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专题 02 一元二次方程实际应用的四种考法
【知识点精讲】
应用模型：一元二次方程经常在增长率问题、面积问题等方面应用.
①平均增长率（降低率）问题：公式：b＝a(1±x)n，a表示基数，x表示平均增长率（降低率），n表示变
化的次数，b表示变化n次后的量；
②利润问题：利润=售价-成本；利润率=利润/成本×100%；
③传播、比赛问题：
④面积问题：a.直接利用相应图形的面积公式列方程；b.将不规则图形通过割补或平移形成规则图形，运
用面积之间的关系列方程.
注意：运用一元二次方程解决实际问题时，方程一般有两个实数根，则必须要根据题意检验根是否有意义.
类型一、增长率问题
例．电影《我和我的祖国》讲述了普通人与国家之间息息相关密不可分的动人故事，一上映就获得全国人
民的追捧，第一天票房约3亿元，以后每天票房按相同的增长率增长，三天后累计票房收入达10亿元，若
把增长率记作x，则方程可以列为（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练1】在“双减政策”的推动下，某校学生课后作业时长有了明显的减少．去年上半年平均每周
作业时长为 分钟，经过去年下半年和今年上半年两次调整后，现在平均每周作业时长比去年上半年减少
了 ，设每半年平均每周作业时长的下降率为 ，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练2】某药店一月份销售口罩500包，一至三月份共销售口罩1820包，设该店二、三月份销售口罩的月平均增长率为 ，则根据题意可列出方程为（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练3】某市政府决定改善城市面貌，绿化环境，计划经过两年时间绿化面积增加 ，这两年平
均每年绿化面积的增长率为（ ）
A． B． C． D．
类型二、利润问题
例1.某水果商场经销一种高档水果，原售价每千克50元．
(1)连续两次降价后每千克32元，若每次下降的百分率相同．求每次下降的百分率；
(2)若每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，商场决定采取
适当的涨价措施，但商场规定每千克涨价不能超过8元，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克，现
该商场要保证每天盈利6000元，且要尽快减少库存，那么每千克应涨价多少元？
例2.今年某村农产品喜获丰收，该村村委会在网上直播销售A、B两种优质农产品礼包．
(1)已知今年7月份销售A种农产品礼包256包，8、9月该礼包十分畅销，销售量持续走高，在售价不变的
基础上，9月份的销售量达到400包．若设8、9两个月销售量的月平均增长率为x，求x的值；
(2)若B种农产品礼包每包成本价为16元，当售价为每包30元时，每月销量为200包．为了尽快减少库存，
该村准备在10月进行降价促销，经调查发现，若B种农产品礼包每包每降价1元，月销售量可增加20包，
当B种农产品礼包每包降价多少元时，该村销售B种农产品礼包在10月份可获利2860元?
【变式训练1】第19届亚运会即将在杭州举行，某商店购进一批亚运会纪念品进行销售，已知每件纪念品
的成本是30元，如果销售单价定为每件40元，那么日销售量将达到100件．据市场调查，销售单价每提高1元，日销售量将减少2件．
(1)若销售单价定为每件45元，求每天的销售利润；
(2)要使每天销售这种纪念品盈利1600元，同时又要让利给顾客，那么该纪念品的售价单价应定为每件多
少元？
【变式训练2】服装店购进一批甲、乙两种款型的时尚T恤衫，甲种款型共用了10400元，乙种款型共用
了6400元，甲种款型的件数是乙种款型件数的2倍，甲种款型每件的进价比乙种款型每件的进价少30元.
