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专题 24.12 切线长定理（2 大考点 10 类题型）（知识梳理与题型分
类讲解）
第一部分【知识点归纳与题型目录】
【知识点一】切线长定理
1．切线长：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长.
【要点提示】切线长是指圆外一点和切点之间的线段的长，不是“切线的长”的简称.切线是直线，
而非线段.
2．切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两
条切线的夹角.
【要点提示】切线长定理包含两个结论：线段相等和角相等.
3．圆外切四边形的性质：圆外切四边形的两组对边之和相等.
【知识点二】三角形的内切圆
1．三角形的内切圆：三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆.
2．三角形的内心：角形内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心.
【要点提示】
(1) 任何一个三角形都有且只有一个内切圆，但任意一个圆都有无数个外切三角形；
(2) 解决三角形内心的有关问题时，面积法是常用的，即三角形的面积等于周长与内切圆半径
乘积的一半，即 (S为三角形的面积，P为三角形的周长，r为内切圆的半径).
(3) 三角形的外心与内心的区别：
名称 确定方法 图形 性质
外心(三角形外 三角形三边中垂线的 (1)OA=OB=OC；(2)外心不一
接圆的圆心) 交点 定在三角形内部
内心(三角形内 三角形三条角平分线 (1)到三角形三边距离相等；
切圆的圆心) 的交点 (2)OA、OB、OC分别平分
∠BAC、∠ABC、∠ACB；
(3)内心在三角形内部.
【题型目录】
【题型1】应用切线长定理求解.................................................2【题型2】应用切线长定理求证.................................................5
【题型3】过圆外一点作圆的切线...............................................7
【题型4】圆外切四边形模型...................................................9
【题型5】直角三角形周长、面积和内切圆关系..................................11
【题型6】一般三角形周长、面积和内切圆关系..................................14
【题型7】三角形内心的应用..................................................17
【题型8】三角形内切圆和外接圆综合..........................................21
【题型9】直通中考..........................................................25
【题型10】拓展延伸.........................................................27
第二部分【题型展示与方法点拨】
【题型1】应用切线长定理求解
【例1】（24-25九年级上·全国·假期作业）已知 、 分别切 于 、 ， 为劣弧 上一点，过
点的切线交 于 、交 于 ．
(1)若 ，求 的周长． (2)若 求 ．
【答案】(1)12 (2)
【分析】本题考查的是切线长定理和全等三角形的判定和性质，掌握从圆外一点引圆的两条切线，它们
的切线长相等，圆心和这一点的连线，平分两条切线的夹角是解题的关键．
（1）根据切线长定理得到 ， ， ，根据三角形的周长公式计算即可；
（2）证明 ，得到 和 ，计算即可．
解：（1）连接 ，
、 与圆 相切，
，
同理可得： ， ，
的周长 ；
（2） 与圆 相切，，
∵ ，
，
在 和 中，
，
，
，
同理： ，
．
【变式1】（24-25九年级上·广西南宁·阶段练习）如图， 的直径 ， ， 分别是它的两
条切线， 与 相切于点 ，并与 ， 分别交于 ， 两点， ， ，则 关于
的函数表达式为 ．
【答案】
【分析】作 交 于点 ，由切线的性质可知 ， ，进而可证得四边形
是矩形，于是有 ， ，因而可得 ，由切线长定理可得 ，
，于是可得 ，在 中，根据勾股定理即可求出 关于 的函数表达式．解：如图，作 交 于点 ，
， 分别是 的两条切线，
， ，
又 ，
，
四边形 是矩形，
， ，
，
，
与 相切于点 ，
， ，
则 ，
在 中，根据勾股定理可得：
，
即： ，
整理，得： ，
即： ，
关于 的函数表达式为 ，
故答案为： ．
【点拨】本题主要考查了切线的性质定理，垂线的性质，矩形的判定与性质，切线长定理，勾股定理，
完全平方公式，用关系式表示变量间的关系等知识点，熟练掌握相关性质及定理是解题的关键．
