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第21章 一元二次方程章末题型过关卷
【人教版】
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．(3分)（2022春•温州期中）若关于x的方程x2+2ax+4a＝0有一个根为﹣3，则a的值是（ ）
A．9 B．4.5 C．3 D．﹣3
【分析】把x＝﹣3代入方程得9﹣6a+4a＝0，然后解关于a的一次方程即可．
【解答】解：把x＝﹣3代入方程得9﹣6a+4a＝0，
解得a＝4.5．
故选：B．
2．(3分)（2022春•张店区期末）用配方法解一元二次方程2x2﹣2x﹣1＝0，下列配方正确的是（ ）
1 3 1 3
A．(x- ) 2= B．(x- ) 2=
4 4 4 2
1 3 1 3
C．(x- ) 2= D．(x- ) 2=
2 4 2 2
【分析】方程整理后，利用完全平方公式配方得到结果，即可作出判断．
【解答】解：方程2x2﹣2x﹣1＝0，
1
整理得：x2﹣x= ，
2
1 3 1 3
配方得：x2﹣x+ = ，即（x- ）2= ．
4 4 2 4
故选：C．
4±❑√16+4c
3．(3分)（2022春•莱芜区期末）以x= 为根的一元二次方程可能是（ ）
2
A．x2﹣4x﹣c＝0 B．x2+4x﹣c＝0 C．x2﹣4x+c＝0 D．x2+4x+c＝0
【分析】根据求根公式逐一判断即可．
4±❑√16+4c
【解答】解：A．此方程的根为x= ，符合题意；
2
-4±❑√16+4c
B．此方程的根为x= ，不符合题意；
2
4±❑√16-4c
C．此方程的根为x= ，不符合题意；
2-4±❑√16-4c
D．此方程的根为x= ，不符合题意；
2
故选：A．
4．(3分)（2022秋•沐川县期末）m是方程x2+x﹣2＝0的根，则代数式2m2+2m﹣2022的值是（ ）
A．﹣2018 B．2018 C．﹣2026 D．2026
【分析】把x＝m代入已知方程，可以求得m2+m＝2，然后整体代入所求的代数式求值即可．
【解答】解：∵实数m是关于x的方程x2+x﹣2＝0的一个根，
∴m2+m﹣2＝0，
∴m2+m＝2，
∴2m2+2m﹣2022＝2（m2+m）﹣2022＝﹣2018．
故选：A．
1 3
5．(3分)（2022春•淄川区期中）已知多项式P= x﹣2，Q＝x2- x（x为任意实数），试比较多项式P与
2 2
Q的大小．（ ）
A．无法确定 B．P＞Q C．P＝Q D．P＜Q
【分析】先求出Q﹣P的差，再利用完全平方公式以及偶次方的性质即可求出P与Q的大小．
1 3
【解答】解：∵P= x﹣2，Q＝x2- x，
2 2
3 1
∴Q﹣P＝x2- x- x+2＝x2﹣2x+2＝（x﹣1）2+1＞0，
2 2
∴P＜Q．
故选：D．
6．(3分)（2022秋•雄县期末）已知y 和y 均是以x为自变量的函数，当x＝m时，函数值分别是M 和
1 2 1
M ，若存在实数m，使得M+M ＝0，则称函数y 和y 是“和谐函数”．以下函数y 和y 是“和谐函
2 1 2 1 2 1 2
数”的是（ ）
1
A．y =- 和y＝﹣x+1 B．y =x2+2x和y＝﹣x+1
1 x 2 1 2
1
C．y =- 和y＝﹣x﹣1 D．y =x2+2x和y＝﹣x﹣1
1 x 2 1 2
【分析】根据题意，令y+y ＝0，若方程有解，则称函数y 和y 是“和谐函数”，若无解，则称函数y
