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专题 21.4 一元二次方程根与系数的关系【八大题型】
【人教版】
【题型1 由根与系数的关系求代数式的值（直接）】.........................................................................................1
【题型2 由根与系数的关系求代数式的值（代换）】.........................................................................................3
【题型3 由根与系数的关系求代数式的值（降次）】.........................................................................................4
【题型4 由方程两根满足关系式求字母系数的值】.............................................................................................6
【题型5 构造一元二次方程求代数式的值】.........................................................................................................9
【题型6 已知方程根的情况判断另一个方程】...................................................................................................11
【题型7 根与系数关系中的新定义问题】...........................................................................................................14
【题型8 由方程两根的不等关系确定字母系数的取值范围】...........................................................................19
【知识点 一元二次方程的根与系数的关系】
b c
如果一元二次方程
ax2+bx+c=0(a≠0)
的两个实数根是 x 1 ，x 2，那么
x
1
x
2
a ，
x
1
x
2
a .
注意它的使用条件为a≠0， Δ≥0.
也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得
的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商.
【题型1 由根与系数的关系求代数式的值（直接）】
α β
【例1】（2022•江安县模拟）若 、 是一元二次方程2x2+3x﹣5＝0的两根，则 + 的值是 ．
β α
α β
3 5
【分析】根据根与系数的关系可得 + =- ， =- ，再根据完全平方公式以及分式的加法法则即可
2 2
α β αβ
求出代数式的值．
3 5
【解答】解：∵ + =- ， =- ，
2 2
α β αβ
29
∴ 2+ 2＝（ + ）2﹣2 = ，
4
α β α β αβα β α2+β2 29
∴ + = =- ，
β α αβ 10
29
故答案为：- ．
10
【变式1-1】（2021秋•密山市校级期末）若x ，x 是一元二次方程x2﹣7x+5＝0的两根，则（x ﹣1）（x
1 2 1 2
﹣1）的值为（ ）
A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2
【分析】根据根与系数的关系得出x +x 、x x 的值，再代入计算即可．
1 2 1 2
【解答】解：∵x ，x 是一元二次方程x2﹣7x+5＝0的两根，
1 2
∴x +x ＝7；x x ＝5．
1 2 1 2
则（x ﹣1）（x ﹣1）＝x x ﹣（x +x ）+1＝5﹣7+1＝﹣1．
1 2 1 2 1 2
故选：B．
【变式1-2】（2022•汉川市模拟）已知实数a、b满足❑√a-2+|b+3|＝0，若关于x的一元二次方程x2﹣ax+b
1 1
+
＝0的两个实数根分别为x 、x ，则 的值是（ ）
1 2 x x
1 2
2 2 1
A．- B． C．2 D．
3 3 6
1 1
+
【分析】根据非负数的性质得出a＝2，b＝3，根据根与系数的关系可得x +x ＝2，x •x ＝3，将
1 2 1 2 x x
1 2
x +x
1 2
变形为 ，整体代入即可求得．
x x
1 2
【解答】解：∵实数a、b满足❑√a-2+|b+3|＝0，
∴a＝2，b＝﹣3，
∵关于x的一元二次方程x2﹣ax+b＝0的两个实数根分别为x 、x ，
1 2
∴x +x ＝a＝2，x •x ＝b＝﹣3，
1 2 1 2
1 1 x +x 2
∴ + = 1 2=- ，
x x x x 3
1 2 1 2
故选：A．
【变式1-3】（2022春•琅琊区校级月考）若 ， （ ≠ ）是一元二次方程x2﹣5x﹣14＝0的两个根，则
﹣ 的值为（ ） α β α β α