【变式2】（24-25九年级上·江苏扬州·阶段练习）如图， 为 外一点， 分别切 于点 ，切 于点 ，分别交 于点 ，若 ，则 的周长为 ．
【答案】
【分析】本题考查了切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，关键是把 的
周长转化为已知切线相关的线段计算．
根据切线长定理得到 ， ， ，再根据三角形的周长公式计算即可．
解：∵ 分别切 于点 ， 切 于点 ， ，
∴ ， ， ，
∴ 的周长 ，
，
，
，
．
故答案为： ．
【题型2】应用切线长定理求证
【例2】（23-24九年级上·河南安阳·期中）如图，在 中， ，以 为直径的 交
于点D，过点D的切线交 于点E．求证： ．
【分析】本题考查圆周角定理，切线的判定和性质，切线长定理，连接 ，圆周角定理，得到
，进而得到 ，证明 为 的切线，切线长定理，得到 ，等角的余角
相等，得到 ，进而得到 ，即可．掌握相关性质和定理，是解题的关键．
解：证明：如图，连接 ，∵ 为 的直径，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ 为 的切线．
∵ 为 的切线，
∴ ，
∴ ．
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【变式】（23-24九年级上·全国·课后作业）如图， 切 于 ， 切 于 ， 交 于 ，连
接 ，下列结论中，错误的是（ ）．
A． B． C． D．以上都不对
【答案】D
【分析】连接 ， ，根据切线长定理可得 ，再证明 ，问题得解．
解：连接 ， ，如图，∵ 切 于 ， 切 于 ，
∴ ，即 是等腰三角形，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，即 平分 ，
∴ ，即A、B、C三项都正确，
故选：D．
【点拨】本题主要考查了切线长定理，等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等知识，掌
握切线长定理，是解答本题的关键．
【题型3】过圆外一点作圆的切线
【例3】（24-25九年级上·江苏徐州·阶段练习）过圆外一点P做 的切线，尺规作图保留作图痕迹，用
两种方法．
【分析】方法一：如图1中，连接 ，以 为直径作圆交 于D、 ，根据圆周角定理可判断
为 的切线；
方法二：先以O点为圆心，为 半径作圆，再作大圆O的直径 ，交小圆于A、B，然后以 为圆心，
为半径画弧交大圆于点E、 ，利用圆周角定理和三角形中位线性质可得到 为 的切线．
本题考查作图-复杂作图，切线的判定，线段的垂直平分线的性质，三角形的外接圆等知识，解题的关键
是学会利用圆周角定理构造直角，属于中考常考题型．
解：根据题意，画图如下：则 和 即为所求．
【变式】（23-24九年级上·浙江宁波·期末）以下是“用尺规过圆外一点作圆的切线”的作图过程：
已知：如图， 及 外一点 ．
作法： 连结 ，作线段 的垂直平分线 交 于点 ；
以点 为圆心， 的长为半径作圆，交 于点 、点 ；
作直线 ， ．
说明：连结 ．
∵以点 为圆心， 的长为半径作圆，∴ 为 的直径，∴ °．
∵ 为半径，∴ 为 的 ，且 （填“ ”、“ ”或“ ”）．
【答案】 ； 切线； ．
【分析】本题考查了作图-复杂作图，线段垂直平分线的性质、圆周角定理和切线的判定与性质，先根据
圆周角定理的推论得到 ， ，然后根据切线的判定定理得到直线 为切线，同理可
证，直线 也是 的切线，熟练掌握以上知识点的应用是解题的关键．
解：连接 ，∵ 为 的直径，
∴ ，
∵ 为半径，
∴ 为 的切线，
同理 为 的切线，
∴ ，
故答案为： ；切线； ．
【题型4】圆外切四边形模型
【例4】（19-20九年级上·山东·课后作业）如图，⊙O与四边形ABCD的各边依次切于M，N，G，H．
（1）猜想AB+CD与AD+BC有何数量关系，并证明你的猜想；
（2）若四边形ABCD增加条件AD∥BC而成为梯形，梯形的中位线长为m，其他条件不变，试用m表示梯
形的周长．
【答案】（1）AB+CD=AD+BC，证明详见解析；（2）4m.
【分析】(1)由切线长定理，得：AM=AH，BN=BM，CN=CG，DG=DH，所以AB+CD=AD+BC，
(2)AD∥BC，在梯形ABCD中，由梯形的中位线定理得，AD+BC=2m，梯形的周长
=AB+CD+AD+BC=2(AD+BC)=2×2m=4m
解：(1)AB+CD=AD+BC
证明：由切线长定理，得：AM=AH，BN=BM，CN=CG，DG=DH，
所以AB+CD=AM+BM+CG+DG=AH+BN+CN+DH=AD+BC，即AB+CD=AD+BC
(2)AD∥BC，在梯形ABCD中，由梯形的中位线定理得，
AD+BC=2m，
梯形的周长=AB+CD+AD+BC=2(AD+BC)=2×2m=4m
【点拨】考查了圆外切四边形的性质：圆外切四边形的两组对边和相等；也考查了梯形的中位线定理，
梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半 .