1 2 1 2 1
和y 不是“和谐函数”．
2
【解答】解：A、令y+y＝0，
1 21
则- -x+1＝0，
x
整理得：x2﹣x+1＝0，
此方程无解，
∴函数y 和y 不是“和谐函数”，
1 2
故A不符合题意；
B、令y+y＝0，
1 2
则x2+2x﹣x+1＝0，
整理得：x2+x+1＝0，
此方程无解，
∴函数y 和y 不是“和谐函数”，
1 2
故B不符合题意；
C、A、令y+y＝0，
1 2
1
则- -x﹣1＝0，
x
整理得：x2+x+1＝0，
此方程无解，
∴函数y 和y 不是“和谐函数”，
1 2
故C不符合题意；
D、A、令y+y＝0，
1 2
则x2+2x﹣x﹣1＝0，
整理得：x2+x﹣1＝0，
-1+❑√5 -1-❑√5
解得：x = ，x = ，
1 2
2 2
∴函数y 和y 是“和谐函数”，
1 2
故D符合题意；
故选：D．
7．(3分)（2022秋•香洲区期末）已知一个直角三角形的两边长是方程 x2﹣9x+20＝0的两个根，则这个直
角三角形的斜边长为（ ）
A．3 B．❑√41 C．3或❑√41 D．5或❑√41
【分析】利用因式分解法解方程求出x的值，再分情况讨论求解即可．
【解答】解：∵x2﹣9x+20＝0，∴（x﹣4）（x﹣5）＝0，
则x﹣4＝0或x﹣5＝0，
解得x＝4，x＝5，
1 2
若4、5均为直角边长度，则斜边长度为 ，
❑√42+52=❑√41
若4、5有一边是斜边长度，则斜边长度为5，
故选：D．
8．(3分)（2022•蜀山区一模）“稳字当头”的中国经济是全球经济的“稳定器”，稳就业，保民生，防风
险，守住“稳”的基础，才有更多“进”的空间．2020，2021这两年中国经济的年平均增长率为
5.1%，其中2021年的年增长率为8.1%，若设2020年的年增长率为x，则可列方程为（ ）
A．8.1%（1﹣x）2＝5.1%
B．（1+x）（1+8.1%）＝（1+5.1%）2
C．5.1%（1+x）2＝8.1%
D．（1+x）（1+8.1%）＝2（1+5.1%）
【分析】增长率问题，一般用增长后的量＝增长前的量×（1+增长率），根据等量关系列出方程即可求
解．
【解答】解：根据题意可得：（1+x）（1+8.1%）＝（1+5.1%）2．
故选：B．
9．(3分)（2022•周村区二模）已知a、b、m、n为互不相等的实数，且（a+m）（a+n）＝2，（b+m）
（b+n）＝2，则ab﹣mn的值为（ ）
A．4 B．1 C．﹣2 D．﹣1
【分析】先把已知条件变形得到 a2+（m+n）a+mn﹣2＝0，b2+（m+n）b+mn﹣2＝0，则可把a、b看作
方程x2+（m+n）x+mn﹣2＝0的两实数根，利用根与系数的关系得到ab＝mn﹣2，从而得到ab﹣mn的
值．
【解答】解：∵（a+m）（a+n）＝2，（b+m）（b+n）＝2，
∴a2+（m+n）a+mn﹣2＝0，b2+（m+n）b+mn﹣2＝0，
而a、b、m、n为互不相等的实数，
∴a、b看作方程x2+（m+n）x+mn﹣2＝0的两实数根，
∴ab＝mn﹣2，
∴ab﹣mn＝﹣2．
故选：C．10．(3分)（2022•青县二模）定义运算：m※n＝mn2﹣2mn﹣1，例如：4※2＝4×22﹣2×4×2﹣1＝﹣1．若关
于x的方程a※x＝0有实数根，则a的取值范围为（ ）
A．﹣1≤a≤0 B．﹣1≤a＜0 C．a≥0或a≤﹣1 D．a＞0或a≤﹣1
