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专题 21.2 一元二次方程的解法【八大题型】
【人教版】
【题型1 用直接开平方法解一元二次方程】.........................................................................................................1
【题型2 用配方法解一元二次方程】......................................................................................................................2
【题型3 用公式法解一元二次方程】......................................................................................................................4
【题型4 用因式分解法解一元二次方程】..............................................................................................................5
【题型5 用指定方法解一元二次方程】..................................................................................................................6
【题型6 用适当的方法解一元二次方程】...........................................................................................................12
【题型7 用换元法解一元二次方程】....................................................................................................................14
【题型8 配方法的应用】........................................................................................................................................17
【知识点1 直接开平方法解一元二次方程】
根据平方根的意义直接开平方来解一元二次方程的方法，叫做直接开平方法.
直接降次解一元二次方程的步骤:①将方程化为x2=p(p≥0)或(mx+n) 2=p(p≥0,m≠0)的形式；
②直接开平方化为两个一元一次方程；③解两个一元一次方程得到原方程的解.
【题型1 用直接开平方法解一元二次方程】
1 3
【例1】（2022•建华区二模）解方程：- （x﹣2）2+ =0（开平方法）．
3 4
9 3
【分析】先把方程变形为（x﹣2）2= ，再两边开方得到x﹣2＝± ，然后解两个一次方程即可．
4 2
1 3
【解答】解：- （x﹣2）2+ = 0，
3 4
1 3
- （x﹣2）2=- ，
3 4
9
（x﹣2）2= ，
4
3
x﹣2＝± ，
27 1
所以x = ，x = ．
1 2 2 2
【变式1-1】（2022•齐齐哈尔）解方程：（2x+3）2＝（3x+2）2（开平方法）．
【分析】方程开方转化为一元一次方程，求出解即可．
【解答】解：方程：（2x+3）2＝（3x+2）2，
开方得：2x+3＝3x+2或2x+3＝﹣3x﹣2，
解得：x ＝1，x ＝﹣1．
1 2
【变式1-2】（2021秋•徐汇区校级月考）解方程：4（x+1）2﹣9（x﹣2）2＝0（开平方法）．
【分析】直接开方，再解一元一次方程即可．
【解答】解：4（x+1）2＝9（x﹣2）2，
∴2（x+1）＝±3（x﹣2），
4
∴x ＝8，x = ．
1 2 5
【变式1-3】（2022春•黄浦区校级期中）解关于x的方程：x2﹣3＝1+ax2（a≠1）（开平方法）．
【分析】方程整理后，利用平方根定义开方即可求出解．
4
【解答】解：方程整理得：（a﹣1）x2＝﹣4，即x2= ，
1-a
√ 4 2❑√1-a
当1﹣a＞0，即a＜1时，x＝±❑ =± ；
1-a 1-a
当1﹣a＜0，即a＞1时，无解．
【知识点2 配方法解一元二次方程】
将一元二次方程配成(x+m) 2=n的形式，再用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．
用配方法解一元二次方程的步骤：①把原方程化为ax2+bx+c=0(a≠0)的形式；②方程两边同除以二
次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边；③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；
④
把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法
来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解．
