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专题 21.9 一元二次方程章末十大题型总结（培优篇）
【人教版】
【题型1 一元二次方程的相关概念辨析】..............................................................................................................1
【题型2 一元二次方程的解的估算】......................................................................................................................1
【题型3 配方法的应用】..........................................................................................................................................2
【题型4 根据判别式判断一元二次方程根的情况】.............................................................................................3
【题型5 根据一元二次方程根的情况求参数】.....................................................................................................4
【题型6 一元二次方程的一般解法】......................................................................................................................4
【题型7 换元法解一元二次方程】..........................................................................................................................5
【题型8 根的判别式与根与系数关系的综合】.....................................................................................................5
【题型9 一元二次方程中的阅读理解类问题】.....................................................................................................6
【题型10 一元二次方程的实际应用】......................................................................................................................8
【题型1 一元二次方程的相关概念辨析】
【例1】（2023春·湖南益阳·九年级校考期中）若方程 是关于x的一元二次方程，则
(k-1)x|k|+1-2x=5
k= ．
【变式1-1】（2023春·九年级课时练习）下列方程中属于一元二次方程的是（ ）
1 1
A．2(x+1) 2=x+1 B． + =0
x2 x
C．xy-x2=2 D．x2+3x=x2-2
【变式1-2】（2023春·河南开封·九年级统考期中）把方程x2+2（x-1）=3x化成一般形式，其一次项系数为
【变式1-3】（2023春·福建厦门·九年级厦门外国语学校校考期末）两个关于x的一元二次方程
ax2+bx+c=0和cx2+bx+a=0，其中a，b，c是常数，且a+c=0，如果x=2是方程ax2+bx+c=0的一
个根，那么下列各数中，一定是方程cx2+bx+a=0的根的是（ ）
A．2 B．-2 C．±1 D．1
【题型2 一元二次方程的解的估算】
【例2】（2023春·福建漳州·九年级校考期中）输入一组数据，按下列程序进行计算，输出结果如表：x 20.5 20.6 20.7 20.8 20.9
输
－13.75 －8.04 －2.31 3.44 9.21
出
分析表格中的数据，估计方程(x＋8)2－826＝0的一个正数解x的大致范围为（ ）
A．20.5＜x＜20.6 B．20.6＜x＜20.7
C．20.7＜x＜20.8 D．20.8＜x＜20.9
【变式2-1】（2023春·山东青岛·九年级统考期中）根据下列表格的对应值，由此可判断方程x2+12x﹣15=0
必有一个解x满足（ ）
x ﹣1 1 1.1 1.2
﹣
x2+12x﹣15 ﹣2 ﹣0.59 0.84
26
A．﹣1<x<1 B．1<x<1.1 C．1.1<x<1.2 D．﹣0.59<x<0.84
【变式2-3】（2023春·江苏·九年级校联考阶段练习）根据表格中的数据：
x 0.5 1 1.5 2 3
ax2+bx+c 28 18 10 4 ﹣2
估计一元二次方程ax2+bx+c＝6（a，b，c为常数，a≠0）一个解x的范围为（ ）
A．0.5＜x＜1 B．1＜x＜1.5 C．1.5＜x＜2 D．2＜x＜3
【题型3 配方法的应用】
【例3】（2023春·河北石家庄·九年级统考期末）已知a，b，c是不等边△ABC的三边长，满足a2＋b2＝
6a＋8b－25，则最长边c的范围（ ）
A．1＜c＜7 B．4≤c＜7 C．4＜c＜7 D．1＜c≤4
【变式3-1】（2023春·江苏扬州·九年级统考期中）新定义，若关于 的一元二次方程： 与
x m(x-a) 2+b=0，称为“同类方程”．如 与 是“同类方程”．现有关于
n(x-a) 2+b=0 2(x-1) 2+3=0 6(x-1) 2+3=0 x
的一元二次方程： 与 是“同类方程”．那么代数式
2(x-1) 2+1=0 (a+6)x2-(b+8)x+6=0
ax2+bx+2022能取的最大值是 ．
【变式3-2】（2023春·江苏苏州·九年级校考期中）已知实数x、y、z满足
x2-4x+ y2+4 y-2xy+z=2018，则实数z的最大值为 ．
【变式3-3】（2023春·四川内江·九年级校考期中）若a，b，c满足a+b+c=2√a+1+4√b+1+6√c-16，
则a(b+c)+b(a+c)+c(a+b)= ；
【题型4 根据判别式判断一元二次方程根的情况】
【例4】（2023春·山东烟台·九年级统考期末）在平面直角坐标系中，若直线y=-3x+b不经过第一象限，
则关于x的方程bx2+x+2023=0的实数根的个数为（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．1或2个
【变式4-1】（2023春·福建宁德·九年级统考期中）对于一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），下列说法：
①若a-b+c=0，则它有一根为－1；
②若方程ax2+c=0有两个不相等的实根，则方程ax2+bx+c=0必有两个不相等的实根；
③若c是方程ax2+bx+c=0的一个根，则一定有ac+b+1=0成立；
④若b=2a+3c，则一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根；其中正确的 ．
【变式4-2】（2023春·安徽亳州·九年级校考期中）已知关于x的一元二次方程x2-2mx+m2-1=0．
(1)判断方程的根的情况；
(2)若△ABC为等腰直角三角形，且其两条边长恰好是该方程的根，求m的值．
【变式4-3】（2023春·安徽安庆·九年级统考期中）如图四边形ACDE是证明勾股定理时用到的一个图形，
a、b、c是Rt△ABC和Rt△BED边长，易知AE=√2c，这时我们把关于x的形如ax2+√2cx+b=0的一
元二次方程称为“勾系一元二次方程”．请解决下列问题：
(1)求证：关于x的“勾系一元二次方程”ax2+√2cx+b=0必有实数根；
(2)若x=-1是“勾系一元二次方程”ax2+√2cx+b=0的一个根，且四边形ACDE的周长是12√2，求ab的值.