βA．﹣9 B．9 C．﹣9或9 D．﹣5或5
【分析】利用根与系数的关系可得出 + ＝5， • ＝﹣14，将其代入（ ﹣ ）2＝（ + ）2﹣4 • 中可
求出（ ﹣ ）2的值，开方后即可求出α ﹣β 的值α．β α β α β α β
【解答α】解β：∵ ， （ ≠ ）是一元二α次方β 程x2﹣5x﹣14＝0的两个根，
∴ + ＝5， • ＝α﹣β14，α β
∴α（β﹣ ）2α＝β（ + ）2﹣4 • ＝52﹣4×（﹣14）＝81，
∴ ﹣α ＝β±9． α β α β
故α选：βC．
【题型2 由根与系数的关系求代数式的值（代换）】
【例2】（2022•乳山市模拟）若x ，x 是方程2x2﹣3x+1＝0的两个根，则3x 2﹣3x +x 2＝（ ）
1 2 1 1 2
1 5 9 3
A． B． C． D．
4 4 4 4
3 1
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系可得x +x = ，x x = ，将3x 2﹣3x +x 2变形后求值即可．
1 2 2 1 2 2 1 1 2
【解答】解：∵x ，x 是方程2x2﹣3x+1＝0的两个根，
1 2
3 1
∴x +x = ，x x = ，2x 2﹣3x +1＝0，
1 2 2 1 2 2 1 1
∴3x 2﹣3x +x 2
1 1 2
＝2x 2﹣3x +x 2+x 2
1 1 1 2
＝﹣1+(x +x ) 2-2x x
1 2 1 2
9
＝﹣1+ -1
4
1
= ，
4
故选：A．
【变式 2-1】（2022•牟平区一模）已知一元二次方程 x2﹣2022x+1＝0的两个根分别为 x ，x ，则 x 2
1 2 1
2022
- + 1的值为（ ）
x
2
A．﹣1 B．0 C．﹣2022 D．﹣2021
2022 x x -1
【分析】先根据一元二次方程根的定义得到x 2+1＝2022x ，则x 2- + 1变形为2022× 1 2 ，再
1 1 1 x x
2 2根据根与系数的关系得到x x ＝1，然后利用整体的方法计算即可．
1 2
【解答】解：∵x＝x 为方程x2﹣2022x+1＝0的根，
1
∴x 2﹣2022x +1＝0，
1 1
∴x 2+1＝2022x ，
1 1
2022 2022 x x -1
∴x 2- + 1＝2022x - = 2022× 1 2 ，
1 x 1 x x
2 2 2
∵方程x2﹣2022x+1＝0的两个根分别为x ，x ，
1 2
∴x x ＝1，
1 2
2022 1-1
∴x 2- + 1＝2022× = 0．
1 x x
2 2
故选：B．
【变式2-2】（2022•东港区校级一模）若m，n是一元二次方程x2﹣5x﹣1＝0的两个实数根，则m2﹣6m﹣
n+2022的值是（ ）
A．2016 B．2018 C．2020 D．2022
【分析】先根据一元二次方程的解的定义得到 m2﹣5m﹣1＝0，则m2﹣5m＝1，根据根与系数的关系得
出m+n＝5，再将其代入整理后的代数式计算即可．
【解答】解：∵m是一元二次方程x2﹣5x﹣1＝0的根，
∴m2﹣5m﹣1＝0，
∴m2﹣5m＝1，
∵m、n是一元二次方程x2﹣5x﹣1＝0的两个根，
∴m+n＝5，
∴m2﹣6m﹣n+2022＝m2﹣5m﹣m﹣n+2022＝1﹣5+2022＝2018．
故选：B．
【变式2-3】（2022春•海门市期末）若m，n是方程x2﹣2x﹣1＝0的两个实数根，则2m2+4n2﹣4n+2022的
值为 ．
【分析】由m，n是方程x2﹣2x﹣1＝0的两个实数根可得：m2＝2m+1，n2＝2n+1，m+n＝2，代入所求
式子即可得到答案．
【解答】解：∵m，n是方程x2﹣2x﹣1＝0的两个实数根，
∴m2﹣2m﹣1＝0，n2﹣2n﹣1＝0，m+n＝2，
∴m2＝2m+1，n2＝2n+1，∴2m2+4n2﹣4n+2022
＝2（2m+1）+4（2n+1）﹣4n+2022
＝4m+2+8n+4﹣4n+2022
＝4（m+n）+2028
＝4×2+2028
＝2036，
故答案为：2036．
【题型3 由根与系数的关系求代数式的值（降次）】
【例3】（2022•呼和浩特）已知x ，x 是方程x2﹣x﹣2022＝0的两个实数根，则代数式x 3﹣2022x +x 2的
1 2 1 1 2
值是（ ）
A．4045 B．4044 C．2022 D．1
【分析】把x＝x 代入方程表示出x 2﹣2022＝x ，代入原式利用完全平方公式化简，再根据根与系数的
1 1 1
关系求出所求即可．
【解答】解：把x＝x 代入方程得：x 2﹣x ﹣2022＝0，即x 2﹣2022＝x ，
1 1 1 1 1
∵x ，x 是方程x2﹣x﹣2022＝0的两个实数根，
1 2
∴x +x ＝1，x x ＝﹣2022，
1 2 1 2
则原式＝x （x 2﹣2022）+x 2
1 1 2
＝x 2+x 2
1 2
＝（x +x ）2﹣2x x
1 2 1 2
＝1+4044
＝4045．
故选：A．
5
【变式3-1】（2022•硚口区模拟）已知a，b是方程x2﹣x﹣5＝0的两根，则代数式﹣a3+5a- 的值是（
b
）
A．5 B．﹣5 C．1 D．﹣1
【分析】利用一元二次方程的解及根与系数的关系可得出a2﹣a＝5，ab＝﹣5，变形后可得出a2﹣5＝
5 5 5
a，a=- ，将其代入﹣a3+5a- =-a（a2﹣5）- 中可得出原式＝﹣a2+a，再结合a2﹣a＝5，即可求出
