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专题 22.4 二次函数与一元二次方程【九大题型】
【人教版】
【题型1 由二次函数图象确定相应方程根的情况】.............................................................................................2
【题型2 由二次函数图象与坐标轴的交点情况求字母的值】.............................................................................2
【题型3 确定x轴与抛物线的截线长】..................................................................................................................3
【题型4 抛物线与x轴交点上的四点问题】..........................................................................................................4
【题型5 图象法确定一元二次方程的近似根】.....................................................................................................5
【题型6 图象法解一元二次不等式】......................................................................................................................6
【题型7 二次函数与一次函数的综合运用】.........................................................................................................8
【题型8 由抛物线与线段的交点个数问题求字母取值范围】...........................................................................10
【题型9 由几何变换后得交点个数确定字母的取值范围】...............................................................................11
知识点1：二次函数与一元二次方程
根的判别式 二次函数的图象 二次函数与x轴的交点坐标 一元二次方程根的情况
抛物线 与 x 一元二次方程
轴交于 ， 两
△＞0 有两个不相等的实数根
点，且 ，
此时称抛物线与x轴相交
一元二次方程
抛物线 与 x
△＝0 有两个相等的实数根
轴交切于 这一点，此时称
抛物线与x轴相切
一元二次方程
抛物线 与 x
△＜0
轴无交点，此时称抛物线与x轴相
在实数范围内无解（或
离
称无实数根）
【题型1 由二次函数图象确定相应方程根的情况】
【例1】（23-24九年级·北京·阶段练习）若二次函数y＝2x2+4x﹣c与x轴的一个交点是（1，0），则关于xc
的一元二次方程x2﹣ ＝﹣2x的根为 ．
2
【变式1-1】（23-24九年级·全国·专题练习）已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，则关于
x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根为 ．
【变式1-2】（23-24·陕西西安·模拟预测）已知二次函数y=ax2+bx+c的部分图象如图所示，则下列结论
正确的是（ ）
A．abc>0
B．关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的根是x =−2，x =3
1 2
C．a+b=c−b
D．a+4b=3c
【变式1-3】（23-24·广东广州·一模）已知抛物线y＝x2﹣2mx+3m与x轴的一个交点为（2，0），并且该抛
物线与x轴的两个交点横坐标的值恰好是等腰△ABC的两条边，则△ABC的周长为 ．
【题型2 由二次函数图象与坐标轴的交点情况求字母的值】
【例2】（23-24·安徽合肥·模拟预测）已知关于x的函数y=ax2−(a+1)x+(a−1)的图象与坐标轴共有两
个不同的交点，则实数a的可能值有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【变式2-1】（23-24·广东广州·二模）若关于x的方程x2+4x+a=0有两个不相等的实数根，则抛物线
y=x2+(a−4)x−5的顶点在第 象限．【变式2-2】（23-24九年级·浙江杭州·期中）抛物线y＝x2＋ax＋3的对称轴为直线x＝1.若关于x的方程x2
＋ax＋3﹣t＝0（t为实数），在﹣2＜x＜3的范围内有实数根，则t的取值范围是（ ）
A．6＜t＜11 B．t≥2 C．2≤t＜11 D．2≤t＜6
【变式2-3】（23-24九年级·云南曲靖·期末）已知抛物线y=x2+(2k+1)x+k2−1的图象与坐标轴有3个交
点.