【变式1】（22-23九年级上·河北邯郸·期中）如图， 是四边形 的内切圆．若 ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据内切圆得到四条角平分线，结合四边形内角和定理求解即可得到答案；
解：∵ 是四边形 的内切圆，
∴ ， ， ， ，
∵ ，
∴ ，
∵ ， ， ，
∴ ，
故选：A；
【点拨】本题考查圆内切四边形及四边形的内角和定理，解题的关键是得到
．
【变式2】（21-22九年级上·江苏南京·期中）如图，圆O是四边形ABCD的内切圆，若∠BOC＝118°，
则∠AOD＝ ．【答案】62°
【分析】先根据切线长定理得到∠1＝ ∠ABC，∠2＝ ∠BCD，∠3＝ ∠ADC，∠4＝ ∠BAD，再利
用三角形内角和计算出∠1+∠2＝62°，则∠ABC+∠BCD＝124°，然后利用四边形内角和得出∠BAD+∠ADC
＝236°，再求∠3+∠4＝118°即可．
解：∵圆O是四边形ABCD的内切圆，
∴OA平分ABC，OC平分∠BCD，OD平分∠ADC，OA平分∠BAD，
∴∠1＝ ∠ABC，∠2＝ ∠BCD，∠3＝ ∠ADC，∠4＝ ∠BAD，
∵∠1+∠2＝180°﹣∠BOC＝180°﹣118°＝62°，
∴∠ABC+∠BCD＝2（∠1+∠2）＝2×62°＝124°，
∵∠BAD+∠ADC＝360°﹣（∠ABC+∠BCD）＝360°﹣124°＝236°，
∴∠3+∠4＝ （∠BAD+∠ADC）＝ ×236°＝118°，
∴∠AOD＝180°﹣（∠3+∠4）＝180°﹣118°＝62°．
故答案为：62°．
【点拨】本题考查了四边形的内切圆．切线的性质和切线长定理，三角形内角和，掌握四边形的内切圆
性质．切线的性质和切线长定理，三角形内角和是解题关键．
【题型5】直角三角形周长、面积和内切圆关系
【例5】（2024九年级上·全国·专题练习）已知：如图， 是 的内切圆， ．若
， ，求 的半径r；若 ， ， ，求 的半径r．【答案】3；
【分析】本题考查了直角三角形的内切圆的性质及半径的求法，利用切线长定理得出四边形 是正
方形是解题的关键；
首先设 、 、 与 的切点分别为D、E、F；证四边形 是正方形；根据切线长定理可得：
，由此可求出r的长．
解：如图；
设 、 、 与 的切点分别为D、E、F；
在 ， ， ， ；
根据勾股定理 ；
四边形 中， ， ；
则四边形 是正方形；
由切线长定理，得： ， ， ；
则 ；
即： ．
当 ， ， ，
由以上可得：
；即： ．
则 的半径r为： ．
【变式1】（24-25九年级上·全国·单元测试）直角三角形的两直角边分别为a，b，外接圆的半径为R，
内切圆的半径为r，则a，b，R，r 四者之间的关系是 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了直角三角形的外接圆与内切圆，正方形的性质和判定，切线的性质，切线长定理等
知识点的综合运用． 切 于E，切 于F，切 于D，得出正方形 推出 ，根据
切线长定理结合三角形的周长求出 ，即可求出答案．
解：如图， 切 于E，切 于F，切 于D，连接 ，
则 ， ，
∴四边形 是正方形，
∴ ，
由切线长定理得： ，
∵直角三角形的外接圆半径为R，内切圆半径为r，
∴ ，
即 的周长是
，
∴ ，
故选：A．【变式2】（24-25九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，在 中， ， 是 的内切
圆，切点分别为D、E、F，若 ， ，则 的半径为 ．
【答案】1
【分析】连接 、 ．由已知条件可得出 ， ，结合已知条件证明四边形 是
正方形，由正方形的性质可得出 ，
根据切线长定理可得 ， ，进而可得出 ， ， ，最后利用勾股
定理列出方程求解即可．
解：连接 、 ．
∵ 内切于 ，
∴ ， ，
又∵ ，
∴四边形 是矩形，
又∵ ，
∴四边形 是正方形，
∴． ．
∵ 内切于 ，
∴ ， ，
∵ ， ，
∴ ， ，
在 中，即 ．
解得： ， （舍去），