b b b
原式＝﹣5．
【解答】解：∵a，b是方程x2﹣x﹣5＝0的两根，∴a2﹣a＝5，ab＝﹣5，
5
∴a2﹣5＝a，a=- ，
b
5 5
∴﹣a3+5a- =-a（a2﹣5）- =-a2+a＝﹣（a2﹣a）＝﹣5．
b b
故选：B．
【变式3-2】（2022•松山区模拟）若m，n是一元二次方程x2+x﹣3＝0的两个实数根，则m3﹣4n2+17的值
为（ ）
A．﹣2 B．6 C．﹣4 D．4
【分析】根据m，n是一元二次方程x2+x﹣3＝0的两个实数根，可以得到m2+m﹣3＝0，n2+n﹣3＝0，
m+n＝﹣1，然后变形得到m3和4n2，再代入所求式子，计算即可．
【解答】解：∵m，n是一元二次方程x2+x﹣3＝0的两个实数根，
∴m2+m﹣3＝0，n2+n﹣3＝0，m+n＝﹣1，
∴m2＝3﹣m，n2＝3﹣n，
∴m3＝3m﹣m2＝3m﹣3+m＝4m﹣3，4n2＝12﹣4n，
∴m3﹣4n2+17
＝4m﹣3﹣12+4n+17
＝4（m+n）+2
＝4×（﹣1）+2
＝﹣4+2
＝﹣2，
故选：A．
16
【变式3-3】（2022春•汉阳区校级月考）已知m，n是方程x2﹣4x+2＝0的两根，则代数式2m3+5n2- +
n
4的值是（ ）
A．57 B．58 C．59 D．60
【分析】将代数式的次数化为一次，然后将m，n的值代入求解即可．
【解答】解：∵m，n是方程x2﹣4x+2＝0的两根，
∴m2﹣4m+2＝0，n2﹣4n+2＝0，m+n＝4
∴m2＝4m﹣2，n2＝4n﹣2，
2 2
∴n＝4- ，即 =4﹣n，m3＝4m2﹣2m＝14m﹣8，
n n∴原式＝2（14m﹣8）+5（4n﹣2）﹣8（4﹣n）+4
＝28（m+n）﹣54
＝58．
故选：B．
【题型4 由方程两根满足关系式求字母系数的值】
【例4】（2021秋•毕节市期末）已知x ，x 是关于x的一元二次方程x2﹣（2m+3）x+m2＝0的两个不相等
1 2
1 1
的实数根，且满足
+ =1，则m的值为（
）
x x
1 2
A．﹣3或1 B．﹣1或3 C．﹣1 D．3
1 1
【分析】根据根与系数关系得出：x +x ＝2m+3，x x ＝m2，代入 + =1中，求出m的值，再进行检
1 2 1 2 x x
1 2
验即可．
【解答】解：∵x 、x 是关于x的一元二次方程x2﹣（2m+3）x+m2＝0的两个不相等的实数根，
1 2
∴x +x ＝2m+3，x x ＝m2，
1 2 1 2
1 1 x +x 2m+3
∴ + = 1 2= = 1，
x x x x m2
1 2 1 2
解得：m＝3或m＝﹣1，
把m＝3代入方程得：x2﹣9x+9＝0，Δ＝（﹣9）2﹣4×1×9＞0，此时方程有解；
把m＝﹣1代入方程得：x2﹣x+1＝0，Δ＝1﹣4×1×1＜0，此时方程无解，即m＝﹣1舍去．
故选：D．
【变式4-1】（2021秋•黔西南州期末）已知关于x的一元二次方程x2﹣2（a﹣1）x+a2﹣a﹣2＝0有两个不
相等的实数根x ，x ．且x ，x 满足x 2+x 2﹣x x ＝16，则a的值为（ ）
1 2 1 2 1 2 1 2
A．﹣6 B．﹣1 C．1或﹣6 D．6或﹣1
【分析】先根据判别式的意义得到a＜3，再根据根与系数的关系得x +x ＝2（a﹣1），x x ＝a2﹣a﹣
1 2 1 2
2，利用x 2+x 2﹣x x ＝16得到4（a﹣1）2﹣3（a2﹣a﹣2）＝16，解关于a的方程，然后利用a的范围
1 2 1 2
确定满足条件的a的值．
【解答】解：根据题意得△＝4（a﹣1）2﹣4（a2﹣a﹣2）＞0，
解得a＜3，
根据根与系数的关系得x +x ＝2（a﹣1），x x ＝a2﹣a﹣2，
1 2 1 2
∵x 2+x 2﹣x x ＝16，
1 2 1 2∴（x +x ）2﹣3x x ＝16，
1 2 1 2
即4（a﹣1）2﹣3（a2﹣a﹣2）＝16，
整理得a2﹣5a﹣6＝0，
解得a ＝﹣1，a ＝6，
1 2
而a＜3，
∴a的值为﹣1．
故选：B．
【变式4-2】（2022春•仓山区校级期末）已知关于x的一元二次方程x2﹣4kx+3k2＝0．
（1）求证：该方程总有两个实数根；
（2）若此方程的两个实数根x ，x ，满足x ﹣x ＝3，求k的值．
1 2 1 2
【分析】（1）通过计算根的判别式的值得到Δ＝4k2≥0，然后根据根的判别式的意义得到结论；
（2）设方程的两实数解为 a、b，根据根与系数的关系得 a+b＝4k，ab＝3k2，再利用|a﹣b|＝3得到
（a+b）2﹣4ab＝9，则16k2﹣4×3k2＝9，然后解方程，从而得到满足条件的k的值．
【解答】（1）证明：∵Δ＝（﹣4k）2﹣4×3k2＝4k2≥0，
∴该方程总有两个实数根；
（2）解：设方程的两实数解为a、b，
根据根与系数的关系得x +x ＝4k，x x ＝3k2，
1 2 1 2
∵|x ﹣x |＝3，
1 2
∴（x ﹣x ）2＝9，
1 2
∴（x +x ）2﹣4x x ＝9，
1 2 1 2
∴16k2﹣4×3k2＝9，
9
即k2= ，
4
3 3
解得k = ，k =- ．
1 2 2 2
3 3
故k的值为 或- ．
2 2
x x
【变式4-3】（2022•内江）已知x 、x 是关于x的方程x2﹣2x+k﹣1＝0的两实数根，且 2+ 1=x 2+2x ﹣
1 2 x x 1 2
1 2
1，则k的值为 ．