【题型2 用配方法解一元二次方程】
【例2】（2022春•淄川区期中）（1）请用配方法解方程2x2﹣6x+3＝0；
（2）请用配方法解一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）．【分析】（1）方程二次项系数化为1，常数项移到右边，两边加上一次项系数一半系数平方，利用完
全平方公式变形，开方即可求出解；
（2）方程二次项系数化为1，常数项移到右边，两边加上一次项系数一半系数平方，利用完全平方公
式变形，开方即可求出解．
3
【解答】解：（1）方程整理得：x2﹣3x=- ，
2
9 9 3 3 3
配方得：x2﹣3x+ = - ，即（x- ）2= ，
4 4 2 2 4
3 ❑√3
开方得：x- =± ，
2 2
3 ❑√3 3 ❑√3
解得：x = + ，x = - ；
1 2 2 2 2 2
b c
（2）方程整理得：x2+ x=- ，
a a
b b2 b2 c b b2-4ac
配方得：x2+ x+ = - ，即（x+ ）2= ，
a 4a2 4a2 a 2a 4a2
b ❑√b2-4ac
开方得：x+ =± ，
2a 2a
-b+❑√b2-4ac -b-❑√b2-4ac
解得：x = ，x = ．
1 2
2a 2a
【变式2-1】（2022秋•松江区期末）用配方法解方程：x2-2❑√5x=4．
【分析】两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后，再开方即可得．
【解答】解：∵x2-2❑√5x=4，
∴x2﹣2❑√5x+5＝4+5，即（x-❑√5）2＝9，
∴x-❑√5=3或x-❑√5=-3，
∴x ＝3+❑√5，x ＝﹣3+❑√5．
1 2
【变式2-2】（2022秋•伊川县期中）用配方法解方程：4x2﹣8x﹣7＝0．
【分析】根据配方法的步骤先把二次项系数化为1，再在等式左右两边同时加上一次项系数的一半的平
方，然后开方即可．
【解答】解：4x2﹣8x﹣7＝0，
4x2﹣8x＝7，
7
x2﹣2x= ，
47
配方得x2﹣2x+12= +1，
4
11
（x﹣1）2= ，
4
❑√11
x﹣1＝± ，
2
❑√11
x＝1± ，
2
❑√11 ❑√11
∴x ＝1+ ，x ＝1- ．
1 2 2 2
【变式2-3】（2022秋•潢川县期末）解方程：2x2﹣5x+1＝0（用配方法）
【分析】将常数项移到右边后把二次项系数化为1，再两边配上一次项系数一半的平方求解可得．
【解答】解：∵2x2﹣5x＝﹣1，
5 1
∴x2- x=- ，
2 2
5 25 1 25 5 17
∴x2- x+ =- + ，即（x- ）2= ，
2 16 2 16 4 16
5 ❑√17
则x- =± ，
4 4
5±❑√17
∴x= ．
4
【知识点3 公式法解一元二次方程】
-b±❑√b2-4ac
当b2-4ac≥0时，方程ax2+bx+c=0(a≠0)通过配方，其实数根可写为x= 的形式，这个
2a
式子叫做一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式，把各项系数的值直接代入这个公式，这种解
一元二次方程的方法叫做公式法.
【题型3 用公式法解一元二次方程】
【例3】（2022春•通州区校级月考）用公式法解方程：2a2﹣3＝﹣4a．
【分析】先把原方程化成一元二次方程的一般形式，再利用公式法进行计算即可解答．
【解答】解：2a2﹣3＝﹣4a，
整理得：2a2+4a﹣3＝0，
∵Δ＝42﹣4×2×（﹣3）
＝16+24＝40，
-4±❑√40 -4±2❑√10 -2±❑√10
∴a= = = ，
2×2 4 2
-2+❑√10 -2-❑√10
∴a = ，a = ．
1 2 2 2
【变式3-1】（2022秋•徐汇区校级月考）解方程：5x+2＝（3x﹣1）（2x+2）（公式法）．
【分析】整理成一般式，先求出b2﹣4ac的值，再代入公式求出即可．
【解答】解：方程整理得：6x2﹣x﹣4＝0，
∵a＝6，b＝﹣1，c＝﹣4，
∴b2﹣4ac＝（﹣1）2﹣4×6×（﹣4）＝97＞0，
-b±❑√b2-4ac 1±❑√97
∴x= = ，
2a 12
1+❑√97 1-❑√97
∴x = ，x = ．
1 12 2 12
【变式3-2】（2022秋•金山区校级期中）用公式法解方程：x2﹣2❑√2x﹣3＝0．
【分析】先求出b2﹣4ac的值，再代入公式求出方程的解即可．
【解答】解：x2﹣2❑√2x﹣3＝0，
∵a＝1，b＝﹣2❑√2，c＝﹣3，
∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣2❑√2）2﹣4×1×（﹣3）＝20＞0，
-b±❑√b2-4ac 2❑√2±2❑√5
∴x= = ，
2a 2
∴x =❑√2+❑√5，x =❑√2-❑√5．
1 2
【变式3-3】（2022•市中区二模）用公式法解一元二次方程：2x2﹣7x+6＝0．
【分析】方程利用公式法求出解即可．
【解答】解：方程2x2﹣7x+6＝0，
这里a＝2，b＝﹣7，c＝6，
∵Δ＝49﹣48＝1＞0，
7±1
∴x= ，
4
则x ＝2，x ＝1.5．
1 2
【知识点4 因式分解法概念】
当一个一元二次方程的一边是0，另一边能分解为两个一次因式的乘积时，就可以把解这样的一元二次方
程转化为解两个一元一次方程，这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法.
