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第 05 讲 一元二次方程 100 道计算题专项训练（10 大题型）
题型一 直接开方法解一元二次方程
题型二 配方法解一元二次方程
题型三 公式法解一元二次方程
题型四 因式分解法解一元二次方程
题型五 指定方法解一元二次方程
题型六 由一元二次方程的解求代数式值
题型七 配方法的应用
题型八 换元法解一元二次方程
题型九 一元二次方程根与系数的关系计算
题型十 一元二次方程的新定义运算
【经典计算题一 直接开方法解一元二次方程】
1．（24-25九年级下·全国·阶段训练）用直接开方法解方程．
(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) ．
【答案】(1) ， ；
(2) ， ；
(3) ；
(4) ， ．
【分析】本题主要考查了开平方法解一元二次方程，方程变形后利用平方根定义开方转化为两个一元一次
方程来求解即可．【详解】（1）解： ，
开方得： 或 ，
解得： ， ；
（2）解： ，
方程变形得： ，
开方得： ， ；
（3）解： ，
方程变形为： ，
方程开方得： ，
解得： ；
（4）解： ，
方程变形得： ，
开方得： ，
解得： ， ．
2．（24-25九年级上·河南南阳·期中）直接写出下列方程的根：
(1)
(2)
(3)
(4)
【答案】(1) ， ；(2) ， ；
(3) ， ；
(4) ， ．
【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的解法：直接开平方法，配方法，
公式法，因式分解法等．
（1）移项，整理成 ，然后利用直接开方法解一元二次方程即可；
（2）利用因式分解法解一元二次方程即可；
（3）利用公式法解一元二次方程即可；
（4）移项整理成一般形式，然后利用因式分解法解一元二次方程即可．
【详解】（1）解：
解得 ， ；
（2）解：
或
解得 ， ；
（3）解：
， ，解得 ， ；
（4）解：
或
解得 ， ．
3．（24-25九年级上·北京·课后作业）用直接开平方法解下列方程：
（1）（x﹣2）2=3；
（2）2（x﹣3）2=72；
（3）9（y+4）2﹣49=0；
（4）4（2y﹣5）2=9（3y﹣1）2．
【答案】（1）x =2+ ，x =2﹣ ；（2）x =9，x =﹣3；（3）y =﹣ ，y =﹣ ；（4）y =﹣
1 2 1 2 1 2 1
，y =1．
2
【分析】（1）直接开方，再移项、合并同类项即可；
（2）先方程两边都除以2，再直接开方；
（3）先把-49移项到方程右边，再直接开方；
（4）直接开方，再按解一元一次方程的方法求解．
【详解】（1）x﹣2=± ，
∴x =2+ ，x =2﹣ ；
1 2
（2）（x﹣3）2=36，
x﹣3=±6，
∴x =9，x =﹣3；
1 2
（3）9（y+4）2=49，∴（y+4）2= ，
∴y+4=± ，
∴y =﹣ ，y =﹣ ；
1 2
（4）∵2（2y﹣5）=±3（3y﹣1），
∴y =﹣ ，y =1．
1 2
【点睛】考查用直接开方法解一元二次方程，解这类问题要移项，把所含未知数的项移到等号的左边，把常数
项移项等号的右边，化成x2=a（a≥0）的形式，利用数的开方直接求解．
4．（24-25九年级上·全国·课后作业）用直接开平方法解方程：
(1) (x－3)2－9＝0;
(2) (2t－1)2＝16.
【答案】(1) x ＝0，x＝6 (2) 解：t＝ ，t＝－
1 2 1 2
【详解】试题分析：
（1）先移项，再用直接开平方法求解；
（2）用直接开平方法求解.
试题解析：
(1) (x－3)2－9＝0，移项得(x－3)2=9，直接开平方得x-3=±3，所以x＝0，x＝6；
1 2
(2) (2t－1)2＝16，直接开平方得2t-1=±4，所以t＝ ，t＝－ .
1 2
5．（24-25九年级上·全国·课后作业）用直接开平方法解下列方程：
(1) ； (2) ；
(3) ； (4) .
【答案】（1） ；（2） ；（3） ；（4） ，
.
【分析】(1)直接开方,再移项、合并同类项即可(2) 先把-9移项到方程右边,再直接开方
(3) 直接开方,再移项、合并同类项即可
(4)先把9移项到方程右边，再直接开方,再按解一元一次方程的方法求解
【详解】(1)∵ ，
∴
∴ .
(2)∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴
(3)∵ ，
∴ ，
∴ .
(4)∵ ，
∴ 或 ，
解得 ， .
【点睛】此题考查解一元二次方程-直接开平方法，掌握运算法则是解题关键
6．（24-25九年级上·全国·课后作业）用直接开平方法解下列方程：
(1) ; (2) ；(3) ; (4) .
【答案】(1) ；（2） ；（3） ；（4）
【分析】(1)依照直接开平方法解一元二次方程的方法及步骤,一步步解出方程即可
(2)依照直接开平方法解一元二次方程的方法及步骤,一步步解出方程即可;
(3)依照直接开平方法解一元二次方程的方法及步骤,一步步解出方程即可;(4)依照直接开平方法解一元二次方程的方法及步骤,一步步解出方程即可
【详解】(1) ， ，即 .
(2)∵ ，∴ ，
即 .
(3)∵ ，
∴ ，
∴ ，即 .
(4) ，解得 .
【点睛】此题考查解一元二次方程直接开平方法，掌握运算法则是解题关键
7．（24-25八年级·全国·阶段训练）利用直接开平方法解方程：
（1）（x﹣1）2＝3．
（2）x2﹣9＝0
（3）4（x﹣1）2﹣9＝0
（4）4（2x﹣1）2﹣36＝0
【答案】（1） ；（2） ；（3） ；（4）
【分析】（1）两边开平方得到 ，再解两个一元一次方程即可；
（2）先移项，再两边开平方即可；
（3）和（4）先移项，然后两边同时除以4，再两边开平方，解两个一元一次方程即可．
【详解】解：（1）
解得： ．（2）
解得： ．
（3）
解得： ．
（4）
解得： ．
【点睛】本题考查了解一元二次方程—直接开平方法：形如 或 的一元二次方程
可采用直接开平方的方法解一元二次方程．
8．（24-25九年级上·甘肃武威·阶段练习）用直接开平方法解方程．
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先移项，然后根据直接开平方法解一元二次方程即可求解；
（2）先移项，然后根据直接开平方法解一元二次方程即可求解．
【详解】（1）解： ，
，
解得 ；（2）解： ，
，
解得 ．
【点睛】本题考查了直接开平方法解一元二次方程，掌握直接开平方法解一元二次方程是解题的关键．
9．（2021九年级上·全国·专题练习）用直接开平方法解下列方程．
（1） ；
（2） ．
【答案】（1） ， ；（2） ，
【分析】（1）移项，得 ，根据平方根的定义，得 ．即 ， ．
（2）根据平方根的定义，得 ，即 ， ．
【详解】解：（1）
∴
∴
解得 ，
（2）
∴
∴ ，
【点睛】本题主要考查了用开方法解一元二次方程，解题的关键在于能够熟练掌握开方法.
