文档内容
专题05 一元二次方程80道计算题专训（8大题型）
题型一 一元二次方程的解
题型二 直接开平方法解一元二次方程
题型三 配方法解一元二次方程
题型四 公式法解一元二次方程
题型五 因式分解法解一元二次方程
题型六 换元法解一元二次方程
题型七 一元二次方程根与系数关系计算
题型八 一元二次方程新定义计算
【经典例题一 一元二次方程的解】
1．（23-24九年级下·浙江宁波·阶段练习）先化简，后求值： ，其中m是方
程 的根．
2．（23-24九年级上·广东梅州·期中）已知 是方程 的一个根，求 的值．
3．（22-23九年级上·河南新乡·阶段练习）若a是方程 的一个根，求 的值．
4．（23-24九年级上·广东梅州·期中）若 是关于 的一元二次方程 的一个解．求 的值．
5．（23-24九年级上·北京大兴·期末）已知 是方程 的一个根，求代数式 的
值．
6．（23-24九年级下·北京·开学考试）已知 是一元二次方程 的一个根，求代数式
的值．
7．（2023·北京石景山·一模）已知实数 是 的根，不解方程，求 的
值．
8．（23-24九年级上·北京海淀·阶段练习）已知m是方程 的根，求代数式
的值．
9．（23-24九年级上·北京海淀·阶段练习）已知 是方程 的一个根，求代数式
的值．10．（23-24九年级上·辽宁朝阳·阶段练习）先化简，再求值：已知 是一元二次方程 的一个
根，求代数式 的值
【经典例题二 直接开平方法解一元二次方程】
11．（23-24九年级上·全国·课后作业）用直接开平方法解下列方程：
(1) ；
(2) ．
12．（23-24九年级上·全国·课后作业）用直接开平方法解下列方程：
(1) ；
(2) ；
(3) ．
13．（2022九年级上·全国·专题练习）用直接开平方法解下列方程：(1) ；
(2) ；
(3) ．
14．（2023八年级下·浙江·专题练习）用直接开平方法解下列方程：
(1) ；
(2) ．
15．（23-24九年级上·全国·课后作业）用直接开平方法解下列方程：
(1) ；
(2) ．
16．（2023九年级上·江苏·专题练习）已知关于 的一元二次方程 ，请你选取一个适当
的 的值，使方程能用直接开平方法求解，并解这个方程．
(1)你选取的 的值是 ；
(2)解这个方程．17．（2021九年级上·全国·专题练习）用直接开平方法求下列各方程的根：
（1） ；
（2） ；
（3） ；
（4） ．
18．（2022九年级上·全国·专题练习）解方程： （直接开平方法）
19．（23-24九年级上·甘肃武威·阶段练习）用直接开平方法解方程．
(1)
(2)
20．（2021九年级上·全国·专题练习）用直接开平方法解下列方程．
（1） ；
（2） ．
【经典例题三 配方法解一元二次方程】21．（23-24九年级上·吉林长春·阶段练习）用配方法解方程： ．
22．（23-24八年级上·上海宝山·阶段练习）用配方法解方程： ．
23．（23-24八年级上·上海青浦·期中）用配方法解一元二次方程： ．
24．（23-24九年级上·吉林长春·阶段练习）解方程： （用配方法）
25．（23-24八年级下·全国·假期作业）用配方法解下列方程：
(1) ；
(2) ．
26．（23-24八年级上·上海黄浦·期中）用配方法解方程： ．27．（23-24九年级上·河南驻马店·阶段练习）下面是亮亮用“配方法”解一元二次方程 的
过程：
解：
二次项系数化为1，得 第一步
移项，得 第二步
配方，得 ，即 第三步
由此可得 第四步
第五步
(1)“配方法”所依据的公式是___________；（填“完全平方式”或“平方差公式”）
(2)上面解答过程，从第________步开始出现错误；
(3)写出正确的解答过程；
(4)根据经验，请你就解方程过程中的注意事项给同学们提一条建议．
28．（23-24九年级上·福建龙岩·阶段练习）有 n个方程： ； ； ；
．小静同学解第一个方程 的步骤为： ； ；
； ； ； ， ．
(1)小静的解法是从步骤____开始出现错误的；
