文档内容
2022-2023 学年九年级数学上册章节同步实验班培优题型变式训练
（人教版）
21.1 一元二次方程
题型导航
一 题型1
一元二次方程的定义
元
二 题型2
含参数的一元二次方程
次
方
题型3
一元二次方程的一般形式
程
题型4
一元二次方程的解
题型变式
【题型1】一元二次方程的定义
1．（2020·全国·九年级期中）下列方程一定是一元二次方程的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据一元二次方程定义逐项判定即可．
【详解】解：A、 ，是一元二次方程，故此选项符合题意；
B、 ，化简得-10x=4，不是一元二次方程，故此选项不符合题；
C、 ，分母含有未知数，不是一元二次方程，故此选项不符合题；
D、 ，当m=-3时，是一元一次方程，不是一元二次方程，故此选项不符合题；
故选：A．
【点睛】
本题考查一元二次方程的定义，只含量有一个未知数，并且未知数的最高次数是2次的整式方程叫一元二
次方程．
【变式1-1】
2．（2022·江苏·苏州市吴中区城西中学八年级期中）若关于 的方程 是一元二次方
程，则 ________．
【答案】-1
【解析】
【分析】
根据一元二次方程的定义得出k−1≠0且|k|＋1＝2，再求出k即可．
【详解】
解：∵关于x的方程 是一元二次方程，
∴k−1≠0且|k|＋1＝2，
解得：k＝−1，
故答案为：−1．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的定义，能熟记一元一次方程的定义是解此题的关键，只含有一个未知数，并且
所含未知数的项的最高次数是2的整式方程，叫一元二次方程．
【题型2】含参数的一元二次方程1．（2022·全国·九年级单元测试）下列关于x的方程中，一定是一元二次方程的为（ ）
A．ax2+bx+c＝0 B．x2-2＝(x-7)2
C．2x+3x-5＝0 D．x2＝-1
【答案】D
【解析】
【分析】
根据一元二次方程的定义判断．
【详解】
A、当a＝0时，ax2+bx+c＝0不是一元二次方程，故此选项不符合题意；
B、x2-2＝(x-7)2整理后为 ，是一元一次方程，不是一元二次方程，故此选项不符合题意；
C、2x+3x-5＝0整理后为 ，是一元一次方程，不是一元二次方程，故此选项不符合题意；
D、x2＝-1，是一元二次方程，故此选项符合题意；
故选：D．
【点睛】
本题考查的是一元二次方程的定义，判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；
“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”．
【变式2-1】
2．（2022·云南·红河县教育科学研究室九年级期末）若关于x的方程 是一元二次方程，
则m的取值范围是__________．
【答案】 ##
【解析】
【分析】
根据一元二次方程存在的条件，求解即可．
【详解】
解：∵关于x的方程 是一元二次方程，
∴m－3≠0，
即m≠3，
故答案为：m≠3．
【点睛】本题考查了一元二次方程的概念，一元二次方程需满足：整式方程、化简后只含一个未知数且未知数最高
次数为2、二次项系数不为0．
【题型3】一元二次方程的一般形式
1．（2022·江苏·苏州草桥中学八年级期中）将方程 化成 的形式，则a，b，c的值
分别为（ ）
A．3，5，1 B．3，5，-1 C．3，-5，-1 D．3，-5，1
【答案】D
【解析】
【分析】
将一元二次方程化成一般式即可得出结论．
【详解】
解： 可化为 ，
∴a=3，b=-5，c=1．
故选：D．
【点睛】
本题考查一元二次方程的一般式，熟练掌握其形式是解决问题的关键．
【变式3-1】
2．（2022·上海·八年级专题练习）已知关于x的方程2x2+mx﹣1＝0是二项方程，那么m＝____．
【答案】0
【解析】
【分析】
根据方程的项数，可得答案．
【详解】
解：由题意，得
m＝0．
故答案为：0．
【点睛】本题考查了一元二次方程，利用方程的项数得出方程不含一次项是解题关键．
【题型4】一元二次方程的解
1．（2022·甘肃平凉·二模）已知 是一元二次方程 的一个根，则代数式 的值
为（ ）
A．2020 B．2021 C．2022 D．2023
【答案】C
【解析】
【分析】
根据方程的根求得 ，再将代数式变形为 即可解答；
【详解】
解：∵ 是一元二次方程 的一个根，
∴ ，
∴代数式 = = ，