【分析】根据x 、x 是关于x的方程x2﹣2x+k﹣1＝0的两实数根，可得x +x ＝2，x •x ＝k﹣1，x 2﹣
1 2 1 2 1 2 1x x 22-2(k-1)
2x +k﹣1＝0，把 2+ 1=x 2+2x ﹣1变形再整体代入可得 =4﹣k，解出k的值，并检验即可
1 x x 1 2 k-1
1 2
得k＝2．
【解答】解：∵x 、x 是关于x的方程x2﹣2x+k﹣1＝0的两实数根，
1 2
∴x +x ＝2，x •x ＝k﹣1，x 2﹣2x +k﹣1＝0，
1 2 1 2 1 1
∴x 2＝2x ﹣k+1，
1 1
x x
∵ 2+ 1= x 2+2x ﹣1，
x x 1 2
1 2
(x +x ) 2-2x x
∴ 1 2 1 2=2（x +x ）﹣k，
x x 1 2
1 2
22-2(k-1)
∴ =4﹣k，
k-1
解得k＝2或k＝5，
当k＝2时，关于x的方程为x2﹣2x+1＝0，Δ≥0，符合题意；
当k＝5时，关于x的方程为x2﹣2x+4＝0，Δ＜0，方程无实数解，不符合题意；
∴k＝2，
故答案为：2．
【题型5 构造一元二次方程求代数式的值】
【例5】（2022•鄞州区模拟）已知实数a≠b，且满足（a+1）2＝3﹣3（a+1），3（b+1）＝3﹣（b+1）2，
√b √a
则b❑ +a❑ 的值为（ ）
a b
A．23 B．﹣23 C．﹣2 D．﹣13
【分析】根据（a+1）2＝3﹣3（a+1），3（b+1）＝3﹣（b+1）2，把a、b可看成是关于 x的方程
（x+1）2+3（x+1）﹣3＝0的两个根，然后根据根与系数的关系进行求解．
【解答】解：∵a、b是关于x的方程（x+1）2+3（x+1）﹣3＝0的两个根，
整理此方程，得x2+5x+1＝0，
∵Δ＝25﹣4＞0，
∴a+b＝﹣5，ab＝1．
故a、b均为负数．√b √a b a a2+b2 (a+b) 2-2ab
因此b❑ +a❑ =- ❑√ab- ❑√ab=- ❑√ab=- =-23．
a b a b ab ❑√ab
故选：B．
【变式5-1】（2021秋•鄞州区校级期末）已知实数 ， 满足2 2+5 ﹣2＝0，2 2﹣5 ﹣2＝0，且 ≠1，
α β α α β β αβ
1 α 5
且 + - α的值为（ ）
β2 β 2
25 25 17 33
A． B．- C．- D．
4 4 4 4
1 1 1
【分析】方法1：2 2﹣5 ﹣2＝0，可得2（ ）2+5× -2＝0，那么 、 是方程2x2+5x﹣2＝0的两实
β β β
β β α
1 5 1 1 α 5 5 1 1
根，由根与系数关系得 + =- ， • =-1，再把 + - α变形- （ + ）+ • ，然后利用整
β 2 β β2 β 2 2 β β
α α α α
体代入的方法计算；
1 5
方法2：代数式先提取前两项中的 ，再提取- 即可．
β 2
【解答】解：方法1：∵2 2﹣5 ﹣2＝0，
∴ ≠0， β β
β 1 1
方程两边同时除以﹣ 2，可得2（ ）2+5× -2＝0，
β β
β
又2 2+5 ﹣2＝0，
α 1 α
∴ 、 是方程2x2+5x﹣2＝0的两实根，
β
α
1 5 1
∴ + =- ， • =-1，
β 2 β
α α
1 α 5
∴ + - α
β2 β 2
5 1 1 5
=- × +1+ • -
2 β β 2
α α
5 1 1
=- （ + ）+ • +1
2 β β
α α
5 5
=- ×（- ）+（﹣1）+1
2 2
25
= ．
41 α 5
方法2： + - α
β2 β 2
1 1 5
= （ + ）-
β β 2
α α
5 1 5
=- × -
2 β 2
α
5 1
=- ×（ + ）
2 β
α
5 5
=- ×（- ）
2 2
25
= ．
4
故选：A．
【变式5-2】（2022•周村区二模）已知a、b、m、n为互不相等的实数，且（a+m）（a+n）＝2，（b+m）
（b+n）＝2，则ab﹣mn的值为（ ）
A．4 B．1 C．﹣2 D．﹣1
【分析】先把已知条件变形得到a2+（m+n）a+mn﹣2＝0，b2+（m+n）b+mn﹣2＝0，则可把a、b看作
方程x2+（m+n）x+mn﹣2＝0的两实数根，利用根与系数的关系得到 ab＝mn﹣2，从而得到ab﹣mn的
值．
【解答】解：∵（a+m）（a+n）＝2，（b+m）（b+n）＝2，
∴a2+（m+n）a+mn﹣2＝0，b2+（m+n）b+mn﹣2＝0，
而a、b、m、n为互不相等的实数，
∴a、b看作方程x2+（m+n）x+mn﹣2＝0的两实数根，
∴ab＝mn﹣2，
∴ab﹣mn＝﹣2．
故选：C．
x
【变式5-3】（2022春•杭州期中）若xy+x≠1，且5x2+300x+9＝0，9y2+318y+314＝0，则 的值是
y+1
．
【分析】方程9y2+318y+314＝0可变形为9（y+1）2+300（y+1）+5＝0，把9（y+1）2+300（y+1）+5＝0
1 1 1
两边都除以（y+1）2得 5×（ ）2+300× +9＝0，结合 xy+x≠1 可得出 x， 是方程
y+1 y+1 y+1
5x2+300x+9＝0的两个不相等的实数根，再利用根与系数的关系可得答案．【解答】解：∵9y2+318y+314＝0，
∴9（y+1）2+300（y+1）+5＝0．
1 1
把9（y+1）2+300（y+1）+5＝0两边都除以（y+1）2，得5×（ ）2+300× +9＝0．