【题型5 根据一元二次方程根的情况求参数】
【例5】（2023春·山东烟台·九年级统考期中）关于x的一元二次方程kx2-3x+1=0有两个不相等的实数
根．
(1)求k的取值范围．
(2)是否存在k的值，使k为非负整数，且方程的两根均为有理数？若存在，请求出满足条件的k的值；若不
存在，请说明理由．
【变式5-1】（2023春·浙江金华·九年级校考期中）.已知关于x的方程(k-3)x2+2kx+k-2=0有解，则k
的取值范围是 .
【变式5-2】（2023春·山东威海·九年级校联考期末）定义新运算“*”：对于实数a，b，c，d有
[a,c] * [d,b]=ab+cd ，例如 [1,2] * [3,4]=1×4+2×3=10 ，若关于 x 的方程 [x2+1,x] * [5-2k,k]=0 有两
个实数根，则k的取值范围是（ ）
5 5 5 5
A．k≤ B．k≥ C．k≤ 且k≠0 D．k< 且k≠0
4 4 4 4
【变式5-3】（2023春·安徽·九年级统考期末）若实数a，b满足a-2ab+2ab2+4=0，则a的取值范围是
．
【题型6 一元二次方程的一般解法】
【例6】（2023春·重庆沙坪坝·九年级重庆八中校考期末）解下列方程：
(1)2x2-5x-1=0；(公式法)
(2)x2-8x-10=0；(配方法)
(3)2x2-2√2x-5=0；
(4)3 y(y-1)=2(y-1)．
【变式6-1】（2023春·安徽六安·九年级校考期中）请用两种不同的方法解一元二次方程：x2-4x-1=0．
【变式6-2】（2023春·宁夏吴忠·九年级校考期中）解方程
(1)x2-2x-8=0；
(2)2x2+4=7x；
(3) ．
2(x-3) 2=x2-9
【变式6-3】（2023春·山东泰安·九年级统考期末）用适当的方法解下列方程
(1)3x2=54；(2)(x+1)(3x-1)=1；
(3)4x(2x+1)=3(2x+1)；
(4)x2+6x=10．
【题型7 换元法解一元二次方程】
【例7】（2023春·四川乐山·九年级统考期中）材料：为解方程x4-x2-6=0，可将方程变形为
，然后设 ，则 ，原方程化为 …①，
(x2) 2 -x2-6=0 x2= y (x2) 2 = y2 y2- y-6=0
解得y =-2，y =3．
1 2
当y =-2时，x2=-2无意义，舍去；当y =3时，x2=3，解得x=±√3．
1 2
所以原方程的解为x =-√3，x =+√3．
1 2
问题：利用本题的解题方法，解方程 ．
(x2-x) 2 -4(x2-x)-12=0
【变式7-1】（2023春·浙江温州·九年级校联考期中）已知方程x2-10x+21=0的根为x =3，x =7，则方
1 2
程 的根是 ．
(2x-1) 2-10(2x-1)+21=0
【变式7-2】（2023春·黑龙江牡丹江·九年级统考期中）若 ，则 的值为
(x2+ y2)(x2+ y2-1)=12 x2+ y2
（ ）
A．-3 B．4 C．-3或4 D．3或4
【变式7-3】（2023春·湖北恩施·九年级校考期中）阅读下列“问题”与“提示”后，将解方程的过程补充
完整，求出x的值．
【问题】解方程： ．
x2-6x-2√x2-6x-8=0
【提示】可以用“换元法”解方程．
解：设 （t≥0），则有 ，
√x2-6x=t x2-6x=t2
原方程可化为：t2-2t-8=0，
【续解】
【题型8 根的判别式与根与系数关系的综合】
【例8】（2023春·安徽六安·九年级校考期末）已知关于x的一元二次方程2x2-4x+k-1=0有实数根．
(1)求k的取值范围．
(2)若此方程的两根为x ，x ，且x ，x 为矩形的两对角线长，求k．
1 2 1 21
(3)若k为正整数，此方程的两根为x ，x ，求x2+x2+ ．
1 2 1 2 x x
1 2
【变式8-1】（2023春·浙江嘉兴·九年级统考期末）已知关于x的一元二次方程x2-6x+m-3=0有两个大
于2的实数根，则实数m的取值范围是（ ）
A．7<m≤12 B．8<m<12 C．10<m<12 D．11<m≤12