故 的半径为1．
故答案为：1．
【点拨】本题考查了三角形内切圆的性质，正方形的判定以及性质，切线长定理，勾股定理，掌握三角
形内切圆的性质，正方形的判定以及性质，切线长定理是解题的关键．
【题型6】一般三角形周长、面积和内切圆关系
【例6】（23-24九年级上·江苏盐城·期中）如图， 为 的内切圆，切点分别为 ，点
分别为 上的点，且 为 的切线．
(1)若 ，求 的度数；
(2)若 ，求 的周长．
【答案】(1) (2)11
【分析】本题考查了切线长定理，内切圆的性质，解题的关键是：
（1）利用三角形内角和求出 ，再根据内切圆的性质和切线长定理得出 ，
，再求出 ，最后利用三角形内角和求出结果；
（2）设 的切点为 ，根据内切圆的性质得到 ， ，推出 的周长为 ，再
结合切线长定理可得 ，再计算即可
解：（1）∵ ，
∴ ，
∵ 为 的内切圆，
∴ ， ，∴ ，
∴ ；
（2）∵ 为 的内切圆， 为 的切线，设切点为 ，
∴ ， ，
∴ 的周长为：
∵ ， ， ，
∴
．
【变式1】．（2024·广东广州·一模）如图， 的内切圆 与 ， ， 分别相切于点 ， ，
，若 的半径为 ， ，则 的值和 的大小分别为（ ）
A．0， B． ，C． ， D． ，
【答案】A
【分析】本题考查三角形的内切圆，圆周角定理，切线长定理等知识．连接 ．利用切线长定理，可
得 ，从而得到 ，再由圆周角定理，可得
，即可．
解：如图，连接 ．
∵ 的内切圆 与 ， ， 分别相切于点 ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
故选：A
【变式2】（23-24九年级上·江苏盐城·期中）已知 的三边长为 ， ， ，则三角
形内切圆半径为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查的是勾股定理的定义、三角形的内心，解题的关键是画出图形，作 于 ，
连接 ， ， ，根据直角三角形的性质和勾股定理求出 、 的长，根据三角形的面积公式求
出即可．
解：过点 作 ，垂足为 ，连接 ， ， ，设 内切圆的半径为 ，设 ，则 ，
由勾股定理得： ， ．
．
解得： ．
，
，
，
，
解得： ，
故答案为： ．
【题型7】三角形内心的有关应用
【例7】（2024·江苏镇江·一模）如图，等腰三角形 内接于 ， ，点 是 的内心，
连接 并延长交 于点 ，点 在 的延长线上，满足 ．试证明：
(1) 所在的直线经过点I；
(2)点D是 的中点．【分析】此题重点考查圆周角定理、圆的内接三角形的定义、三角形的内心的定义、全等三角形的判定
与性质、等腰三角形的性质、等角的余角相等、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和等知
识，正确地作出辅助线是解题的关键．
（1）连接 、 、 、 ，可证明 ，得 ，则 平分 ，再
由点 是 的内心，证明 平分 ，所以 与 在同一条直线上，即可证明 所在的直线
经过点 ；
（2）连接 ，推导出 ，则 ，再证明 ，则
，再推导出 ，则 ，由 ，
，证明 ，则 ，所以 ，即可证明点 是 的中点．
解：（1）证明：连接 、 、 、 ，
， ， ，
，
，
平分 ，
点 是 的内心，
平分 ，
与 在同一条直线上，所在的直线经过点 ．
（2）证明：连接 ，则 ，
，
，
，
，
，
， ，
，
，
，
，
， ，
，
，
，
点 是 的中点．
【变式1】（2024九年级上·全国·专题练习）如图，点I为 的内心，连接 并延长，交 的外
接圆于点D，点E为弦 的中点，连接 ， ， ，当 ， ， 时， 的长为
（ ）
A．5 B．4.5 C．4 D．3.5
【答案】C
【分析】本题考查三角形的内心、三角形的外接圆、三角形的中位线定理、直角三角形的判定、勾股定
理等知识，延长 到 ，使 ，连接 ．通过内心和圆周角可得 ，进而得到，根据勾股定理求出 ，证明 是 的中位线即可解决问题．
解：延长 到 ，使 ，连接 ，
是 的内心，
， ，
， ， ，
，
，
，