故选： C．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的根，代数式求值；结合方程的形式将代数式变形是解题关键．
【变式4-1】
2．（2022·黑龙江·哈尔滨市第六十九中学校八年级期中）关于x的一元二次方程 的实数根中
有一个是4，则 _________．
【答案】8
【解析】
【分析】
根据方程解的定义把x=4代入方程，求出m，问题得解．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程 的实数根中有一个是4，
∴ ，
∴m=8．
故答案为：8
【点睛】
本题考查了一元二次方程的解的定义，一元二次方程的解又叫根，理解方程解的定义是解题关键．
专项训练
一．选择题
1．（2020·福建省泉州市培元中学九年级期中）下列方程：① ；② ；③
；④ ；⑤ ．是一元二次方程的是（ ）
A．①② B．①②④⑤ C．①③④ D．①④⑤
【答案】D
【解析】
【分析】
根据一元二次方程的定义进行判断．
【详解】
① 该方程符合一元二次方程的定义；
② 该方程中含有2个未知数，不是一元二次方程；
③ 该方程含有分式，它不是一元二次方程；
④ 该方程符合一元二次方程的定义；
⑤ 该方程符合一元二次方程的定义．
综上，①④⑤一元二次方程．
故选：D．
【点睛】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看
化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．
2．（2021·安徽·九年级专题练习）方程 是关于 的一元二次方程，则
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据一元二次方程的定义， 得到关于 的不等式， 解之即可 ．
【详解】
解：根据题意得：
，
解得： ，
故选 ．
【点睛】
本题考查一元二次方程的定义，解题关键是 正确掌握一元二次方程的定义．
3．（2021·湖南常德·九年级期中）对于一元二次方程 ，下列说法错误的是（ ）
A．二次项系数是2 B．一次项系数是3 C．常数项是1 D． 是它的一个根
【答案】B
【解析】
【分析】
首先将原式化为一般式，然后根据一元二次方程的定义以及解的定义进行分析即可．
【详解】
解：原方程一般式为： ，
∴二次项系数是2，一次项系数是-3，常数项是1，A、C正确，B错误，
当 时，左边=3，右边=3，左边等于右边，
∴ 是它的一个根，D正确，
故选：B．
【点睛】
本题考查一元二次方程的定义及其解的定义，理解一元二次方程的一般式，以及相应基本概念是解题关键．
4．（2019·安徽合肥·八年级期末）若关于x的一元二次方程x2﹣ax＝0的一个解是﹣1，则a的值为（ ）
A．1 B．﹣2 C．﹣1 D．2
【答案】C
【解析】
【分析】
把x＝﹣1代入方程x2﹣ax＝0得1+a＝0，然后解关于a的方程即可．
【详解】
解：把x＝﹣1代入方程x2﹣ax＝0得1+a＝0，解得a＝﹣1．
故选C．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
5．（2021·广东佛山·九年级阶段练习）若关于 的一元二次方程 有一个根为
0，则 （ ）
A．1 B．﹣3或1 C．﹣3 D．3或﹣1
【答案】A
【解析】
【分析】
本题根据一元二次方程的根的定义，一元二次方程的定义求解；把x=0代入原方程即可求得m的值．
【详解】
解：把x=0代入方程（m+3）x +5x+m +2m-3=0，
得m +2m-3=0，
解得m =-3，m =1；
∵（m+3）x +5x+m +2m-3=0是关于x的一元二次方程，
∴m+3≠0即m≠-3，
∴m=1．
故选：A．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的解的定义，解题时，逆用一元二次方程解的定义易得出m的值，但不能忽视一
元二次方程成立的条件m+3≠0，因此在解题时要重视解题思路的逆向分析．
6．（2020·全国·九年级单元测试）如果关于x的一元二次方程 有一个解是0，那么m的值是（ ）
A．﹣3 B．3 C．±3 D．0或﹣3
【答案】A
【解析】
【分析】
把x=0代入方程 中,解关于m的一元二次方程,注意m的取值不能使原方程对二次项
系数为0
【详解】
把x=0代入方程 中；
得： ；
解得 或 ；
当 时,原方程二次项系数 ,舍去,
故选A
【点睛】
此题主要考查一元二次方程的定义和方程的解，掌握方程解的含义是解决本题的关键.