(2)用配方法解第 个方程 ．（用含有 的式子表示方程的根）
29．（23-24九年级上·安徽宿州·期中）用配方法解方程： ．30．（23-24九年级上·宁夏吴忠·期中）配方法解一元二次方程 ．
下面是某同学的解题过程，请认真阅读并完成任务
．
解： ． 第一步
． 第二部
． 第三步
第四步
第五步
， ． 第六步
任务一：该同学解答第________步出现了错，错误的原因是________________．做这一步的依据是
________________________
任务二：写出用配方法解方程 的正确过程．
【经典例题四 公式法解一元二次方程】
31．（23-24九年级上·安徽阜阳·阶段练习）用公式法解方程： ．
32．（23-24九年级上·全国·课后作业）用公式法解下列方程：
(1) ；(2) ；
(3) ；
(4) ．
33．（2023九年级上·江苏·专题练习）用公式法解下列关于x的方程：
(1) ；
(2) ．
34．（23-24九年级上·湖北武汉·阶段练习）解方程： （用公式法）
35．（23-24九年级上·陕西西安·阶段练习）解方程（用公式法）： ．
36．（23-24九年级上·陕西渭南·阶段练习）用公式法解方程： ．37．（22-23八年级下·安徽合肥·期末）用公式法解方程： ．
38．（23-24九年级上·全国·课后作业）用公式法解方程 ．
解：∵ ， ， ， ，
∴ ，
∴ ， ．
【陷阱】__________________________________________________
39．（23-24九年级上·宁夏吴忠·期中）用公式法解一元二次方程
40．（2023九年级上·江苏·专题练习）用公式法解下列方程：
(1) ；
(2) ．
【经典例题五 因式分解法解一元二次方程】
41．（23-24八年级下·浙江绍兴·期中）解方程：(1) ；
(2) ．
42．（23-24八年级下·浙江杭州·期中）解方程：
(1) ．
(2) ．
43．（2024·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）解方程：
44．（23-24八年级下·全国·假期作业）阅读下列材料：
(1)将 分解因式，我们可以按下面方法解答：
解：步骤：①竖分二次项与常数项
②交叉相乘，验中项： ．
③横向写出两因式： ．
注：我们将这种用十字交叉相乘分解的因式方法叫做十字相乘法．
(2)根据乘法原理：若 ，则 或 ．
① ；
② ．45．（23-24八年级下·浙江温州·期中）选择合适的方法解下列方程：
(1) ．
(2) ．
46．（2024八年级下·安徽·专题练习）解方程：
47．（2024·广西桂林·二模）解一元二次方程： ．
48．（2024八年级下·浙江·专题练习）解方程： ．
49．（23-24八年级下·广西崇左·期中）解方程：
(1) ；
(2) ．
50．（23-24八年级下·山东济宁·期中）解下列方程：
(1) ；(2) ．
【经典例题六 换元法解一元二次方程】
51．（23-24九年级上·广东汕头·期中）“通过等价变换，化陌生为熟悉，化未知为已知”是数学学习中解
决问题的基本思维方式，例如：解方程 ，就可以利用该思维方式，设 ，将原方程转化为：
这个熟悉的关于y的一元二次方程，解出y，再求x，这种方法又叫“换元法”．请你用这种思维
方式和换元法解决下面的问题：
(1)解方程： ；
(2)解方程： ．
52．（23-24九年级上·辽宁朝阳·阶段练习）观察下面一列一元二次方程及其根：
① 的两个实数根是 ；
② 的两个实数根是 ；
③ 的两个数根是 ．
……
(1)按规律在下面的横线上写出第4个一元二次方程及它的两个实数根，
④
(2)若 ，求x的值．53．（23-24九年级上·河南周口·阶段练习）【阅读理解】为了解方程 ，我们可以
将 看作一个整体，设 那么原方程可化为 ①，解得 ， ．
当 时， ，∴ ，∴
当 时， ，∴ ，∴
综上，原方程的解为 ， ， ，
【方法分析】填空：上解结题过程，在由原方程得到方程①的过程中，利用了换元法达到了______的目的，