【变式8-2】（2023春·山东烟台·九年级统考期末）实数k使关于x的方程x2+2kx+k2=x+1有两个实数根
．若 ，求 的值．
x ，x (3x -x )(x -3x )=19 k
1 2 1 2 1 2
【变式8-3】（2023春·山东烟台·九年级统考期末）已知关于x的一元二次方程x2-2mx+m2-m=3的两个
实数根为x ，x ，且x >x ．
1 2 1 2
(1)求m的取值范围；
(2)若m取负整数，求x -3x 的值；
1 2
(3)若该方程的两个实数根的平方和为18，求m的值．
【题型9 一元二次方程中的阅读理解类问题】
【例9】（2023春·湖南永州·九年级统考期末）阅读材料：各类方程的解法：求解一元一次方程时，根据
等式的基本性质，把方程转化为x=a的形式；求解二元一次方程组时，把它转化为一元一次方程求解；类
似的，解三元一次方程组，把它转化为解二元一次方程组求解；解一元二次方程，把它转化为两个一元一
次方程求解；解分式方程，把它转化为整式方程求解，由于“去分母”可能产生增根，所以解分式方程必
须检验。各类方程的解法不尽相同，但是它们有一个共同的基本数学思想——转化，把未知转化为已知，
把复杂转化为简单。
运用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程，例如，一元三次方程x3+2x2-3x=0，可以通过
因式分解把它转化为： ,解方程 ，可得方程 的解为
x(x2+2x-3)=0 x=0和x2+2x-3=0 x3+2x2-3x=0
x =0,x =-3,x =1，
1 2 3
(1)问题：方程2x3+10x2-12x=0的解是：x =0,x = ，x = .
1 2 3
(2)拓展：解方程组¿
(3)应用：如图，已知矩形草坪ABCD的长AD=21m，宽AB=8m，点P在AD上（AP>PD），小明把
一根长为27m的绳子一端固定在点B，把绳长拉直并固定在AD上的一点P处，再拉直绳长的另一端恰好
落在矩形的顶点C处，求DP的长．【变式9-1】（2023春·广东深圳·九年级统考期末）【综合与实践】：阅读材料，并解决以下问题．
【学习研究】：北师大版教材九年级上册第39页介绍了我国数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中关
于一元二次方程的几何解法：以x2+2x-35=0为例，构造方法如下：
首先将方程x2+2x-35=0变形为x(x+2)=35，然后画四个长为x+2，宽为x的矩形，按如图（1）所示
的方式拼成一个“空心”大正方形，则图中大正方形的面积可表示为 ，还可表示为四个矩形与
(x+x+2) 2
一个边长为2的小正方形面积之和，即 ，因此，可得新方程： ，
4x(x+2)+22=4×35+4 (x+x+2) 2=144
∵x表示边长，∴2x+2=12，即x=5，遗憾的是，这样的做法只能得到方程的其中一个正根．
【类比迁移】：小明根据赵爽的办法解方程x2+3x-4=0，请你帮忙画出相应的图形，将其解答过程补充
完整：
第一步：将原方程变形为x2+3x-4=0，即x（ ）=4；
第二步：利用四个面积可用x表示为_________的全等矩形构造“空心”大正方形（请在画图区画出示意图，
标明各边长），并写出完整的解答过程；
第三步：
【拓展应用】：一般地对于形如：x2+ax=b一元二次方程可以构造图2来解，已知图2是由4个面积为3
的相同矩形构成，中间围成的正方形面积为4．那么此方程的系数a=________，b=________，求得方程的
一个正根为_____________．
【变式9-2】（2023春·湖南长沙·九年级统考期末）请阅读下列材料：
问题：已知方程x2+x-1=0，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍．y y ( y) 2 y
解：设所求方程的根为y，则y=2x，所以x= ，把x= 代入已知方程，得 + -1=0；化简，得
2 2 2 2
y2+2y-4=0；故所求方程为y2+2y-4=0．
这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”；