∴ ，
∵ ，
，
∵ ， ，
，
，
，即点 为 的中点，
，
是 的中位线，
，
故选：C．
【变式2】（23-24九年级下·全国·单元测试）如图，点O是 的内心， ，则
．【答案】
【分析】本题考查了三角形内切圆与内心，角平分线的性质，掌握角平分线的定义是解题的关键；
先根据三角形的内心的定义得到 平分 ， 平分 ，根据角平线的性质得
，根据三角形内角和定理计算即可；
解： ，
，
点O是 的内心，，
平分 ， 平分 ，
，
，
故答案为： ．
【题型8】三角形内切圆和外接圆综合
【例8】（22-23九年级上·江苏盐城·期中）如图，I是 的内心， 的延长线交 的外接圆于点
D．
(1)求证： ；
(2)求证： ；
(3)连接 、 ，求证：点D是 的外心．
【分析】（1）根据三角形内心的定义得 ，再由圆周角与弧之间的关系即可得证；
（2）连接 ，证出 即可得证；（3）连接 ， ， ，证出 即可得证．
解：（1）证明： 点I是 的内心，
平分 ，
，
，
，
．
（2）证明：如图，连接 ，
点I是 的内心，
平分 ， 平分 ，
，
又 ，
，
， ，
，
．
（3）证明：如图，连接 ， ， ，
，．
，
∴点D是 的外心．
【点拨】本题考查了三角形内心和外心的定义，圆的基本性质中圆周角与弧之间的关系等，理解定义，
掌握圆的基本性质，根据题意作出辅助线是解题的关键.
【变式1】（23-24九年级上·浙江台州·期中）如图， 中， ， ，内心为I，连接
并延长交 的外接圆于D，若 ，则 （ ）
A． B．1 C． D．
【答案】D
【分析】设 的外接圆的圆心为O，连接 ， ， ， ，根据圆周角定理证得 是等边
三角形，再根据垂径定理可得 ， ，再根据三角形内心证得 ，
进而解决问题．
解：如图，设 的外接圆的圆心为O，连接 ， ， ， ，
在 中， ， ，内心为I，
∴ 平分 ，
∴ ，
∴ ，∵ ，
∴ 是等边三角形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∵I是 的内心，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
故选：D．
【点拨】本题考查三角形内切圆与内心、三角形外接圆与外心、垂径定理、圆周角定理、等边三角形的
性质与判定、等腰直角三角形的判定与性质、直角三角形的性质，证得 是等边三角形是解题的关
键．
【变式2】（2024九年级下·江苏·专题练习）一个直角三角形两条直角边的长分别为 ， ，则这个
直角三角形的内心与外心之间的距离是 ．
【答案】【分析】此题考查了直角三角形的外心与内心概念，及内切圆的性质．利用在 ，可求得
，根据内切圆的性质可判定四边形 是正方形，所以用r分别表示： ，
， ；再利用 作为相等关系求出 ，则可得 ，N为圆与
的切点，M为 的中点，根据直角三角形中外接圆的圆心是斜边的中点，即M为外接圆的圆心；在
中，先求得 ，由勾股定理可求得 ．
解：如图，在 ， ， ， ，
∴ ，
设 的内切圆的半径为r，则 ，
∵ ，
∴ ， ， ，
∴ ，
解得 ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ．
第三部分【中考链接与拓展延伸】
【题型9】直通中考
【例1】（2024·四川内江·中考真题）如图，在 中， ， ， 是 边上一点，且
，点 是 的内心， 的延长线交 于点 ， 是 上一动点，连接 、 ，则
的最小值为 ．【答案】
【分析】在 取点F，使 ，连接 ， ，过点F作 于H，利用三角形内心的定
义可得出 ，利用 证明 ，得出 ，则 ，当
C、P、F三点共线时， 最小，最小值为 ，利用含 的直角三角形的性质求出 ，利用勾
股定理求出 ， 即可．
解：在 取点F，使 ，连接 ， ，过点F作 于H，
∵I是 的内心，
∴ 平分 ，
∴ ，
又 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
当C、P、F三点共线时， 最小，最小值为 ，
∵ ， ，