【题型4 用因式分解法解一元二次方程】
【例4】（2022秋•莲湖区期中）用因式分解法解方程：2（x﹣3）＝3x（x﹣3）．
【分析】移项后，利用提公因式法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于 x的一元一次方程，再进
一步求解即可．
【解答】解：∵2（x﹣3）＝3x（x﹣3），
∴2（x﹣3）﹣3x（x﹣3）＝0，
则（x﹣3）（2﹣3x）＝0，
∴x﹣3＝0或2﹣3x＝0，
2
解得x ＝3，x = ．
1 2 3
【变式4-1】（2022秋•徐汇区校级月考）解方程：（4﹣3x）+（3x﹣4）2＝0（因式分解法）．
【分析】利用提取公因式（4﹣3x），将左边因式分解，再进一步求解即可．
【解答】解：∵（4﹣3x）+（3x﹣4）2＝0，
∴（4﹣3x）（5﹣3x）＝0，
则4﹣3x＝0或5﹣3x＝0，
4 5
解得x = ，x = ．
1 3 2 3
【变式4-2】（2022秋•长白县期中）用因式分解法解方程：（x+3）2＝（1﹣2x）2．
【分析】方程整理后，利用因式分解法求出解即可．
【解答】解：方程整理得：（x+3）2﹣（1﹣2x）2＝0，
分解因式得：（x+3+1﹣2x）（x+3﹣1+2x）＝0，即（4﹣x）（3x+2）＝0，
可得4﹣x＝0或3x+2＝0，
2
解得：x ＝4，x =- ．
1 2 3
【变式4-3】（2022秋•简阳市 月考）用因式分解法解方程：x2-❑√3x+❑√2x-❑√6=0
【分析】利用因式分解法把方程化为x-❑√3=0或x+❑√2=0，然后解一次方程即可．
【解答】解：（x-❑√3）（x+❑√2）＝0，
x-❑√3=0或x+❑√2=0，
所以x =❑√3，x =-❑√2．
1 2【题型5 用指定方法解一元二次方程】
【例5】（2022秋•兴平市校级月考）按规定的方法解下列方程：
（1）（x+1）2﹣144＝0（直接开平方法）；
（2）x2＝8x+9（配方法）；
（3）2y2+7y+3＝0（公式法）；
（4）3（x﹣2）2＝x（x﹣2）（因式分解法）．
【分析】（1）移项，然后开平方即可求解；
（2）首先移项，然后配方，利用直接开平方法即可求解；
（3）利用公式法即可求解；
（4）移项，然后利用因式分解法即可求解．
【解答】解：（1）（x+1）2＝144，
则x+1＝12或x+1＝﹣12，
解得：x ＝﹣13，x ＝11；
1 2
（2）移项，得：x2﹣8x＝9，
配方，得x2﹣8x+16＝25，
则（x﹣4）2＝25，
即x﹣4＝5或x﹣4＝﹣5，
解得：x ＝9，x ＝﹣1；
1 2
（3）a＝2，b＝7，c＝3，
△＝49﹣4×2×3＝49﹣24＝25＞0．
-7±5
则x= ，
4
1
则x ＝﹣3，x =- ；
1 2 2
（4）原式即3（x﹣2）2﹣x（x﹣2）＝0，
因式分解得：（x﹣2）【3（x﹣2）﹣x】＝0，
即（x﹣2）（2x﹣6）＝0，
则x﹣2＝0或2x﹣6＝0，
解得：x ＝2，x ＝3．
1 2
【变式5-1】（2022秋•宁县校级月考）用适当的方法解方程：
（1）x（x﹣2）+x﹣2＝0（用因式分解法）
（2）x2﹣4x+3＝0（用配方法解）（3）x2+5x+1＝0（用公式法解）
（4）（x﹣4）2＝（5﹣2x）2（用直接开平方法）
【分析】（1）先提取公因式（x﹣2）因式分解，再求解即可；
（2）先利用完全平方公式配方，然后开平方求解即可；
（3）写出a、b、c的值，然后利用求根公式法求解；
（4）直接开平方求解即可．
【解答】解：（1）因式分解得，（x﹣2）（x+1）＝0，
由此得，x﹣2＝0，x+1＝0，