10．（2021九年级上·全国·专题练习）用直接开平方法求下列各方程的根：
（1） ；
（2） ；
（3） ；（4） ．
【答案】（1） 或 ；（2） 或 ；（3） 或 ；（4） 或
【分析】（1）直接开平方法即可；
（2）先移项再将二次项系数化为1，再直接开平方法；
（3）先移项再将二次项系数化为1，再直接开平方法；
（4）先移项再将二次项系数化为1，再直接开平方法．
【详解】（1）∵ x2=361，
∴x =19或x =-19．
（2）∵2y2-72=0，
2 y 2=72，
y 2=36，
∴y =6或y =-6．
（3）∵5a2-1=0，
5 a 2=1，
a 2= ，
∴a = 或a =- ．
（4）∵-8m2+36=0，
-8 m 2=-36，
m 2= ，
∴m = 或m =- ．
【点睛】本题考查了直接开平方法解一元二次方程，掌握直接开平方法是解题的关键．
【经典计算题二 配方法解一元二次方程】
11．（2025九年级上·全国·专题练习）用配方法解方程：(1) ．
(2) ；
【答案】(1) ，
(2) ，
【分析】本题考查了一元二次方程的解法，根据配方法解方程即可，熟练掌握解一元二次方程的方法是解
题的关键．
（1）利用配方法解一元二次方程即可．
（2）利用配方法解一元二次方程即可．
【详解】（1）解：
或
， ．
∴
（2）解： ，
，
配方得 ，
∴
∴，
∴
， ．
∴
12．（24-25八年级下·安徽安庆·阶段练习）用配方法解方程：
(1)
(2) ．
【答案】(1) ，
(2) ，
【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握配方法解一元二次方程是解题的关键；
（1）先化为 ，然后根据配方法解一元二次方程，即可求解；
（2）先化为 ，然后根据配方法解一元二次方程，即可求解．
【详解】（1）解：
方程整理得： ，
配方得： ，
即 ，
开方得： 或 ，
，
（2）解：
方程整理得： ，配方得： ，
即 ，
开方得： 或 ，
，
13．（24-25八年级下·甘肃兰州·期末）用配方法解方程： ．
【答案】
【分析】本题主要考查了用配方法解一元二次方程，解题的关键是掌握配方法的步骤．
利用配方法逐步进行计算即可．
【详解】
解：
．
14．（24-25九年级上·广东广州·期中）用配方法解方程：
【答案】 ，
【分析】根据配方的基本步骤解答即可．
本题考查了配方法解方程，熟练掌握配方是解题的关键．
【详解】解：， ．
15．（24-25八年级下·北京房山·期末）用配方法解方程： ．
【答案】
【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的常用方法（直接开平方法、配方法、公
式法、换元法、因式分解法等）是解题关键．先将 变形为 ，再利用完全平方公式
配方为 ，再求解即可得．
【详解】解： ，
，
，
，
，
，
所以方程的解为 ．
16．（2025九年级上·全国·专题练习）用配方法解下列方程：
(1) ．
(2) ．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握配方法是解题的关键：
（1）移项，方程两边同时加上一次项系数一半的平方，配方后进行求解即可；
（2）先根据乘法法则展开，移项，方程两边同时加上一次项系数一半的平方，配方后进行求解即可．【详解】（1）解：移项，得 ．
配方，得 ，
即 ，
，
解得 ．
（2）整理，得 ．
配方，得 ，
即 ，
，
解得 ．
17．（25-26九年级上·全国·课后作业）用配方法解下列方程：
(1) ．
(2) ．
【答案】(1) ．
(2) ．
【分析】本题考查配方法解一元二次方程．
（1）先将系数化为1，后配方即可得到本题答案；
（2）先将常数项移动到等号右侧，再两边同时乘以2系数化为1，再进行配方直接开方即可求解．
【详解】（1）解： ，
二次项系数化为1，得： ，配方，得： ，
整理得： ，
∴ ，
；
（2）解： ，
移项，得 ，
二次项系数化为1，得 ，
配方，得 ，
整理得： ，
∴ ，
．
18．（24-25九年级下·全国·阶段训练）用配方法解下列方程：
(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) ．
【答案】(1) ， ；
(2) ， ；
(3) ， ；
(4) ， ．【分析】本题考查配方法解一元二次方程，根据配方法的步骤：方程二次项系数化为1，常数项移到右边，
然后方程两边加上一次项系数一半的平方，左边化为完全平方式，右边合并，开方求出，据此求出每一个
方程的解即可．
【详解】（1）解：方程变形得： ，
配方得： ，即 ，
开方得： 或 ，
解得： ， ；
（2）方程变形得： ，
配方得： ，即 ，
开方得： 或 ，
解得： ， ；
（3）方程变形得： ，
配方得： ，即 ，
解得： ， ；
（4）方程变形得： ，
配方得： ，即 ，
开方得： ，
解得： ， ．
19．（24-25九年级下·全国·阶段训练）用配方法解下列方程：
(1) ；
(2) ；(3) ；
(4) ；
(5) ；
(6) ．
【答案】(1) ；
(2) ；
(3) ， ；
(4) ， ；
(5) ， ；
(6) ， ．
【分析】此题考查了解一元二次方程-配方法．各方程二次项系数化为1，常数项移到右边，两边加上一次
项系数一半的平方，利用完全平方公式变形后，开方即可求出解．
（1）运用配方法的步骤解一元二次方程即可得解．
（2）运用配方法的步骤解一元二次方程即可得解．
（3）运用配方法的步骤解一元二次方程即可得解．
（4）运用配方法的步骤解一元二次方程即可得解．
（5）运用配方法的步骤解一元二次方程即可得解．
（6）运用配方法的步骤解一元二次方程即可得解．
【详解】（1）解： ，
，
，
，；
（2）解： ，
，
，
，
，
；
（3）解： ，
，
，
，
，
，
， ；
（4）解： ，
，
，
，
，
，， ；
（5）解： ，
，
，
，
，
，
， ；
（6）解： ，
，
，
，
，
，
， ．
20．（24-25九年级下·全国·阶段训练）用配方法解下列方程：
(1) ；
(2) ；
(3) ．
【答案】(1) ，(2) ，
(3) ，
【分析】本题考查了用配方法解一元二次方程，掌握配方法的步骤是解题的关键．
（1）方程二次项系数化为1，常数项移到右边，两边加上一次项系数一半的平方，利用完全平方公式变形
后，开方即可求出解．
（2）方程二次项系数化为1，常数项移到右边，两边加上一次项系数一半的平方，利用完全平方公式变形
后，开方即可求出解．
（3）将方程化为一般式，方程二次项系数化为1，常数项移到右边，两边加上一次项系数一半的平方，利
用完全平方公式变形后，开方即可求出解．
【详解】（1）解：方程变形得： ，
配方得： ，
即 ，
开方得： ，
， ；
（2）解：方程变形得： ，
配方得： ，
即 ，
开方得： ，
解得： ；
， ；（3）解：整理得： ，
配方得： ，
即 ，
开方得： ，
， ．
【经典计算题三 公式法解一元二次方程】
21．（24-25八年级下·安徽滁州·期末）解方程： ．
【答案】 ，
【分析】本题考查解一元二次方程，方程整理后运用公式法求解即可．
【详解】解：原方程可化为 ．
， ， ，
，
，
， ，
22．（24-25九年级上·湖南益阳·期中）用公式法解方程： ．
【答案】 ，
【分析】用公式法解一元二次方程，先确定系数 、 、 ，再计算判别式 ，最后代入求根公式求解．本
题主要考查用公式法解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的一般形式、判别式公式及求根公式是解题
的关键．
【详解】解：
， ， ，
，∴ ，
∴ ， ．
23．（24-25九年级上·吉林长春·期中）解方程： ．
【答案】 ，
【分析】本题考查了解一元二次方程；先求出 ，再由求根公式，即可求解；选用恰当
的方法解方程是解题的关键．
【详解】解： ， ， ，
，
，
， ．
24．（2025九年级上·全国·专题练习）用公式法解下列方程：
(1) ．
(2) ．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查用公式法解一元二次方程，熟练运用求根公式是解答本题的关键．
（1）将方程化为 ，再运用求根公式解答即可；
（2）将方程化为 ，再运用求根公式解答即可．
【详解】（1）解：原方程可化为 ．，
原方程有两个不相等的实数根，
，
．
（2）解：原方程可化为 ．
，
原方程有两个不相等的实数根，
，
．
25．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）解方程： ．
【答案】 ，
【分析】本题考查的是解一元二次方程，掌握一元二次方程的解法是解题关键．利用公式法解方程即可．
【详解】解： ，
其中， ， ， ，
，
，
， ．
26．（24-25九年级下·全国·阶段训练）用公式法解下列方程：
(1)
(2)
(3)【答案】(1) ，
(2) ，
(3)
【分析】本题考查了公式法解一元二次方程，解题关键是将方程化为一般形式．
（1）先把方程化成一般形式 ，再求出 ， ， 的值， 判断出△的符号， 再代入求根公式，
进行计算即可．
（2）通过移项化成一般形式 ，再求出 ， ， 的值， 判断出△的符号， 再代入求根公式；
