文档内容
专题01 一元二次方程的解法重难点题型专训
【题型目录】
题型一 用直接开方法解一元二次方程
题型二 用配方法解一元二次方程
题型三 用公式法解一元二次方程
题型四 用因式分解法解一元二次方程
题型五 用换元法解一元二次方程
题型六 根据判别式判断一元二次方程根的情况
题型七 根据一元二次方程根的情况求参数
题型八 配方法的应用
【经典例题一 用直接开方法解一元二次方程】
【解题技巧】
x2 =n (ax+b) 2 =n(a≠0)
开平方法：对于形如 或 的一元二次方程，即一元二次方程的一边是含有未知
数的一次式的平方，而另一边是一个非负数，可用开平方法求解.
x2 =n
形如 的方程的解法：
n>0 x=±√n
当 时， ;
当
n=0
时，
x
1
=x
2
=0
;
当n<0时，方程无实数根。
【例1】（2023春·安徽·八年级淮北一中校联考阶段练习）若一元二次方程 的两根分别是
和 ，则 的值为（ ）
A．16 B． C．25 D． 或25
【变式训练】
1．（2022春·八年级单元测试）下列哪个是一元二次方程 的解（ ）A． ， B． ，
C． ， D． ，
2．（2023·安徽·校联考模拟预测）在平面直角坐标系 中，直线 分别与 的正半轴、 的负半
轴相交于 两点，已知 的面积等于 ，则 的值为______．
3．（2023·上海·八年级假期作业）解关于 的方程： ．
【经典例题二 用配方法解一元二次方程】
【解题技巧】
(x+m) 2 =n
配方法：通过配方的方法把一元二次方程转化为 的方程，再运用开平方法求解。
配方法的一般步骤：
①移项：把一元二次方程中含有未知数的项移到方程的左边，常数项移到方程的右边；
②“系数化1”：根据等式的性质把二次项的系数化为1；
(x+m) 2 =n
③配方：将方程两边分别加上一次项系数一半的平方，把方程变形为 的形式；
n≥0 x=−m±√n n<0
④求解：若 时，方程的解为 ，若 时，方程无实数解。
【例2】（2023春·八年级课时练习）用配方法解下列方程时，配方正确的是（ ）
A． 化为 B． 化为
C． 化为 D． 化为【变式训练】
3
t= √5
1．（2023·山西大同·校联考模拟预测）将方程 配方成 2 的形式，下列配方结果正
确的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2022秋·河南驻马店·九年级校考阶段练习）若定义如果存在一个数i，使 ，那么当 时，
有 ，从而 是方程 的两个根．据此可知：方程 的两根为___________（根用i
表示）．
3．（2022春·广东揭阳·八年级统考期末）把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式．再进行有关运
算和解题，这种解题方法叫做配方法．
如：①用配方法分解因式： ，
解：原式
② ，利用配方法求 的最小值，
解：
∵ ，
∴当 时， 有最小值1．
请根据上述材料解决下列问题：
(1)在横线上添加一个常数，使之成为完全平方式： ______．
(2)用配方法因式分解： ．
(3)若 ，求 的最小值．
(4)已知 ，则 的值为______．【经典例题三 用公式法解一元二次方程】
【解题技巧】
−b± √b2 −4ac
x=
公式法：一元二次方程ax2 +bx+c=0(a≠0) 的根 2a
b2 −4ac>0
当 时，方程有两个实数根,且这两个实数根不相等；
b
x =x =−
当b2 −4ac=0时，方程有两个实数根,且这两个实数根相等，写为 1 2 2a；
b2 −4ac<0
当 时，方程无实数根.
