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第二章 有理数及其运算
2.7 有理数的乘法
精选练习
基础篇
一、单选题
1．（2020·江苏·苏州市吴江区实验初级中学七年级开学考试）一根水管锯成两段要2分钟，锯成6段要（
）分钟．
A．6 B．10 C．12 D．24
【答案】B
【分析】根据锯木问题的原理和计算方法，锯成的段数与锯的次数始终相差1，关键是求出锯一次用多少
时间，锯成6段锯(6-1)次，由此列式解答．
【详解】锯2段需要锯1次，锯6段需要锯5次，
=10（分钟）
故选：B．
【点睛】此题主要考查锯木问题(植树问题)的原理及计算方法，求出锯一次用的时间，熟记锯成的段数与
锯的次数始终相差1是解题的关键．
2．（2020·河南·洛阳市第五十五中学七年级阶段练习）﹣ 的倒数是（ ）
A．﹣ B．4 C．﹣4 D．
【答案】C
【详解】乘积是1的两数互为倒数，据此作答即可．
【分析】解：﹣ 的倒数是﹣4．
故选：C．
【点睛】此题考查倒数的定义，解题的关键是熟练掌握倒数的性质：负数的倒数还是负数，正数的倒数是正数，0没有倒数．倒数的定义：若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数．
3．（2021·山东威海·期末） 的倒数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】直接利用绝对值的性质再结合倒数的定义分析得出答案．
【详解】解：
所以 的倒数是： ．
故选：B．
【点睛】此题主要考查了倒数与绝对值，正确把握倒数的定义是解题关键．
4．（2022·江苏·七年级专题练习）（ ）的倒数比它的本身大．
A．假分数 B．真分数 C．带分数 D．整数
【答案】B
【分析】真分数是分子小于分母的分数，假分数是分子大于或等于分母的分数．再根据求一个数的倒数的
方法，可知假分数或带分数的倒数等于或小于它本身，真分数的倒数大于它本身．
【详解】解：因为真分数是分子小于分母的分数，所以真分数的倒数比它本身大．
故选：B．
【点睛】此题考查倒数的意义和求法，也考查了真分数和假分数的意义．
5．（2021·河南郑州·七年级期中）下列判断正确的是 ( )
A．若 ，则 ， 中至少一个为零
B．若 ，则一定有 ，
C．若 ，则一定有 ，
D．若 ，且 ，则 ，
【答案】A
【分析】若ab=0，则a，b中至少一个为0；若ab＞0，则a，b同号；若ab＜0，则a，b异号；若ab＜0
且a+b＜0，则a，b异号且负数的绝对值大．
【详解】解：A、若ab=0，则a，b中至少一个为0，即a=0或b=0或a=b=0，故本选项正确；
B、若ab＞0，则a，b同号，即a＞0，b＞0或a＜0，b＜0，故本选项错误；
C、若ab＜0，则a，b异号，即a＞0，b＜0或a＜0，b＞0，故本选项错误；D、若ab＜0且a+b＜0，则a，b异号且负数的绝对值大，故本选项错误；
故选：A．
【点睛】本题考查了有理数的乘法与加法法则，掌握有理数的运算法则是解题的关键．
6．（2022·全国·七年级课时练习）已知abc＞0，a＞0，ac＜0，则下列结论判断正确的是（ ）
A．a＞0，b＞0，c＞0 B．a＞0，b＞0，c＜0
C．a＞0，b＜0，c＞0 D．a＞0，b＜0，c＜0
【答案】D
【分析】根据有理数的乘法，同号得正，异号得负，即可判定．
【详解】解：∵a＞0，ac＜0，
∴c＜0，
∵abc＞0，
∴b＜0，故D正确．
故选：D．
【点睛】本题考查了有理数的乘法，解决本题的关键是熟记有理数的乘法法则．
二、填空题
7．（2020·河南·洛阳市第五十五中学七年级阶段练习） 相反数是__，倒数是__，绝对值是__．
【答案】
【分析】根据相反数、倒数、绝对值的意义求解即可．
【详解】解：∴ 的相反数是 ，倒数是 ，绝对值是 ，
故答案为： ， ， ．
【点睛】本题考查了相反数的意义，互为相反数的两个数和为0，倒数的意义，互为倒数的两个数积为1，
绝对值的定义，一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0．
8．（2021·河南南阳·七年级期中） ， 且 ， 的值为______．
【答案】2或-2##-2或2##±2
【分析】根据绝对值的意义，得到a、b，再利用乘法的符号法则确定a、b的值，求和即可．
【详解】解：∵ ， ，
∴ ， ，∵ ，