二、填空题
7．（2021·上海·八年级期中）关于x的方程a(x+m)2+b=0的解是x=－2，x=1（a，m，b均为常数，
1 2
a≠0），则方程a(x+m+2)2+b=0 的解是__________.
【答案】x=-4,x=-1
【解析】
【分析】
把后面一个方程中的x+2看作整体，相当于前面一个方程中的x求解．
【详解】
解：∵关于x的方程a（x+m）2+b=0的解是x=-2，x=1，（a，m，b均为常数，a≠0），
1 2
∴方程a（x+m+2）2+b=0变形为a[（x+2）+m]2+b=0，即此方程中x+2=-2或x+2=1，
解得x=-4或x=-1．
故方程a（x+m+2）2+b=0的解为x=-4，x=-1．
1 2
故答案为x=-4，x=-1．
1 2
【点睛】
本题考查方程解的定义．注意由两个方程的特点进行简便计算．8．（2022·全国·九年级单元测试）将方程（3x－1）（2x＋4）＝2化为一般形式为____________，其中二
次项系数为________，一次项系数为________．
【答案】 3x2＋5x－3＝0 3 5
【解析】
【分析】
将方程展开，化简后即可求解．
【详解】
将 ，开展为一般形式为： ；
则可知一次项系数为5，二次项系数为3，
故答案为： ，3，5．
【点睛】
本题主要考查了将一元二次方程化为最简式以及判断方程各项系数的知识，熟记相关考点概念是解答本题
的关键．
9．（2021·河北·九年级专题练习）已知-1是方程x2+ax-b=0的一个根，则a2-b2+2b的值为________．
【答案】１
【解析】
【分析】
把x=-1代入方程x2+ax-b=0，得a+b=1，再代入a2-b2+2b中即可．
【详解】
解：∵-1是方程x2+ax-b=0的一个根，
∴1-a-b=0，
∴a+b=1，
a2-b2+2b=（a+b）（a-b）+2b=a-b+2b=a+b=1，
故答案为：1．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的解，一元二次方程的根一定满足该方程，将-1代入求出a+b的值是解题关键．
10．（2022·全国·九年级专题练习）已知实数m是关于x的方程x2-2x-5＝0的一根，则代数式2m2-4m+5值
为___．
【答案】15
【解析】
【分析】把m代入方程，可得m2﹣2m=5，再整体代入代数式即可求值．
【详解】
解：∵实数m是关于x的方程x2-2x-5＝0的一根，
∴m2-2m-5=0，m2-2m=5，
∴2m2-4m+5
=2(m2-2m)+5
=2×5+5
=15．
故答案为：15．
【点睛】
本题考查了利用一元二次方程的根求代数式的值，采用整体代入法是解决此类题的关键．
11．（2021·全国·九年级课时练习）关于x的一元二次方程 的常数项为0，则 的
值为_____．
【答案】-2
【解析】
【分析】
由题意常数项为0，可得m2－4=0，解出即可．
【详解】
由题意得：m2－4=0
解得：m=±2
∵ 为一元二次方程
∴m－2≠0即m≠2
∴m =﹣2
【点睛】
本题考查一元二次方程的概念，需要注意二次项系数a≠0．
12．（2020·四川·北大成都附属实验学校九年级阶段练习）设m是一元二次方程x2﹣x﹣2019＝0的一个根，
则m2﹣m+1的值为___．
【答案】2020.
【解析】
【分析】把x=m代入方程计算即可求解．
【详解】
解：把x＝m代入方程得：m2﹣m﹣2019＝0，即m2﹣m＝2019，
则原式＝2019+1＝2020，
故答案为2020.