所以，x ＝2，x ＝﹣1；
1 2
（2）配方得，x2﹣4x+4﹣4+3＝0，
即（x﹣2）2＝1，
所以，x﹣2＝±1，
所以，x ＝3，x ＝1；
1 2
（3）a＝1，b＝5，c＝1，
Δ＝b2﹣4ac＝52﹣4×1×1＝25﹣1＝24，
-5±❑√24 -5±2❑√6
x= = ，
2×1 2
-5+2❑√6 -5-2❑√6
x = ，x = ；
1 2 2 2
（4）开平方得，x﹣4＝±（5﹣2x），
所以，x﹣4＝5﹣2x或x﹣4＝2x﹣5，
解得x ＝3，x ＝1．
1 2
【变式5-2】（2022秋•简阳市月考）解下列方程
（1）（2x﹣1）2＝7（直接开平方法）
（2）2x2﹣7x﹣4＝0（用配方法）
（3）2x2﹣10x＝3（公式法）
（4）（3x﹣4）2＝（3﹣4x）2（因式分解法）
（5）x2+4-❑√x2+8=26（用换元法解）
（6）（2x2+1）2﹣2x2﹣3＝0（用换元法解）
【分析】（1）用直接开平方法求解就可以了；
（2）先将常数项移到等号的右边，再将二次项系数化为 1，然后配方为完全平方公式后直接用开平方法求解就可以；
（3）先化为一般形式，然后确定a、b、c的值，最后代入求根公式求解就可以了；
（4）先移项，然后用平方差公式分解因式就可以求出结论；
（5）设❑√x2+8=a，将原方程变形为a2﹣a＝30，再解一个关于a的一元二次方程求解；
（6）将原方程变形为：（2x2+1）2﹣（2x2+1）﹣2＝0，再设2x2+1＝a，就可以变为a2﹣a﹣2＝0，最后
可以运用因式分解法求解．
【解答】解：（1）开平方，得
2x﹣1＝±❑√7，
❑√7+1 -❑√7+1
∴x = ，x = ；
1 2 2 2
（2）移项，得
2x2﹣7x＝4，
化二次项的系数为1，得
7
x2- x＝2，
2
配方，得
7 49 49
x2- x+ =2+ ，
2 16 16
7 81
（x- ）2=
4 16
开平方，得
7 9
x- =± ，
4 4
1
∴x ＝4，x =- ；
1 2 2
（3）移项，得
2x2﹣10x﹣3＝0，
∴a＝2，b＝﹣10，c＝﹣3，
∴△＝100+24＝124＞0，
10±❑√124
∴x= ，
45+❑√31 5-❑√31
∴x = ，x = ；
1 2 2 2
（4）移项，得
（3x﹣4）2﹣（3﹣4x）2＝0
分解因式，得
（3x﹣4+3﹣4x）（3x﹣4﹣3+4x）＝0，
∴﹣x﹣1＝0或7x﹣7＝0，
∴x ＝﹣1，x ＝1；
1 2
（5）原方程变形为：
x2+8-❑√x2+8=30，
设❑√x2+8=a，将原方程变形为：
a2﹣a＝30，
移项，得
a2﹣a﹣30＝0，
因式分解，得
（a+5）（a﹣6）＝0，
∴a+5＝0或a﹣6＝0，
∴a ＝﹣5（舍去），a ＝6，
1 2
∴❑√x2+8=6，
解得：x＝±2❑√7，
经检验，x＝±2❑√7是原方程的根；
（6）原方程变形为：
（2x2+1）2﹣（2x2+1）﹣2＝0，
设2x2+1＝a，则原方程变为：
a2﹣a﹣2＝0，
解得：
a ＝﹣1，a ＝2，
1 2
当a＝﹣1时，
2x2+1＝﹣1，Δ＜0，原方程无解，
当a＝2时，
2x2+1＝2，
❑√2
解得：x＝±
2
【变式5-3】（2022秋•恩阳区月考）解方程：
①x2+（❑√3+❑√2）x+❑√6=0（因式分解法）
②5x2+2x﹣1＝0（公式法）
③y2+6y+2＝0（配方法）
④9（x﹣2）2＝121（x+1）2（直接开平方法）
x+1 2x2
⑤
- =1（换元法）
x2 x+1
⑥（x2﹣x）2﹣5（x2﹣x）+6＝0（适当方法）
【分析】①根据方程特点，采用因式分解法解答．