∴a=4，b= -2或a= -4，b= 2，
∴当 ， 时， ；
当 ， 时， ；
故答案为：2或－2．
【点睛】本题考查了乘法的符号法则、有理数的加法及绝对值的意义等知识点，题目难度不大，综合性较
强，根据给出的条件确定a、b的值是解决本题的关键．
9．（2022·山西临汾·七年级期末）计算： =___________．
【答案】-20
【分析】先算绝对值，再按照有理数乘法运算法则计算即可．
【详解】
故答案为：-20
【点睛】本题考查了有理数的乘法运算，准确计算是本题的关键．
10．（2022·陕西·紫阳县师训教研中心七年级期末）如图，数轴上A，B两点对应的实数分别为a，b，则
下列结论：① ；② ；③ ；④ ，其中正确的是______．（填序号）
【答案】①②③
【分析】先根据数轴上的位置判断a，b的大小，及绝对值的大小，再根据有理数的加减（乘）法法则判断
即可．
【详解】根据数轴可知 ，且 ，
所以 ， ， ， ．
正确的有①②③．
故答案为：①②③．
【点睛】本题主要考查了有理数的计算，根据数轴判断两个数的大小，及绝对值的大小是解题的关键．
三、解答题
11．（2022·江苏·七年级专题练习）写出下列各数的倒数（1）5；（2）－1；（3） ；（4）0.3
【答案】（1） ；（2） ；（3） ；（4）
【分析】根据倒数的定义直接写出各数的倒数即可．
【详解】（1）5的倒数是 ；
（2）－1的倒数是－1；
（3） 的倒数是 ；
（4）0.3的倒数是 ．
【点睛】本题考查了倒数，如果两个数的乘积等于1，那么这两个数互为倒数，掌握倒数的定义是解题的
关键．
12．（2022·全国·七年级课时练习）计算：
(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) ；
(5) ；
(6) ．
【答案】(1)
(2)
(3)6
(4)0
(5)(6)
【分析】依据法则“两数相乘，同号得正，异号得负，任何数与0相乘都得0”计算解答．
（1） ＝ = ；
（2） ＝ =
（3） = =6
（4） ＝0
（5） = ＝
（6） = ＝
【点睛】本题考查有理数的乘法法则，熟练掌握“两数相乘，同号得正，异号得负，任何数与0相乘都得
0” ．
提升篇
一、填空题
1．（2022·全国·七年级专题练习）三个有理数a、b、c之积是负数，其和也是负数；当
时，则x+1＝_____．
【答案】
【分析】根据已知可得a，b，c有①两个数是正数，一个数是负数；②三个数均是负数两种情况，再根据
绝对值的性质分情况化简绝对值求出x即可解答．
【详解】解：∵a，b，c的积是负数，它们的和是负数，
∴a，b，c有两个数是正数，一个数是负数；或三个数均是负数．
①当a，b，c有两个数是正数，一个数是负数时，
设a，b是正数，c是负数，∴x＝1+1﹣1＝1，
∴x+1＝1+1＝2，
②当三个数均是负数时，
x＝﹣1﹣1﹣1＝﹣3，
∴x+1＝﹣3+1＝﹣2，
综上，x+1＝±2，
故答案为：±2．
【点睛】本题考查有理数乘法和加法、化简绝对值，熟知有理数的运算法则和绝对值的性质是解答的关键．
2．（2022·全国·七年级课时练习）计算： ______．
【答案】 ##-0.5
【分析】利用乘法分配律把分母化为 ，即可求解。
【详解】解：原式= ，
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了有理数的混合运算，利用乘法分配律把分母化为 是解题的关键。
3．（2022·全国·七年级专题练习）在一个底面半径为10厘米的圆柱形水桶里，垂直放入一根底面半径为5
厘米的圆柱形钢材，如果钢材完全浸没在水中，桶里的水位上升了9厘米（水未溢出），则这根钢材的体
积是________立方厘米．（ 取3.14）
【答案】2826
【分析】根据题意得出圆柱形钢材的体积等于上升的水的体积,上升的水的体积等于高为9厘米,底面半径为
10厘米的圆柱的体积,据此解答即可．
【详解】解： ，
故答案为： ．
【点睛】此题考查根据圆柱的体积公式列出式子,准确列出式子进行运算是解题关键．
4．（2022·全国·七年级课时练习）李阿姨的月工资是5000元，扣除3500元免税项目后的部分需要按3%
的税率缴纳个人所得税，她应缴个人所得税______元．
【答案】45
【分析】扣除3500元个税免征额后的部分是5000-3500=1500元，也就是说应缴纳税额部分应是1500元，
然后代入关系式：应缴纳税额部分×税率=个人所得税，计算即可．【详解】(5000-3500)×3%