（3）求出 ， ， 的值， 判断出△的符号， 再代入求根公式，
【详解】（1）解：原方程可化为 ，
， ， ，
，
，
， ；
（2） ，
移项，得 ；
， ， ，
，
，
， ；（3） ，
， ， ，
，
．
27．（25-26九年级上·全国·课后作业）用公式法解下列方程：
(1) ．
(2) ．
【答案】(1) ，
(2)
【详解】解：（1） ， ， ，
，
方程有两个不等的实数根 ，
， ．
（2）原方程可化为 ．
， ， ，
，
方程有两个相等的实数根 ．
28．（25-26九年级上·全国·课后作业）用公式法解方程： ．【答案】 ， ．
【分析】本题考查了公式法解一元二次方程。先确定a，b，c的值，再求 的值，判断出
，然后将a，b，c的值代入求根公式即可．
【详解】解： ， ， ，
，
此方程有两个不相等的实数根，
，
， ．
29．（24-25九年级下·全国·阶段训练）用公式法解下列方程：
(1)
(2)
(3)
【答案】(1) ，
(2) ，
(3) ，
【分析】本题考查了用公式法解一元二次方程，解题的关键是掌握公式法的步骤．
（1）首先得出 值，进而利用求根公式得出答案；
（2）方程整理后，首先得出 值，进而利用求根公式得出答案；（3）方程整理后，首先得出 值，进而利用求根公式得出答案．
【详解】（1）解： ；
， ， ，
△ ．
，
， ；
（2）解： ；
将原方程化为一般形式，得 ，
△ ，
．
， ；
（3）解： ．
将方程整理为一般形式，得 ，
， ， ，
△ ．
．
， ．
30．（25-26九年级上·全国·课后作业）用公式法解下列方程：
(1) ．
(2) ．【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了公式法解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握一元二次方程求根公式
．
（1）用公式法解一元二次方程即可；
（2）用公式法解一元二次方程即可．
【详解】（1）解： ，
∴方程有两个不相等的实数根
，
．
（2）解： ，
∴方程有两个不相等的实数根
，
．
【经典计算题四 因式分解法解一元二次方程】
31．（24-25八年级下·安徽阜阳·期中）解方程： ．
【答案】 ，
【分析】本题主要考查解一元二次方程，将方程移项后运用因式分解法求解即可．
【详解】解： ，整理，得 ，
因式分解，得 ，
，
，
解得 ， ．
32．（24-25八年级下·黑龙江黑河·期中）解方程：
【答案】 ，
【分析】本题考查了解一元二次方程，先把方程整理成一般式，再利用因式分解法解答即可，掌握解一元
二次方程的方法是解题的关键．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 或 ，
∴ ， ．
33．（2025·广东广州·二模）解方程： ．
【答案】 ，
【分析】本题考查了解一元二次方程，根据因式分解法解一元二次方程，即可求解．
【详解】解：
∴ ，
∴ 或 ，
解得： ，
34．（24-25八年级下·浙江金华·阶段练习）解方程：
(1)(2)
【答案】(1) ，
(2) ，
【分析】本题考查了解二元一次方程．
（1）用十字相乘法将方程左边进行因式分解，即可求解；
（2）移项后，进行因式分解，即可求解．
【详解】（1）解：
∴ 或
解得 ，
（2）
∴
∴ 或
解得 ，
35．（24-25八年级下·安徽六安·阶段练习）解一元二次方程 ．
【答案】 ，
【分析】本题考查了解一元二次方程——因式分解法，利用因式分解法进行求解即可．
【详解】解：
或 ，
解得 ， ．36．（24-25八年级下·浙江金华·期末）解方程：
(1) ；
(2) ．
【答案】(1) ，
(2) ，
【分析】本题考查了一元二次方程的解法，关键是掌握因式分解法解方程．
（1）运用因式分解法计算可以得解．
（2）运用因式分解法计算可以得解．
【详解】（1）解： ，
∴ ，
∴ ，
则 ， ，
解得： ， ；
（2） ，
∴
或
，
37．（24-25八年级下·北京平谷·期末）解方程：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)【分析】本题主要考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的方法是解题的关键．
（1）先移项，再利用提公因式法分解因式，进而解方程即可；
（2）把方程左边利用十字相乘法分解因式，再解方程即可．
【详解】（1）解：
或
解得 ；
（2）解：
或
．
38．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）解方程：
(1) ；
(2) ．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法是解答本题的关键．
（1）方程移项后运用因式分解法求解即可；
（2）方程运用因式分解法求解即可．
【详解】（1）解： ，
，，
，
解得： ；
（2）解： ，
，
解得，
39．（24-25九年级上·福建莆田·期中）用适当的方法求解下列方程：
(1) ；
(2) ．
【答案】(1) ，
(2) ，
【分析】本题考查的是一元二次方程的解法；
（1）把方程化为 ，再进一步求解即可；
（2）把方程化为 ，再进一步求解即可.
【详解】（1）解： ，
∴ ，
∴ 或 ，
解得： ， ；
（2）解： ，∴ ，
∴ ，
∴ 或 ，
解得： ， ；
40．（24-25九年级上·江苏常州·期中）解方程
(1)
(2)
【答案】(1) ；
(2) ．
【分析】本题主要考查了解一元二次方程．熟练掌握一元二次方程解法是解题关键．
（1）利用因式分解即可求解．
（2）移项，用平方差公式分解因式，即可求解．
【详解】（1）解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（2）解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ．【经典计算题五 指定方法解一元二次方程】
41．（24-25九年级下·全国·阶段训练）用适当方法解方程：
(1)
(2)
(3)
【答案】(1) ，
(2) ，
(3)
【分析】此题考查选择合适的方法解一元二次方程的能力，熟练掌握常用解法，直接开平方法，配方法，
因式分解法，求根公式法，是解题的关键，本题宜采用后两种方法．
（1）用公式法计算即可；
（2）运用提取公因式法将左边分解因式求解；
（3）用公式法计算即可．
【详解】（1）解： ，
，
，
， ．
（2）解： ，
，
，
， ．（3）解： ，
，
．
42．（24-25八年级下·江苏苏州·期中）用适当的方法解下列方程：
(1)
(2)
【答案】(1) ，
(2) ，
【分析】本题考查了利用直接开平方的方法以及因式分解的方法求解一元二次方程，准确计算为解题关键．
（1）利用直接开平方的方法求解方程即可；
（2）先整理成一般式，再利用因式分解的方法求解即可．
【详解】（1）解： ，
，
，
解得 ， ；
（2） ，
整理成一般式，得： ，
，
则 或 ，
解得 ， ．
43．（24-25八年级下·山东泰安·期中）用适当的方法解方程
(1) ；(2) ；
(3) ；
(4) ．
【答案】(1) ，
(2)方程没有实数根
(3) ，
(4)
【分析】本题考查解一元二次方程，根据方程特点选择合适的方法是解题的关键．
（1）运用直接开方法求解即可；
（2）运用公式法求解即可；
（3）将方程整理后，运用公式法求解即可；
（4）运用因式分解法求解即可．
【详解】（1）解： ，
变形为： ，
开方，得： ，
∴ ， ．
（2）解： ，
∵ ， ， ，
∴ ，
∴该方程没有实数根．
（3）解： ，
整理，得 ，∵ ， ， ，
∴ ，
∴该方程有两个不相等的实数根，
，
∴ ， ．
（4）解： ，
因式分解，得 ，
∴ ，
∴ ．
44．（24-25八年级下·内蒙古呼和浩特·期中）用指定方法解下列方程：
(1) ；（配方法）
(2) ；（公式法）
【答案】(1) ，
(2) ，
【分析】本题主要考查的是一元二次方程的解法，掌握直接开平方法、公式法、配方法、因式分解法解一
元二次方程的一般步骤是解题的关键．
（1）先移项，然后运用完全平方公式配方求解即可；
（2）先把方程化成一般式，然后运用根的判别式判定根的存在，再运用根的判别式求解即可．
【详解】（1）解： ，
，，
，
所以 ．
（2）解： ，
，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
45．（24-25八年级下·山东东营·期中）用适当的方法解下列方程：
(1) ；
(2) ；
(3) ．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查了解一元二次方程，根据方程的特点灵活选用恰当的方法进行求解是解题的关键．
（1）根据直接开平方法进行求解即可；
（2）根据配方法进行求解即可；
（3）根据因式分解法进行求解即可．
【详解】（1） ，；
（2） ，
，
，
，
，
．
（3）
，
或 ，
．
46．（2025九年级上·全国·专题练习）用适当的方法解下列方程：
(1) ．
(2) ．
(3) ．
(4) ．
【答案】(1) ，
(2) ，(3) ，