【分析】根据新定义运算法则列出关于x的方程，根据根的判别式进行判断即可．
【解答】解：由题意可知：a※x＝ax2﹣2ax﹣1＝0，
当a＝0时，原来方程变形为﹣1＝0，方程无解；
当a≠0时，
∵关于x的方程a※x＝0有实数根，
∴Δ＝4a2+4a＝4a（a+1）≥0，
解得a≤﹣1或a＞0．
故选：D．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．(3分)（2022秋•鄂州期末）如果a﹣b+c＝0，则关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的根有一个为 ﹣
1 ．
【分析】将x＝﹣1代入方程ax2+bx+c＝0中的左边，得到a﹣b+c，由a﹣b+c＝0得到方程左右两边相等，
即x＝﹣1是方程的解．
【解答】解：将x＝﹣1代入ax2+bx+c＝0的左边得：a×（﹣1）2+b×（﹣1）+c＝a﹣b+c，
∵a﹣b+c＝0，
∴x＝﹣1是方程ax2+bx+c＝0的根．
故答案为：﹣1．
3
12．(3分)（2022•成都模拟）若m是x2﹣2x﹣3＝0的一个实数根，则(m2-2m)(m- -1)= 3 ．
m
【分析】将x＝m代入已知方程得到m2﹣2m＝3，m2﹣m＝3+m；然后将其代入所求的代数式进行化简即
可．
【解答】解：依题意得：m2﹣2m﹣3＝0，
∴m2﹣2m＝3，m2﹣m＝3+m，
3
∴(m2-2m)(m- -1)
m
3+m-3
＝3×
m
＝3×1
＝3．故答案是：3．
k
13．(3分)（2022•海曙区自主招生）如果方程（x﹣1）（x2﹣2x+ ）＝0的三根可以作为一个三角形的三
4
边之长，那么实数k的取值范围是 3 ＜ k ≤ 4 ．
k
【分析】根据原方程可得出：①x﹣1＝0，②x2﹣2x+ =0；根据根与系数的关系，可求出②方程的
4
x+x 和x﹣x 的表达式，然后根据三角形三边关系定理求出k的取值范围．
1 2 1 2
k
【解答】解：由题意，得：x﹣1＝0，x2﹣2x+ =0；
4
k k
设x2﹣2x+ =0的两根分别是m、n（m≥n）；则m+n＝2，mn= ；
4 4
m﹣n ；
=❑√(m+n) 2-4mn=❑√4-k
根据三角形三边关系定理，得：
m﹣n＜1＜m+n，即❑√4-k＜1＜2；
{❑√4-k＜1
∴ ，解得3＜k≤4．
4-k≥0
14．(3分)（2022秋•盐湖区校级月考）如图，点A在数轴的负半轴，点B在数轴的正半轴，且点A对应的
1-❑√17
数是2x﹣1，点B对应的数是x2+x，已知AB＝5，则x的值为 ．
2
【分析】先根据数轴上两点之间的距离公式列出关于x的方程，解之求出x的值，再结合A、B的位置
取舍即可．
【解答】解：根据题意，得：x2+x﹣（2x﹣1）＝5，
整理，得：x2﹣x﹣4＝0，
∵a＝1，b＝﹣1，c＝﹣4，
∴Δ＝（﹣1）2﹣4×1×（﹣4）＝17＞0，
-b±❑√b2-4ac 1±❑√17
则x= = ，
2a 2
1+❑√17 1-❑√17
∴x = ，x = ，
1 2
2 2
∵点A在数轴的负半轴，1
∴2x﹣1＜0，即x＜ ，
2
1-❑√17
∴x= ，
2
1-❑√17
故答案为： ．
2
15．(3分)（2022•天府新区模拟）给定一个矩形，如果存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形