=1500×3%
=45(元)
答：她应缴个人所得税45元．
故答案为：45．
【点睛】本题考查了有理数乘法的实际应用，解答的关键是掌握关系式：应缴纳税额部分×税率=个人所得
税．
5．（2022·广西桂林·七年级期末）如图，数轴上a，b，c三个数所对应的点分别为A，B，C，已知： ，
且b的倒数是它本身，且a，c满足． ，若将数轴左右折叠，使得点A与点B重合，则与
点C重合的点表示的数是______．
【答案】
【分析】由数轴和题意得到 ，由非负数的性质，求出 ， ，然后根据折叠的性质，即可求出
答案．
【详解】解：根据题意，
∵ ，且b的倒数是它本身，
∴ ，
∵ ，
∴ ， ，
∵将数轴左右折叠，使得点A与点B重合，
∴折叠的点为 ，
∴与点C重合的点表示的数是 ；
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了数轴及数轴上两点间的距离公式的运用，非负数的性质，倒数的定义，解题的关
键是利用数轴的特点能求出两点间的距离．
二、解答题6．（2022·陕西渭南·七年级期末）下面是一个正方体的平面展开图，请把10， ，- ，0．1， ，-7分
别填入六个正方形中，使得折成正方体后，相对面上的数互为倒数．
【答案】见解析
【分析】先判断 互为倒数， 互为倒数， 互为倒数，再分别把互为倒数的两个数填入相对
面内即可．
【详解】解： 互为倒数， 互为倒数， 互为倒数，
如图，填入数据如下：
【点睛】本题考查的是倒数的含义，正方体的表面展开图的特点，掌握“正方体相对面之间隔着一个面的
特点”是解本题的关键．
7．（2021·湖南·长沙市立信中学七年级阶段练习）已知： ，1， ，5， 中，任何两个数相乘，最大
的积为m，最小的积为n．
(1)求m，n的值；
(2)若 ，求x的值．
【答案】(1)m＝15，n＝−25；
(2)x＝40或x＝10．
【分析】（1）根据题意，列出算式计算后即可得出m，n的值；
（2）将m、n的值代入后，根据绝对值的性质求出x即可．
(1)解：∵−5×1＝−5；−5×（−3）＝15；−5×5＝−25；−5×（−2）＝10；1×（−3）＝−3；1×5＝5；1×
（−2）＝−2；（−3）×5＝−15；（−3）×（−2）＝6；5×（−2）＝−10；
∴最大的积是m＝15，最小的积是n＝−25；
(2)
∵m＝15，n＝−25，
∴原式变为：|x−25|＝15，
∴x−25＝15或x−25＝－15，
∴x＝40或x＝10．
【点睛】本题考查了有理数的乘法，绝对值的性质，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
8．（2022·河北沧州·七年级期末）某校七年级（1）—（4）班计划每班购买数量相同的图书布置班级读书
角，但是由于种种原因，实际购买量与计划有出入，下表是实际购书情况．
1 2 3 4
班级
班 班 班 班
实际购买量（本） a 33 c 21
实际购买量与计划购买量的差值
12 b
（本）
(1) __________， __________， __________；
(2)根据记录的数据可知4个班实际购书共__________本；
(3)书店给出一种优惠方案：一次性购买15本以上（含15本），其中2本书免费．若每本书售价为30元，
请计算这4个班整体购书的最低总花费是多少元？
【答案】(1)42，3，22
(2)118
(3)3120元
【分析】（1）由于4班实际购入21本，且实际购买数量与计划购买数量的差值=-9，即可得计划购书量
=30，进而可把表格补充完整；
（2）把每班实际数量相加即可；
（3）根据已知求出总费用即可．
（1）解：∵4班实际购入21本书，实际购入数量与计划购入数量的差值=-9，可得计划购入数量=30
（本），∴一班实际购入a=30+12=42（本），二班实际购入数量与计划购入数量的差值b=33-30=3本，3班实际购入数量c=30-8=22（本）．故答案依次为42；3；22．
（2）解：4个班一共购入数量=42+33+22+21=118（本）；
（3）解：∵ 余13得，∴如果每次购买15本，则可以购买7次，且最后还剩13本书需单独购
买，∴最低总花费＝30×（15 2）×7+30×13＝3120（元）．
【点睛】本题考查了正负数的应用．在生活实际中利用正负数的计算能力，并通过相关运算来比较大小，
进而得出最佳方案；正确理解正负数的意义是解题的关键．