(4) ，
【分析】（1）移项开方．
（2）移项配方开方．
（3）整理方程后配方开方．
（4）先展开后配方开方．
【详解】（1）解：原方程可化为 ，
两边开平方，得 ，
， ．
（2）解：移项，得 ，
配方，得 ，即 ，
两边开平方，得 ，
， ．
（3）解：原方程可化为 ，
配方，得 ，
两边开平方，得 ，
， ．
（4）解：原方程可化为 ，配方，得 ，即 ，
两边开平方，得 ，
， ．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，根据不同方程特点选合适的解法是解题的关键．
47．（2025九年级上·全国·专题练习）用适当的方法解一元二次方程：
(1) ．
(2) ．
【答案】(1) ，
(2) ，
【分析】本题主要考查了一元二次方程的解法．
（1）用公式法求解即可；
（2）用开平方法求解即可．
【详解】（1）解：
， ， ，
，
∴
， ．
（2）
整理，得 ，，
， ．
48．（2025九年级上·全国·专题练习）用适当的方法解下列方程：
(1) ．
(2) ．
(3) ．
(4) ．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【详解】解：（1）移项，得 ，开方，得 ，解得 ．
（2）配方，得 ，即 ， 或 ，解得 ．
（3） ，
，解得 ．
（4）移项，得 ，
因式分解，得 ，
解得 ．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解法——直接开方法、配方法、公式法、因式分解法，解题关键在于要根据题目特点灵活选取合适的解法。
49．（24-25八年级下·辽宁大连·期末）（1）用配方法解方程：
（2）用公式法解方程：
【答案】（1） ， ；（2） ，
【分析】本题考查解一元二次方程，正确计算是解题关键．
（1）按题干要求用配方法求解即可；
（2）按题干要求用公式法求解即可， ．
【详解】解：（1） ，
，
，
，
，
解得 ， ；
（2） ，
， ， ，
，
，
， ．
50．（24-25九年级上·山东青岛·期中）解下列方程组
(1) ；(2) ；
(3) ．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查解一元二次方程-因式分解法，配方法，解题的关键是掌握因式分解法解方程，配方法解
方程．
（1）利用配方法解一元二次方程，即可求解；
（2）利用因式分解法解一元二次方程，即可求解；
（3）利用因式分解法解一元二次方程，即可求解．
【详解】（1）解： ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
解得：
（2）解：
，
或 ，
解得：
（3）解：∴
，
或 ，
解得：
【经典计算题六 由一元二次方程的解求代数式值】
51．（24-25九年级上·全国·期中）已知 是方程 的根，则代数式 的值为
（ ）
A． B．2 021 C． D．2 022
【答案】C
【分析】本题考查一元二次方程的根，由题意可知，m是方程 的根，因此 ．
将代数式 中的 用该等式替换，即可化简求值．
【详解】解：∵m是方程 的根，
∴ ，
∴ ．
∴
故选C．
52．（25-26九年级上·全国·课后作业）若 是关于x的一元二次方程 的根，则
的值是（ ）
A．2025 B．2025 C．2024 D．2025
【答案】C
【详解】把 代入 ，得 ， ，
【点睛】考察了根据一元二次方程的根求参数，注意代数式的正确变形是关键
53．（24-25八年级上·全国·期中）已知m是方程 的一个根，则 的值为（ ）A． B．4 C．1 D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了一元二次方程的解，多项式乘以多项式化解求值，根据m是方程 的
一个根，可得出 ，再化简代数式，整体代入即可求解．
【详解】解：∵m是方程 的一个根，
∴
∴
∴
．
故选：C．
54．（24-25八年级下·浙江舟山·期末）已知关于 的一元二次方程 的一个根是 ，则
（ ）
A． B．1 C．2 D．
【答案】D
【分析】本题考查了一元二次方程的解，解一元一次方程，熟练掌握知识点是解题的关键．把 代入
，解方程即可．
【详解】解：把 代入 ，
得： ，
解得， ，
故选：D．
55．（24-25八年级下·浙江温州·期中）若 是关于 的方程 的一个根，则 的
值是（ ）
A．2027 B．2026 C．2025 D．2024
【答案】C
【分析】本题考查了一元二次方程的根的定义，解题的关键是利用根的定义得到关于 的等式，再对所求
式子进行变形求值．因为 是方程 的根，所以将 代入方程可得 ，变形得到 ，再将其
代入所求式子 进行计算．
【详解】已知 是方程 的一个根，把 代入方程 中，
根据方程根的定义，方程左右两边相等，可得：
，移项得到 ，
对于式子 ，可变形为 ，
把 代入变形后的式子：
所以 的值是2025，
故选：C．
56．（2025·四川南充·二模）设 是方程 的一个实数根，则 的值为 ．
【答案】4050
【分析】本题考查一元二次方程的解、代数式求值，根据方程的解满足方程得到 ，进而代值
求解即可．
【详解】解：∵ 是方程 的一个实数根，
∴ ，则 ，
∴ ，
故答案为：4050．
57．（2025九年级上·全国·专题练习）若 是方程 的一个根，则 的值为
．
【答案】
【分析】本题考查了一元二次方程根的解和代数式求值，解决此题的关键是要熟练掌握整体代入求值．把
代入原方程，再整体代入 即可．【详解】解：∵ 是方程 的一个根，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
58．（2025·吉林长春·三模）若a是方程 的一个根，则 的值为 ．
【答案】2024
【分析】本题主要考查了一元二次方程的解，求代数式的值，利用整体代入思想解答是解题的关键．
根据一元二次方程的解的定义可得 ， ，然后代入计算，即可求解．
【详解】解：∵a是方程 的一个根，
∴ ，
∴ ， ，
∴
故答案为：2024．
59．（24-25九年级上·四川南充·阶段练习）已知 是关于 的方程 的一个根，
(1)求 的值；
(2)求 ．
【答案】(1)(2)
【分析】本题考查了一元二次方程的根、分式的化简与求值，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
（1）代入 到方程 得到关于 的方程，即可求解；
（2）利用分式的运算法则化简式子，再代值计算即可．
【详解】（1）解：代入 到方程 得， ，
解得： ；
（2）解：
，
代入 ，原式 ．
60．（24-25八年级下·北京·期中）已知 是方程 的根，求代数式 的
值．
【答案】
【分析】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的
解．先根据一元二次方程根的定义得到 ，再把所求代数式变形，然后利用整体代入的方法计算．
【详解】解： 是方程 的根，
，．
【经典计算题七 配方法的应用】
61．（24-25九年级上·湖南益阳·期中）对于 取任意实数，多项式 的值是一个正数，则 的取
值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了配方法的应用，将式子变形为 ，再由 并结合题意可得
，求解即可，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
【详解】解： ，
∵对于 取任意实数，多项式 的值是一个正数， ，
∴ ，
∴ ，
故选：A．
62．（24-25九年级下·全国·阶段训练）若关于 的一元二次方程： 与 ，称为
“同族二次方程”．如 与 是“同族二次方程”．现有关于 的一元二次方程：
与 是“同族二次方程”．那么代数式 能取的最小值是
（ ）
A．2018 B．2020 C．2025 D．2030
【答案】B
【分析】本题考查一元二次方程，配方法的应用，根据新定义，得到 ，可以写成
，将 展开，求出 的值，利用配方法求出 的最小值即可．
熟练掌握新定义，是解题的关键．【详解】解：由题意，得：第二个方程 可以写成 的形式，展开得：
∴ ， ， ，
解得： ，
∴ ，
∴ 能取的最小值是2020；
故选B．
63．（2025·山东淄博·一模）已知 为实数，设 ，则 的最大值是（ ）
A． B． C．5 D．6
【答案】B
【分析】本题考查了勾股定理、两点之间的距离，掌握在平面直角坐标系中求出两点间的距离的公式是解
题的关键，先理解题意，运用配方法把被开方数变形，再根据三角形的三边关系进行分析，以及两点间的
距离公式列式计算，即可作答．
【详解】解：依题意， ，
上式表示 与 之间的距离，
，
上式表示 与 之间的距离，
由勾股定理得 ，
结合三角形三边关系得 的最大值是点B和点C的距离，即 的最大值 ，
故选：B．
64．（24-25八年级下·陕西西安·期中）若多项式 ．那么 的最小值是．
【答案】
【分析】本题考查了配方法的应用，利用配方法把原式转化为 ，进而根据完
全平方式是非负数即可求解，掌握配方法的应用是解题的关键．
【详解】解：
，
当 且 时， 的最小值，最小值为 ，
故答案为： ．
65．（2025九年级上·全国·专题练习）已知 是一元二次方程 的一个根，则 的最