a,b,c b2 −4ac
公式法的一般步骤：①把一元二次方程化为一般式；②确定 的值；③代入 中计算其值，判
b2 −4ac≥0
断方程是否有实数根；④若 代入求根公式求值，否则，原方程无实数根。
（因为这样可以减少计算量。另外，求根公式对于任何一个一元二次方程都适用，其中也包括不完全的一
元二次方程。）
【例3】（2023春·浙江温州·八年级校考期中）被称为“几何之父”的古希腊数学家欧几里得，在他的 几
何原本 中，记载了用图解法解方程 的方法，类似地我们可以用折纸的方法求方程
的一个正根 如图，一张边长为 的正方形的纸片 ，先折出 ， 的中点 ， ，再沿过点 的直
线折叠使 落在线段 上，点 的对应点为点 ，折痕为 ，点 在边 上，连接 ， ，则
长度恰好是方程 的一个正根的线段为（ ）
A．线段 B．线段 C．线段 D．线段【变式训练】
1．（2021·浙江·九年级自主招生）已知正数x，y满足方程 ，求 （ ）
A． B． C．0 D．1
2．（2022春·八年级单元测试）将方程 化成一般形式为 ，则
________，此方程的根是________．
3．（2023·江苏·九年级假期作业）用公式法解下列方程：
(1) ；
(2) ．
【经典例题四 用因式分解法解一元二次方程】
【解题技巧】
因式分解法：
①因式分解法解一元二次方程的依据：如果两个因式的积等于0，那么这两个因式至少有一个为0，即：若
ab=0 a=0或b=0
，则 ；
②因式分解法的一般步骤：
若方程的右边不是零，则先移项，使方程的右边为零；把方程的左边分解因式；令每一个因式都为零，得
到两个一元一次方程；解出这两个一元一次方程的解可得到原方程的两个解。（5）选用适当方法解一元二次方程
①对于无理系数的一元二次方程，可选用因式分解法，较之别的方法可能要简便的多，只不过应注意二次
根式的化简问题。
②方程若含有未知数的因式，选用因式分解较简便，若整理为一般式再解就较为麻烦。
（6）解含有字母系数的方程
（1）含有字母系数的方程，注意讨论含未知数最高项系数，以确定方程的类型；
（2）对于字母系数的一元二次方程一般用因式分解法解，不能用因式分解的可选用别的方法，此时一定
不要忘记对字母的取值进行讨论。
【例4】（2023·贵州遵义·统考二模）对于两个不相等的实数a，b，我们规定符号 表示a，b中的
较大值，如： ，因此， ；按照这个规定，若 ，则x的
值是（ ）
A．5 B．5或 C． 或 D．5或
【变式训练】
1．（2023春·上海静安·八年级上海市回民中学校考期中）若x为实数，且满足 ，
则 （ ）
A． B． C． 或 D．无法确定
2．（2023·四川凉山·统考一模）已知等腰三角形 的一边长 ，另外两边的长 恰好是关于 的一
元二次方程 的两个根，则 的周长为___________
3．（2022秋·八年级单元测试）对于m，n，定义：若 ，则称m与n是关于1的“对称数”．
(1)填空：7与______是关于1的“对称数”； 与______是关于1的“对称数”；
(2)已知 ，其中a，b均为常数，且无论x取何值，A与B都是关于1的
“对称数”，求a，b的值；(3)若 ，且C与D是关于1的“对称数”，求满足条件的x的值．
【经典例题五 用换元法解一元二次方程】
【解题技巧】
把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法；换元的实质转化，
关键是构造圆和设元
【例5】（2021秋·新疆·九年级新疆农业大学附属中学校考阶段练习）若实数 满足方程
，那么 的值为（ ）
A． 或5 B．5 C． D．3或
【变式训练】
1．（2022秋·新疆乌鲁木齐·九年级新疆师范大学附属中学校考阶段练习）已知x为实数，且
，则 的值为（ ）
A．4 B．4或 C． D． 或3
2．（2023春·浙江温州·八年级温州市第十二中学校考期中）已知方程 的根为 ， ，
则方程 的根是________．
3．（2023春·八年级单元测试）（换元法）解方程：解：设 则原方程可化为
解得：
当 时， ，解得
当 时， ，解得
∴原方程的根是 ，
根据以上材料，请解方程：
(1) ．
(2)
【经典例题六 根据判别式判断一元二次方程根的情况】
【解题技巧】
了解一元二次方程根的判别式概念，能用判别式判定根的情况，并会用判别式求一元二次方程中符合题意
的参数取值范围。
Δ b2 −4ac
（1） =
ax2 +bx+c=0 a≠0
（2）根的判别式定理及其逆定理：对于一元二次方程 （ ）