(1)甲、乙两种款型的T恤衫各购进多少件？
(2)该服装店第一个月甲种款型的T恤衫以200元/件的价格售出20件、乙种款型的T恤衫以250元/件的价
格售出10件；为了促销，第二个月决定对甲、乙两种款式的T恤衫都进行降价a元销售，其中甲种款型的
T恤衫的销售量增加4a件、乙种款型的T恤衫的销售增加a件，结果第二个月的销售总额比第一个月的销
售总额增加了1000a元，求第二个月的销售利润．
类型三、工程问题
例．建设美丽城市，改造老旧小区．某市2020年投入资金1000万元，2022年投入资金1440万元，现假定
每年投入资金的增长率相同．
(1)求该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率．
(2)2022年老旧小区改造的平均费用约为每个80万元．2023年为提高老旧小区品质，每个小区改造费用增
加10%．如果投入资金年增长率保持不变，求该市在2023年最多可以改造多少个老旧小区？
【变式训练1】公安部交管局部署“一盔一带”安全守护行动，带动了市场头盔的销量．某头盔经销商5
至7月份统计，某品牌头盔5月份销售2250个，7月份销售3240个，且从5月份到7月份销售量的月增长
率相同．请解决下列问题．(1)求该品牌头盔销售量的月增长率；
(2)为了达到市场需求，某工厂建了一条头盔生产线生产头盔，经过一段时间后，发现一条生产线最大产能
是900个/天，但如果每增加一条生产线，每条生产线的最大产能将减少30个/天，现该厂要保证每天生产
头盔3900个，在增加产能同时又要节省投入的条件下（生产线越多，投入越大），应该增加几条生产线？
【变式训练2】“端午临中夏，时清日复长”．临近端午节，一网红门店接到一批3200袋粽子的订单，决
定由甲、乙两组共同完成．已知甲组3天加工的粽子数比乙组2天加工的粽子数多300袋．两组同时开工，
甲组原计划加工10天、乙组原计划加工8天就能完成订单．
(1)求甲、乙两组平均每天各能加工多少袋粽子；
(2)两组人员同时开工2天后，临时又增加了500袋的任务，甲组人员从第3天起提高了工作效率，乙组的
工作效率不变．经估计，若甲组平均每天每多加工100袋粽子，则甲、乙两组就都比原计划提前1天完成
任务．已知甲、乙两组加工的天数均为整数，求提高工作效率后，甲组平均每天能加工多少袋粽子？
【变式训练3】甲、乙两工程队共同承建某高速铁路桥梁工程，桥梁总长5000米．甲，乙分别从桥梁两端
向中间施工．计划每天各施工5米，因地质情况不同，两支队伍每合格完成1米桥梁施工所需成本不一样．
甲每合格完成1米桥梁施工成本为10万元，乙每合格完成1米桥梁施工成本为12万．
(1)若工程结算时，乙总施工成本不低于甲总施工成本的 ，求甲最多施工多少米．(2)实际施工开始后，因地质情况及实际条件比预估更复杂，甲乙两队每日完成量和成本都发生变化，甲每
合格完成1米隧道施工成本增加a万元时，则每天可多挖 米．乙在施工成本不变的情况下，比计划每天
少挖 米．若最终每天实际总成本在少于150万的情况下比计划多 万元．求a的值．
类型四、几何图形问题
例．在平面直角坐标系 中，过原点 及点 、 作矩形 ， 的平分线交 于点
．点 从点 出发，以每秒 个单位长度的速度沿射线 方向移动；同时点 从点 出发，以每秒
个单位长度的速度沿 轴正方向移动．设移动时间为 秒．
(1)填空： _______， _______（用含 的代数式表示）
(2)设 的面积为 ， 的面积为 ，当 为何值时， 的值为 ．
(3)求当 为何值时， 为直角三角形．
【变式训练1】等边 ，边长为 ，点P从点C出发以 向点B运动，同时点Q以 向点A
运动，当一点到达终点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为 ，(1)求当 为直角三角形时的时间 ；
(2) 的面积能否为 ，若存在求时间 ，若不存在请说明理由．
【变式训练2】如图，在直角梯形 中， ， ．动点P
从点D出发，沿射线 的方向以每秒2个单位的速度运动，动点Q从点C出发，沿射线 的方向以每