大值为 ； 的最小值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了一元二次方程的解的定义，解题时，注意配方法的应用和非负数的性质的运用．
把 代入方程计算求出 ， 的取值范围即可得到 的最大值， 的最小值．
【详解】解： 是一元二次方程 的一个根，
，
，
．
，
，同理， ．
综上所述， 的最大值是 ， 的最小值是 ．
故答案为： ， ．
66．（24-25九年级上·江苏南通·阶段练习）已知实数 ， 满足 ，则代数式 的最小
值等于 ．
【答案】12
【分析】本题考查了配方法求最小值的运用，掌握配方法是解题的关键．
根据已知条件得到 ， ，代入代数式，运用配方法得到 ，当 时取
得最小时，由此计算即可．
【详解】解：实数 ， 满足 ，
∴ ， ，
∴代数式 变形得到,
，
∵ ，
∴ ，
当 时取得最小时，
∴ ，
∴最小值为
故答案为：12 ．
67．（24-25八年级下·广西崇左·期末）【阅读理解】“配方法”是一种数学思想方法，利用这种方法可以
解决很多数学问题．下面是小明同学用配方法解一元二次方程 的过程：解：移项，得 ．
配方，得 ，
所以 ．
直接开平方，得 ，
所以 ， ．
【问题解决】
（1）小明配方的依据是
A．完全平方公式 B．平方差公式 C．多项式与多项式乘法法则
（2）用配方法解方程： ．
【拓展应用】
（3）已知x是实数，求代数式 的最小值．
【答案】（1）A；（2） ；（3）4．
【分析】本题主要考查利用完全平方公式、运用配方法解一元二次方程、运用配方法求最值等知识点，灵
活运用完全平方公式成为解题的关键．
（1）根据运算过程即可解答；
（2）结合配方法将原式变形为 ，再利用直接开平方法计算即可；
（3）利用配方法将原式化简为 ，结合 ，即有 ，则当 时，代数式
的最小值是4．
【详解】解：（1）方程两边同时加上1，方程左边变成 ，即 ，右边变成2，则依据是完全
平方公式．
故选：A．
（2） ，
移项得： ，二次项系数化为1得： ，
配方得 ，即 ，
直接开平方得 ，
所以 ；
（3） ，
∵无论x取什么数，都有 ，
，
∴当 时， 有最小值4，即代数式 的最小值是4．
68．（24-25八年级下·江西萍乡·期末）阅读与思考
配方法是数学中一种重要的思想方法，它是指将代数式的某一部分通过恒等变形化为一个完全平方式或几
个完全平方式的和的形式，这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题，在
因式分解、最值问题中有着广泛的应用．
例如：①用配方法因式分解：
；
②求代数式 的最小值：
，
∵ 是非负数，即 ，
∴ ，则代数式 的最小值是 ．
请根据上述材料解决下列问题：
(1)用配方法因式分解： __________；
(2)求 的最小值；(3)若 ，求 的最小值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（ ）仿照①因式分解即可；
（ ）仿照②解答即可；
（ ）由已知得 ，即得 ，再仿照②解答即可求解；
本题考查了配方法的应用，因式分解，非负数的性质，掌握配方法是解题的关键．
【详解】（1）解：
，
故答案为： ；
（2）解： ，
∵ 是非负数，即 ，
∴ ，
∴代数式 的最小值是 ；
（3）解：∵ ，
∴ ，
∴ ，∵ 是非负数，即 ，
∴ ，
∴ 的最小值为 ．
69．（24-25九年级上·辽宁锦州·期中）阅读材料：数学课上，吴老师在求代数式 的最小值时，
利用公式 ，对式子作如下变形： ，因为
，所以 ．所以当 时， 有最小值，最小值为1．通过阅读，解下列问
题：
(1)代数式 的最小值为；
(2)求代数式 的最大或最小值．
【答案】(1)
(2)最大值为10
【分析】本题考查配方法的应用，熟练掌握配方法，以及完全平方的非负性，是解题的关键：
（1）仿照题干的方法进行求解即可；
（2）仿照题干的方法进行求解即可．
【详解】（1）解：
；
∵ ，
∴ ，
∴当 时， 有最小值为 ；
（2）；
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴当 时， 有最大值为10．
70．（24-25九年级上·贵州六盘水·期末）阅读以下材料：
将代数式 进行如下变形：
．
，
．
当 时， 存在最小值2．
根据以上材料，完成下列问题：
(1) _____ ；
(2)求代数式 的最小值；
(3)求代数式 的最值．
【答案】(1)4，2．
(2)1
(3)最大值为 ．
【分析】本题主要考查了完全平方公式的应用，非负数的性质，将多项式变形为完全平方式，再利用非负
数的性质解答是解题的关键．
（1）根据完全平方公式的常数项为一次项系数绝对值一半的平方即可得出结论，（2）将多项式加 再减 ，利用配方法后可得结论；
（3）将多项式改写为 ，再配方可得结论．
【详解】（1） ，
故答案为：4，2．
（2）
，
．
当 时， 存在最小值1．
（3） ，
，
，
当 时，代数式 有最大值 ．
【经典计算题八 换元法解一元二次方程】
71．（2025九年级上·全国·专题练习）解方程： ．
解：设 ，则原方程可化为 ，得 ．
当 时，即 ，解得： ；
当 时，即 ，解得： ．
故原方程的解为 ．上述解法称为“整体换元法”．请用“整体换元法”解方程： ．
【答案】
【分析】本题主要考查解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的基本方法以及整体换元思想是解题的
关键．根据“整体换元法” 设 ，则原方程可化为： ，解新的一元二次方程，解出未
知数后代入即可求解原方程的解．
【详解】解：设 ，则原方程可化为 ，
，解得 ．
当 时，即 ，解得： ；
当 时，即 ，解得： ．
故原方程的解为 ．
72．（25-26九年级上·全国·课后作业）【例】解方程 ．
解：设 ，
则原方程可化为 ，
解得 ．
当 时， ，解得 ；
当 时， ，解得 ．
综上所述，原方程的解为 ．
上述解法称为“整体换元法”．
请运用“整体换元法”解方程：
(1) ．
(2) ．
【答案】(1)
(2)【分析】本题主要考查解一元二次方程的方法，掌握解一元二次方程方程的基本方法，是利用整体换元法
解方程的关键．
（1）根据“整体换元法” 设 ，则原方程可化为： ，解新的一元二次方程，解出未知
数后代入即可求解原方程的解．
（2）根据“整体换元法” 设 ，则原方程可化为： ，解新的一元二次方程，解出
未知数后代入即可求解原方程的解．
【详解】（1）解：设 ，
则原方程可化为 ，解得 ．
当 时， ；
当 时， ，此方程无解．
综上所述，原方程的解为 ．
（2）解：设 ，则原方程可化为 ，
解得 ．
当 时， ；
当 时， ．
综上所述，原方程的解为 ．
73．（24-25九年级上·全国·阶段练习）阅读下列材料，并用相关的思想方法解决问题．
材料：为解方程 ，可将方程变形为 ，
然后设 ，则 ，原方程化为 ，
解得 ， ，
当 时， 无意义，舍去；当 时， ，解得 ；
所以原方程的解为 或 ．
问题：
(1)已知方程 ，若设 ，则原方程化为一般式为 ；
(2)利用以上学习到的方法解下面方程：
【答案】(1)
(2) 或
【分析】本题考查换元法解一元二次方程，理解题中求解过程，熟练掌握换元法和转化思想的运用是解答
的关键．
（1）根据题意可得 ，然后去分母即可化为一般式；
（2）仿照材料中的求解过程，利用换元法求解即可．
【详解】（1）解：根据题意可得 ，化为一般式为 ，
故答案为： ；
（2）解：设 ，则原方程化为 ，
整理，得 ，解得 或 ，
当 时，即 ，解得 或
当 时，即 ，方程无解；
综上所述，原方程的解为 或 ．
74．（24-25八年级下·安徽六安·阶段练习）【阅读材料】
方程 是一个一元四次方程，我们可以把 看成一个整体，设 ，则原方程可化为 ①，
解方程①可得 ， ；
当 时， ，即 ， ；
当 时， ，即 ， ；
原方程的解为 ， ， ， ．
【解决问题】
(1)在由原方程得到方程①的过程中，是利用换元法达到_______的目的（选填“降次”或“消元”），体
现了数学的转化思想；
(2)已知 ，求 的值；
(3)请仿照材料中的方法，解方程： ．
【答案】(1)降次
(2)
(3)
【分析】本题考查了换元法解一元二次方程，熟练掌握换元法解一元二次方程的方法是解题的关键．
（1）根据题意可得换元法达到降次的目的；
（2）仿照题中所给的方法以及根据一元二次方程的解法即可求解；
（3）仿照题中所给的方法以及根据一元二次方程的解法即可求解．
【详解】（1）解：利用换元法达到降次的目的，体现了数学的转化思想
（2）解：设 ，则原方程可化为
整理，得
解得 ，
又∵（3）解：设 ，则原方程可化为
解得 ，
当 时， ，解得 ，
当 时， ，解得 ，
原方程的解为 ．
75．（24-25九年级下·四川资阳·阶段练习）已知 ，求 的值．
【答案】3
【分析】本题考查了代数式求值，用换元法解一元二次方程，解题的关键是掌握换元法．
设 ，可得一元二次方程 ，解一元二次方程可得答案．
【详解】解：设 ，则原方程等价于 ，
∴ ，
解得 或 （不符合题意，舍取），
∴ ．
76．（24-25八年级下·安徽安庆·阶段练习）阅读材料：为解方程 ，我们可以将
视为一个整体，然后设 ，则 ，原方程化为 .