②根据方程的系数特点，应准确确定各个项系数，利用求根公式求得．
③可以先移项，然后利用配方法解答．
④利用直接开平方法解答；
⑤移项整理，利用换元法求得未知数的解即可．
⑥利用换元法解答．
【解答】解：①x2+（❑√3+❑√2）x+❑√6=0，
（x+❑√2）（x+❑√3）＝0，
∴x+❑√2=0或x+❑√3=0，
∴x =-❑√2，x =-❑√3；
1 2
②5x2+2x﹣1＝0，
a＝5，b＝2，c＝﹣1，
Δ＝b2﹣4ac＝4+20＝24，
-2±❑√24 -2±2❑√6 -1±❑√6
x= = = ，
2×5 10 5
-1+❑√6 -1-❑√6
所以x = ，x = ；
1 5 2 5
③y2+6y+2＝0，y2+6y＝﹣2，
y2+6y+9＝﹣2+9，即（y+3）2＝7，
∴y+3=±❑√7，
∴y ＝﹣3+❑√7，y ＝﹣3-❑√7；
1 2
④9（x﹣2）2＝121（x+1）2，
3（x﹣2）＝±11（x+1），
∴3（x﹣2）＝11（x+1）或3（x﹣2）＝﹣11（x+1），
17 5
∴x =- ，x =- ；
1 8 2 14
x+1 2x2
⑤
- =1，
x2 x+1
x+1 2x2
- -1＝0，
x2 x+1
x+1
设y = ，
x2
2
则原方程为y- -1＝0，
y
y2﹣y﹣2＝0，
解得：y＝﹣1，或y＝2，
x+1
当y＝﹣1， =- 1，此方程无解；
x2
x+1 1
当y＝2， = 2，解得：x ＝1，x =- ，
x2 1 2 2
1
经检验，x ＝1，x =- 是原分式方程的解，
1 2 2
1
所以原方程的解为x ＝1，x =- ．
1 2 2
⑥（x2﹣x）2﹣5（x2﹣x）+6＝0，
设y＝x2﹣x，
则原方程为y2﹣5y+6＝0，
解得：y＝3，或y＝2，1+❑√13 1-❑√13
当y＝3，x2﹣x＝3，x = ，x = ；
1 2 2 2
当y＝2，x2﹣x＝2，解得：x ＝2，x ＝﹣1；
3 4
1+❑√13 1-❑√13
所以原方程的解为x = ，x = ，x ＝2，x ＝﹣1．
1 2 2 2 3 4
【题型6 用适当的方法解一元二次方程】
【例6】（2022春•富阳区校级期中）用适当的方法解下列一元二次方程：
（1）（x+4）2﹣5（x+4）＝0；
（2）x2﹣2x﹣15＝0．
【分析】（1）等式左边可提取公因式（x+4），转化为（x+4）（x﹣1）＝0求解；
（2）根据十字相乘法可将方程变形为（x+3）（x﹣5）＝0，由此可得同解方程x+3＝0或x﹣5＝0，据
此求解．
【解答】解：（1）（x+4）2﹣5（x+4）＝0，
将方程变形，得（x+4）（x﹣1）＝0，
即x+4＝0，x﹣1＝0，
解得：x ＝﹣4，x ＝1．
1 2
（2）x2﹣2x﹣15＝0，
将方程变形，得（x+3）（x﹣5）＝0，
则x+3＝0或x﹣5＝0，
解得x ＝﹣3，x ＝5．
1 2
【变式6-1】（2022春•大观区校级期中）用适当的方法解方程
（1）x2﹣x﹣1＝0；
（2）（x+1）2﹣3（x+1）＝0．
【分析】（1）利用公式法解方程；
（2）利用因式分解法解方程．
【解答】解：（1）Δ＝（﹣1）2﹣4×（﹣1）＝5＞0，
1±❑√5
x= ，
2×1
1+❑√5 1-❑√5
所以x = ，x = ；
1 2 2 2
（2）（x+1）2﹣3（x+1）＝0．
（x+1）（x+1﹣3）＝0，x+1＝0或x+1﹣3＝0，
所以x ＝﹣1，x ＝2．
1 2
【变式6-2】（2022春•萧山区期中）用适当的方法解下列方程：
（1）x2﹣x﹣6＝0；
（2）4（x﹣1）2＝9（x﹣5）2．