的周长和面积的2倍，则我们称这个矩形是给定矩形的“加倍矩形”，当已知矩形的长和宽分别为 3和
1时，其“加倍矩形”的对角线长为 2❑√13 ．
【分析】设“加倍矩形”的长为x，则宽为[2×（3+1）﹣x]，根据矩形的面积计算公式，即可得出关于x
的一元二次方程，解之取其较大值即可得出结论．
【解答】解：设“加倍”矩形的长为x，则宽为[2×（3+1）﹣x]，
依题意，得：x[2×（3+1）﹣x]＝2×3×1，
整理，得：x2﹣8x+6＝0，
解得：x＝4+❑√10，x＝4-❑√10，
1 2
当x＝4+❑√10时，2×（3+1）﹣x＝4-❑√10＜4+❑√10，符合题意；
当x＝4-❑√10时，2×（3+1）﹣x＝4+❑√10＞4-❑√10，符不符合题意，舍去．
∴“加倍矩形”的对角线长为 2 ．
❑√(4+❑√10) 2+(4-❑√10) 2= ❑√13
故答案为：2❑√13．
16．(3分)（2022秋•昌江区校级期末）若实数a，b，c满足12a2+7b2+5c2≤12a|b|﹣4b|c|﹣16c﹣16，则
5
a+b+c＝ - ．
2
【分析】利用配方法将原式变形，再利用非负数的性质求得a，b，c的值，最后代入计算即可．
【解答】解：∵12a2+7b2+5c2≤12a|b|﹣4b|c|﹣16c﹣16，
∴12a2+7b2+5c2﹣12a|b|+4b|c|+16c+16≤0．
∴3（4a2﹣4a|b|+b2）+（4b2+4b|c|+c2）+4（c2+4c+4）≤0．
∴3（2a﹣|b|）2+（2b+|c|）2+4（c+2）2≤0．
∵3（2a﹣|b|）2≥0，（2b+|c|）2≥0，4（c+2）2≥0，
{2a-|b|=0
∴ 2b+|c|=0．
c+2=01
{ a=
2
解得： ．
b=-1
c=-2
1 5
∴a+b+c= -1﹣2=- ．
2 2
5
故答案为：- ．
2
三．解答题（共7小题，满分52分）
17．(6分)（2022春•道里区期末）解下列方程：
（1）（x﹣2）2﹣2x+4＝0；
（2）x2﹣4x﹣1＝0．
【分析】（1）先把方程的左边分解因式，即可得出两个一元一次方程，再求出方程的解即可；
（2）移项后配方，开方，即可得出两个一元一次方程，再求出方程的解即可．
【解答】解：（1）（x﹣2）2﹣2x+4＝0，
（x﹣2）2﹣2（x﹣2）＝0，
（x﹣2）（x﹣2﹣2）＝0，
x﹣2＝0或x﹣2﹣2＝0，
解得：x＝2，x＝4；
1 2
（2）x2﹣4x﹣1＝0，
x2﹣4x＝1，
配方，得x2﹣4x+4＝1+4，
（x﹣2）2＝5，
开方得：x﹣2=±❑√5，
解得：x＝2+❑√5，x＝2-❑√5．
1 2
18．(6分)（2022秋•海淀区期末）已知关于x的一元二次方程x2+（2﹣m）x+1﹣m＝0．
（1）求证：该方程总有两个实数根；
（2）若m＜0，且该方程的两个实数根的差为3，求m的值．
【分析】（1）利用根的判别式进行求解即可；
（2）设方程的较大的实数根为x ，较小的实数根为x ，则有x﹣x ＝3，x+x ＝m﹣2，xx ＝1﹣m，从
1 2 1 2 1 2 1 2
而可进行求解．
【解答】（1）证明：∵Δ＝（2﹣m）2﹣4×1×（1﹣m）＝m2≥0，∴原方程有两个相等的实数根或两个不等的实数根，
即该方程总有两个实数根；
（2）设方程的较大的实数根为x，较小的实数根为x，依题意得：
1 2
x﹣x＝3，x+x＝m﹣2，xx＝1﹣m，
1 2 1 2 1 2
∴（x﹣x）2＝32，
1 2
x2﹣2xx+x2＝9，
