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专题 22.4 二次函数与一元二次方程（举一反三讲义）
【人教版】
【题型1 抛物线与x轴的交点】..............................................................................................................................3
【题型2 利用二次函数的图象确定方程根的情况】.............................................................................................3
【题型3 求x轴与抛物线的截线长】......................................................................................................................4
【题型4 利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解】.................................................................................5
【题型5 利用二次函数的图象求一元二次不等式的取值范围】.........................................................................6
【题型6 利用不等式求自变量或函数值的取值范围】.........................................................................................7
【题型7 根据两函数交点确定不等式的解集】.....................................................................................................8
【题型8 抛物线与x轴交点上的四点问题】..........................................................................................................8
知识点 1 二次函数与一元二次方程的关系
一元二次方程是二次函数的函数值y=0时的情况，反映在图象上就是一元二次方程的根为对应二次函数的
图象与x轴交点的横坐标．
（1）若抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴两交点的横坐标分别为x ，x ，则x ，x 为一元二次方程
1 2 1 2
ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根．
（2）二次函数图象与x轴交点个数与对应一元二次方程根的情况的关系：知识点 2 利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解
利用二次函数图象求一元二次方程的近似解的一般步骤
（1）画出二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象；
（2）确定二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交点的横坐标在哪两个整数之间；
（3）列表，在（2）中的两数之间取值估计，并用计算器估算近似解，则近似解在对应y值正负交替的地
方．
通过列表求近似根的具体过程：
在列表求近似根时，近似根就出现在对应的y值正负交替的位置，也就是对x取一系列值，看y对应的哪
两个值，由负变成正或由正变成负，此时x的两个对应值之中必有个近似根，比如x由x 取到x 时，对应y
1 2
的值出现y >0，y <0或y <0，y >0，那么x ，x 中必有一个是近似根，比较|y )与|y )的大小，若
1 2 1 2 1 2 1 2
|y )>|y )，则说明x 是近似根；反之，则说明x 是近似根．从图象上观察，（x，y）离x轴越近，y值越
1 2 2 1
接近0，而y=0时x的值就是方程的确切根．
知识点 3 二次函数与一元二次不等式的关系
利用二次函数图象解一元二次不等式的步骤:
（1）将一元二次不等式化为ax2+bx+c>0(或<0)的形式；
（2）明确二次项系数a的正负、对称轴在y轴哪侧，并计算b2 −4ac的值；
（3）作出不等式对应的二次函数y=ax2+bx+c的草图；
（4）二次函数在x轴上方的图象对应的函数值大于零，在x轴下方的图象对应的函数值小于零．
以y=ax2+bx+c(a>0)为例，二次函数与一元二次不等式的关系如下表：
∆=b2 −4ac ∆>0 ∆=0 ∆<0二次函数
y=ax2+bx+c
(a>0)的图像
一元二次方程
b
ax2+bx+c=0 x ，x x =x =− 没有实数根
1 2 1 2 2a
(a>0)的根
不等式
ax2+bx+c>0 xx x≠x 的一切实数 全体实数
1 2 1
(a>0)的解集
不等式
ax2+bx+c<0 x 0)的解集
【题型1 抛物线与x轴的交点】
【例1】（24-25九年级下·全国·期中）已知二次函数y=ax2 −4ax+4a+4（a为常数且a≠0）．
(1)当函数图象经过(4,0)，求该二次函数的表达式．
(2)若a>0，判断该二次函数图象与x轴的交点个数并证明．
(3)若该函数图象上有两点A(x ,y ),B(x ,y )，其中x 4．求证：y >y ．
1 1 2 2 1 2 1 2 1 2
【变式1-1】（24-25九年级下·全国·期中）若抛物线y=x2 −6x+a与x轴只有一个公共点，则a的值为
．
【变式1-2】（2025·内蒙古呼和浩特·模拟预测）已知二次函数y=x2+2mx+m2 −2m−3(m为常数)的图象
与x轴有交点，当x>2时，y随x的增大而增大，则m的取值范围是（ ）
3 3