【分析】（1）利用十字相乘法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于 x的一元一次方程，再进一
步求解即可；
（2）先移项，再利用公式法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于 x的一元一次方程，再进一步
求解即可．
【解答】解：（1）∵x2﹣x﹣6＝0，
∴（x﹣3）（x+2）＝0，
则x﹣3＝0或x+2＝0，
解得x ＝3，x ＝﹣2；
1 2
（2）∵4（x﹣1）2＝9（x﹣5）2，
∴4（x﹣1）2﹣9（x﹣5）2＝0，
∴[2（x﹣1）+3（x﹣5）][2（x﹣1）﹣3（x﹣5）]＝0，
则2（x﹣1）+3（x﹣5）＝0或2（x﹣1）﹣3（x﹣5）＝0，
17
解得x ＝13，x = ．
1 2 5
【变式6-3】（2022春•柯桥区期中）选用适当的方法解下列方程．
（1）2x（x﹣1）＝3（x﹣1）；
1
（2） x2+2❑√2x﹣5＝0．
2
【分析】（1）方程移项后，利用因式分解法求出解即可；
（2）方程整理后，利用配方法求出解即可．
【解答】解：（1）方程移项得：2x（x﹣1）﹣3（x﹣1）＝0，
分解因式得：（x﹣1）（2x﹣3）＝0，
所以x﹣1＝0或2x﹣3＝0，
3
解得：x ＝1，x = ；
1 2 2
（2）方程整理得：x2+4❑√2x＝10，
配方得：x2+4❑√2x+8＝18，即（x+2❑√2）2＝18，开方得：x+2❑√2=±3❑√2，
解得：x =❑√2，x ＝﹣5❑√2．
1 2
【题型7 用换元法解一元二次方程】
【例7】（2022秋•安居区期末）为解方程（x2﹣1）2﹣5（x2﹣1）+4＝0，我们可以将x2﹣1视为一个整体，
然后设x2﹣1＝y，则原方程可化为y2﹣5y+4＝0，解此方程得y ＝1，y ＝4．
1 2
当y＝1时，x2﹣1＝1，所以x=±❑√2；
当y＝4时，x2﹣1＝4，所以x=±❑√5．
所以原方程的根为x =❑√2，x =-❑√2，x =❑√5，x =-❑√5．
1 2 3 4
以上解方程的方法叫做换元法，利用换元法达到了降次的目的，体现了数学的转化思想．运用上述方法
解下列方程：
（1）（x2﹣x）（x2﹣x﹣4）＝﹣4；
（2）x4+x2﹣12＝0．
【分析】（1）设x2﹣x＝a，原方程可化为a2﹣4a+4＝0，求出a的值，再代入x2﹣x＝a求出x即可；
（2）设x2＝y，原方程化为y2+y﹣12＝0，求出y，再把y的值代入x2＝y求出x即可．
【解答】解：（1）（x2﹣x）（x2﹣x﹣4）＝﹣4，
设x2﹣x＝a，则原方程可化为a2﹣4a+4＝0，
解此方程得：a ＝a ＝2，
1 2
当a＝2时，x2﹣x＝2，即x2﹣x﹣2＝0，
因式分解得：（x﹣2）（x+1）＝0，
解得：x ＝2，x ＝﹣1，
1 2
所以原方程的解是x ＝2，x ＝﹣1；
1 2
（2）x4+x2﹣12＝0，
设x2＝y，则原方程化为y2+y﹣12＝0，
因式分解，得（y﹣3）（y+4）＝0，
解得：y ＝3，y ＝﹣4，
1 2
当y＝3时，x2＝3，解得：x=±❑√3；
当y＝﹣4时，x2＝﹣4，无实数根，
所以原方程的解是x =❑√3，x =-❑√3．
1 2
【变式7-1】（2021春•龙口市月考）阅读下面材料：方程x4﹣6x2+8＝0是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是设x2＝y，则x4＝y2，∴原方程可化为y2﹣6y+8＝0，解方程求得y的值，进而
得到原方程的四个根x =❑√2，x =-❑√2，x ＝2，x ＝﹣2．