解得 ，
当 时， ，∴ .∴ ；
当 时， ，∴ .∴ .
∴原方程的解为 ， ， ， ；
请利用以上知识解决下列问题：如果 ，求 的值.
【答案】
【分析】将 视为一个整体，然后设 则原方程化为 ．求得方程的解，进一步
分析探讨得出答案即可．
此题考查换元法解一元二次方程，掌握整体的代换方法是解决问题的关键．
【详解】解： ，
设 ，
则原方程化为 ，
即 ，
，
解得 ， ，
∵ 不能是负数，
∴
77．（24-25八年级下·安徽合肥·阶段练习）阅读与思考：
下面是八（1）班学习小组研究性学习报告的部分内容，请认真阅读并完成相应任务．研究一元二次方程
的新解法讨论一种关于一元二次方程的新解法一一消去未知数的一次项，将原方程转化为可以开平方的形
式，将其开平方，从而进一步求得方程的解．
【例如】解一元二次方程 ，
设 （m为常数），
将原方程化为 ，①
方程①整理，得 ，②
令 ，解得 ．
当 时， ，方程②化为 ，解得 ，
___________， ___________．
任务：
(1)直接写出材料中“ ”部分方程的解 ___________， ___________．
(2)按照材料中“例如”的方法，解一元二次方程 ．
【答案】(1) ， ；
(2) ，
【分析】本题考查一元二次方程的解法，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，
（1）根据材料中的方法求出解即可；
（2）设 （m为常数），将原方程化为 ，方程整理，得
，令 解得 ，当 时， ，方程化为
，解得 ， ，即可求出答案．
【详解】（1）解：解一元二次方程 ，
设 （m为常数），
将原方程化为 ，①
方程①整理，得 ，②
令 ，解得 ．
当 时， ，
方程②化为 ，解得 ，
，故答案为： ， ；
（2）设 （m为常数），
将原方程化为 ①
方程①整理，得
②
令 解得 ，
当 时， ，
方程②化为
解得 ， ，
， ．
78．（24-25八年级下·安徽淮北·阶段练习）阅读下列材料：
解方程： ．
设 ，那么 ，于是原方程可变为 ①，
解这个方程得： ， ．
当 时， ，∴ ；
当 时， ，∴ ，
所以原方程有四个根： ， ， ， ．
根据上述解方程的方法，解决下列问题：
(1)解方程 时，若设 ，直接写出用 表示该方程；
(2)若 ，求 的值；
(3)若四个连续正整数的积为120，求这四个连续正整数．【答案】(1)
(2)
(3)2，3，4，5
【分析】本题考查了换元法解一元二次方程，解题的关键是掌握换元法的解题步骤．
（1）根据换元法，可得答案；
（2）根据换元法，可得答案；
（3）根据换元法，可得答案．
【详解】（1）解：设 ，则 ；
（2）解：设 ，则 ，
，即 ，
解得 ，则 或 （舍去）
；
（3）解：设最小的正整数为 ，则其它三个正整数分别为 ， ， ，
根据题意，得 ，
，
设 ，则 ，
，
解得 ， （舍去）
，即 ，
解得 ， （舍去），
这四个连续的正整数为2，3，4，5．
79．（24-25九年级上·江苏无锡·期中）我们已经学习了一元二次方程的多种解法，其基本思路是将二次方程通过“降次”转化为一次方程求解．按照同样的思路，我们可以将更高次的方程“降次”，转化为二次
方程或一次方程进行求解．例如，
①换元法求解四次方程： ．
设 ，则原方程可变为 ，解得 ， ，
当 时，即 ， ；
当 时，即 ， ；
原方程有四个根： ， ， ， ．
②因式分解法求解三次方程： ．
将其变形为 ，
，
，
，
，
或 ，
原方程有三个根： ， ， ．
(1)仿照以上方法解方程：
① ；
② ；
(2)已知： ，且 ，求 的值．
【答案】(1)① ， ；②原方程有三个根： ， ，
(2)
【分析】本题考查根的判别式，解一元二次方程—配方法，换元法，因式分解法，解题的关键是学会模仿
例题解决问题．
（1）模仿例题解决问题即可；
（2）求出 的值，利用降次思想求解即可．【详解】（1）解：①设 ，则原方程可变为 ，解得 ，
当 时，即 ，∴无解（舍去）
当 时，即 ， ， ．
②将其变形为：
，
，
或
原方程有三个根： ， ， ．
（2） ，
，且
，
原式 ．
80．（24-25九年级上·贵州铜仁·期末）阅读下列材料：解方程 ，
解：设 ，则原方程化为 ，
解得 ， ．
当 时， ，解得： ；
当 时， ，解得 ．
原方程的解为： ， ， ， ．
以上解一元二次方程的方法叫做换元法，通过换元法达到了降次或者简化方程的目的，这体现了数学中的
转化思想．
(1)请用上述方法解下列方程： ；
(2)已知实数 ， 满足 ，求 的值．
【答案】(1) ， ；
(2) ．
【分析】本题主要考查了运用换元法解方程．解决本题的关键是读懂阅读材料中的解题思路，通过换元的
方法降低方程的次数，从而达到简化方程的目的，使解方程更容易．
（1）设 ，则原方程可化为 ，利用因式分解法求出未知数 的值，从而把一元二次
方程转化为两个一元一次主程，通过解一元一次方程求出原方程的解；
（2）设 ，则原方程化为 ，通过解一元二次方程求出 的值，即可得到
的值，根据平方的非负性把不符合条件的解舍去．
【详解】（1）解：
设 ，
则原方程可化为 ，
分解因式可得： ，解得： ， ，
当 时，可得： ，
解得： ，
当 时，可得： ，
解得： ，
原方程的解为 ， ；
（2）解： ，
整理得： ，
设 ，
则原方程化为 ，
整理得： ，
分解因式可得： ，
解得： ， ，
当 时， ，
当 时， (不符合题意，舍去)，
．
【经典计算题九 一元二次方程根与系数的关系计算】
81．（24-25八年级下·安徽淮北·期中）设 是方程 的两个根，利用根与系数的关系，
求下列各式的值．
(1)(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，熟知根与系数的关系是解题的关键．
（1）根据根与系数的关系可得 ，再由 即可得到答案；
（2）根据根与系数的关系可得 ，再由 即可得到答案．
【详解】（1）解：∵ 是方程 的两个根，
∴ ，
∴
；
（2）解：∵ 是方程 的两个根，
∴ ，
∴．
82．（2024九年级上·江苏·专题练习）已知一元二次方程 的两实数根为 、 ，不解方程，
求 的值．
【答案】
【分析】本题考查了根与系数的关系，解题的关键是求出 ， ，
由根与系数的关系可得出 ， ，将 转化为只含 和 的形式，代入数据
即可得出结论．
【详解】解：∵一元二次方程 的两实数根为 、 ，
∴ ， ，
∴ ．
83．（24-25九年级上·江西新余·期中）一元二次方程 的两根为 ， ，利用两根与系数的关
系，求下列式子的值：
(1) ， ；
(2) ；
(3) ；
(4) ．
【答案】(1) ，
(2)
(3)
(4)【分析】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系，求解代数式的值，熟记根与系数的关系是解本题的
关键；
（1）利用根与系数的关系，可得出 ， 即可．
（2）把 化为 ，再整体代入计算即可；
（3）由 ，再整体代入计算即可；
（4）由 ，再整体代入计算即可；
【详解】（1）解：∵一元二次方程 的两根为 ， ，
∴ ， ；
（2） ；
（3） ；
（4） ．
84．（24-25九年级上·全国·课后作业）已知 ， 是方程 的两个实数根，求下列各式的值．
(1) ；
(2) ；
(3) ．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据一元二次方程的根与系数的关系分别求得两根之和和两根之积： ①，
②；先通分，然后将①②代入求值；（2）利用整式的乘法展开，再整理代入①②即可；
（3）把原式变为 ，代入①②即可．
【详解】（1）解： 、 是方程 的两个实数根，
， ；
原式 ；
（2）解：原式
；
（3）解：原式
．
【点睛】此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的
解题方法．
85．（24-25九年级上·全国·课后作业）不解方程，求下列方程两个根的和与积：