{a≠0¿¿¿¿
①当 方程有实数根；
⇔{a≠0¿¿¿¿ {a≠0¿¿¿¿
（当 方程有两个不相等的实数根；当 方程有两个相等的实数根；）
⇔ ⇔
{a≠0¿¿¿¿
②当 方程无实数根；
⇔
从左到右为根的判别式定理；从右到左为根的判别式逆定理。
【例6】（2023·山东日照·统考三模）对于函数 ，规定 ，例
如若 则有 ，已知函数 ，则方程 的解的情况是
（ ）
A．没有实数根 B．有一个实数根 C．有两个不相等的实数根 D．有两个相等的实数根
【变式训练】
1．（2023·河北衡水·校联考二模）若 是一元二次方程 的一个根，那么方程
的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有一个根是
C．没有实数根 D．有两个相等的实数根
2．（2021秋·江苏徐州·九年级校考阶段练习）若（a2﹣2a）2﹣9＝0，则代数式a2﹣2a的值为_____．
3．（2023·广东广州·校考一模）已知关于x的一元二次方程 ，其中a、b、c分别
为 三边的长．
(1)如果 是方程的根，试判断 的形状，并说明理由．
(2)如果方程有两个相等的实数根，试判断 的形状，并说明理由．
(3)如果 是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．【经典例题七 根据一元二次方程根的情况求参数】
【例7】1（2023·宁夏银川·校考一模）已知关于 的方程 有实数根，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． 且 D． 且
【变式训练】
1．（2023春·浙江绍兴·八年级校联考期中）关于x的一元二次方程 有两个实数根，则
实数a的取值范围是（ ）
A． B． 且 C． D． 且
2．（2023·山东济南·统考三模）关于x的一元二次方程 有两个实数根，则a的最大
整数解是______．
3．（2023春·浙江衢州·八年级校考阶段练习）已知关于x的方程 ．
(1)求证：无论m为何值，方程总有两个不相等的实数根；
(2)若方程根的判别式的值为5，求m的值及方程的根．
【经典例题八 配方法的应用】
【例8】（2023春·山东威海·八年级统考期中）已知 ， ，下列结论正确的是
（ ）A． 的最大值是0 B． 的最小值是
C．当 时， 为正数 D．当 时， 为负数
【变式训练】
1．（2020·福建泉州·九年级福建省泉州第一中学校联考阶段练习）已知实数 ， ， 满足
， ，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023春·江苏南通·九年级校联考阶段练习）若实数x，y满足关系式 ，则 的最大
值为______．
3．（2023·江苏扬州·统考二模）（1）数学活动小组在研究函数 的图像时提出了下列问题：
①函数 的自变量x的取值范围是 ；
②容易发现，当 时， ；当 时， ．由此可见，图像在第 象限；
③阅读材料：当 时， ．
当 时，即 时， 有最小值是2．
请仿照上述过程，求出当 时， 的最大值；
（2）当 时，求 的最小值；
（3）如图，四边形 的对角线 ， 相交于点 ， 、 的面积分别为4和9，求四边形
面积的最小值．【重难点训练】
1．（2023春·全国·八年级专题练习）解一元二次方程 时，配方后得到方程 ，则c
等于（ ）
A．6 B．4 C．2 D．
2．（2023·吉林长春·统考二模）已知关于 的一元二次方程 有两个相等的实数根，则 的值
是（ ）
A． B．0 C．4 D．8
3．（2023·浙江金华·校联考二模）若关于 的一元二次方程 有实数根，则实数 的取值范围
是 （ ）．
A． B． C． 且 D． 且
4．（2023春·浙江·七年级专题练习）代数式 的最小值为（ ）．
A． B．0 C．3 D．5
5．（2023·河北沧州·模拟预测）已知直线 与双曲线 只有一个交点，将直线向上平移1
个单位长度后与双曲线相交于 ， 两点， ，则点A的坐标为（ ）
A． B． C． D．
6．（2023·河北邯郸·统考一模）在讲解一元二次方程 时，老师故意把常数项“□”空下了，
让同学们填一个正整数，使这个一元二次方程有两不等实根，问大家其中所填的值可能有（ ）
A．6个 B．8个 C．9个 D．10个
7．（2023春·湖北恩施·九年级校考阶段练习）若关于 的方程 有四个不相等的
实数根，则 的取值范围（ ）
A． B． C． D．