1 2 3 4
以上方法叫做换元法，通过换元达到降次的目的，体现了数学的转化思想，运用上述方法解答下列问题．
（1）解方程2（x2+3x）2﹣3（x2+3x）﹣2＝0；
（2）已知实数a满足（a2+❑√3）2﹣3a2＝10+3❑√3，请直接写出-❑√3a2的值．
1
【分析】（1）先设y＝x2+3x，则原方程变形为2y2﹣3y﹣2＝0，运用因式分解法解得y ＝2，y =- ，
1 2 2
1
再把y＝2和- 分别代入y＝x2+3x得到关于x的一元二次方程，然后解两个一元二次方程，最后确定原
2
方程的解；
（2）设y＝a2+❑√3，则y2﹣3y﹣10＝0，运用因式分解法解得y ＝﹣2，y ＝5，再把y＝5代y＝a2+❑√3
1 2
得到a2+❑√3=5，即可求得a2＝5-❑√3，进而即可求得-❑√3a2的值．
【解答】解：（1）设y＝x2+3x，则2y2﹣3y﹣2＝0，
则（y﹣2）（2y+1）＝0，
1
解得y ＝2，y =- ，
1 2 2
-3±❑√17
当x2+3x＝2，即x2+3x﹣2＝0时，解得x= ；
2
1 1 -3±❑√7
当x2+3x=- ，即x2+3x+ =0时，解得x= ；
2 2 2
-3+❑√17 -3-❑√17 -3+❑√7 -3-❑√7
综上所述，原方程的解为x = ，x = ，x = ，x = ；
1 2 2 2 3 2 4 2
（2）（a2+❑√3）2﹣3a2＝10+3❑√3整理得：（a2+❑√3）2﹣3（a2+❑√3）﹣10＝0，
设y＝a2+❑√3，则y2﹣3y﹣10＝0，
则（y+2）（y﹣5）＝0，
解得y ＝﹣2，y ＝5，
1 2
当y＝﹣2时，则a2+❑√3=-2，无意义，舍去；
当y＝5时，则a2+❑√3=5，得到a2＝5-❑√3，
∴-❑√3a2=-❑√3（5-❑√3）＝3﹣5❑√3．
故-❑√3a2的值为3﹣5❑√3．
【变式7-2】（2022秋•邵东市期末）请你先认真阅读下列材料，再参照例子解答问题：
已知（x+y﹣3）（x+y+4）＝﹣10，求x+y的值．解：设t＝x+y，则原方程变形为（t﹣3）（t+4）＝﹣10，即t2+t﹣2＝0
∴（t+2）（t﹣1）＝0得t ＝﹣2，t ＝1∴x+y＝﹣2或x+y＝1
1 2
已知（x2+y2﹣4）（x2+y2+2）＝7，求x2+y2的值．
【分析】根据举例进行解答即可．
【解答】解：设t＝x2+y2＞0
∴（t﹣4）（t+2）＝7
t2﹣2t﹣15＝0，
解得：t ＝5，t ＝﹣3（舍去）
1 2
∴x2+y2＝5．
【变式7-3】（2022秋•甘井子区月考）【例】解方程（x﹣1）2﹣5（x﹣1）+4＝0．
解：设x﹣1＝y，则原方程可化为y2﹣5y+4＝0．
解得y ＝1，y ＝4．
1 2
当y＝1时，即x﹣1＝1，解得x＝2；
当y＝4时，即x﹣1＝4，解得x＝5．
所以原方程的解为x ＝2，x ＝5．
1 2
上述解法称为“整体换元法”．
（1）请运用“整体换元法”解方程：（2x﹣5）2﹣（2x﹣5）﹣2＝0；
x
（2）已知x2﹣xy﹣y2＝0，求 的值．
y
【分析】（1）先设y＝2x﹣5，则原方程变形为y2﹣y﹣2＝0，运用因式分解法解得y ＝2，y ＝﹣1，再
1 2
把y＝2和﹣1分别代y＝2x﹣5得到关于x的一元二次方程，然后解两个一元二次方程，最后确定原方
程的解；
x2-xy- y2 x
（2）x2﹣xy﹣y2＝0，方程两边同时除以y2，可得 =0，设 =m，方程可化为m2﹣m﹣1＝
y2 y
x
0，类似（1）的减法可得 的值．
y
【解答】解：（1）设y＝2x﹣5，则原方程变形为y2﹣y﹣2＝0，
解得y ＝2，y ＝﹣1，
1 2