(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) ．
【答案】(1)
(2)
(3)(4)
【分析】（1）将方程化为一般式，再根据根与系数的关系，求解即可；
（2）将方程化为一般式，再根据根与系数的关系，求解即可；
（3）将方程化为一般式，再根据根与系数的关系，求解即可；
（4）将方程化为一般式，再根据根与系数的关系，求解即可．
【详解】（1）解：由 可得：
则
（2）解：由 可得：
则
（3）解：由 可得：
则
（4）解：由 可得：
则
【点睛】此题考查了一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是掌握相关基础知识， 是一元二次方
程 的两个根，则 ．
86．（24-25九年级上·江苏扬州·期中）已知关于 的方程 （ 为常数）．
(1)求证：不论 取何值时，该方程总有实数根；
(2)若该方程的两个实数根 、 满足 ，求 的值．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式、根与系数的关系，解答关键是熟练掌握一元二次方程根的判别式和根与系数的关系．
（1）根据根的判别式 ，方程有实数根可证得结论；
（2）根据根与系数关系得到 ，进而列方程求解即可．
【详解】（1）证明：∵ ，
∴不论 取何值时，该方程总有实数根；
（2）解：∵该方程的两个实数根 、 ，
∴ ，又 ，
∴ ，即 ，
解得 ．
87．（24-25八年级下·江苏盐城·阶段练习）已知关于x的一元二次方程 有实数根．
(1)求实数k的取值范围；
(2)已知方程的一个实数根为2，求方程的另一个根．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，
（1）根据题意可得 ，再求出解集；
（2）根据两根之和 可得答案．
【详解】（1）解：∵一元二次方程 有实数根，
∴ ，
即 ，
解得 ；
（2）解：∵一元二次方程 的一个根是2，设另一个根是 ，∴ ，
解得 ．
所以方程的另一个根是 ．
88．（24-25八年级下·福建福州·期中）关于 的一元二次方程 ．
(1)如果方程有实数根，求 的取值范围；
(2)如果 ， 是这个方程的两个根，且 ，求 的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查根的判别式，根与系数的关系，明确 ， 是一元二次方程
的两个根时， ， 是答题的关键．
（1）利用根的判别式进行求解即可；
（2）由根与系数的关系可得 ， ，再整理所求的式子，代入相应的值运算即可．
【详解】（1）解： 方程有实数根，
∵
，
∴
解得： ；
（2） ， 是这个方程的两个根，
∵
， ，
∴
，
∵
，
∴
，
解得： ．
89．（24-25九年级上·江苏宿迁·阶段练习）已知关于x的一元二次方程 ．(1)若方程有实数根，求实数m的取值范围；
(2)若方程两实数根分别为 ， ，且满足 ，求实数m的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】此题考查了一元二次方程的判别式，根与系数的关系，
（1）一元二次方程有实数根，则根的判别式 ，建立关于m的不等式，求出m的取值范围，
根据根的判别式得到关于m的不等式是解题的关键；
（2）根据根与系数的关系得到 ，又 求出 ，然后代入 求解即可．
【详解】（1） 方程有实数根，
，
，
即 ；
（2） 为该方程的两个实数根，
，
又 ，
∴
∴
∴ ，
将 代入 得，
∴ ．
90．（24-25八年级下·江苏淮安·期中）已知关于x的一元二次方程 ．
(1)求证：该方程总有两个实数根；
(2)若 是该方程的两个实数根，且 ，求a的值．【答案】(1)详见解析
(2)0
【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系：
（1）利用判别式进行求解即可；
（2）由根与系数的关系 ，根据 推出 ，据
此可得答案．
【详解】（1）解：由题意得，
，
∴该方程总有两个实数根；
（2）解：∵ 是该方程的两个实数根，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【经典计算题十 一元二次方程的新定义运算】
91．（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）定义：如果关于 的一元二次方程 满足
，那么我们称这个方程为“完美方程”．
(1)下面方程是“完美方程”的是_________．（填序号）
① ② ③
(2)已知 是关于 的“完美方程”，若 是此“完美方程”的一个根，求 的值．【答案】(1)③
(2) 或
【分析】（1）根据“完美方程”的定义进行求解即可；
（2）根据“完美方程”的定义得到 ，则原方程为 ，再由 是此“完美方程”
的一个根，得到 ，解方程即可．
【详解】（1）解：① ，
∵ ，
∴ ，则方程 不是“完美方程”；
② ，
∵ ，
∴ ，则方程 不是“完美方程”；
③ ，
∵ ，
∴ ，则方程 是“完美方程”；
故答案为：③．
（2）解： 是关于 的“完美方程”，
，
原方程为 ．
是此“完美方程”的一个根，
，即 ，
解得： 或 ．
【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，一元二次方程解的定义，正确理解题意是解题的关键．
92．（24-25八年级下·安徽六安·期末）定义：若一个一元二次方程的“某一个根”是另一个一元二次方程
的一个根，则称这两个方程为“友好方程”．已知关于 的一元二次方程 与 是“友好方程”，求 的值．
【答案】 或
【分析】先解方程 ，然后利用友好方程的定义代入第二个方程求得 的值即可．
【详解】∵ ，
∴ ， ；
将 代入 中，得 ；
将 代入 中，得 ；
∴ 的值为 或 ．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解的知识，能够理解友好方程的定义是解本题的关键．
93．（2025·江苏扬州·一模）对于实数a、b，定义一种新运算“a☆b”，规定如下： ，例如
．
(1)若 ，则满足条件的x值为______；
(2)对于 ，存在两个不同的数值x，求a的取值范围；
(3)若 时，求x的取值范围．
【答案】(1)2或
(2) 且a≠1
(3) 或
【分析】（1）根据定义列出一元二次方程，解方程求解即可；
（2）根据定理列出一元二次方程，根据一元二次方程有2个不同实根，令 ，求得 的范围即可；
（3）根据题意列出不等式，进而因式分解，根据同号为正列出一元一次不等式组求解即可
【详解】（1）解：即
解得
故答案为： 或
（2）
即
∵存在两个不同的数值x，
，且a≠1，
解得 且a≠1
（3）
即
则 或
解得 或
【点睛】本题考查了新定义运算，解一元二次方程，一元二次方程根的判别式，解一元一次不等式组，理
解新定义是解题的关键．
94．（24-25九年级上·江苏常州·期中） 定义：如果关于x的一元二次方程 有两个实
数根为x ，x，那么以这两个根的倒数 ， 为根的一元二次方程称为原方程的倒根方程．
1 2
应用：
(1)通过计算，判断方程②是不是方程①的倒根方程：
① ，② ，
(2)请求出一元二次方程 的倒根方程．
【答案】(1)方程②是方程①的倒根方程
(2)
【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握解一元二次方程的方法，以及题目所给倒根方程
的定义．
（1）分别求出两个方程的解，根据倒根方程的定义进行判断即可；
（2）先求出 的根，再求出其根的倒数，最后根据倒根方程的定义即可解答．
【详解】（1）解：① ，
，
，
，
② ，
，
，
．
∴方程②是方程①的倒根方程；
（2）解： ，
，
，
，∴ ， ，
∴方程 的倒根方程为 ，
整理得： ．
95．（24-25九年级上·江苏泰州·期中）定义： 与 ，其中 ，这样的
两个方程称为“互为友好方程”，其中一个方程称为另一个方程的友好方程．