体现数学的______思想．
【小试牛刀】请利用以上方法解方程：
【拓展应用】请你借鉴上述方法利用方程解决问题：已知四个连续的偶数的积是 ，求这四个偶数中最
小的偶数．
54．（23-24九年级上·福建厦门·阶段练习）当解某些计算较复杂的一元二次方程时，可考虑用“缩根法”
简化运算．“缩根法”是指将一元二次方程先转化成系数比原方程简单的新一元二次方程，然后解新一元
二次方程，并将新方程的两根同时缩小若干倍，从而得到原方程的两个根．
已知：关于 的一元二次方程 的两根为 ，求关于 的一元二次方程
的两根．
解： ，令 ，
得新方程 ，
新方程的解为 ，原方程的两根为 ．
这种解一元二次方程的方法叫做“缩根法”
举例：用缩根法解方程 ．
解： ，令 ，
得新方程 ．
解新方程得： ，
原方程的两根为 ．
请利用上面材料解决下列问题，并写出具体步骤：
(1)用缩根法解方程： ；
(2)用缩根法解方程： ．
55．（23-24八年级上·上海浦东新·期中）（1）如果实数x、y满足 ，那么
的值为 ；
（2）如果实数x、y满足 ，那么代数式 的值为 ；
（3）如果实数x满足 ，求代数式 的值．
56．（23-24九年级上·河南周口·阶段练习）阅读材料，解答问题．
解方程： ，
解：把 视为一个整体，设 ，则原方程可化为 ．
解得 ， ．
∴ 或 ．
∴ ， ．
以上方法叫做换元法，达到了简化或降次的目的，体现了转化的思想．
请仿照材料解下列方程：
(1) ；
(2) ．
57．（23-24九年级上·吉林松原·期中）阅读材料：解方程 ，我们可以将 视
为一个整体，然后设 ，则 ，原方程化为 ，解得 ， ．
当 时， ， ，
当 时， ， ，
原方程的解为 ， ， ，
根据上面的解答，解决下面的问题：
(1)填空：在由原方程得到方程①的过程中，利用________法达到降次的目的，体现了________的数学思想；
(2)解方程 ．
58．（23-24九年级上·云南文山·阶段练习）阅读下面的材料，回答问题：
解方程 ，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：
设 ，那么 ，于是原方程可变为 ，解得 ， ．当 时， ， ；
当 时， ， ；
原方程有四个根： ， ， ， ．
解答问题：
(1)上述解题过程，在由原方程得到方程 的过程中，利用______法达到了解方程的目的，体现了转化的
数学思想；
(2)请利用以上知识解方程 ．
59．（23-24九年级上·山西长治·阶段练习）阅读下面的材料：
解方程 这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：
设 ，则 ，
∴原方程可化为 ．
解得 ， ．
当 时， ， ；
当 时， ， ．
∴原方程有四个根是 ， ， ， ．
以上方法叫换元法，达到了降次的目的，体现了数学的转化思想．
(1)解方程： ，得该方程的解为______
(2)运用上述方法解方程： ．60．（23-24九年级上·安徽芜湖·阶段练习）阅读材料，并解答问题：
数学运算中有一种非常重要的思想—“换元法”．它的本质是将一个冗长的、前后具有相同形式的式子用
一个字母来代替，将其化为我们所熟悉的形式．例如：为解方程 ，我们将 看
成一个整体，然后设 ，则原方程化为 ，∴ ，解得 ， ．
当 时， ，∴ ；当 时， ，∴ ．综上所述： ， ，
， ．
请利用以上方法解下面方程：
(1) ；
(2) ；
(3) ．
【经典例题七 一元二次方程根与系数关系计算】
61．（23-24八年级下·安徽蚌埠·期中）关于 的一元二次方程 有实数根．
(1)求 的取值范围；
(2)若方程有两个不相等的实数根 ， ，且 ，求 的值．
62．（23-24八年级下·安徽亳州·期中）若 是关于 的一元二次方程 的两个实数根．(1)求 的取值范围；
(2)若 ，求 的值．
63．（23-24八年级下·山东济南·期中）关于x的一元二次方程 有实数根．
(1)求m的取值范围；
(2)当 时，求m的值．
64．（23-24九年级下·四川乐山·期中）已知关于x的一元二次方程 ．