当y＝2时，即2x﹣5＝2，解得x＝3.5；
当y＝﹣1时，2x﹣5＝﹣1，解得x＝2．所以原方程的解为x ＝3.5，x ＝2；
1 2
（2）x2﹣xy﹣y2＝0，
x2-xy- y2
方程两边同时除以y2，得 =0，
y2
x
设 =m，方程可化为m2﹣m﹣1＝0，
y
1+❑√5 1-❑√5
解得m = ，m = ，
1 2 2 2
x 1+❑√5 1-❑√5
∴ 的值为 或 ．
y 2 2
【题型8 配方法的应用】
【例8】（2022秋•饶平县期末）已知a，b，c满足a2+2b＝7，b2﹣2c＝﹣1，c2﹣6a＝﹣17，则a+b﹣c的
值为（ ）
A．1 B．﹣5 C．﹣6 D．﹣7
【分析】题目中的式子相加，然后利用配方法变形为完全平方的形式，再利用非负数的性质即可求得所
求式子的值．
【解答】解：∵a2+2b＝7，b2﹣2c＝﹣1，c2﹣6a＝﹣17，
∴（a2+2b）+（b2﹣2c）+（c2﹣6a）＝7+（﹣1）+（﹣17），
∴a2+2b+b2﹣2c+c2﹣6a＝﹣11，
∴（a2﹣6a+9）+（b2+2b+1）+（c2﹣2c+1）＝0，
∴（a﹣3）2+（b+1）2+（c﹣1）2＝0，
∴a﹣3＝0，b+1＝0，c﹣1＝0，
解得，a＝3，b＝﹣1，c＝1，
∴a+b﹣c＝3﹣1﹣1＝1．
故选：A．
【变式8-1】（2022•武汉模拟）若实数a，b，x满足a﹣b＝2，a2﹣b2＝﹣4x，则多项式a2+ab﹣b2的值可
能为（ ）
A．﹣5 B．﹣6 C．﹣7 D．﹣8
【分析】将多项式a2+ab﹣b2进行变形，利用配方法可得（b+3）2﹣5，再根据偶次方的非负数性质解答
即可．
【解答】解：∵a﹣b＝2，∴a＝b+2，
∴a2+ab﹣b2
＝（b+2）2+b（a﹣b）
＝b2+4b+4+2b
＝b2+6b+4
＝（b+3）2﹣5，
∴a2+ab﹣b2的最小值是﹣5．
故选：A．
【变式8-2】（2022春•仪陇县校级月考）已知a+b+c+3＝2❑√a+4❑√b-1+2❑√c-2，则a+b+c的值是 ．
【分析】先将条件配方成(❑√a-1) 2+(❑√b-1-2) 2+(❑√c-2-1) 2=0，根据完全平方式的非负性求出a、
b和c的值即可．
【解答】解：∵a+b+c+3＝2❑√a+4❑√b-1+2❑√c-2，
∴(a-2❑√a+1)+b-1-4❑√b-1+4+c-2-2❑√c-2+1=0，
即(❑√a-1) 2+(❑√b-1-2) 2+(❑√c-2-1) 2=0，
∴❑√a-1＝0，❑√b-1-2=0，❑√c-2-1=0，
解得a＝1，b＝5，c＝3．
∴a+b+c＝1+5+3＝9．
故答案为：9．
【变式8-3】（2022春•临湘市期中）阅读材料
例：求代数式2x2+4x﹣6的最小值．
解：2x2+4x﹣6＝2（x2+2x﹣3）＝2（x+1）2﹣8．可知当x＝﹣1时，2x2+4x﹣6有最小值，最小值是﹣
8．
根据上面的方法解决下列问题：
（1）m2﹣4m﹣5最小值是 ．
（2）多项式a2+b2﹣4a+6b+18最小值可以是 ．
【分析】（1）将多项式加4再减4，利用配方法后可得结论；
（2）将多项式重新分组，改写成（a2﹣4a+4）+（b2+6b+9）+5，配方后可得结论．
【解答】解：（1）∵m2﹣4m﹣5
＝m2﹣4m+4﹣9＝（m﹣2）2﹣9，
∴当m＝2时，m2﹣4m﹣5有最小值，最小值是﹣9．
故答案为：﹣9；
（2）∵a2+b2﹣4a+6b+18
＝（a2﹣4a+4）+（b2+6b+9）+5
＝（a﹣2）2+（b+3）2+5，
∴当a＝2，b＝﹣3时，多项式a2+b2﹣4a+6b+18有最小值，最小值是5．
故答案为：5．