1 1 2 2
x2+x2＝9+2xx＝9+2（1﹣m）＝11﹣2m，
1 2 1 2
∵（x+x）2＝（m﹣2）2，
1 2
∴x2+2xx+x2＝m2﹣4m+4，
1 1 2 2
∴11﹣2m+2（1﹣m）＝m2﹣4m+4，
整理得：m2＝9，
解得：m＝3或m＝﹣3，
∵m＜0，
∴m＝﹣3．
19．(8分)（2022秋•安居区期末）为解方程（x2﹣1）2﹣5（x2﹣1）+4＝0，我们可以将x2﹣1视为一个整
体，然后设x2﹣1＝y，则原方程可化为y2﹣5y+4＝0，解此方程得y＝1，y＝4．
1 2
当y＝1时，x2﹣1＝1，所以x=±❑√2；
当y＝4时，x2﹣1＝4，所以x=±❑√5．
所以原方程的根为 ， ， ， ．
x =❑√2 x =-❑√2 x =❑√5 x =-❑√5
1 2 3 4
以上解方程的方法叫做换元法，利用换元法达到了降次的目的，体现了数学的转化思想．运用上述方法
解下列方程：
（1）（x2﹣x）（x2﹣x﹣4）＝﹣4；
（2）x4+x2﹣12＝0．
【分析】（1）设x2﹣x＝a，原方程可化为a2﹣4a+4＝0，求出a的值，再代入x2﹣x＝a求出x即可；
（2）设x2＝y，原方程化为y2+y﹣12＝0，求出y，再把y的值代入x2＝y求出x即可．
【解答】解：（1）（x2﹣x）（x2﹣x﹣4）＝﹣4，
设x2﹣x＝a，则原方程可化为a2﹣4a+4＝0，
解此方程得：a＝a＝2，
1 2
当a＝2时，x2﹣x＝2，即x2﹣x﹣2＝0，
因式分解得：（x﹣2）（x+1）＝0，解得：x＝2，x＝﹣1，
1 2
所以原方程的解是x＝2，x＝﹣1；
1 2
（2）x4+x2﹣12＝0，
设x2＝y，则原方程化为y2+y﹣12＝0，
因式分解，得（y﹣3）（y+4）＝0，
解得：y＝3，y＝﹣4，
1 2
当y＝3时，x2＝3，解得：x=±❑√3；
当y＝﹣4时，x2＝﹣4，无实数根，
所以原方程的解是x =❑√3，x =-❑√3．
1 2
20．(8分)（2022春•西湖区校级期中）对于任意一个三位数k，如果k满足各个数位上的数字都不为零，
且十位上的数字的平方等于百位上的数字与个位上的数字之积的4倍，那么称这个数为“喜鹊数”．例
如：k＝169，因为62＝4×1×9，所以169是“喜鹊数”．
（1）已知一个“喜鹊数”k＝100a+10b+c（1≤a、b、c≤9，其中a，b，c为正整数），请直接写出a，
b，c所满足的关系式 b 2 ﹣ 4 a c ＝ 0 ；判断241 不是 “喜鹊数”（填“是”或“不是”），并写
出一个“喜鹊数” 12 1 ；
（2）利用（1）中“喜鹊数”k中的a，b，c构造两个一元二次方程ax2+bx+c＝0①与cx2+bx+a＝0②，
若x＝m是方程①的一个根，x＝n是方程②的一个根，求m与n满足的关系式；
（3）在（2）中条件下，且m+n＝﹣2，请直接写出满足条件的所有k的值．
【分析】（1）根据喜鹊数的定义解答即可；
（2）根据一元二次方程的定义和根的判别式解答即可；
（3）求出m与n互为倒数，又m+n＝﹣2，得出m＝﹣1，n＝﹣1，求出b＝a+c，a＝c，结合喜鹊数的
定义即可得出答案．
【解答】解：（1）∵k＝100a+10b+c是喜鹊数，
∴b2＝4ac，即b2﹣4ac＝0；
∵42＝16，4×2×1＝8，16≠8，
∴241不是喜鹊数；
∵各个数位上的数字都不为零，百位上的数字与个位上的数字之积的4倍，
∴十位上的数字的平方最小为4，
∵22＝4，4×1×1＝4，