【点睛】
本题考查一元二次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．
三、解答题
13．（2021·安徽·九年级专题练习）已知 是关于 的方程 的一个根，则 __
【答案】10
【解析】
【分析】
利用一元二次方程的解的定义得到 ，再把 变形为 ，然后利用整体代入的
方法计算 ．
【详解】
解： 是关于 的方程 的一个根，
，
，
．
故答案为 10 ．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的解： 能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解 ．
14．（2021·全国·九年级课时练习）已知实数a是一元二次方程 的根，求代数式
的值．
【答案】-1
【解析】
【分析】
利用方程解的定义得到 ，然后利用整体代入的方法计算代数式的值．【详解】
解：∵a是方程 的根，
∴ ，
∴ ，
∴原式 ．
【点睛】
本题主要考查了一元二次方程的解的定义，能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程
的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二
次方程的根．
15．（2021·北京·九年级专题练习）已知：关于 的方程 有实数根．
(1)求 的取值范围；
(2)若该方程有两个实数根，取一个 的值，求此时该方程的根．
【答案】(1) ；(2) 取 时，其根为 (答案不唯一).
【解析】
【分析】
(1)分m-2=0和m-2≠0两种情况，其中m-2≠0时根据根的判别式求解可得；
(2)所求范围内取一个m的值代入方程，再解之即可得．
【详解】
(1)∵关于x的方程（m-2）x2-3x-2=0有实数根，
∴①当 ，此时方程为-3x-2=0，方程解为x=- ，即 时满足题意要求；
②当 ，即 时， ，
解得 且
综上， 的取值范围是： .
故答案为： .
（2）取 ，此时方程为x2-3x-2=0，a=1，b=-3，c=-2，
b2-4ac=（-3）2-4×1×（-2）=17>0，
所以 .
故取 时，其根为 (答案不唯一)
【点睛】
本题主要考查根的判别式，解题的关键是掌握一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2-4ac有如下关
系：
①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；
②当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；
③当△＜0时，方程无实数根．
16．（2022·上海·八年级专题练习）已知关于x的方程（m﹣1）x2+（m﹣2）x﹣2m+1＝0．
(1)m为何值时，此方程是一元一次方程？求出该一元一次方程的解；
(2)m为何值时，此方程是一元二次方程？并写出这个一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项．
【答案】(1)m＝1；x＝﹣1
(2)m≠1；二次项系数为m﹣1，一次项系数为m﹣2，常数项为﹣2m+1
【解析】
【分析】
（1）当二次项系数为0，一次项系数不为0时，方程为一元一次方程，然后解方程即可；
（2）当二次项系数不为0时，方程是一元二次方程．
(1)
解：若关于x的方程（m﹣1）x2+（m﹣2）x﹣2m+1＝0是一元一次方程，
则m﹣1＝0且m﹣2≠0，
解得m＝1．
∴原方程变形为﹣x﹣2+1＝0
解得x＝﹣1．
(2)
解：当m≠1时，关于x的方程（m﹣1）x2+（m﹣2）x﹣2m+1＝0是一元二次方程，
此时该方程的二次项系数为m﹣1，
一次项系数为m﹣2，常数项为﹣2m+1．
【点睛】
本题考查了一元二次方程、一元一次方程的定义及解一元一次方程，难度不大．掌握一元一次方程及一元
二次方程的相关定义是解决本题的关键．
17．（2022·安徽·合肥育英学校二模）观察下列图形中小黑点个数与等式的关系，按照其图形与等式的规
律，解答下列问题：
＝ 第1个等式：
＝ 第2个等式：
＝ 第3个等式：
＝ 第4个等式：
(1)写出第5个等式：________．
(2)写出你猜想的第n个等式：________（用含n的等式表示）．
(3)若第n组图形中左右两边各有210个小黑点，求n．
【答案】(1)
(2)
(3)
【解析】
【分析】
（1）根据上面的等式规律写出第五个等式即可 ；
（2）根据等式规律总结出第n个等式；
（3）由（2）的规律解方程即可．
(1)
解：由题意可知：
1 +2=2+1 → 12+1×2=2×12+14+6=8+2 → 22+2×3=2×22+2
9+ 12= 18+3 → 32+3×4=2×32+3
16+ 20= 32+4 → 42+4×5=2× 42+4
所以第5个等式为：
52 +5×6=2×52+5，
即25+ 30= 50+5；
(2)
第n个等式为：
n2 +n(n+1)=2×n2+n；
(3)
由已知条件，得：
n2 +n(n+1)=2×n2+n=210，
即2n2 +n-210=0，
解得：n= 10或n= （舍去）．
【点睛】
本题考查了图形规侓的探索以及一元二次方程的解法，解题的关键是正确寻找规侓．