A．m≥− B．− ≤m≤2 C．m<2 D．m≥−2
2 2
【变式1-3】（24-25八年级下·安徽阜阳·期末）二次函数y=ax2 −(a+1)x−2a−1（a为常数，a>0）．
(1)若该二次函数图象关于直线x=1对称，求a的值；
(2)若该二次函数图象上点M(1,y )，N(2,y )满足y 2时，y >y ；⑤函数y的最大值大于 ．其中正确结论的个
2 2 1 2 1 2 1 2 3数为（ ）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
【变式2-1】（24-25八年级下·福建福州·期末）已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的一个根是x=3
，且二次函数y=ax2+bx+c的对称轴是直线x=1，则此方程ax2+bx+c=0的另一个根为 ．
【变式2-2】如图，抛物线y=ax2与直线y=bx+c的两个交点坐标分别为A(−2,4)，B(1,1)，则关于x的
方程ax2 −bx−c=0的解为 ．
【变式2-3】（2025·山东青岛·模拟预测）若二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于(−1,0)和(3,0)
n m
，关于x的一元二次方程cx2+bx+a=0(c≠0)的两个根分别是m和n，则 + = ．
m n
【题型3 求x轴与抛物线的截线长】
【例3】（2025·浙江·二模）在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax2 −2ax+c(a>0)．
(1)当a=c时，
①求抛物线的顶点坐标．
②将抛物线向下平移m个单位(m>0)，若平移后的抛物线过点(0,−8)，且与x轴两交点之间的距离为6，求
m的值．
(2)已知点M(2,2n+1)，N(−1,3 n+2)在抛物线上，且c<0，求n的取值范围．
【变式3-1】（2025·浙江宁波·模拟预测）设二次函数 y =(x−x )(x−x )(x ≠x ) 的图像与一次函数
1 1 2 1 2
y =6x+2 的图像交于点 (x ,0)，若函数 y=y +y 的图像与 x 轴仅有一个交点，则 |x −x ) 的值是
2 1 1 2 1 2
（ ）17
A．6 B．8 C． D．7
3
【变式3-2】（24-25九年级上·湖北咸宁·期末）已知关于x的一元二次方程x2 −(a−1)x+a−2=0．
(1)求证：该方程总有两个实数根；
(2)若抛物线y=x2 −(a−1)x+a−2与x轴交于点A，B，且AB=2，求a的值．
1
【变式3-3】（2025·安徽合肥·一模）已知P(x ,y ) ，Q(x ,y ) 是抛物线y=x2+bx− 上的两个不同点．
1 1 2 2 4
b2
(1)若P，Q两点都在直线y=− 上，求线段PQ的长；
4
1 1
(2)若抛物线关于y轴对称，直线PQ过坐标原点O，求 + 的值；
OP OQ
(3)若点P，Q在抛物线对称轴的左侧，x ，x 为整数，且x 0时，
自变量x的取值范围是（ ）
A．x<−1 B．x>2 C．−12
【变式5-2】（24-25九年级上·辽宁盘锦·阶段练习）二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图，根据图
象解答下列问题：
(1)直接写出方程ax2+bx+c=0的两个根；
(2)直接写出y随x的增大而减小时自变量x的取值范围；
(3)直接写出关于x的不等式ax2+bx+c<0的解集．
【变式5-3】（2025·广东清远·一模）抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)如图所示，抛物线与x轴交于点(−1，0)
，顶点坐标为(1，m)，下列结论：①ac<0；②8a+4b=0；③对于任意实数n，都有an2+bn+c≥m；④
当−10．其中正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4【题型6 利用不等式求自变量或函数值的取值范围】
【例6】（2025·安徽安庆·模拟预测）抛物线y =x2+mx+n的顶点纵坐标与抛物线y =− x2 −mx的顶点纵
1 2
坐标之和为4．
(1)求n的值；
(2)已知A(s,t)为抛物线y =x2+mx+n上一点，B(p,q)为抛物线y =− x2 −mx上一点．
1 2
（i）若仅存在一个正数s，使得s+t=0，求p+q的最大值；
（ii）若p=s+2，且当10；当x>5
时，y<0．若点(t,m)，(t+2,n)都在函数y=ax2 −6ax+c上，且m>n>5a，则t的取值范围是 ．
【变式6-2】（2025·黑龙江大庆·二模）已知二次函数y=ax2 −bx(a≠0)，经过点P(m,2)．当y>−1时，x
的取值范围为x− 3−t．则如下四个值中有可能为m的是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【变式6-3】（2025·安徽合肥·二模）在平面直角坐标系xOy中，直线y=2x与抛物线y=ax2+bx−4交于点
A(x ,y )、B(x ,y )，且x n的解集为（ ）
2A．x<3 B．x>−4 C．−43或x<−4
【变式7-2】（2025·浙江·模拟预测）已知二次函数y =ax2 −ax−1(a≠0),y =x2 −bx+3，则下列结论
1 2
正确的是（ ）
A．若−20)关于直线x=2的“和睦函数”为C ，将
1 2
2
函数C 与C 的图象组成的图形记为T，若T与线段MN只有2个公共点，则a的取值范围是a≥ ．
1 2 3
【题型8 抛物线与x轴交点上的四点问题】
【例8】（24-25九年级上·湖北武汉·期中）已知抛物线y=(x−x )(x−x )−3(x q−p
C．m+n=p+q，n−mq−p
【变式8-3】（24-25九年级上·安徽合肥·期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=− x2 −2x+n与x轴
交于A、B两点，抛物线y=− x2+2x+n与x轴交于C、D两点，其中n>0．若AD=3BC，则n的值为
．