∴最小的“喜鹊数”是121．故答案为：b2﹣4ac＝0；不是；121．
（2）∵x＝m是一元二次方程ax2+bx+c＝0的一个根，x＝n是一元二次方程cx2+bx+a＝0的一个根，
∴am2+bm+c＝0，cn2+bn+a＝0，
1 1
将cn2+bn+a＝0两边同除以n2得：a（ ）2+b（ ）+c＝0，
n n
1
∴将m、 看成是方程ax2+bx+c的两个根，
n
∵b2﹣4ac＝0，
∴方程ax2+bx+c有两个相等的实数根，
1
∴m= ，即mn＝1；
n
故答案为：mn＝1．
（3）∵m+n＝﹣2，mn＝1，
∴m＝﹣1，n＝﹣1，
∴a﹣b+c＝0，
∴b＝a+c，
∵b2＝4ac，
∴（a+c）2＝4ac，
解得：a＝c，
∴满足条件的所有k的值为121，242，363，484．
故答案为：121，242，363，484．
21．(8分)（2022春•南海区月考）阅读材料题：
我们知道a2≥0，所以代数式a2的最小值为0．学习了多项式乘法中的完全平方公式，可以逆用公式，
即用a2±2ab+b2＝（a±b）2来求一些多项式的最小值．
例如，求x2+6x+3的最小值问题．
解：∵x2+6x+3＝x2+6x+9﹣6＝（x+3）2﹣6，
又∵（x+3）2≥0，
∴（x+3）2﹣6≥﹣6，
∴x2+6x+3的最小值为﹣6．
请应用上述思想方法，解决下列问题：
（1）探究：x2﹣4x+5＝（x﹣ 2 ）2+ 1 ；1
（2）代数式x2+x有最 小 （填“大”或“小”）值为 - ；
4
（3）应用：若A＝x2﹣1与B＝2x﹣3，试比较A与B的大小；
【分析】（1）利用配方法将多项式变形即可得出结论；
（2）利用配方法将多项式变形，利用非负数的意义即可得出结论；
（3）计算A﹣B的值，将结果利用配方法变形即可得出结论．
【解答】解：（1）∵x2﹣4x+5＝x2﹣4x+4+1＝（x﹣2）2+1，
故答案为：2；1；
1 1 1 1
（2）∵x2+x＝x2+x+ - =(x+ ) 2- ，
4 4 2 4
1
又∵(x+ ) 2≥0，
2
1 1 1
∴(x+ ) 2- ≥- ．
2 4 4
1
∴代数式x2+x有最小值为- ．
4
1
故答案为：小；- ；
4
（3）A﹣B＝（x2﹣1）﹣（2x﹣3）＝x2﹣2x+2＝（x﹣1）2+1，
∵（x﹣1）2≥0，
∴（x﹣1）2+1＞0，
∴A﹣B＞0，
∴A＞B．
22．(8分)（2022秋•黔江区期末）火锅是重庆人民钟爱的美食之一．解放碑某火锅店为抓住“十一”这个
商机，于九月第一周推出了A、B两种火锅套餐，5桌A套餐与10桌B套餐的总售价为1600元，其中A
套餐比B套餐每桌贵20元．
（1）求A套餐的售价是多少元？
（2）第一周A套餐的销售量为800桌，B套餐的销售量为1300桌．为了更好的了解市场，火锅店决定
从第二周开始，对A，B套餐的销售价格都进行调整，其中 A套餐的销售价格比第一周的价格下调
1 1
a%，发现销售量比第一周增加了 a%，B套餐的销售价格比第一周的价格下调了 a%，发现销售量比
3 2
第一周增加了140桌，最终第二周A套餐的销售总额比B套餐的销售总额少了48000元．求a的值．
【分析】（1）设A套餐的售价是x元，则B套餐的售价是（x﹣20）元，根据5桌A套餐与10桌B套餐的总售价为1600元，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论；