(1)求证：无论 为何实数，方程总有两个实数根；
(2)若该方程的两个实数根为 和 ，且满足 ，求此时实数 的取值．
65．（22-23八年级下·福建福州·期中）关于 的一元二次方程 ．
(1)如果方程有实数根，求 的取值范围；
(2)如果 是这个方程的两个根，且 ，求 的值．
66．（23-24八年级下·浙江杭州·期中）已知关于x的方程 ．
(1)求证：方程总有两个实数根；
(2)如果方程有一个根为2，求方程两根的乘积．67．（2024·广东东莞·一模）已知一元二次方程
(1)若方程有两个实数根，求m的取值范围；
(2)若方程的两个实数根为 ， 且 求m的值．
68．（23-24八年级下·安徽阜阳·阶段练习）已知关于x的一元二次方程 ．
(1)若该方程有实数根，求m的取值范围．
(2)若 时，求 的值．
69．（23-24九年级下·北京顺义·阶段练习）已知关于x的方程 有两个不相等的实数
根．
(1)求n的取值范围；
(2)若n为符合条件的最小整数，且该方程的两个根的乘积大于1，求m的取值范围．
70．（2024八年级下·浙江·专题练习）已知 、 是关于 的一元二次方程 的两个
不相等的实数根．(1)若满足 ，求 的值；
(2)若 ，求证： ．
【经典例题八 一元二次方程新定义计算】
71．（23-24八年级下·广西梧州·期中）对于实数m、n，我们定义一种运算“ ”为： ，
例如： ．
(1)化简： ；
(2)解关于x的方程： ．
72．（23-24九年级上·湖南岳阳·期中）定义： ，解关于x的方程：
；
73．（23-24九年级上·内蒙古乌兰察布·期中）对于实数 ，先定义一种运算“ ”如下：
，若 ，求 的值．74．（23-24九年级上·福建泉州·期中）定义：如果关于 的一元二次方程 有两个实数
根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程是“邻根方程”． 例如：一元二次方程 的
两个根是 ， 则方程： 是“邻根方程”．
(1)通过计算，判断下列方程 是否是“邻根方程”
(2)已知关于 的一元二次方程 （ 是常数）是“邻根方程”，求 的值．
75．（23-24九年级上·青海海东·阶段练习）对于实数 ，新定义一种运算“ ”，
．
例如： ．
(1)计算： ______；
(2)若 与 的值相等，求 的值．
76．（23-24九年级上·山东枣庄·阶段练习）在实数范围内定义一种新运算“△”，其规则为 ，
根据这个规则，求
(1) 的值；
(2) 中x的值．77．（23-24九年级上·福建厦门·期中）定义：若关于x的一元二次方程 的两个实数根
为 ， （ ）．分别以 ， 为横纵坐标得到点 ，则称点M为该一元二次方程的衍生点．
(1)若方程为 ，写出该一元二次方程的衍生点M的坐标；
(2)关于x的一元二次方程 ，当它的衍生点M距原点最近时，求出此时m的值．
78．（23-24九年级上·河南周口·阶段练习）我们定义：如果关于x的一元二次方程 有两个实
数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”．
(1)请说明方程 是“倍根方程”；
(2)若 是“倍根方程”，则m、n应满足怎样的关系?说明理由．
79．（23-24九年级上·陕西西安·阶段练习）定义：如果关于 的一元二次方程 满足
，那么我们称这个方程为“完美方程”．
(1)下面方程是“完美方程”的是_________．（填序号）
① ② ③
(2)已知 是关于 的“完美方程”，若 是此“完美方程”的一个根，求 的值．
80．（22-23九年级上·福建龙岩·期中）定义：如果关于x的一元二次方程 有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程是“邻根方程”．例如：一元二次方程 的
两个根是 ，则方程： 是“邻根方程”．
(1)通过计算，判断下列方程是否是“邻根方程”：
①
② ．
(2)已知关于x的一元二次方程 （k是常数）是“邻根方程”，求k的值．