请用阅读材料提供的“换根法”求新方程（要求：把所求方程化为一般形式）：
(1)已知方程x2+3x-2=0，求一个一元二次方程，使它的根分别为已知方程根的相反数；
(2)已知关于x的一元二次方程ax2-bx+c=0(a≠0)有两个不等于零的实数根，求一个一元二次方程，使它
的根分别是已知方程根的倒数．
【变式9-3】（2023春·河南南阳·九年级校考期末）阅读材料：
b c
材料1：若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根为x ，x ，则x +x =- ，x x = ．
1 2 1 2 a 1 2 a
材料2：已知一元二次方程x2-x-1=0的两个实数根分别为m，n，求m2n+mn2的值．
解：∵一元二次方程x2-x-1=0的两个实数根分别为m，n，
∴m+n=1，mn=-1，则m2n+mn2=mn(m+n)=-1×1=-1
根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：
(1)材料理解：一元二次方程2x2-3x-1=0的两个根为x ,x ，则x x -x -x =___________；
1 2 1 2 1 2
n m
(2)类比应用：已知一元二次方程2x2-3x-1=0的两根分别为m、n，求 + 的值．
m n
1 1
(3)思维拓展：已知实数s、t满足2s2-3s-1=0，2t2-3t-1=0，且s≠t，求 - 的值．
s t
【题型10 一元二次方程的实际应用】
【例10】（2023春·安徽池州·九年级统考期末）某段公路上有一条双向线隧道（可双向行驶，车辆不能行
驶在中间线上）隧道的纵截面由矩形的三边和一段抛物线构成．以AB所在的直线为x轴，AB的中垂线为
y轴建立如图所示的直角坐标系，已知隧道宽度AB=8米，隧道最高处距路面OE=6米，矩形的宽AD=2
米．
(1)求这条抛物线的表达式．(2)为了保证安全，交通部门要求行驶车辆的顶部（设为平顶）与隧道的顶部在竖直方向上的高度差至少为
0.5米，问该隧道能通过宽为3米的货车的最高高度为多少米？
【变式10-1】（2023春·吉林·九年级校考期中）“贵妃芒”芒果品种是广受各地消费者青睐的优质新品种，
在我国海南省广泛种植，水果商以每斤15元的价格从该省批发“贵妃芒”，再按每斤25元的价格到市区
销售，平均每天可售出60斤，经过调查发现，如果每斤“贵妃芒”的售价每降低1元，那么平均每天的销
售量会增加10斤，为了尽快减少库存，该水果商决定降价销售．设“贵妃芒”每斤的价格降低x元．
(1)若水果商销售“贵妃芒”每天盈利630元，则每斤“贵妃芒”的售价应降至多少元？
(2)若x的范围为1≤x≤9内的正整数，则水果商的最高利润与最低利润的差为________元．
【变式10-2】（2023春·云南昆明·九年级统考期末）2022年11月20日，第二十二届世界杯足球赛在卡塔
尔拉开了序幕．32支球队的激烈角逐吸引着全世界亿万球迷的目光．鹰眼系统能够追踪、记录和预测球的
轨迹，如图分别为足球比赛中某一时刻的鹰眼系统预测画面（如图1）和截面示意图（如图2），足球的飞
行轨迹可看成抛物线．足球离地面高度h（单位：m）与足球被踢出后经过的时间t（单位：s）之间的关系
如下表：
t/s 0 1 2 3 4 5 6 7 …
2 1
h/m 0 8 14 18 20 18 …
0 4
下列结论不正确的是（ ）
9
A．足球飞行路线的对称轴是直线t= B．足球在第9秒时落地
2
C．足球距离地面的最大高度为20米 D．足球被踢出5~7秒，距离地面的高度逐渐下降
【变式10-3】（2023春·浙江绍兴·九年级校联考期中）小林家的洗手台上有一瓶洗手液（如图1所示）．
如图2所示，当手按住顶部A下压位置时，洗手液瞬间从喷口B流出路线呈抛物线经过C与E两点．瓶子上
部分是由C´E和F´D组成的，其圆心分别为D，C，下部分是矩形CGHD，GH=10cm，CG=8cm，点E
到台面GH的距离为14cm，点B距台面的距离为16cm，且B，D，H三点共线．若手心距DH的水平距离
为2cm去接洗手液，则手心距水平台面的高度为 cm．