(1)求k的取值范围
(2)若抛物线的图象经过点(1，1)，求k值．
【题型3 确定x轴与抛物线的截线长】
【例3】（23-24九年级·江西南昌·期末）如图，已知抛物线C：y=ax2+bx+c的对称轴为直线x=−1，且
抛物线经过M(1，0)，C(0，3)两点，与x轴交于点N．
(1)点N（ ， ）；
(2)若抛物线C 与抛物线C关于y轴对称，求抛物线C 的解析式；
1 1
(3)若抛物线C 的解析式为y=−(x+1)(x−2−n)(n=1，2，3，⋯)，抛物线C 的顶点坐标为P ，与x
n n n
轴的交点坐标为A，B （点A在点B 的左边）
n n
①求：AB +AB +AB +⋯AB 的值；
1 2 3 100
②判断抛物线的顶点P ,P ,P ，…，P 是否在一条直线上，若在，请直接写出直线解析式；不在，请说
1 2 3 n
明理由．
【变式3-1】（23-24九年级·福建福州·期末）在平面直角坐标系xOy中，已知，抛物线y＝mx2+4mx﹣5m．
(1)求抛物线与x轴两交点间的距离；
(2)当m＞0时，过A（0，2）点作直线l平行于x轴，与抛物线交于C、D两点（点C在点D左侧），C、
D横坐标分别为x、x，且x﹣x＝8，求抛物线的解析式．
1 2 2 1
【变式3-2】（23-24九年级·广东汕头·期末）若抛物线 与x轴交于 、 两
y=x2−2x+c A(x ,0) B(x ,0)
1 2
点，若2≤AB≤5，则c的最大值是 ．【变式3-3】（23-24九年级·湖南长沙·期末）定义：如果抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于点
， ，那么我们把线段 叫做雅礼弦， 两点之间的距离 称为抛物线的雅礼弦长．
A(x ,0) B(x ,0) AB AB l
1 2
(1)求抛物线y=x2−2x−3的雅礼弦长；
(2)求抛物线 的雅礼弦长的取值范围；
y=x2+(n+1)x−1(1≤n<3)
(3)设m，n为正整数，且m≠1，抛物线y=x2+(4−mt)x−4mt的雅礼弦长为l ，抛物线
1
的雅礼弦长为 ， ，试求出 与 之间的函数关系式，若不论 为何值， 恒
y=−x2+(t−n)x+nt l s=l2−l2 s t t s≥0
2 1 2
成立，求m，n的值．
【题型4 抛物线与x轴交点上的四点问题】
【例4】（23-24九年级·山东临沂·期末）已知抛物线y=x2+bx+c的图象与x轴的两交点的横坐标分别α、
β(α<β)，而x2+bx+c−2=0的两根为M、N(Mq−p
C．m+n=p+q，n−mq−p
知识点2：利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解
（1）作出函数的图象，并由图象确定方程的解的个数；
（2）由图象与y=h的交点位置确定交点横坐标的范围；（3）观察图象求得方程的根（由于作图或观察存在误差，由图象求得的根一般是近似的）．
【题型5 图象法确定一元二次方程的近似根】
1
【例5】（23-24九年级·北京通州·期末）有这样一个问题：探究函数y=x2− −4的图象与性质．
x
1
嘉瑶根据学习函数的经验，对函数y=x2− −4的图象与性质进行了探究．
x
下面是嘉瑶的探究过程，请补充完整：
1
（1）函数y=x2− −4的图象与y轴 交点；（填写“有”或“无”）
x
（2）下表是y与x的几组对应值：
1 3 5
x … −3 −2 −1 − 1 2 …
2 2 2
16 1 7 29 1 37
y −2 − n − − …
… 3 2 4 12 2 20
则n的值为 ；
（3）如图，在平面直角坐标系xOy中，嘉瑶描出各对对应值为坐标的点．请你根据描出的点，帮助嘉瑶
画出该函数的大致图象；
1
（4）请你根据探究二次函数与一元二次方程关系的经验，结合图象直接写出方程x2− =4的根约为
x
．（结果精确到0.1）【变式5-1】（23-24九年级·浙江台州·期末）二次函数y=ax2+bx+c自变量x与函数值y的对应关系如下
表，设一元二次方程ax2+bx+c=0的根为x ，x ，且x 0（或<0）的形式；
（2）明确二次项系数a的正负、对称轴在y轴哪侧，并计算b2−4ac的值；
（3）作出不等式对应的二次函数y=ax2+bx+c的草图；
（4）二次函数在x轴上方的图象对应的函数值大于零，在x轴下方的图象对应的函数值小于零.【题型6 图象法解一元二次不等式】
【例6】（23-24九年级·内蒙古赤峰·期中）阅读理解：
自主学习，请阅读下列解题过程．