∴ ，∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ 的最小值为 ．
故答案为： ．
【点拨】本题考查了三角形的内心，全等三角形的判定与性质，含 的直角三角形的性质，勾股定理等
知识，明确题意，添加合适辅助线，构造全等三角形和含 的直角三角形是解题的关键．
【例2】（2024·四川泸州·中考真题）如图， ， 是 的切线，切点为A，D，点B，C在 上，
若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了圆的内接四边形的性质，切线长定理，等腰三角形的性质等知识点，正确作辅助线
是解题关键．
根据圆的内接四边形的性质得 ，由 得 ，由切线长
定理得 ，即可求得结果．
解：如图，连接 ，
∵四边形 是 的内接四边形，∴ ，
∵ ，
∴ ，
即 ，
∴ ，
∵ ， 是 的切线，根据切线长定理得，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
故选：C．
【题型10】拓展延伸
【例1】（24-25九年级上·江苏南京·阶段练习）【习题再现】
（教材P74第10题）如图①，I是 的内心， 的延长线交 的外接圆于点 ． 和 相等
吗？为什么？
（不需解答，请看下面的问题）
【逆向思考】
(1)如图（1）， 为 内一点， 的延长线交 的外接圆于点 ．若 ，求证：
为 的内心；
【拓展提高】
(2)如图（2）， 的半径长为5，弦 ，动点 在优弧 上（不与 、 重合）， 是 的
内心．①点 到 上某点的距离始终不变，请用无刻度的直尺找出该点；
② 的最大值为______．
【答案】(1)见解析
(2)①见解析；②
【分析】（1）连接 ，由 ，可知 ，得到 ，从而推出 平分
，然后由 ，可知 ，通过三角形的外角可推出 平分 ，得证．
（2）①作 的延长线交 于点 ，连接 ， ，根据三角形内心的性质和同弧所对的圆周角相等，
可推出 ，再由三角形外角的可推出 ，结合 ，
从而推出 ，即 ，可得点 为所求；
②由①可知 ，从而推出当 为 的直径时， 取得最大值，设 交 于点 ，连
接 ，根据三角形内心的性质和垂径定理推论可得 ， ，然后利用勾股定理先
求得 ，即可得到 ，从而求得 的最大值．
解：（1）证明：连接 ，如图平分
是 的一个外角
，
平分
为 的内心
（2）解：①作 的延长线交 于点 ，连接 ， ，如图
是 的内心
，
， 点为 中点
又 和 为 所对的圆周角
是 的一个外角是一个定值
故延长 交 于点 ，点 即为所求，如图：
②如①图， ，
当 取最大值时， 取得最大值
当 为 的直径时， 取得最大值，如下图所示，
设 交 于点 ，连接
是 的内心
是 的直径
，
的半径长为5，
， ，的最大值为
故答案为： ．
【点拨】本题考查了三角形内心的性质，同弧或等弧所对的圆周角相等，垂径定理的推论，等腰三角形
的判定，三角形外角的性质，勾股定理，熟练掌握以上知识点并构造出合适的辅助线是解题的关键．
【例2】（24-25九年级上·江苏南通·开学考试）在 中， ，经过点 的 与斜边
相切于点 ．
(1)如图①，当点 在 上时，试说明 ；
(2)如图②， ，当点O在 外部时，求 长的取值范围．
【答案】(1)见解析 (2)
【分析】此题考查了切线的性质，勾股定理；
（1）利用切线长定理得到 ，进而得到 ，再由 ，等量代换即
可得证；
（2）当点 在 上时，求出 长，再根据当点 与点 重合时， 最长，即可确定出 的范围．
解：（1）当点 在 上时， 为 的半径，
，且点 在 上，
与 相切．
与 边相切于点 ，
，，
，
．
即 ；
（2）在 中， ， ， ，
如图，连接 、 ，当点 在 上时， 为 的半径，
，且点 在 上，
与 相切，
与 边相切于点 ，
，
∴ ，
设 ，则 ， ，
在 中， ，
根据勾股定理得： ，即 ，
解得： ，
在 中， ， ，
．
， ，
垂直平分 ，
根据面积法得： ，则符合条件的 长大于 ．
由题意可知，当点 与点 重合时， 最长，
综上，当点 在 外时， ．