秒1个单位的速度向点B运动，点P，Q分别从点D，C同时出发，当点P运动到点A时，点Q随之停止
运动．设运动的时间为t（秒），当t为何值时，以B，P，Q三点为顶点的三角形是等腰三角形？
【变式训练3】如图，在 中， ， ， 点 从 开始沿边 向点 以
的速度移动，与此同时，点 从点 开始沿边 向点 以 的速度移动．点 ， 同时出发，
当点 运动到点 时，两点停止运动，设运动时间为 秒．
(1)填空： ______ ， ______ ； 用含 的代数式表示 ；
(2)当 为几秒时， 的长度等于 ；
(3)是否存在某一时刻 ，使四边形 的面积等于 面积的 ？如果存在，求出 的值，如果不存在，
请说明理由．
课后训练1.如图1，在矩形 中， ，点E和F同时从点A出发，点E以 的速度沿 的方向
运动，点F以 的速度沿 的方向运动，两点相遇时停止运动．设运动时间为 ， 的面
积为 ，y关于x的函数图象如图2，图象经过点 ，则n的值为 ．
2．2022北京冬奥会期间，某网店直接从工厂购进A、B两款冰墩墩钥匙扣，进货价和销售价如下表：（注：
利润=销售价-进货价）
类别价格 A款钥匙扣 B款钥匙扣
进货价（元／件） 30 25
销售价（元／件） 45 37
(1)网店第一次用850元购进A、B两款钥匙扣共30件，求两款钥匙扣分别购进的件数？
(2)冬奥会临近结束时，网店打算把B款钥匙扣调价销售，如果按照原价销售，平均每天可售4件．经调查
发现，每降价1元，平均每天可多售2件，将销售价定为每件多少元时，才能使B款钥匙扣平均每天销售
利润为90元？
3．某水果店以相同的进价购进两批樱桃，第一批80千克，每千克16元出售；第二批60千克，每千克18
元出售，两批车厘子全部售完，店主共获利960元．
(1)求樱桃的进价是每千克多少元？
(2)该水果店一相同的进价购进第三批樱桃若干，第一天将樱桃涨价到每千克20元出售，结果仅售出40千
克；为了尽快售完第三批樱桃，第二天店主决定在第一天售价的基础上降价促销，若在第一天售价基础上
每降价1元，第二天的销售量就在第一天的基础上增加10千克．到第二天晚上关店时樱桃售完，店主销售
第三批樱桃获得的利润为850元，求第二天樱桃的售价是每千克多少元？
4．某旅行社推出“跟团游”和“定制游”两种旅行方式供客户选择．已知6月份该旅行社“跟团游”的销
售额为 万元，“定制游”的销售额为 万元，“跟团游”平均每单的费用比“定制游”平均每单的费
用少 万元，“跟团游”的订单数是“定制游”订单数的4倍，订单按一人一单计算．(1)求“定制游”的单数为多少？
(2)由于暑期是旅游旺季，消费水平整体升高，该旅行社预计7月份“跟团游”和“定制游”的订单数分别
比上月对应订单数多 和 ，“跟团游”和“定制游”平均每单的费用分别比上月对应每单多 和
，这样预计7月份该旅行社总销售额比上个月总销售额的 还多 万元，且 ，求a的值．
5．由于疫情反弹，某地区开展了连续全员核酸检测，9月7日，医院派出13名医护人员到一个大型小区
设置了 、 两个采样点进行核酸采样，当天共采样9220份，已知 点平均每人采样720份， 点平均每
人采样700份．
(1)求 、 两点各有多少名医护人员？
(2)9月8日，医院继续派出这13名医护人员前往这个小区进行核酸采样，这天，社区组织者将附近数个商
户也纳入这个小区采样范围，同时重新规划，决定从 点抽调部分医护人员到 点经调查发现， 点每减
少1名医护人员，人均采样量增加10份， 点人均采样量不变，最后当天共采样9360份，求从 点抽调
了多少名医护人员到 点？
6．2022年暑期，我区遭遇连续高温和干旱，一居民小区的部分绿化树枯死．小区物业管理公司决定补种
绿化树，计划购买小叶榕和香樟共50棵进行栽种．其中小叶榕每棵680元，香樟每棵1000元，经测算，
购买两种树共需38800元．
(1)原计划购买小叶榕、香樟各多少棵？
(2)实际购买时，经物业管理公司与商家协商，每棵小叶榕和香樟的售价均下降 元（ ），且两种
树的售价每降低10元，物业管理公司将在原计划的基础上多购买小叶榕2棵，香樟1棵．物业管理公司实
际购买的费用比原计划多3600元，求物业管理公司实际购买两种树共多少棵？