y+1 y+1
∵xy+x≠1，
1
∴x≠ ，
y+1
1
∴x， 是方程5x2+300x+9＝0的两个不相等的实数根，
y+1
x 9
∴ = ．
y+1 5
9
故答案为： ．
5
【题型6 已知方程根的情况判断另一个方程】
【例6】（2022•新华区校级一模）已知关于x的一元二次方程（p+1）x2+2qx+（p+1）＝0（其中p，q为常
数）有两个相等的实数根，则下列结论：
①1和一1都是方程x2+qx+p＝0的根
②0可能是方程x2+qx+p＝0的根
③﹣1可能是方程x2+qx+p＝0的根
④1一定不是方程x2+qx+p＝0的根
其中正确的是（ ）
A．①② B．③④ C．②③ D．①④
【分析】根据根的判别式可得Δ＝（2q）2﹣4（p+1）2＝0，进一步可得q＝±（p+1），可知x＝1或x＝
﹣1可能是但不能同时是方程x2+qx+p＝0的根；当x＝0时，可得p和q的值且符合题意，即可进行判断．
【解答】解：根据题意，可得Δ＝（2q）2﹣4（p+1）2＝0，且p+1≠0，
∴q＝±（p+1），
当q＝p+1时，q﹣p﹣1＝0，
此时x＝﹣1是方程x2+qx+p＝0的根，
当q＝﹣（p+1）时，q+p+1＝0，
此时x＝1是方程x2+qx+p＝0的根，
∵p+1≠0，
∴p+1≠﹣（p+1），∴x＝1和x＝﹣1不能同时是方程x2+qx+p＝0的根，
故①④不符合题意，③选项符合题意；
当x＝0时，p＝0，
∴q＝±1，
∴当p＝0，q＝±1时，x＝0是方程x2+qx+p＝0的根，
故②符合题意，
故选：C．
【变式6-1】（2022春•余杭区月考）已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0与cx2+bx+a＝0，且ac≠0，
a≠c．下列说法正确的是（ ）
A．若方程ax2+bx+c＝0有两个相等的实数根，则方程cx2+bx+a＝0没有实数根
B．若方程ax2+bx+c＝0的两根符号相同，则方程cx2+bx+a＝0的两根符号也相同
C．若5是方程ax2+bx+c＝0的一个根，则5也是方程cx2+bx+a＝0的一个根
D．若方程ax2+bx+c＝0和方程cx2+bx+a＝0有一个相同的根，则这个根必是x＝1
【分析】利用根的判别式与根与系数的关系判断即可．
【解答】解：A、若方程ax2+bx+c＝0有两个相等的实数根，
则有b2﹣4ac＝0，可得方程cx2+bx+a＝0也有两个相等的实数根，不符合题意；
c
B、若方程ax2+bx+c＝0的两根符号相同，即 ＞0，
a
则方程cx2+bx+a＝0的两根符号也相同，符合题意；
C、把x＝5代入方程得：25a+5b+c＝0，
而25c+5b+a不一定为0，即x＝5不一定是方程cx2+bx+a＝0的一个根，不符合题意；
D、若方程ax2+bx+c＝0和方程cx2+bx+a＝0有一个相同的根，
则有ax2+bx+c＝cx2+bx+a，即（a﹣c）x2＝a﹣c，
由a≠c，得到x2＝1，即x＝±1，不符合题意．
故选：B．
【变式6-2】（2022春•仓山区校级期末）已知两个关于x的一元二次方程M：ax2+bx+c＝0，N：cx2+bx+a
＝0，其中ac≠0，a≠c．下列结论错误的是（ ）
A．若方程M有两个相等的实数根，则方程N也有两个相等的实数根
B．若方程M有一个正根和一个负根，则方程N也有一个正根和一个负根
1
C．若5是方程M的一个根，则 是方程N的一个根
5D．若方程M和方程N有一个相同的根，则这个根一定是x＝1
【分析】A、一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个相等的实数根，则Δ＝b2﹣4ac＝0，对于方程cx2+bx+a＝
0，Δ＝b2﹣4ac＝0，则方程N也有两个相等的实数根；
B、利用ac＜0和根的判别式进行判断即可；
1 1 1
C、把x＝5代入ax2+bx+c＝0得：25a+5b+c＝0，等式的两边同除以25得到 c+ b+a＝0，于是得到
25 5 5
是方程N的一个根，无法得到5是方程N的一个根；
D、如果方程M和方程N有一个相同的根，那么这个根可能是x＝±1．
【解答】解：A、∵方程M有两个相等的实数根，
∴Δ＝b2﹣4ac＝0，
∵方程N的Δ＝b2﹣4ac＝0，
∴方程N也有两个相等的实数根，故不符合题意；
B、∵方程M的两根符号相同，
c
∴ ＜0，且b2﹣4ac＞0，
a
a
∴ ＞0，且b2﹣4ac＞0，
c
∴方程N也有一个正根和一个负根，故不符合题意；
C、∵把x＝5代入ax2+bx+c＝0得：25a+5b+c＝0，
1 1
∴ c + b+a＝0，
25 5
1
∴ 是方程N的一个根，故不符合题意；
5
D、∵方程M和方程N有一个相同的根，
∴ax2+bx+c＝cx2+bx+a，
∴（a﹣c）x2＝a﹣c，
∵a≠c，
∴x2＝1，
∴x＝±1，
即这个根可能是x＝±1；故符合题意．
故选：D．
【变式6-3】（2022春•瑶海区校级期末）关于x的一元二次方程x2+px+q＝0有两个同号非零整数根，关于y的一元二次方程y2+qy+p＝0也有两个同号非零整数根，则下列说法正确的是（ ）
A．p是正数，q是负数 B．（p﹣2）2+（q﹣2）2＜8
C．q是正数，p是负数 D．（p﹣2）2+（q﹣2）2＞8
【分析】设方程x2+px+q＝0的两根为x 、x ，方程y2+qy+p＝0的两根为y 、y ．根据方程解的情况，结
