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专题 02 一元二次方程中含参数问题
目录
A题型建模・专项突破
题型一、利用一元二次方程的定义求参数..........................................................................................................1
题型二、一元二次方程的解求参数的值..............................................................................................................3
题型三、一元二次方程的解求代数式的值..........................................................................................................4
题型四、根据一元二方程根的情况求参数..........................................................................................................6
题型五、利用一元二次方程根与系数的关系求参数..........................................................................................9
B综合攻坚・能力跃升
题型一、利用一元二次方程的定义求参数
1．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）当 时， 是关于 的一元二次方程．
2．（24-25九年级上·云南昭通·期末）若关于x的方程 是一元二次方程，则
．
3．（24-25九年级上·广东广州·阶段练习）若 是关于x的一元二次方程，则m的值为
．
4．（24-25九年级上·江苏扬州·期末）已知 是一元二次方程，则实数 ．
5．（24-25九年级上·云南昆明·期中）关于x的一元二次方程 的一个根是0，则a的值
为 ．
题型二、一元二次方程的解求参数的值
6．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）若 是一元二次方程 的一个根，则 ．
7．（2025·新疆·模拟预测）已知关于 的一元二次方程 的一个根为 ，则 的值为 ．
8．（2025·湖南·模拟预测）已知关于x的方程 的一个根为 ，则 ．
9．（24-25八年级下·山东威海·期中）已知 是关于x的一元二次方程 的一个根，则
m的值是 ．
10．（24-25九年级上·青海西宁·期中）关于 的方程 是一元二次方程，则 的值为的
．题型三、一元二次方程的解求代数式的值
11．（24-25八年级下·河北石家庄·期中）若关于x的一元二次方程 的一个根是 ，则代数
式 的值为 ．
12．（24-25九年级上·广东广州·期中）若 是关于 的一元二次方程 的一个根，则
的值为 ．
13．（24-25九年级上·福建漳州·期中）若m是方程 的一个实数根，则 的值
为 ．
14．（24-25九年级下·全国·假期作业）若 是方程 的根，则 的值为
．
15．（2025九年级下·四川资阳·学业考试）已知m为方程 的根，那么
的值为 ．
题型四、根据一元二方程根的情况求参数
16．（24-25九年级上·湖南衡阳·期末）已知 是关于x的一元二次方程 的两实根．
(1)求k的取值范围；
(2)若 是方程的根，求k的值．
17．（24-25九年级上·安徽铜陵·期末）已知 的两邻边 的长是关于 的方程
的两个实数根．
(1)若 的长为2，求 的值；
(2)当 为何值时， 是菱形？
18．（24-25九年级上·河南新乡·阶段练习）已知关于 的一元二次方程 ．
(1) 取何值时，方程有两个不相等的实数根；
(2)求 取值范围内的最小整数时，方程的根．
19．（24-25八年级上·上海崇明·期末）已知关于x的一元二次方程
(1)如果方程的根的判别式的值为3，求m的值．
(2)如果方程有实数根，求m的取值范围．
20．（24-25九年级上·重庆潼南·期末）我们规定：对于任意实数a，b，c，d，有 ，其
中等式右边是常用的乘法和减法运算，如： ．
(1)求 的值；
(2)若关于 的方程 有两个相同的实数根，求 的值．题型五、利用一元二次方程根与系数的关系求参数
21．（24-25九年级上·广东汕头·阶段练习）已知关于 的一元二次方程 ．
(1)求证：方程总有两个不相等的实数根；
(2)若方程的两个根 ， 满足 ，求 的值．
22．（24-25九年级上·江西新余·阶段练习）已知关于 的一元二次方程 ．
(1)求证：无论k取什么实数值，该方程总有两个实数根；
(2)当 的斜边长 ，且两条直角边 和 恰好是这个方程的两个根时，求 的周长．
23．（24-25九年级上·福建福州·期中）已知一元二次方程 有两个根分别为 ， ．
(1)求m的取值范围；
(2)若 ， 满足 ，求m的值．
24．（24-25九年级上·贵州遵义·期中）已知关于 的一元二次方程 ．
(1)求证：无论 取何值，方程都有两个不相等的实数根；
(2)如果方程的两个实数根为 ， ，且 ，求 的值．
25．（24-25九年级上·福建厦门·期中）若关于 的方程 有两个实数根，
(1)求 的取值范围；
(2)设 ， 是方程的两个根，且 ，求 的值．
一、单选题
1．（24-25八年级下·江苏盐城·期中）若方程 是关于 的一元二次方程，则 的取值范围为
（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25八年级下·安徽滁州·期末）若 是一元二次方程 的一个根，则 的值为（ ）
A． B． C．9 D．7
3．（2025·新疆·中考真题）若关于x的一元二次方程 无实数根，则实数a的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
4．（24-25九年级上·广东广州·期中）已知关于 的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． 且 D． 且
5．（24-25八年级下·安徽淮北·期末）已知关于 的一元二次方程 有一个实数根为 ，且
，则下列说法错误的是（ ）
A．当 时， B．当 ， 时，
C．方程的另一个实数根不可能是 D．方程的另一个实数根有可能是1
二、填空题
6．（24-25九年级上·辽宁朝阳·期末）若关于 的方程 是一元二次方程，则 的值是
．
7．（24-25九年级上·广东阳江·期末）若 是一元二次方程 的一个实数根，则代数式
．
8．（24-25九年级下·江苏无锡·期中）设 、 是方程 的两个根，且 ，则
．
9．（24-25八年级下·江苏泰州·期末）关于 的一元二次方程 有实数根，则 的取值范围是
．
10．已知关于x的一元二次方程 有两个实数根．
（1）m的取值范围为 ．
（2）若m为正整数，且该方程的根都是整数，则m的值为 ．
三、解答题
11．方程 ．
(1)当取何值时是一元二次方程？
(2)当取何值时是一元一次方程？
12．已知关于 的一元二次方程 ．
(1)求证：该方程有两个实数根；
(2)若 为整数，该方程的两个实数根是否可以都为正整数？请说明理由．
13．（24-25八年级下·浙江宁波·期中）已知关于 的一元二次方程 ，如果 ， ， 满足
，我们就称这个一元二次方程为美妙方程．
(1)判断方程 是否为美妙方程，并说明理由．
(2)已知关于 的美妙方程 的一个根是 ，求这个美妙方程．
14．（24-25八年级下·山东烟台·期中）已知关于 的一元二次方程 ．
(1)当 时，解该一元二次方程；
(2)求证：无论 为何实数，方程总有实数根；(3)若 是方程的两个实数根，且 ，求 的值．
15．材料一：定义：若关于x的一元二次方程 有两个实数根 ，且满足
，则称此类方程为“和积方程”．
例如： ，即 ，解得
， 是“和积方程”．
材料二：法国数学家韦达在研究一元二次方程时发现：若关于x的一元二次方程 的两
个实数根为 ， ，则： ，这就是一元二次方程根与系数的关系，也被称作“韦达
定理”．
(1)方程 （填是或不是）“和积方程”；
(2)若关于x的方程 是“和积方程”，则 _____
(3)若关于x的一元二次方程 是“和积方程”，求m的值．