(1) 的友好方程是___________；
(2)互为友好方程的两个方程如果有相同的根．求出这个公共根；
(3)如果 的两个根为 ．求友好方程的两个根．
【答案】(1)
(2)1或
(3)
【分析】本题考查一元二次方程的解，涉及新定义，解题的关键是读懂题意，理解“互为友好方程”的定
义．
（1）直接根据新定义求解即可；
（2）设这个公共根为 ，可得 ，有 ，可解得 或 ；
（3）由 的两个根为 ，知 ，故
， ，即可得 的两根为 ．
【详解】（1）解：根据定义 的友好方程是 ；
故答案为： ；
（2）设这个公共根为 ，则 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
解得 或 ；
（3）∵ 的两个根为 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
即 ， ，
∴ 的两根为 ．
96．（2025·江苏扬州·二模）定义：我们把一个整数 平方后得到的数 称为完全平方数．例如：
， ，我们就将 这些数都称为完全平方数．
(1)如果一个完全平方数 满足 ，则满足条件 的值为 （请写出所有满足条件的数）；
(2) 是正整数，如果 和 都是完全平方数，求 的值；
(3)如果关于 的一元二次方程 至少有一个整数解，请直接写出满足题意的正
整数 的值．
【答案】(1)
(2)420
(3)1；3；6；10
【分析】本题主要考查了平方根、平方差公式、一元二次方程等知识点，掌握相关运算法则成为解题的关键．
（1）直接运用平方根的知识估算即可解答；
（2）设 ，k、m为正整数，易得 ，由1只有因数1和41，可列方
程组求得 ，最后代入即可求得n的值；
（3）关于 的一元二次方程 至少有一个整数解，根据根的判别式可得 ，
则 ，由方程的解为正整数， 为整数，设 ，则 ，解得：
，设 可得 ，然后代入验证即可解答．
【详解】（1）解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴满足条件 的值为 ．
（2）解：设 ，k、m为正整数，
∴ ，
∴ ，
∵41只有因数1和41，
∴ ，解得： ，
∵ ，
∴ ．（3）解：∵关于 的一元二次方程 至少有一个整数解，
∴ 恒成立，即 ，
∴ ，
∵因为方程至少有一个整数解且a是正整数，
∴ 或 为整数，
设 (k为非负整数)，则 ，解得： ，
∵a为正整数，
∴k为正奇数，且 ，
设 （ 为正整数），则 ，
当 时， ， ，符合题意；
当 时， ， ，符合题意；
当 时， ， ，符合题意；
当 时， ， ，符合题意；
当 时， ， ， ，不符合题意；
，
当 时， ，此时 ， ，都不是整数；
∴满足题意的正整数 的值是：1；3；6；10．97．（24-25九年级上·山东济南·期中）如果关于x的一元二次方程 有两个实数根，且
其中一个根为另一个根的2倍，那么称这样的方程为“倍根方程”．例如，一元二次方程 的
两个根是 和 ，则方程 是“倍根方程”．
(1)根据上述定义，一元二次方程 ________（填“是”或“不是”）“倍根方程”．
(2)若一元二次方程 是“倍根方程”，则c=________．
(3)若关于x的一元二次方程 是“倍根方程”，则a、b、c之间的关系为________．
(4)若 是“倍根方程”，求代数式 的值．
【答案】(1)不是
(2)2
(3)
(4) 的值为0．
【分析】本题考查了一元二次方程的求解，根与系数的关系等知识点．熟记相关结论是解题关键．
（1）求解一元二次方程即可进行判断；
（2）设方程 的两个根分别为： ，将根代入方程积累二元一次方程组即可求解；
（3）设方程 的两个根分别为： ，根据根与系数的关系消去 即可求解；
（4）方程 的两个根为： ，根据题意可得 或 ，分类讨论
即可求解．
【详解】（1）解： ，
解得： ，
∵ ，∴该方程不是“倍根方程”，
故答案为：不是；
（2）解：设方程 的两个根分别为： ，
∴ ，
解得： 或 （舍去）
故答案为：2；
（3）解：设方程 的两个根分别为： ，
则由根与系数的关系可得： ，
消去 得： ，
故答案为： ；
（4）解：方程 的两个根为： ，
∴ 或 ，即 或 ，
当 时， ；
当 时， ；
故： 的值为0．
98．（24-25九年级上·江苏扬州·阶段练习）如果关于x的一元二次方程 有两个实数根，
且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“邻根方程”；例如，一元二次方程 的两个
根是 ，则方程 是“邻根方程”．
(1)根据上述定义，判断方程 ______（填“是”或“不是”）“邻根方程”；(2)已知关于x的方程 （ 是常数）是“邻根方程”，求m的值；
【答案】(1)是
(2)0或
【分析】本题主要考查了解一元二次方程，正确理解题意和熟知解一元二次方程的方法是解题的关键．
（1）根据因式分解法解一元二次方程，然后根据“邻根方程”的定义判断即可；
（2）解方程得到 ， ，再由“邻根方程”的定义得到，从而得到关于m的方程，解方程即可
得到答案．
【详解】（1）解： ，
，
解得 ， ，
∴方程 是“邻根方程”
故答案为：是；
（2）解：
，
解得： ， ，
∵方程 （ 是常数）是“邻根方程”，
∴ ，
解得 ， ．
99．（24-25八年级下·江苏苏州·期中）材料1：法国数学家弗朗索瓦·韦达在著作《论方程的识别与订正》
中提出一元二次方程 的两根 有如下的关系（韦达定理）：
；
材料2：如果实数m、n满足 、 ，且 ，则可利用根的定义构造一元二次方程，将m、n看作是此方程的两个不相等实数根．
请根据上述材料解决下面问题：
(1)已知实数m、n满足 、 ，求 的值．
(2)已知实数a、b、c满足 、 ，且 ，求c的最大值．
【答案】(1)2或
(2)1
【分析】本题考查根与系数的关系，熟练掌握根与系数的关系，是解题的关键．
（1）当 时，直接代入计算即可；当 时，根据题意，得到实数m，n是方程 的两个
根，根据根与系数的关系进行求解即可；
（2）把a、b可以看成方程 的根，根据根的判别式得出 ，然后根
据不等式的性质，立方根的定义求解即可。
【详解】（1）解：当 时， ；
当 时，根据题意，得到实数m，n是方程 的两个根，
∴ ， ，
∴ ，
综上， 的值为2或 ；
（2）解：∵实数a、b、c满足 、 ，
∴a、b可以看成方程 的根，
∴ ，
∵ ，∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴才的最大值为1.
100．（24-25九年级上·江苏扬州·期中）定义：设 是方程 的两个实数根，若满足
，则称此类方程为“同步方程”．例如，方程 是“同步方程”．
(1)下列方程是“同步方程”的是________（填序号）；
① ，② ，③ ；
(2)若方程 是“同步方程”，求 的值；
(3)若方程 为“同步方程”，直接写出 满足的数量关系．
【答案】(1)①②
(2) 或
(3)
【分析】本题考查了新定义，一元二次方程根与系数的关系的应用，熟练掌握新定义，正确应用一元二次
方程根与系数的关系是解题的关键．
（1）根据新定义同步方程的概念，逐一验证三个方程，得到结果；
（2）根据同步方程的定义，结合一元二次方程根与系数的关系，得到 ，从而得到a的值；
（3）根据同步方程的定义，结合一元二次方程根与系数的关系，得到结果．
【详解】（1）解：①∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 是“同步方程”；
②∵ ，∴ ，
∴ ，
∴ 是“同步方程”；
③∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 不是“同步方程”，
故答案为：①②；
（2）解：∵ 是“同步方程”，
∴ ，
∴ ，
∴当 时， ，
当 时， ，
故 或 ；
（3）解：∵ 为“同步方程”，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ．