8．（2023春·浙江舟山·八年级校联考期中）对于一元二次方程 ，有下列说法：①若方程 有两个不相等的实数根，则方程 必有两个不相等的实数根；
②若方程 有两个实数根，则方程 一定有两个实数根；
③若c是方程 的一个根，则一定有 成立；
④若 是一元二次方程 的根，则
其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．（2023春·北京房山·八年级统考期末）关于 的一元二次方程 有两个实数根，则 的取
值范围是_________．
10．（2023·湖南邵阳·统考二模）已知关于x的一元二次方程 有两个相等的实数根，
则 的值为______．
11．（2023·山东青岛·统考二模）用配方法解一元二次方程 时，将它化为 的形式，
则 的值为______．
12．（2022春·八年级单元测试）已知 ，则 的值是_____．
13．（2023·江苏·九年级假期作业）用适当的方法解下列方程：
(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) ．14．（2023·北京大兴·统考二模）已知关于x的方程 ．
(1)求证：该方程总有两个实数根；
(2)若该方程有一个根小于1，求m的取值范围．
15．（2023·贵州贵阳·校考一模）（1）已知不等式 ，请你写出一个不等式______，使它与
已知不等式组成的不等式组的解集为 ．
（2）在数学活动课上，老师出了一道一元二次方程的试题：“ ”让同学们解答，甲、乙两
位同学的做法如下：
甲同学 乙同学
解：原方程可化为： ， 解：原方程可化为： ，
当 时，解得 ， ，
当 时，解得 ， ，
∴ ， ． ∴ ，
∴ ， ．
小组在交流过程中发现甲、乙两位同学的结果不同，请判断哪位同学的做法有误______（填“甲”或
“乙”），并根据该同学使用的方法写出正确的解答过程．16．（2022春·八年级单元测试）已知关于 的方程 ．
(1)求证：无论 取什么数，方程总有两个实数根；
(2)若已知方程有一个实数根是 ，试求出另一个实数根．
17．（2023春·浙江·七年级专题练习）把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算
和解题，这种解题方法叫做配方法．如：①用配方法分解因式： ，解：原式
② ，利用配方法求M的最小值：
解：
因为 ，所以当 时，M有最小值5
请根据上述材料解决下列问题：
(1)在横线上添加一个常数，使之成为完全平方式 ；
(2)用配方法因式分解 ；
(3)若 ，求M的最小值．
18．（2023春·广东深圳·八年级深圳市南山外国语学校校联考期中）阅读材料：
①用配方法因式分解： ．解：原式
．
②若 ，利用配方法求M的最小值．
解： ．
∵ ， ，
∴当 时，M有最小值1．
请根据上述材料解决下列问题：
(1)在横线上添上一个常数项使之称为完全平方式： _____=______．
(2)用配方法因式分解： ．
(3)若 ，求M的最大值．
19．（2023春·浙江·八年级专题练习）如图，四边形 是证明勾股定理时用到的一个图形，a，b，c
是 和 边长，易知 ，这时我们把关于x的形如 的一元二次方
程称为“勾系一元二次方程”．请解决下列问题：
(1)写出一个“勾系一元二次方程”；
(2)求证：关于x的“勾系一元二次方程” 必有实数根；
(3)若 是“勾系一元二次方程” 的一个根，且四边形 的周长是 ，求
面积．
20．（2022春·浙江杭州·八年级杭州外国语学校校考期中）对于任意一个三位数k，如果k满足各个数位上
的数字都不为零，且十位上的数字的平方等于百位上的数字与个位上的数字之积的4倍，那么称这个数为
“喜鹊数”．例如：k＝169，因为62＝4×1×9，所以169是“喜鹊数”．
(1)已知一个“喜鹊数”k＝100a+10b+c（1≤a、b、c≤9，其中a，b，c为正整数），请直接写出a，b，c所
满足的关系式 ；判断241 “喜鹊数”（填“是”或“不是”），并写出一个“喜鹊数” ；
(2)利用（1）中“喜鹊数”k中的a，b，c构造两个一元二次方程ax2+bx+c＝0①与cx2+bx+a＝0②，若x＝m
是方程①的一个根，x＝n是方程②的一个根，求m与n满足的关系式；
(3)在（2）中条件下，且m+n＝﹣2，请直接写出满足条件的所有k的值．21．（2021秋·新疆乌鲁木齐·九年级校考期中）已知：关于x的一元二次方程
(1)已知x=2是方程的一个根，求m的值；
(2)以这个方程的两个实数根作为△ABC中AB、AC（AB
