特征，抛物线与坐标轴的交点坐标，解 题的关键在于能够熟练掌握二次函数的相关知识． 【变式1】（23-24九年级上·安徽合肥·阶段练习）对于二次函数 的图象，下列说法正 确的是（ ） A．开口向上 B．对称轴是直线 C．顶点坐标是 D．与x轴有两个交点 【答案】C 【分析】根据二次函数的图象与性质，求解即可． 解：二次函数 ，开口向下，A错误，不符合题意； 对称轴为： ，B错误，不符合题意； 顶点坐标是 ，C正确，符合题意； ∵开口向下，顶点坐标是 ∴图象与x轴没有交点，D错误，不符合题意； 故选：C 【点拨】此题考查了二次函数的图象与性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象及有关性质． 【变式2】在平面坐标系中，已知二次函数 的图像与 轴交点为 ，与 轴交点为 ， 为坐标原点，则 的面积是 .【答案】1 【分析】已知函数解析式，可求出点A、B的坐标，再由三角形的面积公式直接解答； 解：由已知函数解析式 得点A坐标为（1,0）； 由 =2x2-4x+2得点B坐标为（0，2）， 所以 中边OA=1，OB=2； 则 的面积＝ . 故答案为：1. 【点拨】本题考查了二次函数的图象与坐标轴的交点问题．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形 结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而进行计算． 【题型6】二次函数y=a(x-h)²+k(a≠0)综合问题 【例6】已知直线 与抛物线 有一个公共点 ，且 ． （1）求抛物线顶点 的坐标（用含 的代数式表示）； （2）说明直线与抛物线有两个交点． 【答案】（1） ， ；（2）证明见详解． 【分析】（1）把 点坐标代入抛物线解析式可得到 与 的关系，可用 表示出抛物线解析式，化为顶 点式可求得其顶点坐标； （2）由直线解析式可先求得 的值，联立直线与抛物线解析式，消去 ，可得到关于 的一元二次方程， 再判断其判别式大于0即可； 解：（1） 抛物线 过点 ， ，即 ， ， 抛物线顶点 的坐标为 ， ； （2） 直线 经过点 ，，解得 ， ∴直线的解析式是 联立直线与抛物线解析式，即有： 可得 △ ， 由（1）知 ，且 ， ， △ ， 方程 有两个不相等的实数根， 直线与抛物线有两个交点； 【点拨】本题考查的是二次函数的顶点式，根的判别式，一元二次方程等知识点，熟悉相关性质是解题 的关键． 【变式1】（23-24九年级下·浙江杭州·阶段练习）设函数 ， ，直线 与函数 的图象分别交于点 ， ，得（ ） A．若 ，则 B．若 ，则 C．若 ，则 D．若 ，则 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，理解题意，画出图象，数形结合是解题的关键．根据题意分 别画出 ， 的图象，继而根据图象即可求解． 解：如图所示，若 ，则 ，故A选项错误； 如图所示，若 ，则 或 ， 故C选项错误； 如图所示，若 ，则 ， 故B选项正确，D选项错误； 故选：B 【变式2】（2023·福建福州·三模）如图，在正方形 中，点 ，点 ，则二次函数 与正方形 有交点时， 的最大值是 ．【答案】 【分析】根据抛物线顶点坐标可确定其顶点在直线 上移动，然后再确定当抛物线左侧经过点 时， 取得最大值，以此代入坐标求解即可． 解：由题意，该抛物线的顶点坐标为 ， ∴抛物线的顶点在直线 上移动， ∵四边形 为正方形，点 ，点 ， ∴点 的坐标为 ， 如图所示，当抛物线左侧经过点 时， 取得最大值， 将 代入 得： ， 解得： 或 （不合题意，舍去）， 故答案为： ． 【点拨】本题考查二次函数图象与性质，掌握抛物线顶点特征及运动轨迹，确定取得最值时的特殊位置 是解题关键． 