1 2 1 2
合根与系数的关系可得出x •x ＝q＞0，y •y ＝p＞0，即可判断A与C；②由方程有两个实数根结合根
1 2 1 2
的判别式得出p2﹣4q≥0，q2﹣4p≥0，利用不等式的性质以及完全平方公式得出（p﹣2）2+（q﹣2）2＞
8，即可判断B与D．
【解答】解：设方程x2+px+q＝0的两根为x 、x ，方程y2+qy+p＝0的两根为y 、y ．
1 2 1 2
∵关于x的一元二次方程x2+px+q＝0有两个同号非零整数根，关于y的一元二次方程y2+qy+p＝0也有
两个同号非零整数根，
∴x •x ＝q＞0，y •y ＝p＞0，
1 2 1 2
故选项A与C说法均错误，不符合题意；
∵关于x的一元二次方程x2+px+q＝0有两个同号非零整数根，关于y的一元二次方程y2+qy+p＝0也有
两个同号非零整数根，
∴p2﹣4q≥0，q2﹣4p≥0，
∴（p﹣2）2+（q﹣2）2＝p2﹣4q+4+q2﹣4p+4＞8（p、q不能同时为2，否则两个方程均无实数根），
故选项B说法错误，不符合题意；选项D说法正确，符合题意；
故选：D．
【题型7 根与系数关系中的新定义问题】
【例7】（2022秋•武侯区校级期中）如果关于 x的一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个实数根x ，x ，且满
1 2
足数轴上x ，x 所表示的点到2所表示的点的距离相等，则称这样的方程为“关于2的等距方程”以下
1 2
“关于2的等距方程”的说法，正确的有 ．（填序号）
①方程x2﹣4x＝0是关于2的等距方程；
②当5m＝﹣n时，关于x的方程（x+1）（mx+n）＝0一定是关于2的等距方程；
③若方程ax2+bx+c＝0是关于2的等距方程，则必有b＝﹣4a（a≠0）；
3
④当两根满足x ＝3x ，关于x的方程px2﹣x+ =0是关于2的等距方程．
1 2 4
【分析】①解得方程的解后即可利用关于2的等距方程的定义进行判断；
②解得方程的解后即可利用关于2的等距方程的定义进行判断；
③根据方程ax2+bx+c＝0是关于2的等距方程，且b＝﹣4a（a≠0）得到x ＝x 或x +x ＝4，当x ＝x
1 2 1 2 1 2b b
时，x ＝x =- ，不能判断a与b之间的关系，当x +x ＝4时，即- =4，得到b＝﹣4a，据此即可判
1 2 2a 1 2 a
断；
3
④根据韦达定理和x ＝3x ，得出3x 2= （3x +x ）＝3x ，解得x ＝1或x ＝0（舍去），然后利用关于
1 2 2 4 2 2 2 2 2
2的等距方程的定义进行判断．
【解答】解：①∵x2﹣4x＝0，
∴x（x﹣4）＝0，
∴x ＝0，x ＝4，
1 2
则|x ﹣2|＝|x ﹣2|，①正确；
1 2
n
②当m≠0，n≠0时，（x+1）（mx+n）＝0，则x ＝﹣1，x = ，
1 2 -m
∵5m＝﹣n，
∴x ＝5，
2
∴|x ﹣2|＝|x ﹣2|，满足2的等距方程；
1 2
当m＝n＝0时，原方程x+1＝0不是一元二次方程，故②错误；
③对于方程ax2+b+c＝0（a≠0），
b
由韦达定理得：x +x =- ，
1 2 a
∵方程是2的等距方程，
∴|x ﹣2|＝|x ﹣2|，
1 2
则x ﹣2＝x ﹣2或x ﹣2＝2﹣x ，
1 2 1 2
∴x ＝x 或x +x ＝4，
1 2 1 2
b
当x ＝x 时，x ＝x =- ，不能判断a与b之间的关系，
1 2 1 2 2a
b
当x +x ＝4时，即- =4，
1 2 a
∴b＝﹣4a，
故ax2+bx+c＝0（a≠0）是2的等距方程时，b不一定等于﹣4a，故③错误；
3
④对于方程px2﹣x+ =0有两根满足x ＝3x ，
4 1 2
3 1
由韦达定理得：x x = ，x +x = ，
1 2 4 p 1 2 p3 1 3
∴x x = × = （x +x ），
1 2 4 p 4 1 2
3
∴3x 2= （3x +x ）＝3x ，
2 4 2 2 2
∴x ＝1或x ＝0（舍去），
2 2
∴x ＝3x ＝3，
1 2
∴|x ﹣2|＝|x ﹣2|，
1 2
3
即px2﹣x+ =0是关于2的等距方程，故④正确，
4
故正确的有①④，
故答案为①④．
【变式7-1】（2021秋•金牛区期末）将两个关于x的一元二次方程整理成a（x+h）2+k＝0（a≠0，a、h、
k均为常数）的形式，如果只有系数a不同，其余完全相同，我们就称这样的两个方程为“同源二次方
程”．已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）与方程（x+1）2﹣2＝0是“同源二次方程”，
且方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个根为x 、x ，则b﹣2c＝ 4 ，ax +x x +ax 的最大值是 ．
1 2 1 1 2 2
【分析】根据新的定义可知b＝2a，c＝a﹣2，即可得到b﹣2c＝2a﹣2（a﹣2）＝4，由根与系数的关系
a-2 a-2
x +x ＝﹣2，x x = ，代入变形后的代数式得到ax +x x +ax ＝a（x +x ）+x x ＝﹣2a+ =-2（a
1 2 1 2 a 1 1 2 2 1 2 1 2 a
1 1 1
+ ）+1，设 a+ =t（t＞0），得 a2﹣t•a+1＝0，根据题意解得 t≥2，即 a+ ≥2，即可得到