（2）根据销售总额＝销售单价×销售数量，结合第二周A套餐的销售总额比B套餐的销售总额少了
48000元，即可得出关于a的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【解答】解：（1）设A套餐的售价是x元，则B套餐的售价是（x﹣20）元，
依题意得：5x+10（x﹣20）＝1600，
解得：x＝120．
答：A套餐的售价是120元．
1 1
（2）依题意得：（120﹣20）（1- a%）×（1300+140）﹣120（1﹣a%）×800（1+ a%）＝48000，
2 3
整理得：3.2a2﹣80a＝0，
解得：a＝25，a＝0（不合题意，舍去）．
1 2
答：a的值为25．
23．(8分)（2022春•新昌县期中）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝6cm，AC＝8cm，点P从点C开
始沿射线CA方向以1cm/s的速度运动；同时，点Q也从点C开始沿射线CB方向以3cm/s的速度运动．
（1）几秒后△PCQ的面积为3cm2？此时PQ的长是多少？（结果用最简二次根式表示）
（2）几秒后以A、B、P、Q为顶点的四边形的面积为22cm2？
【分析】（1）设出运动所求的时间，可将PC和CQ的长表示出来，代入三角形面积公式，列出等式，
可将时间求出；
（2）需要对点P的不同位置进行分类讨论：①当P在线段AC上，Q在线段BC上时，0＜t＜2S
四边形APQB
1 1 4 2❑√3 2❑√3
＝S
△ABC
﹣S
△PQC 2
×6×8-
2
×t×3t=22t2=
3
，得t
1
=
3
，t
2
=-
3
(舍去)，
②当P在线段AC上，Q在线段BC延长线上时，2＜t＜8，S ＝S ﹣S ；
四边形APBQ △AQC △PBC
③当P在线段AC的延长线上，Q在线段BC延长线上时，t＞8，S ＝S ﹣S ．
四边形ABQP △PQC △ABC
【解答】解：（1）设t秒后△PCQ的面积为3平方厘米，
则有PC＝t cm，CQ＝3t cm，
1
依题意，得： t×3t＝3，
2t2＝2 （舍去），
t =❑√2，t =-❑√2
1 2
由勾股定理，得：PQ ．
=❑√PC2+QC2=2❑√5
答：❑√2秒后△PCQ的面积为3平方厘米，此时PQ的长是2❑√5；
（2）①当P在线段AC上，Q在线段BC上时，0＜t＜2
S ＝S ﹣S
四边形APQB △ABC △PQC
1 1
×6×8- ×t×3t=22
2 2
4
t2= ，
3
2❑√3 2❑√3
解得t = ，t =- (舍去)，
1 3 2 3
②当P在线段AC上，Q在线段BC延长线上时，2＜t＜8，
S ＝S ﹣S
四边形APBQ △AQC △PBC
1 1
×8×3t- ×6×t=22
2 2
9t＝22，
22
解得t= ；
9
③当P在线段AC的延长线上，Q在线段BC延长线上时，t＞8，
S ＝S ﹣S
四边形ABQP △PQC △ABC
1 1
×t×3t- ×6×8=22
2 2
92 2❑√69 2❑√69
t2= （不符合题意，舍去），（或者得t = ，t =- ，都不符合题意，舍去），
3 1 3 2 3
2❑√3 22
综上：t= 或t= ．
3 9
2❑√3 22
答，经过 秒或 秒，以A、B、P、Q为顶点的四边形的面积为22cm2
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