解一元二次不等式：x2−5x>0．
解：设x2−5x=0，解得x =0，x =5，则抛物线y=x2−5x与x轴的交点坐标为(0,0)和(5,0)，画出二次
1 2
函数y=x2−5x的大致图像（如图所示），由图像可知：当x<0或x>5时函数图像位于x轴上方，此时
y>0，即x2−5x>0，所以，一元二次不等式x2−5x>0的解集为x<0或x>5．
通过对上述解题过程的学习，按其解题的思路和方法解答下列问题：
(1)上述解题过程中，渗透的数学思想有______．
(2)借助阅读材料直接写出一元二次不等式，x2−5x≤0的解集为______．
(3)用类似的方法解一元二次不等式：−x2−3x+4>0．
【变式6-1】（23-24九年级·重庆·学业考试）如图，已知抛物线y=ax2+bx+c与直线y=kx+m交于
A(−3,−1),B(0,3)两点．则关于x的不等式ax2+bx+c≥kx+m的解集是（ ）
A．x<−3或x>0 B．x≤−3或x≥0 C．−34 y x C
抛物线与x轴的两交点的距离的最大值为❑√6．其中正确的是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④【变式8-2】（23-24九年级·安徽合肥·期末）在平面直角坐标系中，已知抛物线y=x2−2x+m，则：
（1）该拋物线的对称轴为直线x= ；
（2）已知该抛物线与x轴有交点，现有点P(0,2)，Q(m+1,m)，若线段PQ与拋物线只有一个公共点，
结合函数图像，则m的取值范围为 ．
【变式8-3】（23-24·福建福州·模拟预测）已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)．
(1)当a=2时，
①若该函数图像的对称轴为直线x=1，且过点(0,3)，求该函数的表达式；
②若方程ax2+bx+c=0有两个相等的实数根，求证：2b+8c≥−1；
b c ( a ) ( a )
(2)若a=− = ，已知点M 2, +2 ，点N 4, +2 ，当二次函数y=ax2+bx+c的图像与线段MN有
4 3 2 2
交点时，直接写出a的取值范围．
【题型9 由几何变换后得交点个数确定字母的取值范围】
【例9】（23-24·河南新乡·二模）如图，已知抛物线 与 轴交于点 ， ，与
y =ax2+bx+3 x A(−1,0) B(3,0) y
1
轴交于点C，作直线l：BC．
(1)求二次函数解析式；
(2)已知点Q的坐标为(0,5)，将线段CQ沿直线BC向下平移得到线段C′Q′，使点C′始终在直线l上，若线段
C′Q′与抛物线有交点，请求出点Q′的横坐标m的取值范围．
【变式9-1】（23-24九年级·广东东莞·期中）已知抛物线 的图象如图①所示，现将抛物线在
y=(x−1) 2−4
x轴下方的部分沿x轴翻折，图象其余部分不变，得到一个新图象如图②，当直线y=b与图象②有多于2
个公共点时，则b的取值范围为 ．【变式9-2】（23-24·吉林长春·一模）对于某一函数给出如下定义：对于任意实数m， 当自变量x≥m时，
函数y关于x的函数图象为G ，将G沿直线x=m翻折后得到的函数图象为G ，函数G的图象由G 和G 两
1 2 1 2
部分共同组成，则函数G为原函数的“对折函数”，如函数y=x（x≥2）的对折函数为
y= { x(x≥2) )
−x+4(x＜2)
（1）写出函数y =−2x+1（x≥ −1）的对折函数；
3
（2）若函数y =2x−2（x≥− ）的对折函数与x轴交于点A，B(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C，求
2
ABC的周长；
△（3）若点P(m，5)在函数y = −4( x≥−1)的对折函数的图象上，求m的值；
(x−1) 2
（4）当函数y= −4(x≥n)的对折函数与x轴有不同的交点个数时，直接写出n的取值范围
(x−1) 2
【变式9-3】（23-24九年级·重庆渝中·阶段练习）如图，抛物线y=ax2+bx+1交x轴于
A(−3,0)、B(1,0)两点，与y轴交于点C．图⑴ 图⑵
(1)求这个拋物线的解析式．
(2)若点P是直线AC上方抛物线上一个动点，过P作PQ∥x轴交直线AC于Q，过P作PD∥y轴交AC轴于
D，以PQ、PD为邻边构造矩形PQED，求矩形PQED周长的最大值及此时点P的坐标．
(3)如图（2），将线段向上平移1个单位长度，平移后的线段记作．然后将抛物线沿射线进行平移，平移
的距离记为．若平移后的抛物线与线段有交点，请直接写出的取值范围．