a a a
1
ax +x x +ax ＝﹣2（a+ ）+1≤﹣3．
1 1 2 2 a
【解答】解：根据新的定义可知，方程ax2+bx+c＝0（a≠0）可变形为a（x+1）2﹣2＝0，
∴a（x+1）2﹣2＝ax2+bx+c，
∴ax2+2ax+a﹣2＝ax2+bx+c，
∴b＝2a，c＝a﹣2，
∴b﹣2c＝2a﹣2（a﹣2）＝4，
a-2
∵x +x ＝﹣2，x x =
1 2 1 2 a
a-2 1
∴ax +x x +ax ＝a（x +x ）+x x ＝﹣2a+ =-2（a+ ）+1，
1 1 2 2 1 2 1 2 a a
∵方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个根为x 、x ，
1 2∴Δ＝b2﹣4ac＝（2a）2﹣4a（a﹣2）＝8a≥0，且a≠0，
∴a＞0，
1
设a+ =t（t＞0），得a2﹣t•a+1＝0，
a
∵方程a2﹣t•a+1＝0有正数解，
1
∴Δ＝t2﹣4≥0，解得t≥2，即a+ ≥2，
a
1
∴ax +x x +ax ＝﹣2（a+ ）+1≤﹣3，
1 1 2 2 a
∴ax +x x +ax 的最大值是﹣3．
1 1 2 2
故答案为：4，﹣3．
【变式7-2】（2021秋•章贡区期末）我们定义：如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个实数根，
且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”．
（1）请说明方程x2﹣3x+2＝0是倍根方程；
（2）若（x﹣2）（mx+n）＝0是倍根方程，则m，n具有怎样的关系？
（3）若一元二次方程ax2+bx+c＝0（b2﹣4ac≥0）是倍根方程，则a，b，c的等量关系是 ．
（直接写出结果）
【分析】（1）利用因式分解法解方程得到x ＝2，x ＝1，然后根据“倍根方程”可判断方程x2﹣3x+2
1 2
＝0是倍根方程；
n n n 1
（2）利用因式分解法解方程得x ＝2，x =- ，再利用“倍根方程”的定义得到- =2×2或- = ×
1 2 m m m 2
2，从而得到m、n的关系式；
b c
（3）设方程的两根分别为t，2t，根据根与系数的关系得t+2t=- ，t•2t= ，然后消去t得到a、b、c
a a
的关系．
【解答】解：（1）（x﹣2）（x﹣1）＝0，
x﹣2＝0或x﹣1＝0，
∴x ＝2，x ＝1，
1 2
∴方程x2﹣3x+2＝0是倍根方程；
（2）∵（x﹣2）（mx+n）＝0，
n
∴x ＝2，x =- ，
1 2 mn
当- = 2×2时，n＝﹣4m，即4m+n＝0；
m
n 1
当- = ×2时，n＝﹣m，即m+n＝0；
m 2
综上所述，m、n的关系式为4m+n＝0或m+n＝0．
（3）∵一元二次方程ax2+bx+c＝0（b2﹣4ac≥0）是倍根方程，
∴设方程的两根分别为t，2t，
b c
根据根与系数的关系得t+2t=- ，t•2t= ，
a a
b
∴t=- ，
3a
b c
∴2（- ）2= ，
3a a
∴2b2＝9ac．
故答案为：2b2＝9ac．
【变式7-3】（2022春•宜秀区校级月考）x ，x 是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个实数根，若满
1 2
足|x ﹣x |＝1，则此类方程称为“差根方程”．根据“差根方程”的定义，解决下列问题：
1 2
（1）通过计算，判断下列方程是否是“差根方程”：
①x2﹣4x﹣5＝0；
②2x2﹣2❑√3x+1＝0；
（2）已知关于x的方程x2+2ax＝0是“差根方程”，求a的值；
（3）若关于x的方程ax2+bx+1＝0（a，b是常数，a＞0）是“差根方程”，请探索a与b之间的数量关
系式．
【分析】（1）据“差根方程”定义判断即可；
1
（2）根据x2+2ax＝0是“差根方程”，且x ＝0，x ＝﹣2a得到2a＝±1，从而得到a＝± ；
1 2 2
（3）设x ，x 是一元二次方程ax2+bx+1＝0（a，b是常数，a＞0）的两个实数根，根据根与系数的关系
1 2
√ b 2 1
得到❑(- ) -4⋅ =1，整理即可得到b2＝a2+4a．
a a
【解答】解：（1）①设x ，x 是一元二次方程x2﹣4x﹣5＝0的两个实数根，
1 2
∴x +x ＝4，x •x ＝﹣5，
1 2 1 2∴|x ﹣x |=❑√(x +x ) 2-4x x =❑√42-4×(-5)=6，
1 2 1 2 1 2
∴方程x2﹣4x﹣5＝0不是差根方程；
②设x ，x 是一元二次方程2x2﹣2❑√3x+1＝0的两个实数根，
1 2
1
∴x +x =❑√3，x •x = ，
1 2 1 2 2
∴|x ﹣x |=❑√(x +x ) 2-4x x =❑ √ (❑√3) 2-4× 1 =1，
1 2 1 2 1 2 2
∴方程2x2﹣2❑√3x+1＝0是差根方程；
（2）x2+2ax＝0，
因式分解得：x（x+2a）＝0，
解得：x ＝0，x ＝﹣2a，
1 2
∵关于x的方程x2+2ax＝0是“差根方程”，
1
∴2a＝±1，即a＝± ；
2
（3）设x ，x 是一元二次方程ax2+bx+1＝0（a，b是常数，a＞0）的两个实数根，
1 2
b 1
∴x +x =- ，x •x = ，