第三部分【中考链接与拓展延伸】 1、直通中考【例1】（2024·四川凉山·中考真题）抛物线 经过 三点，则 的大小关系正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．根据二 次函数的图象与性质可进行求解． 解：由抛物线 可知：开口向上，对称轴为直线 ， 该二次函数上所有的点满足离对称轴的距离越近，其对应的函数值也就越小， ∵ ， ， ， 而 ， ， ， ∴点 离对称轴最近，点 离对称轴最远， ∴ ； 故选：D． 【例2】（2021·浙江·中考真题）如图，已知经过原点的抛物线 与 轴交于另一点A(2，0)． （1）求 的值和抛物线顶点 的坐标； （2）求直线 的解析式． 【答案】（1） ，M (1，-2)；（2）【分析】（1）将A(2，0)代入抛物线的解析式，可求得m的值，再配成顶点式即可求解； （2）利用待定系数法即可求得直线AM的解析式． 解 （1）∵抛物线 过点A(2，0)， ，解得 ， ， , ∴顶点M的坐标是(1，-2)； （2）设直线AM的解析式为 ， ∵图象过A(2，0)，M (1，-2)， ，解得 ， ∴直线AM的解析式为 ． 【点拨】本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的图象和性质，解题的关键是灵活运用所学知 识解决问题． 2、拓展延伸 【例1】（2024·江苏南京·二模）二次函数 的图像过点 ， ． （1） 的值为______； （2）若 ， 是该函数图像上的两点，当 ， 时，试说明： ； （3）若关于 的方程 有一个正根和一个负根，直接写出 的取值范围． 【答案】(1)1； (2)见解析；(3) 或 ． 【分析】本题考查了二次函数的性质，一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数的关系； （1）由图像过点 ， 得 ，即可求解； （2）可得 ，由到对称轴距离越小的点，纵坐标越大，即可求解；（3）由根的判别式和根于系数的关系得 ， ，即可求解； 掌握二次函数的性质及一元二次方程根的判别式“ 时，方程有两个不相等的实数根； 时，方程 有两个相等的实数根； 时，方程有无的实数根．”及根与系数的关系： 是解题的关键． （1）解： 图像过点 ， ， ； 故答案： ； （2）解：由（1）得 ， ， ， ， 到对称轴的距离小于 到对称轴的距离， ， 到对称轴距离越小的点，纵坐标越大， ； （3）解：由（1）得 ， 整理得： ， 方程有一个正根和一个负根，即方程有两个不相等的实数根， ， 令 ，画出图象如图所示：由图象得： 或 ， ∵方程有一个正根和一个负根， ∴ ， 则有 同理由图象求得， 或 ， 综上：a的取值范围为： 或 ． 【例2】（22-23九年级上·湖北孝感·阶段练习）如图，抛物线 的顶点为A， 对称轴与x轴交于点C，当以 为对角线的正方形 的另外两个顶点B、D恰好在抛物线上时，我 们把这样的抛物线称为“美丽抛物线”，正方形 为它的内接正方形． （1）当抛物线 是“美丽抛物线”时，则 ； （2）当抛物线 是“美丽抛物线”时，则 ； （3）若抛物线 是“美丽抛物线”，求a，k之间的数量关系． 【答案】(1) (2)4 (3)【分析】（1）画出函数 的图像，求出点D的坐标，即可求解； （2）求得顶点A的坐标为 ，点D的坐标为 ，即可求解； （3）同（2）求得顶点A的坐标为 ，点D的坐标为 ，即可求解． （1）解：函数 的图像如下： 抛物线 是美丽抛物线时，则AC=2， ∵四边形ABCD为正方形，则点D的坐标为（1，1）， 将点D的坐标代入 得： ， 解得 ； 故答案为： ； （2）解：∵ ， ∴顶点A的坐标为 ， 同理，点D的坐标为 ， 将点D的坐标代入 得： , 解得 ； 故答案为：4； （3）解：∵ ，∴顶点A的坐标为 ， 同理，点D的坐标为 ， 将点D的坐标代入 得： , 解得 ． 【点拨】本题是二次函数综合题，主要考查了正方形的性质、二次函数的性质、新定义等，正确理解新 定义、利用二次函数的性质解答，是解题的关键．