1 2 a 1 2 a
∵关于x的方程ax2+bx+1＝0（a，b是常数，a＞0）是“差根方程”，
∴|x ﹣x |＝1，
1 2
√ b 2 1
∴|x 1 ﹣x 2 |=❑√(x 1 +x 2 ) 2-4x 1 x 2 =1，即❑(- a ) -4⋅ a =1，
∴b2＝a2+4a．
【题型8 由方程两根的不等关系确定字母系数的取值范围】
【例8】（2021秋•锦江区校级期中）已知关于x的一元二次方程x2﹣mx+2m﹣4＝0．
（1）求证：该一元二次方程总有两个实数根；
（2）若该方程有一个小于5的根，另一个根大于5，求m的取值范围；
【分析】（1）首先计算△，再根据非负数的性质可判断出Δ≥0，进而得到结论；
（2）当两根一个大于5一个小于5时，得到方程有两个不相等的实数根其两根与 5的差的积小于零，
列出不等式解之即可；
【解答】（1）证明：∵Δ＝（﹣m）2﹣4×1×（2m﹣4）＝（m﹣4）2≥0，∴不论m取何实数，该方程总有两个实数根；
（2）设两个实数根为x ，x ，
1 2
则x +x ＝m，x x ＝2m﹣4，
1 2 1 2
∵方程的一个根大于5，另一个根小于5，
∴（x ﹣5）（x ﹣5）＝x x ﹣5（x +x ）+25＜0，
1 2 1 2 1 2
∴2m﹣4﹣5m+25＜0，
解得：m＞7，
∴方程的一个根大于5，另一个根小于5，m的取值范围是m＞7；
【变式8-1】（2022春•临平区月考）已知一元二次方程mx2+nx﹣（m+n）＝0．
（1）试判断方程根的情况．
（2）若m＜0时方程的两根x ，x 满足x •x ＞1，且n＝1，求m的取值范围．
1 2 1 2
【分析】（1）通过一元二次方程根的判别式求解．
m+1
（2）由一元二次方程根与系数的关系求出x •x =- ＞1，进而求解．
1 2 m
【解答】解：（1）∵一元二次方程mx2+nx−（m+n）＝0，
∴m≠0，Δ＝n2−4m×[−（m+n）]＝（n+2m）2≥0，
∴该方程有两个实数根．
（2）将n＝1代入方程mx2+nx−（m+n）＝0，得mx2+x−（m+1）＝0，
∵方程的两根x ，x 满足x •x ＞1，
1 2 1 2
m+1
∴x •x =- ＞1，
1 2 m
1
当m＜0时，可得- ＜m＜0，
2
1
即m的取值范围是- ＜m＜0．
2
【变式8-2】（2022秋•新都区校级月考）实数k取何值时，关于x的一元二次方程x2+（3k﹣1）x+3k﹣2＝
0
（1）有两个负根？
（2）两根异号，且负根绝对值较大？
（3）一根大于5，一根小于5？
【分析】（1）根据一元二次方程有两个实根，则判别式△≥0，并且两根的和小于0，且两根的积大于
0，根据一元二次方程的根与系数的关系即可得到关于k的不等式组，即可求得k的范围；（2）根据一元二次方程有两个不相等的实根，则判别式Δ＞0，并且负根的绝对值较大，则两根的和小
于0，且两根的积小于0，根据一元二次方程的根与系数的关系即可得到关于k的不等式组，即可求得k
的范围；
（3）设方程的两个根分别是x 、x ，根据题意，得（x ﹣5）（x ﹣5）＜0，根据一元二次方程根与系
1 2 1 2
数的关系即可求得k的取值范围，再根据Δ＞0确定k的范围．
【解答】解：（1）设方程的两个负根为x 、x ，则：
1 2
Δ＝（3k﹣1）2﹣4（3k﹣2）＝9（k﹣1）2≥0 ①，
x +x ＝1﹣3k＜0，x x ＝3k﹣2＞0 ②，
1 2 1 2
解①得：k为任意实数，
2
解②得：k＞ ，
3
2
所以k的取值范围是k＞ ；
3
（2）设方程的两个根为x 、x ，则：
1 2
Δ＝（3k﹣1）2﹣4（3k﹣2）＝9（k﹣1）2＞0 ①，
x +x ＝1﹣3k＜0，x x ＝3k﹣2＜0 ②，
1 2 1 2
解①得：k≠1，
1 2
解②得： ＜k＜ ，
3 3
1 2
所以k的取值范围是 ＜k＜ ；
3 3
（3）设方程的两个根为x 、x ，则：
1 2
Δ＝（3k﹣1）2﹣4（3k﹣2）＝9（k﹣1）2＞0 ①，
（x ﹣5）（x ﹣5）＜0 ②，
1 2
解①得：k≠1，
由②得：x x ﹣5（x +x ）+25＜0，
1 2 1 2
又x +x ＝1﹣3k，x x ＝3k﹣2，
1 2 1 2
代入整理，得18k+18＜0，
解得k＜﹣1．
则k＜﹣1．
【变式8-3】（2022春•越秀区校级月考）设关于x的方程x2﹣5x﹣m2+1＝0的两个实数根分别为 、 ．
（1）证明：无论实数m为何值，方程总有两个不相等的实数根； α β（2）当| |+| |≤6时，试确定实数m的取值范围．
【分析】α（1β）根据根的判别式即可求解；
（2）根据x的方程x2﹣5x﹣m2+1＝0的实根为 、 ，由根与系数的关系列出不等式即可解出m的取值
范围． α β
【解答】（1）证明：∵Δ＝（﹣5）2﹣4（﹣m2+1）＝4m2+21＞0，
∴无论实数m为何值，方程总有两个不相等的实数根；
（2）解：∵ + ＝5， ＝1﹣m2，| |+| |≤6，
∴ 2+ 2+2| α|≤β36， αβ α β
即α（ β+ ）α2﹣β2 +2| |≤36．
∴25α﹣2β（1﹣mα2）β +2α|1β﹣m2|≤36，
当1﹣m2≥0时，25≤36成立，
∴﹣1≤m≤1①．
当1﹣m2＜0时，
得25﹣4（1﹣m2）≤36，
❑√15 ❑√15
∴− ≤m≤ ②．
2 2
❑√15 ❑√15
由①、②得− ≤m≤ ．
2 2
